近五年2017～2021高考數(shù)學(xué)真題分類匯編10概率與統(tǒng)計【含答案】

十、概率與統(tǒng)計

一、單選題

1.（全國（文））為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%

C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

2.（全國（理））將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（)

1224

A.3B.5C.3D.5

3.（全國（文））將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（)

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

7

4.（全國（理））在區(qū)間（°」）與（L2）中各隨機取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于4的概率為

()

72392

A.9B.32C.32D.9

]_

隨機取1個數(shù)，則取到的數(shù)小于§的概率為（

5.（全國（文））在區(qū)間12」)

32￡]_

A.4B.3C.3D.6

6.（全國）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機取

兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次

取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次

取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）

A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立

7.（2020?天津）從一批零件中抽取80個，測量其直徑（單位：mm）,將所得數(shù)據(jù)分

[5.31,5.33),[5,33,5.35),…,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下頻

為9組:

內(nèi)的個數(shù)為（）

A.10B.18C.20D.36

8.（2020?全國（文））設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)修，必，…，x〃的方差為0.01，則數(shù)據(jù)

10xp10x2,…，10%〃的方差為（）

A.0.01B.0.1C.1D.10

9.（2020?全國（文））如圖,將鋼琴上的12個鍵依次記為外,他，…，川2.設(shè)

\<i<j<k<\2.若修=3且則稱如cij,恁為原位大三和弦；若看F且『=3,則

稱q,4A為原位小三和弦.用這12個鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦

的個數(shù)之和為（）

A.5B.8C.10D.15

10.（2020?全國（理））在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為

ZP,=i

P”P2，P3，P4,且1，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標準差最大的一組是（

）

A.Pi=4==Ps=0-4gPi=P&=0.4,p?=P3=01

C.Pi=P4=0-2,P2=P3=°-3D.Pi=P4=0,3,P2=P3=0-2

11.（2020?全國（文））設(shè)。為正方形/8CZ）的中心，在。，A,B,C,。中任取3點,

則取到的3點共線的概率為（）

12

A.5B.5

J_4

C.2D.5

12.（2020?全國（理））某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度

x（單位：。0的關(guān)系，在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)

（x,,）Z）0=l,2,-,20）得到下面的散點圖：

由此散點圖，在10。（2至4（TC之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和

溫度工的回歸方程類型的是（）

Ay=a+bxBy=Q+bx2

Qy=a+bexDy=a+b\nx

13.（2019?浙江）設(shè)則隨機變量X的分布列是:

X0a1

P￡\

33

則當(dāng)。在（°』）內(nèi)增大時

A."X）增大B.。（、）減小

c.0（X）先增大后減小D.0（X）先減小后增大

14.（2019?全國（文））某學(xué)校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號為

1,2,1000,從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學(xué)生進行體質(zhì)測驗，

若46號學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)生中被抽到的是

A.8號學(xué)生B.200號學(xué)生C.616號學(xué)生D.815號學(xué)生

15.（2019?全國（理））演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選

手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7

個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是

A.中位數(shù)B.平均數(shù)

C.方差D.極差

16.（2019?全國（理））我國古代典籍《周易》用“卦''描述萬物的變化.每一“重卦”由

從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻"——“，如圖就是一重卦.在

所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是

_H21H

A.16B.32c.32D.16

17.（2018?浙江）設(shè)隨機變量&的分布列如圖，則當(dāng)。在（°」）內(nèi)增大時,

4012

一-J_

P1￡

222

A.。⑹減小8.0管）增大

C.0（今先減小后增大D.0償）先增大后減小

18.（2018?全國（理））某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為夕，各成員的支

付方式相互獨立，設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，DX=2.4,

P（X=4）＜P（X=6）,則夕=

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

19.（2018?全國（理））如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由

三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形/8C的斜邊8C,直角邊

AB,AC.△N8C的三邊所圍成的區(qū)域記為I,黑色部分記為II,其余部分記為HI.在

整個圖形中隨機取一點，此點取自I,II,HI的概率分別記為p”p2,P3,則

A.Pl=P2B.Pl=P3

c.P2=P3D.Pf+P3

20.（2018?全國（文））某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一

倍.實現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村

建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例.得到如下餅圖:

種植收入種植收入

也設(shè)前經(jīng)濟收入構(gòu)成比例

則下面結(jié)論中不正確的是

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半

21.（2017?全國（理））某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集

并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制

了如圖所示的折線圖.根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（）

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)

