新教材新高考2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)精講精練 第10講 拓展三：通過求二階導(dǎo)函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問題 高頻精講（解析版）

第10講拓展三：通過求二階導(dǎo)函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問題(精講）目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知識點(diǎn)必背 2第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過 2高頻考點(diǎn)一：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值 2高頻考點(diǎn)二：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性 9高頻考點(diǎn)三：利用二階導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的范圍 16高頻考點(diǎn)四：利用二階導(dǎo)數(shù)證明不等式 24溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點(diǎn)必背1、函數(shù)極值的第二判定定理：若在附近有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且，（1）若則在點(diǎn)處取極大值；（2）若則在點(diǎn)處取極小值2、二次求導(dǎo)使用背景（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，無法判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù)；（2）對函數(shù)一次求導(dǎo)得到之后，解不等式難度較大甚至根本解不出.（3）一階導(dǎo)函數(shù)中往往含有或3、解題步驟：設(shè)，再求，求出的解，即得到函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最值，即可得到的正負(fù)情況，即可得到函數(shù)的單調(diào)性.第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值典型例題例題1．（2023·陜西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)設(shè)．①求曲線在點(diǎn)處的切線方程．②試問有極大值還是極小值？并求出該極值．(2)若在上恰有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)①；②有極大值.(2)【詳解】（1）①當(dāng)時(shí)，，則，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．②令得，令得，令得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由極值的定義知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，無極小值.（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上恰有兩個零點(diǎn)，所以方程在上有兩個解，即在上有兩個解，記，，則直線與函數(shù)，有兩個交點(diǎn)，則，記，則，令得，令得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令得，又，所以當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞減，又，，如圖，由圖知，要使直線與函數(shù)，有兩個交點(diǎn)，則，所以函數(shù)在上恰有兩個零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍為.例題2．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間(2)【詳解】（1）的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.（2）存在極值點(diǎn)等價(jià)于存在變號零點(diǎn)，等價(jià)于存在變號實(shí)根，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以，所以單調(diào)遞減，令，所以，令，解得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值即最小值，所以，所以，當(dāng)無限趨向于0時(shí)，趨向于正無窮大，當(dāng)無限趨向于正無窮大時(shí)，趨向于0，所以，即.故實(shí)數(shù)的取值范用為.例題3．（2023春·山西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求在上的極值；(2)若，求的最小值．【答案】(1)為極小值，無極大值.(2)【詳解】（1），令，得，在為負(fù)，單調(diào)遞減，在為正，單調(diào)遞增，故為極小值，無極大值.（2）由題知,令，令，則，設(shè)則，，為正，在單調(diào)遞增，，為負(fù)，在單調(diào)遞減，故為極大值，若，即，此時(shí)，則在單調(diào)遞減，又，所以時(shí)，在單調(diào)遞增，時(shí)，，在單調(diào)遞減，故為極大值，所以，則當(dāng)時(shí)，符合條件；，即此時(shí)，存在，在上；，則在單調(diào)遞增，又，則在區(qū)間上所以在區(qū)間上，單調(diào)遞減，則，不滿足條件.綜上所述的最小值為.練透核心考點(diǎn)1．（2023·甘肅蘭州·校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，（，為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)求函數(shù)的極值；(2)若對，恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)極大值為，無極小值(2)【詳解】（1）定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的極大值為，無極小值.（2）由得：，在上恒成立；令，則；令，則，在上單調(diào)遞增，又，，，使得，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；由得：，，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知(1)求的極值點(diǎn)；(2)求證：.【答案】(1)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為；(2)證明見解析.【詳解】（1）由題意可知，,所以的定義域?yàn)?因?yàn)椋?，令即，解得?當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：00極大值極小值由此表可知，的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為.（2）由，得，要證，只需證，即可設(shè)，則，設(shè)，則，令即，解得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，也是最小值.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以是方程的唯一實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，也是最小值,所以，即，即證.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若，對任意的恒成立，求m的最大值.【答案】(1)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，極小值為，沒有極大值(2)3(1)函數(shù)的定義域?yàn)?，由，令可得，?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴

函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，函數(shù)在時(shí)取極小值，極小值為，函數(shù)沒有極大值(2)當(dāng)時(shí)，不等式可化為，設(shè)，由已知可得，又，令，則，∴

在上為增函數(shù)，又，，∴存在，使得，即當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴

，∴

，∴m的最大值為3.高頻考點(diǎn)二：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性典型例題例題1．（2023·山西太原·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)若恰有三個不同的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)在（1）的條件下，證明：①；②.【答案】(1)；(2)①證明見解析；②證明見解析.【詳解】（1）由題意得令，①當(dāng)時(shí)，在上遞增，當(dāng)時(shí)，在上遞減，當(dāng)時(shí)，在上遞增，只有一個極值點(diǎn)，此時(shí)不符合題意；②當(dāng)時(shí)，令，即，則和是方程的兩個實(shí)數(shù)解，且，所以時(shí)，，時(shí)，，在和上遞增，在上遞減，且，，在上存在唯一零點(diǎn)，，在上存在唯一零點(diǎn)，在和上遞減，在和上遞增，記，是的三個不同的極值點(diǎn)，且，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）由（1）得當(dāng)時(shí)，有三個不同的極值點(diǎn)，且，①要證，只需證，，.②要證，只需證，，只需證，令，則，令，則，，，即.例題2．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增(2)【詳解】（1）依題意得．①當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，得，令，得或，所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；④當(dāng)時(shí)，令，得，令，得或，所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增．（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，則恒成立．（i）當(dāng)時(shí)，不等式即，滿足條件．（ii）當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，該式對任意恒成立．設(shè)，則．設(shè)，則．因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增．又因?yàn)?，所以是在上的唯一零點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以．（iii）當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，此時(shí)對于（ii）中的函數(shù)，可知當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以．綜上所述，m的取值范圍是．例題3．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．(1)求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：∵當(dāng)時(shí)，∴成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．（2）當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立當(dāng)時(shí)，，所以令，令，在上成立，∴在上為單調(diào)遞增函數(shù)，∴即在上成立，在上單調(diào)遞減，∴∴．練透核心考點(diǎn)1．（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，函數(shù)，其中．(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：曲線與曲線有且只有一個公共點(diǎn)．【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)，即時(shí)，若時(shí)，；若時(shí)，.即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.（2）設(shè)，題設(shè)等價(jià)于證明函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)，，設(shè)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，故此時(shí)函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，則當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)且時(shí)，，，則，函數(shù)在上存在一個零點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)；綜上即證.2．（2023·河南開封·開封高中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若，求的極值；(2)若對任意的恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)極小值為，無極大值；(2)．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，設(shè)，則，所以在單調(diào)遞增，又，∴時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；∴在處有極小值，極小值為，無極大值；（2）因?yàn)?，所以，設(shè)，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，故，當(dāng)時(shí)，且不恒等于零，在上單調(diào)遞增，所以，即，在上單調(diào)遞增，所以，即對任意的恒成立；當(dāng)時(shí)，則，，所以存在，∴時(shí)，，單調(diào)遞減，此時(shí)，，所以時(shí)，單調(diào)遞減，，不滿足題意；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍．3．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．(1)求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，，，，即，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增．（2）當(dāng)或時(shí)，不等式顯然成立．當(dāng)時(shí)，，所以．令，，令，在上成立，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，．高頻考點(diǎn)三：利用二階導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的范圍典型例題例題1．（2023春·河南·高三河南省淮陽中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，為正實(shí)數(shù)．(1)若在上為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；(2)若對任意的，且，都有，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）時(shí)，，，因?yàn)楹瘮?shù)在上為單調(diào)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以恒成立，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，而，所以，所以，即的取值范圍為．（2）因?yàn)椋?，所以在區(qū)間上是減函數(shù)．在區(qū)間上恒成立，①當(dāng)時(shí)，．由在上恒成立．設(shè)，所以，所以在上為增函數(shù)，所以．②當(dāng)時(shí)，．由在上恒成立．令，所以在上為增函數(shù)，所以，綜上：的取值范圍為．例題2．（2023秋·北京石景山·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)若和有相同的最小值，求的值．【答案】(1)(2)答案見解析；(3)【詳解】（1）解：因?yàn)?，，所以，所以，，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程，即．（2）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，所以，，所以，?dāng)時(shí)，在上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，減區(qū)間為，增區(qū)間為.（3）解：由（2）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.所以，因?yàn)?，得，所以，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，，因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈?，所以，即，令，，令，，所以，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即，所以，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，等價(jià)于例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，是自然對數(shù)的底數(shù)．(1)若，求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【答案】(1)，；(2)（1）解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則，令，解得，，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值；（2）（2）由題意，令，且，則，且，令，，且，①當(dāng)，即時(shí)，，所以，則單調(diào)遞增，所以，則在上單調(diào)遞增，所以，符合題意；②當(dāng)，即時(shí)，，，所以存在，使得，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，故，不符合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)時(shí)，設(shè)，討論零點(diǎn)的個數(shù)【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，令，令則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴得在內(nèi)單調(diào)遞增，由，得當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞增，∴，即（2），當(dāng)時(shí)，由，得，∴，由（1）可得；當(dāng)時(shí)，令，則由得，∴在內(nèi)單調(diào)遞增由，∴，使得，則當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞增，由得，，∴，使得，綜上，當(dāng)時(shí)在內(nèi)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)在內(nèi)有一個零點(diǎn)；2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若曲線不存在斜率為－2的切線，求a的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍.（只需直接寫出結(jié)論）【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為；極大值，極小值(2)a的取值范圍為；(3)a的取值范圍為.（1）由，得.

