常微分方程期末試題集

常微分方程期終考試試卷（1）

一、填空題（30Q

1,方程加（%?）公+*（%4心=0有只含*的積分因子的充要條件是（）。

有只含y的積分因子的充要條件是.—.?

2、稱為黎卡提方程，它有積分因子。

3、稱為伯努利方程，它有積分因子?

4、若、1（/），、2（/），?一，*“。）為〃階齊線性方程的〃個(gè)解，則它們線性無(wú)關(guān)的充要條件

是。

5、形如的方程稱為歐拉方程。

6、若。⑺和〃⑴都是*=A"）x的基解矩陣，則。⑴和〃⑺具有的關(guān)系是

7、當(dāng)方程的特征根為兩個(gè)共筑虛根是，則當(dāng)其實(shí)部為時(shí)，零解是穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)

的奇點(diǎn)稱為。

二、計(jì)算題（60%）

.ydx—（x+y3）dy=0

2、xff+x=sint-cos2t

「21]「7一

A=9（。,奴0）=〃=

3、若L-14」試求方程組x'=Ax的解L〃2」并求expAt

（一）3-4孫包+8產(chǎn)=0

4、dxdx

—=x+y2

5、求方程dx經(jīng)過(guò)（0,0）的第三次近似解

dx,dy=_

—=-x-y+1,—x-y-J

6.求出dt的奇點(diǎn),并判斷奇點(diǎn)的類型及穩(wěn)定性.

三、證明題（10%）

1、〃階齊線性方程一定存在〃個(gè)線性無(wú)關(guān)解。

試卷答案

一填空題

dMdNdMdN

力X,、dydx/、

一^一_=(p(x)-J-——=(p(y)

1>N-M

孚=P(x)y2+Q(x)y+R(x)

2、dxy=y+z

p(x)y+Q(x)ynu(x,y)=y~ne^pMdx

3、ax

4、卬兇（。,龍2。）,…,X*）]W。

n

ndyd'ldyn

人

n+%次

5、dx+F+…5°

6、〃⑴=刎。

7、零穩(wěn)定中心

二計(jì)算題

dM_1dN

dy'dx

1、解：因?yàn)?，所以此方程不是恰?dāng)方程，方程有積分因子

/、匕分_]23

nv11dxx+y.M

〃（y）=e丫=elny=——----------

y,兩邊同乘>得yy

所以解為

Xy2

__1_—c

y2即2工=丫（/+。）另外丫力也是解

2、線性方程/+x=（）的特征方程丸2+1=0故特征根4=±i

力⑺=snn2=i是特征單根，原方程有特解x=/(Acosf+8sinf)代入原方程

不是特征根，原方程有特解

A=-2B=o/2(/)=-cos2r4=2j

-A=-

代入原方程

%=Acos2/+Bsin2f3B=o

.11c

x=c1cost+c2sinz——tcost+—cos2t

所以原方程的解為-23

A—2—1

P（4）==A2—6/1+9=0

1—4解得4,2=3此時(shí)n=2

3、解：k=1x

2*4-3方小7+3I+〃2)

〃=7=y(p(t)=e'e3t

%/=01,%小+?一〃1+〃2)

n-\fi

6空小-花），

由公式expAt=i=。1,得

10—11\—tt

expAt=e3t[E+/(A-3E)]=e3t+te3t

01—11T1+t

尤二dyP3+8>,2

4、解：方程可化為令dx則有4yp(*)

2y(〃3-4)，2+p(8y2一〃-3)=4y2P

(*)兩邊對(duì)y求導(dǎo)：

(p3一4y2)(2y半一p)=o2伴-p=0_|y=(旦)2

即dy由dy得p—cy2即。將y代入

c~2p

X=----F—

4c2

.J考y=(―)2

（*）4c即方程的含參數(shù)形式的通解為:°P為參數(shù)

y/小

又由p3-4y2=0得p=(4y2戶代入(*)得:

-27也是方程的解

。0=%=°

、xx2

0=%+xdx=-

D2

。2=y0+卜龍一)dx=—+—

~4220

410725118

XXXXXXX

仍=%+,)dx=

5、解：4400202204400160

dx

—二-x-y

dt

-X-y+1=0

dy

—=x-y

X_y_5=0解得奇點(diǎn)(3,-2)令x=x-3,Y=y+2則

6、解：由dt

—1

—1

因?yàn)?1+1Wo故有唯一零解（0,0）

A+1

=儲(chǔ)+24+1+1=儲(chǔ)+24+2=0

4+1得/=一1±'故（3,-2）為穩(wěn)

定焦點(diǎn)。

三、證明題

由解的存在唯一性定理知：n階齊線性方程一定存在滿足如下條件的n解:

*1?0）=1'工2（力）=0,....,Xn（tg）=0

%1優(yōu)）=0,%2仇）=L....,X〃（*））=0

1

^r優(yōu)）=0,域T（%）=（）,???,短（t0）=l

0

0

w[x1(zo),x2(/()),???,xn(tQ)]==lw0

考慮

從而再⑺

(i=1,2,…〃)是線性無(wú)關(guān)的。

常微分方程期終試卷（2）

一、填空題30%

1、形如的方程，稱為變量分離方程，這里.分別為x.y的連

續(xù)函數(shù)。

2、形如的方程，稱為伯努利方程，這里P（x）0（x）為x的連續(xù)函

數(shù).n#O」是常數(shù)。引入變量變換-----------，可化為線性方程。

3、如果存在常數(shù)乙＞0,使得不等式對(duì)于所有

（北），|）,（》,為）€R都成立，心稱為利普希茲常數(shù)。函數(shù)稱為在R上關(guān)于

y滿足利普希茲條件。

4、形如-的方程，稱為歐拉方程，這里為，。2,是常數(shù)。

5、設(shè)。（，）是＜=Ax的基解矩陣，是x'=A（/）x+/（/）的某一解，則它的任一

解/⑺可表為一。

一、計(jì)算題40%

生=62-個(gè)2的通解。

1、求方程dxx

辦3

---1——C

2、求方程公x的通解。

3、求方程x''+6x'+5x=e"的隱式解。

學(xué)=》+/通過(guò)點(diǎn)（0、0）的第三次近似解。

4、求方程公

二、證明題30%

「21「011r-]

廠，_22當(dāng)

1.試驗(yàn)證①（。=12，1」是方程組x'=L（2，」x,x」*2」，在任何不包含原點(diǎn)的區(qū)間

aW，Wb上的基解矩陣。

2.設(shè)小為方程x'=Ax（A為nXn常數(shù)矩陣）的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣（即①（0）=E）,證明：

①0①t（”）=①（t-t。）其中t。為某一值.

《常微分方程》期終試卷答卷

一、填空題（每空5分）

半=/(x)9(y)=P(x)y+Q(x)y"i-n

1dx2、dxz=>

f{x,y2)\<l]yl-y2\

d"yd"-'ydy八

xn——-+a,x-----y-H-----Fax—+ay=0

4、dxn'dx'-'tlldx"n

5、次)=。。)+9?)

二、計(jì)算題(每題10分)

也=_-2蟲

1、這是n=2時(shí)的伯努利不等式，令z=y二算得dx'dx

dz6cx2

—=----Z+冗—+一

代入原方程得到公x,這是線性方程，求得它的通解為z=-8

-------1-------------------=C

帶回原來(lái)的變量y,得到y(tǒng)=%68或者y8,這就是原方程的解.

此外方程還有解y=0.

