河南省安陽市重點高中2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期階段性測試（開學(xué)考）數(shù)學(xué)試題

20222023學(xué)年（下）高二年級階段性測試（開學(xué)考）數(shù)學(xué)考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知點，直線的傾斜角為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)斜率公式列式計算即可.【詳解】因為直線的傾斜角為，，可得直線的斜率為，可得.故選：C2.在數(shù)列中，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，計算可得，從而可得數(shù)列為周期數(shù)列，即可得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，所以數(shù)列是一個周期為的周期數(shù)列，則故選:A3.已知雙曲線的一個焦點為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得，結(jié)合可求出，即可求解【詳解】因為雙曲線的一個焦點為，所以，又可得，解得，所以，所以該雙曲線的漸近線方程為，故選：B4.在各項均為正數(shù)且遞增的等比數(shù)列中，，則（）A.96 B.192 C.384 D.768【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的通項公式和等比中項列式求解，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，∵數(shù)列為正數(shù)且遞增的等比數(shù)列，則，由，則，可得，則，解得或（舍去），故.故選：D.5.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，若三點共線，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】三點共線，求出C點坐標(biāo)，即可求.【詳解】，，，若三點共線，則有，得，解得，，.故選：B6.已知圓，過點作圓的切線，則的方程為（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】分斜率存在和斜率不存在兩種情況討論，根據(jù)直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑即可求解.【詳解】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，則圓心，，當(dāng)切線的斜率不存在時，切線的方程為，當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線的方程為，即，由題意知，.解得.此時切線的方程為.綜上，切線的方程為或.故選：C.7.如圖，在三棱錐中，平面，，，，分別為的中點，則異面直線所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求解即可.【詳解】根據(jù)題意可得，由平面，，以為原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，因為分別為的中點，所以，，則，，則，所以異面直線所成角的余弦值為.故選：A.8.已知直線，點關(guān)于直線的對稱點為，直線經(jīng)過點，且，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用兩點關(guān)于直線對稱可求得點的坐標(biāo)，設(shè)直線的方程為，將點的坐標(biāo)代入直線的方程，求出的值，即可得出直線的方程.【詳解】設(shè)點，則，解得，即點，因為，設(shè)直線的方程為，將點的坐標(biāo)代入直線的方程可得，解得，所以，直線的方程為.故選：A.9.過拋物線焦點的直線與拋物線交于點，若，則直線的方程為（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】由拋物線方程得焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，設(shè)過焦點的直線斜率為，把直線方程代入拋物線方程，由韋達(dá)定理代入弦長公式算出直線斜率，得直線方程.【詳解】拋物線焦點，準(zhǔn)線方程，設(shè)直線的方程為，由，消去，則有，設(shè)，，，，則焦點弦長，解得，所以直線的方程為，即或.故選：D10.如圖，已知為圓柱的母線，為圓柱的下底面直徑，為線段的中點，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出和平面的法向量即可求解【詳解】因為為圓柱的下底面直徑，所以，以為原點，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以設(shè)平面的法向量為，則有，即取，則，，即.則點到平面的距離為.故選：D11.在數(shù)列中，，數(shù)列的前項和為，若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得，即可得到是首項為2，公比為4的等比數(shù)列，可求出，，利用基本不等式可求出的最小值，即可求出答案【詳解】易得，則由兩邊除以可得，整理可得，因為，所以是首項為2，公比為4的等比數(shù)列，所以，即，數(shù)列的前項和為，所以，對于，，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時，取等號；因為不等式對恒成立，所以，故選：A12.已知是橢圓的兩個焦點，過的直線與橢圓交于兩點，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知條件和橢圓定義，將用表示，在中求出，在用余弦定理，建立等量關(guān)系，即可求解.【詳解】由橢圓的定義可得結(jié)合可得由可得，由橢圓的定義可得所以在中，，中，，，.故選：B【點睛】方法點睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知數(shù)列的通項公式為，若，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)通項公式及所給條件，判斷為奇數(shù)，即可得到，解得即可.