當(dāng)時(shí)，

令，得

此時(shí)，隨的變化如下：00↗極大值↘極小值↗所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和

的單調(diào)遞減區(qū)間為

函數(shù)在時(shí)，取得極大值，在時(shí)，取得極小值.（2）因?yàn)椴淮嬖谛甭蕿榈那芯€，

所以

即方程無解，所以解得，所以a的取值范圍為；（3）不等式可化為，設(shè)，，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，，又所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，在上恒成立，當(dāng)時(shí)，方程的判別式，因?yàn)?，所以，所以，所以方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)其根為，且，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，在上不可能恒成立，綜上可得a的取值范圍為.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若在單調(diào)，求的取值范圍.(2)若的圖像恒在軸上方，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).(1)由題意得，.在上單調(diào)，即在上大于等于0或者小于等于0恒成立.令，則，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，∴由題意得，或，解得或，∴的取值范圍是.(2)的圖象恒在軸上方，也即當(dāng)時(shí)，恒成立.也即在上恒成立.令，，令，則，由得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，有極大值，也是最大值，所以，所以（當(dāng)時(shí)取等號），再由可得：，列表如下：100由上表知為極大值，所以.∴的取值范圍是.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為0，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；(2)【詳解】（1）由題意可知，的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以?/p>

因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線斜率為0，所以，即，解得.

∴，，令，即，解得；令即，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由題意：，即，恒成立.

令，,則，令，則，在上單調(diào)遞增，又，∴當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，

要使在恒成立，只需要即可.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．高頻考點(diǎn)四：利用二階導(dǎo)數(shù)證明不等式典型例題例題1．（2023秋·河南駐馬店·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程；(2)證明：對任意的，恒成立.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）因?yàn)椋?，則，曲線在處的切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為.故所求切線方程為.（2）證明：設(shè)，則，設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故.因?yàn)椋?因?yàn)?，所以存在唯一，使?當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.即在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，所以對任意的，恒成立，即恒成?例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，曲線在處的切線方程為．(1)求，的值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由題可知，即．又，所以，解得，即．（2），，要證，，只需證，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，則，即當(dāng)時(shí)，．例題3．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在使，證明：．【答案】(1)的單調(diào)增區(qū)間為，減