2、

dyxe-y

—=exy-肛=-------

解：dxx

xdy=(xe^-y)dx

xdy+ydx-xexydx

dxy—xexydx

-xdx

exy

—e~xy=-x2+c

積分：2

—x2+e~xy+c=0

故通解為：2

解：齊線性方程x''+6x'+5x=0的特征方程為無(wú)+64+5=0,

v

4=-1，4=-5,故通解為x（f）=0（-'+C2e~

%=2不是特征根，所以方程有形如x?）=Ae"

代回原方程^Ae2'+l2Ae2'+54e"=e"

A」

52

x(t)=c.e~'+c2e~'+—e'

于是原方程通解為-21

4、

解%(x)=()

2

2x

%(x)=j[x+^0(x)]Jx

02

>2XX

92（X）=」［X+9I（x）］t/x=—+—

0220

V2,X2X5/”

（p-3i（x）=I［x+（D-,（x）］dx=----1-----1-----1-----

，小>-'」2201604400

三、證明題（每題15分）

乙2、。八（on

2_1_1

1、證明：令40的第一列為仍（t）=（2。，這時(shí)的（t）=（2j=lr〃份⑴故/（t）

/（01A

是一個(gè)解。同樣如果以外（t）表示①Q(mào)第二列，我們有外（t）=（oJ=I-t-2-J%⑴

這樣心（t）也是一個(gè)解。因此①（/）是解矩陣。又因?yàn)閐et①（,）=-行故①（r）是基解矩陣。

2、證明：（1）①（f）,①（t-t。）是基解矩陣。

（2）由于①（'）為方程x'=Ax的解矩陣，所以①（'）①t（t。）也是x'=Ax的解矩陣,

而當(dāng)t=t。時(shí)，①（t。）①t（t?）=E,①（t-to）=①（0）=E.故由解的存在唯一性定

理，得①（'）①t（to）=①（t-to）

常微分方程期終試卷(3)

?.解下列方程(10%*8=80%)

2v2)l+y2

1.2xylnydx+{x/}dy=O

dyy

-----12

2.dx=6x-x>'

.(上中

3,y=2x+y-\

5.5.tgydx-ctydy=O

22

6.6.{y-x(x4-y)}dx-xdy=O

7.一質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，從速度為零的時(shí)刻起，有一個(gè)和時(shí)間成正比(比例系數(shù)為占)

的力作用在它上面，此外質(zhì)點(diǎn)又受到介質(zhì)的阻力，這阻力和速度成正比(比例系數(shù)為

右)。試求此質(zhì)點(diǎn)的速度與時(shí)間的關(guān)系。

8.已知f(x)//")"=1,*聲0,試求函數(shù)￡6)的一般表達(dá)式。

證明題(10%*2=20%)

1

9.試證：在微分方程Mdx+Ndy=O中，如果M、N試同齊次函數(shù)，且xM+yN，0,則+yN)

是該方程的一個(gè)積分因子。

10.證明：如果已知黎卡提方程的一個(gè)特解，則可用初等方法求得它的通解。

試題答案:

dMZN

迦GNdx2xlny

1.解：力=2xlny+2x,1=2x,則-M二-2xyIny=-y,故方

j_

因子i

程有積分二y原方程i兩邊同乘以y得

2xyInyX

d(Xlny)+yJ1+/dy=O,兩邊積分得方

ydx+ydy=O是恰當(dāng)方程.

2HU丹

程的解為Xlny+3\'=Co

-1

2.解：1)y=0是方程的特解。2)當(dāng)y，0時(shí)，令z=>得

2

dz6c!x

dx=xz+x.這是線性方程，解得它的通解為z=f8

12

--^-+—

代回原來(lái)的變量y得方程解為N=x8.y=o.

dv2

3.解：令x=u+3,y=v-2,可將原方程變?yōu)?\u+vJ,

(ZY市+―)

vdz2-----dz\2

再令z=說(shuō),得到z+〃?=11+ZJ，即〃w=(Z),

/12y,

I+I77z-i—

分離變量并兩端積分得IZ)=u+lnC

即lrJW+2arctgz=ln|"l+]nC,

?I-larctg-

w

lnFl=-2arctgz+lnC代回原變量得v=C，

cy+2

-2aretg--

所以，原方程的解為y+2=C?