22.（2017?山東（文））下圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)

據(jù)（單位：件）若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和〉的值分別為

甲組乙組

659

25617y

x478

A.5,5B.3,5C.3,7D.5,7

23.（2017?全國（文））如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形

內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，在正方形內(nèi)隨機取一

點，則此點取自黑色部分的概率是

1萬J.4

A.4B.8C.2D.4

24.（2017?山東（理））為了研究某班學(xué)生的腳長X（單位厘米）和身高》（單位厘米）

的關(guān)系，從該班隨機抽取10名學(xué)生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出》與X之間有線

10

八二,三茗.=225

性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為歹="+”.已知T,

10

=1600人

,6=4.該班某學(xué)生的腳長為24,據(jù)此估計其身高為

A.160B.163C.166D.17°

25.（2017?全國（理））如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形

內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，在正方形內(nèi)隨機取一

點，則此點取自黑色部分的概率是

1171

A.4B.8C.2D.4

26.（2017?天津（文））有5支彩筆（除顏色外無差別），顏色分別為紅、黃、藍、綠、

紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概

率為

432]_

A.5B.5C.5D.5

27.（2017?浙江）已知隨機變量。滿足尸（。=1）=Pi,P（。=0）=\—pi，i=\,2.若

j_

Q＜pi＜p2V2,則

AE@＜E（4）,D&）＜D?）BE&）＜E&）,D?）＞D?）

C,D?）＜D4）DE&”E&）,D?）＞D&）

28.（2011?湖北（理））如圖，用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng).當(dāng)K

正常工作且A1、A?至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作，已知K、A[、A2正常工

作的概率依次是0.9、0.8、0.8,則系統(tǒng)正常工作的概率為

-----EZ3——----------------........

-----「|-----

A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576

二、多選題

29.（全國）有一組樣本數(shù)據(jù)%,乙，…，居，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)乂，

必，…，穌，其中匕=七+。（'=1，2「、〃）了為非零常數(shù)，則（）

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同

D.兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同

30.(2020?海南)我國新冠肺炎疫情進入常態(tài)化，各地有序推進復(fù)工復(fù)產(chǎn)，下面是某

地連續(xù)11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)折線圖，下列說法正確的是

A.這11天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均逐日增加；

B.這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量；

C.第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過80%;

D.第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量；

31.(2020?海南)信息燧是信息論中的一個重要概念.設(shè)隨機變量X所有可能的取值為

icP(X=i)=Pi>0(i=l,2,...,")Ep,=l

L2,…，〃，且汩，定義X的信息牖

〃(刀)=-力化噫化

.()

A.若〃=1,則H(X)=0

B.若”=2,則〃(?隨著"的增大而增大

Pi=-0'=1,2,-??,?)

C.若“，則”(㈤隨著〃的增大而增大

D.若〃=2m,隨機變量丫所有可能的取值為12…，機，且

P(Y=力=%+比…行=I'2，…，⑼，則

三、解答題

32.(全國)某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有2,8兩類問題，每位參加比賽的同

學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽

結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，

該同學(xué)比賽結(jié)束類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；3類問題中的

每個問題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答/類問題的概率為

0.8,能正確回答8類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答/類問題，記X為小明的累計得分，求x的分布列：

（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

33.（全國（文））甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，

為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情

況統(tǒng)計如下表：

一級品二級品合計

甲機床15050200

乙機床12080200

合計270130400

（1）甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？

（2）能否有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

34.（全國（理））某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某

項指標有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項

指標數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為x和樣本方差分別記

為S'和￡.

（1）求x,，，S',S；；

（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果

y-x>2

則認為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高,

否則不認為有顯著提高）.

35.（2020?海南）為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進

行調(diào)研，隨機抽查了10°天空氣中的PM2.5和SO?濃度（單位：Mg/m3）,得下表:

so2

[0,50](50,150](150,475]

PM2.5

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

（1）估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150”的概

率；

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表:

so2

[0,150](150,475]

PM2.5

[0,75]

(75,115]

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度

與S°2濃度有關(guān)？

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

36.（2020?北京）某校為舉辦甲、乙兩項不同活動，分別設(shè)計了相應(yīng)的活動方案：方

案一、方案二.為了解該校學(xué)生對活動方案是否支持，對學(xué)生進行簡單隨機抽樣，獲

得數(shù)據(jù)如下表：

男生女生

支持不支持支持不支持

方案一200人400人300人100人

方案二350人250人150人250人

假設(shè)所有學(xué)生對活動方案是否支持相互獨立.