【詳解】解：因為，所以，因為，顯然不能為偶數(shù)，則為奇數(shù)，即，解得.故答案為：14.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，若四點共面，則__________.【答案】1【解析】【分析】利用平面向量基本定理，列出關(guān)系式，利用向量的坐標(biāo)運算得出關(guān)系式，即可求解【詳解】∵，∴，，，又∵四點共面，∴由平面向量基本定理可知存在實數(shù)使成立,∴,∴，解得，故答案為：115.已知點，若圓上存在一點使，則正實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】求出以為直徑的圓的方程，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意可得圓與圓有交點，則，即可得到不等式組，解得即可.【詳解】解：因為、，所以、的中點坐標(biāo)為，，所以以為直徑的圓的方程為，圓，即，則圓心為，半徑為，則，因為圓上存在一點使，所以圓與圓有交點，所以，即，解得，即正實數(shù)的取值范圍為.故答案為：16.已知分別是雙曲線的左?右焦點，分別在該雙曲線的左?右支上，，則該雙曲線的離心率為__________.【答案】##【解析】【分析】設(shè)，則，，，，由余弦定理解得，則，，，再由勾股定理列出齊次方程，可求雙曲線的離心率.【詳解】，如圖所示，設(shè)，則，，，，，在中，由余弦定理，，即，解得，則，，，由，有，得，所以該雙曲線的離心率為.故答案為：三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知圓過兩點且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）已知直線被圓截得的弦長為，求實數(shù)的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)先設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，帶入點的坐標(biāo)求出參數(shù)即可；(2)先求點到直線距離公式求距離，再根據(jù)垂徑定理列式求即可.【小問1詳解】設(shè)，半徑為，所以圓的方程為，所以解得所以圓的方程為.小問2詳解】圓心到直線的距離由垂徑定理得，解得或.18.已知是各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和，是與的等比中項.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意根據(jù)等比中項的性質(zhì)得到，再根據(jù)，作差得到，即可得到是以為首項，為公差的等差數(shù)列，從而求出的通項公式；（2）由（1）可知，利用裂項相消法求和即可.【小問1詳解】因為是與的等比中項，所以①，當(dāng)時，解得或（舍去），當(dāng)時②，①②得，即，因為，則，所以，即，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以.【小問2詳解】由（1）可知，所以19.已知是焦點為的拋物線上一點，以為圓心，為半徑的圓過點.（1）求的方程；（2）過點作直線交拋物線于、，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）易知點，由已知可得，結(jié)合以及兩點間的距離公式可求得的值，即可得出拋物線的方程；（2）分析可知直線與軸不重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算以及二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值.【小問1詳解】解：易知點，由題意可得，所以，，因為，解得，所以，拋物線的方程為.【小問2詳解】解：若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，故的最大值為.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．20.如圖，在三棱柱中，分別為的中點，為側(cè)面對角線的交點.（1）求證：平面平面；（2）若，側(cè)面為矩形，平面平面，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知結(jié)合中位線性質(zhì)得出，，即可根據(jù)兩平面平行的判定定理證明；（2）根據(jù)已知得出兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角的向量求法得出答案.【小問1詳解】點為側(cè)面對角線的交點，點為與的中點，點分別為的中點，，，，，且平面，平面，平面平面；【小問2詳解】延長與直線交于點，連接，點分別為的中點，為側(cè)面對角線的交點，且側(cè)面為矩形，，且直線中點，平面平面，平面，，，，則以點為坐標(biāo)原點，向量、、方向為軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，設(shè)平面的一個法向量為，，令，則，設(shè)直線與平面所成角，則，故直線與平面所成角的正弦值為.21.如圖，四棱錐的底面為菱形，，.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)的中點為，連接、、，利用勾股定理逆定理得到即，再由，得到平面，即可得到，再證明，即可得到平面，從而得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得.【小問1詳解】證明：設(shè)的中點為，連接、、，因四邊形為菱形，，，所以為等邊三角形，，，所以且，因為，，所以，所以，所以，，平面，所以平面，平面，所以，因為，所以，所以，即，，平面，所以平面，平面，所以平面平面.【小問2詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.22.已知是橢圓的左焦點，是橢圓上一點，是坐標(biāo)原點，是線段的中點，分別是橢圓的左?右頂點，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過橢圓的右頂點與軸平行的直線為是橢圓上與均不重合的一個動點，過