,V-ZZ

4.解：將方程改寫為VJX+x(*)令u=x,得到x)'=x〃+u,則(*)變?yōu)閤

du_

dx=)l~U,變量分離并兩邊積分得arcsinu=lnM+lnC,故方程的解為

y_

x

arcsin=lnCxo

5.解:變量分離ctgxdy=tgydx,兩邊積分得In(siny)二一+C或sinycosx=C(*)

兀

另外,由tgy=0或ctgx=0得y=k^(k=0>1-),x二t萬(wàn)+2(t=0、1…)也是方程的解。

tgy=0或ctgx=0的解是(*)當(dāng)00時(shí)的特殊情況，故原方程的解為sinycosx=Co

2222

6.-解：ydx-xdy-x(%+,)dx=O,兩邊同除以1+>得

ydx-xdy

-y-X1X1

2.-y——2——2

X>-xdx=O,即d(arctg丁)-2dx=0,故原方程的解為arctgy-2X=co

dv

7.解：因?yàn)镕=ma=m力，又F=F\—F2=k$—k"

dvdv__

即m力=kf—k機(jī)(v(0)=0),BPdt=kf%2,(v(0)=0),

卜

-kF20k旦1

解得v=*2e+k2(tk2),

8.解：令f(x)=y,"x)=V，兩邊求導(dǎo)得

—口y心兩邊求積得y=2x+C,

從而y=,2x+C,故f(x)=J2x+C.

9.證明：如M、N都是n次齊次函數(shù)，則因?yàn)?/p>

XMx+yMy=nMfxM+yM=nN,故有

aMGN

dyxM+yNdxxM+yN_

M,(xM+yN)-Mv+N+)，Nv)N,。加+yN)-N(xM，+M+)、NJ

(xM+yN)2(xM+yN)2

M(XN\+YN)—N(XMx+yN)

二(xM+yN)2

M(〃N)-N(〃M)

2

=—一(xM+yN)=0

故命題成立。

io.解：1)先找到一個(gè)特解y=y。

2)令y=丁+z,化為n=2的伯努利方程。

證明：因?yàn)閥=V為方程的解，

也~2?

所以dx=p(x)y+Q(x)y+R(x)(1)

令y='+z,則有

dydz~2~

dx+dx=p(x)(歹+z)+Q(x)G+Z)+R(X)⑵

dz2

⑵-⑴得心=p(x)(2"+z)+Q(X)Z

dz?

--2

即dx=[2P(x)vy+Q(x)]z+P(x)Z

此為n=2的伯努利方程。

常微分方程期終試卷（4）

一、填空題

1、（）稱為變量分離方程，它有積分因子（）。

2、當(dāng)（）時(shí)，方程加。廣）'戊+"（%4）力=°稱為恰當(dāng)方程，或稱全

微分方程。

3、函數(shù)/*，＞）稱為在矩形域R上關(guān)于y滿足利普希茲條件，如果（）。

4、對(duì)畢卡逼近序列，帆（X）-（Pk-\（x）|V（）。

5、解線性方程的常用方法有（）。

6、若X,?）（i=l，2,…,〃）為齊線性方程的〃個(gè)線性無(wú)關(guān)解，則這一齊線性方程的所有解可

表為（）o

7、方程組x'=A?）x（）。

8、若0?）和陽(yáng)/）都是，=4（，?的基解矩陣，則。⑺和以。具有關(guān)系：（）。

9、當(dāng)方程組的特征根為兩個(gè)共甄虛根時(shí)，則當(dāng)其實(shí)部（）時(shí)，零解是穩(wěn)定的，對(duì)

應(yīng)的奇點(diǎn)稱為（）。

10、當(dāng)方程組的特征方程有兩個(gè)相異的特征根時(shí)，則當(dāng)（）時(shí)，零解是漸近

穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱為（）。當(dāng)（）時(shí)，零解是不穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的