（I）分別估計該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；

（n）從該校全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取1人，估計這3人中恰

有2人支持方案一的概率：

（HI）將該校學(xué)生支持方案二的概率估計值記為夕。，假設(shè)該校一年級有500名男生和

300名女生，除一年級外其他年級學(xué)生支持方案二的概率估計值記為四，試比較外與

0的大小.（結(jié)論不要求證明）

37.（2020?海南）為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進

行調(diào)研，隨機抽查了10°天空氣中的PM2.5和SO?濃度（單位：Ng/m1,得下表：

[0:50](50,150](150,475]

[0,3習(xí)32184

(35,75]6812

(75,115]3710

（1）估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150”的概

率；

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表：

[0,150](150,475]

電7習(xí)

(75,115]

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度

與S°2濃度有關(guān)？

.2=n(ad-bc￥

時.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>A)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

38.（2020?江蘇）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球.現(xiàn)從

甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復(fù)〃次這樣的操作，記甲口袋中

黑球個數(shù)為X”恰有2個黑球的概率為p“，恰有1個黑球的概率為%.

（1）求pr<?i和p2a2；

（2）求助+q.與羽H+心」的遞推關(guān)系式和％,的數(shù)學(xué)期望（用〃表示）.

39.（2020?全國（文））某學(xué)生興趣小組隨機調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級

和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：

鍛煉人次

[0,200](200,400](400,600]

空氣質(zhì)量等級

1（優(yōu)）21625

2（良）51012

3（輕度污染）678

4（中度污染）720

（1）分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1,2,3,4的概率;

（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點

值為代表）；

（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等

級為3或4,則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2*2列聯(lián)表，并

根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空

氣質(zhì)量有關(guān)？

人次W400人次＞400

空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不好

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸（爛》）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

40.（2020?全國（文））某廠接受了一項加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品（單位：件）按標準

分為A,B,C,。四個等級.加工業(yè)務(wù)約定：對于/級品、8級品、C級品，廠家每件

分別收取加工費90元，50元，20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費50

元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費為25元/件，乙分廠加工

成本費為20元/件.廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個分廠各試加工了100

件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等級，整理如下：

甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表

等級ABCD

頻數(shù)40202020

乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表

等級ABCD

頻數(shù)28173421

（1）分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率:

（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠

家應(yīng)選哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)？

41.（2020?全國（理））甲、乙、丙三位同學(xué)進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負

兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪

空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余

的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙

1

首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為2,

(1)求甲連勝四場的概率；

(2)求需要進行第五場比賽的概率：

(3)求丙最終獲勝的概率.

42.(2020?全國(理))某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量

有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這

些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)8,%)

(z=b2....20),其中%和％分別表示第7?個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這

202020

Xx<=60Ex-=1200^(x,-x)2=80

種野生動物的數(shù)量，并計算得I,I,

2020

E(X-n2=9000X(x,(一刃乂一刃=800

/=1,i=l.

(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種

野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；

(2)求樣本(即，2,…，20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；

(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲

得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并

說明理由.

￡(必—君yt-y)

j=l__________________________

忙(必―君一乂一()2

附：相關(guān)系數(shù)尸丫日1=1,V22:1.414.

43.(2019?江蘇)在平面直角坐標系xOy中，設(shè)點集

4,={(0,0),(1,0),(2,0),...,(?,0)}

4={(0,1),(〃,1)}，G={(0,2),(1,2),(2,2),…2)},〃eN*.令Mn=A?U紇UC?

從集合M,中任取兩個不同的點，用隨機變量X表示它們之間的距離.

(1)當(dāng)”=1時，求X的概率分布；

(2)對給定的正整數(shù)〃(n>3),求概率PCX<n)(用〃表示).

44.(2019?北京(文))改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來，移

動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個月A,B兩種移動支付方式的

使用情況，從全校所有的1000名學(xué)生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支

付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如

下:

付金額

支付方金、、不大于2000元大于2000元

僅適用A27人3人

僅適用B24人1人

（I）估計該校學(xué)生中上個月A,B兩種支付方式都使用的人數(shù)；

（n）從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機抽取1人，求該學(xué)生上個月支付金額大于2000元

的概率；

（HI）已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用B的學(xué)生中

隨機抽查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元.結(jié)合（H）的結(jié)果，能否認為樣

本僅使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由.