奇點(diǎn)稱為（）。

11＞若。⑴是*'=A?）x的基解矩陣，則x'=4?）x=/?）滿足x（'o）=〃的解

（）。

二、計(jì)算題

求下列方程的通解。

dy2

3、求方程公'通過(guò)（°，°）的第三次近似解。

求解下列常系數(shù)線性方程。

4、x"+x'+x=0。

mt

5、x-x=e。

試求下列線性方程組的奇點(diǎn)，并通過(guò)變換將奇點(diǎn)變?yōu)樵c(diǎn)，進(jìn)??步判斷奇點(diǎn)的類型及穩(wěn)定性:

dx.dy.

——=-x-y+!,——=x-y-5

6、dfdt0

三、證明題。

1、1、設(shè)°”）為方程x'=Ax（A為〃X〃常數(shù)矩陣）的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣（即。（°）=后），

證明蜘）.一）=前一幻其中為某一值。

答案：

一、填空題

1

半=/(x)g(x)u=------

1、形如dx的方程g(y)

dM6N

2、dydx

3、存在常數(shù)L>0,對(duì)于所有區(qū)，月)，(打?yàn)?€R都有使得不等式

|/區(qū)，必)一)2)|<4%-必|成立

4、k\

5、常數(shù)變異法、待定系數(shù)法、幕級(jí)數(shù)解法、拉普拉斯變換法

x(t)-Z。/*)

6、i,其中qq，…，c”是任意常數(shù)

7、〃個(gè)線性無(wú)關(guān)的解的⑺，*2(。，…X”(t)稱之為/=A(t)x的.個(gè)基本解組

8、叭。=03c(a<0)C為非奇異常數(shù)矩陣

9、等于零穩(wěn)定中心

10、兩根同號(hào)且均為負(fù)實(shí)數(shù)穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)兩根異號(hào)或兩根同號(hào)且均為正實(shí)數(shù)不穩(wěn)

定鞍點(diǎn)或不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)

=懶獷優(yōu)切+。⑺p-1(s)/(s)ds

11、

二、計(jì)算題

de

=-ey+4sinx-1

解：方程可化為公

i、

dz..

—=-z+4sinx

令7=e),得dx

由一階線性方程的求解公式，得

[=J(J4sinxe~"")dx+c=e~x[2(sinx-cosx)]ex+c=2(sinx-cosx)+ce

所以原方程為：/'=2(sinx-cosx)+cef

電=p=sint

2、解設(shè)dx則有y=seer從而

x二t-sectdt+c=Jsec2rJ^+z=tgt+c

故方程的解為

(x+c)2+i=另外y=±i也是方程的解

解：a)(x)=°

3、

(p\(x)=fxdx=—x2

2

425

<)p2(x)=^(x+^x)dx=^x+^x

+焉”

1nl8

——%"+——X8

2204400160

矛+2+1”解得47+)餌=十爭(zhēng)

4解:對(duì)應(yīng)的特征方程為:

7373

2

x=e(Cjcos^-Z+c2sin-^-r)

所以方程的通解為:

2="=T土6i

5、解:齊線性方程**一尤=°的特征方程為萬(wàn)-1=0,解得?2'32,

,V3.一；.V3.

ee-cos—i€/sin—i

故齊線性方程的基本解組為：‘‘2''2，因?yàn)?=1是特征根,

所以原方程有形如x?)=Me',代入原方程得，3Aez+Ate'-Ate'=e',所以

.1?V3..V3.1,

A=--5cos——i+c^e1sin——1+—/e

3,所以原方程的通解為x=t+C20-223

-x-y+!=0x=3\X=x-3

<<<

6、解：［x-y-5=0解得［y=-2所以奇點(diǎn)為(3,-2)經(jīng)變換，1丫=丁+3

dx

-=-X-Y

dt

―-丫-1-1

*0,

方程組化為dt因?yàn)?-1又

2+11c9

=（4+1）2+1=0

-12+1所以4=T+'，4=TT'，故奇點(diǎn)為穩(wěn)定

焦點(diǎn)，所對(duì)應(yīng)的零解為漸近穩(wěn)定的。

三、證明題

1、證明：°”）為方程,=Ax的基解矩陣為一非奇異常數(shù)矩陣，所以

°（o）也是方程x'=Ax的基解矩陣，且貝/一?。┮彩欠匠蘹'=Ax的基解矩陣，

且都滿足初始條件0"）。（。）=E,。?0_%）=。（°）=E

所以。Q）吸幻=。（—0）

常微分方程期終考試試卷（5）

填空題（30分）

季=P（x）y+Q（x）

1.dx稱為一階線性方程，它有積分因子e」，其通解為

2.函數(shù)/（x，y）稱為在矩形域R上關(guān)于>滿足利普希茲條件，如果。

3.若例X）為畢卡逼近序列｛%（“）｝的極限，則有取。

^-=x2+y2

4.方程以定義在矩形域R：-2WxW2,—2Wy42上，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,0）的解

的存在區(qū)間是。

I—I2/

5.函數(shù)組e""的伏朗斯基行列式為。

6.若為"）（’=12…,力為齊線性方程的一個(gè)基本解組，x（f）為非齊線性方程的一個(gè)特解，

則非齊線性方程的所有解可表為。

7.若①⑺是*=A（'）x的基解矩陣，則向量函數(shù)"（'）=是％=A⑴x+/（f）的滿

足初始條件叫）=°的解；向量函數(shù)夕（'）=__

是x=A?）x+/⑺的滿足初始條件的。）=〃的解。

8.若矩陣A具有〃個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量匕，嗎，…，乙，它們對(duì)應(yīng)的特征值分別為

…4,那么矩陣①⑺=是常系數(shù)線性方程組x=Ax的一個(gè)基解矩陣。

9.滿足的點(diǎn)（J，y*）,稱為駐定方程組。

二.計(jì)算題（60分）

10.求方程4/>%尤+2（/>一1）力二°的通解。

dyY

----\-edx—x=0

11.求方程公的通解。

^=x2-y2

<dx

12.求初值問題IR：k+1"UN"i的解的存在區(qū)間，并求第二次近似解,

給出在解的存在區(qū)間的誤差估計(jì)。

13.求方程/+9、=，0113，的通解。

14.試求方程組％=Ax+/?）的解夕?）?

--11「12]「3

夕（0）=],4=43，"'）=1

—=2x—7y+19,—x—2），+5

15.試求線性方程組dtdt-的奇點(diǎn)，并判斷奇點(diǎn)的類型及穩(wěn)定

性。

三.證明題（10分）

16.如果。⑺是了=Ax滿足初始條件夕（%）=〃的解，那么夕?）=[expAQTo）L

常微分方程期終考試試卷答案

一.填空題（30分）

1y=J0（x）e肚"）"加+c）

2.〃x，y）在R上連續(xù),存在…,使1〃無(wú)，必）7配力心小「力,對(duì)于任意

（%,月）,（乂為）€R

--<x<-

2e

4e

X。）=*,巧”）+武。

[①(卅(s)/(s)ds①⑺①T&)〃+①⑺[①T(s)/(s)ds

*0

9.X(x,y)=0,y(x,y)=0

二.計(jì)算題(60分)

—=8x2

10.解：加dx

dMdN

dydx1

---------=----

-M2y積分因子4（y）=e

兩邊同乘以4（y）后方程變?yōu)榍‘?dāng)方程：4/）,3辦+2），2*3,一］）外,=0

11」

一=2x3y2+(p(y)=N=2x3y2-2y2

oy

2

得:0(y)=-4y2

因此方程的通解為：y2(/y_3)=C

d'y—Al-f)

令dx"則P+e°_x=0

得：x=p+ep

那么)，=b公=Jp(l+")dp

二^-+pep-e。+c

x—p+ep

y=-+(p-l)ep+c

因此方程的通解為：2

M-max|/(x,y)l=4

12.解：(x.yje/?11

卜-小1=小-y。區(qū)15,〃=min(*)=；

\x-xQ\=\x<h=—

解的存在區(qū)間為4

今夕O(X)=M)=o

,、八P2」X，1

(p、(x)=0+yxdx=~+—

X1X4X11

(P2(X)=0+￡12―(可+；)2~

63-l8-942

又劇一歸2〃

依(x)-^(x)|<一"』力"+|=j-

11(M+1)!24

誤差估計(jì)為:

13.解：尤+9=0=>4=3i，4=-3i

4=3i是方程的特征值，設(shè)x?)=t(At+B)e3"

得：x=(2A-9Bt+12Ait+6Bi-9At2)e3i,

則24+\2Ait+6Bi=t

A=--i,B=—

得：1236

12

x(r)=c.cos3t+c2sin3t---1cos3r+rsin3r

因此方程的通解為：-12

A-1—2

det(/lE—A)==(A+1)(A—5)=0

14.解：-44-3

4=-1,A2=5

a~|F1'

v.=v,=

(4E-A)%=0得L-aJ取L-1

B1

匕=2

(%E-A)”0得2夕取L2

e5'

①(。=

2e5'

則基解矩陣

一312

e+--

4一5

①可①T(s)/(s)ds=205/

35r11

-+-

一e

-25

一10

(p(t)=①Q(mào))①T(0)〃+①(f)f①T(5)/(s)ds

因此方程的通解為：J。

"Ly二

2045

2x-7y+19=0x=1

15.解：x-2y4-5=0y=3

(1.3)是奇點(diǎn)

令7八5

y—

2

A

x-2Y

272-27

2-7-72-2

_3HO3+4-=0

-2=02+2—0

~2-1

,那么由2-2

可得:

因此(1,3)是穩(wěn)定中心

三.證明題(10分)

叭t)=①⑺①T優(yōu)"+①⑺f①T(s)/(s)ds

16.證明：由定理8可知

又因?yàn)棰佗?expAt,①t?o)=(expA%)T=exp(-40)

f(s)=0

所以8。)=exp4-exp(-A/o)〃

又因?yàn)榫仃?4>(-4。)=(-4%>(4)

所以8(f)=[expA?-fo)]7

常微分方程期終考試試卷(6)

填空題(共30分，9小題，10個(gè)空格，每格3分)。

1、當(dāng)_______________時(shí)，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0稱為恰當(dāng)方程，或稱全

微分方程。

2、稱為齊次方程。

dy

dx

3、求=f(x,y)滿足=汽的解等價(jià)于求積分方程的連續(xù)解。

4、若函數(shù)f(x,y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足利普希茲條件，則方程八的解

y=8(x,Xo，M))作為“，而，先的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是。

5、若王⑴,4”),..七。)為門階齊線性方程的n個(gè)解，則它們線性無(wú)關(guān)的充要條件是

_________________________________________O

6、方程組尤'=A""的稱之為,=A")x的一個(gè)基本解組。

7、若歐”)是常系數(shù)線性方程組X=Ax的基解矩陣，則expAt=。

8、滿足的點(diǎn)(,，＞*),稱為方程組的奇點(diǎn)。

9、當(dāng)方程組的特征根為兩個(gè)共軻虛根時(shí)，則當(dāng)其實(shí)部時(shí)，零解是穩(wěn)定

的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱為。

二、計(jì)算題(共6小題，每題10分)。

dy尤-y+1

1,求解方程：dx=x+y2+3

2^2、解方程：(2x+2yT)dx+(x+y-2)dy=0

dy_3i

=-3

3、討論方程公2y在怎樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件，并求通過(guò)點(diǎn)(0,

0)的一切解

4、求解常系數(shù)線性方程：X11-2X1+3x=e-'cost

小,其中A為

5、試求方程組』=Ax的一個(gè)基解矩陣，并計(jì)算(43)