45.（2019?北京（理））改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來，移

動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個月A,B兩種移動支付方式的

使用情況，從全校學(xué)生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使

用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：

一

(0,1000](1000,2000]大于2000

交付金額（元）

支付方式

僅使用A18人9人3人

僅使用B10人14人1人

（I）從全校學(xué)生中隨機抽取1人，估計該學(xué)生上個月A,B兩種支付方式都使用的

概率；

（□）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個

月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（HI）已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中,

隨機抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果，能否認為樣

本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由.

46.（2019?全國（理））為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗:

將200只小鼠隨機分成48兩組，每組io。只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，8組

小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用

某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖:

A翅頻率

組距贏

___Q

0.30--------------1-----

^70

0.150.20

0.4

100.15

0.5

0.b

O0.05

1.52.53.54.55.56.57一5百分比02.53.54.55.56.57.58.5百分比

甲離子殘留百分比直方圖乙離子殘留百分比直方圖

記C為事件：，，乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5，，，根據(jù)直方圖得到尸（C）的估計

值為S70.

（1）求乙離子殘留百分比直方圖中的值；

（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值

為代表）.

47.（2019?天津（文））2019年，我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法，涉及子女教

育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、蟾養(yǎng)老人等六項專項附加扣

除.某單位老、中、青員工分別有72，1°8』20人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上

述員工中抽取25人調(diào)查專項附加扣除的享受情況.

（I）應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？

（II）抽取的25人中，享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人，分別記為

A,B,C,D,E,F享受情況如下表，其中“O，，表示享受,“X，，表示不享受.現(xiàn)從這6人中

隨機抽取2人接受采訪.

員工

ABCDEF

項II

子女教育OOXOXO

繼續(xù)教育XXOXOO

大病醫(yī)療XXXOXX

住房貸款利息OOXXOO

住房租金XXOXXX

贍養(yǎng)老人OOXXXO

(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；

(ii)設(shè)M為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”，求事件“發(fā)生

的概率.

48.(2019?天津(理))設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為

2

§.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨立.

(I)用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量X的

分布列和數(shù)學(xué)期望；

(口)設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在

7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件〃發(fā)生的概率.

49.(2019?全國(文))某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機調(diào)查

了100個企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分

布表.

夕的分組[-0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)

企業(yè)數(shù)22453147

(1)分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負增長的企業(yè)

比例；

(2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標準差的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組

區(qū)間的中點值為代表).(精確到0.01)

附~8.602

50.(2019?全國(文))某商場為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機調(diào)查了50名男顧客和50名女顧

客，每位顧客對該商場的服務(wù)給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：

滿意不滿意

男顧客4010

女顧客3020

(1)分別估計男、女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率：

(2)能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異？

K?_n(ad-bc)2

付.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（爛》

0.0500.0100.001

）

k3.8416.63510.828

51.(2019?全國(理))

11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán),

先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)

球時甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨立.在

某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束.

(1)求尸(齊2)；

(2)求事件“乎=4且甲獲勝”的概率.

52.(2019?全國(理))為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新

藥更有效，為此進行動物試驗.試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比

試驗.對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出

后，再安排下一輪試驗.當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，

就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試

驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得T分；若

施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈

或都未治愈則兩種藥均得。分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a和￡,一輪試驗中

甲藥的得分記為X

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，Pg=°…3)表示“甲藥的累計得分

為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則夕。=°,08=1,

Pi=ap-+bpi+cpi+i(i=l,2,…,7),其中a=P(X=—l),b=P(X=0),

c=P(X=l),假設(shè)a=0.5,P-0.8

(i)證明：他+1一P，｝?=°，L2,…，7)為等比數(shù)列；

(ii)求區(qū),并根據(jù)r4的值解釋這種試驗方案的合理性.

53.(2018?北京(理))電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：

電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類

電影部數(shù)14050300200800510

好評率0.40.20.150.250.20.1

好評率是指：-類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.

假設(shè)所有電影是否獲得好評相互獨立.

（I）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影

的概率；

（n）從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率;

（皿）假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等，用

“4=1”表示第左類電影得到人們喜歡，“4=°”表示第左類電影沒有得到人們喜歡

（k=l,2,3,4,5,6）.寫出方差?；?，”2,0芻，°媒，族,0短的大小關(guān)

系.

54.（2018?北京（文））電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：

電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類

電影部數(shù)14050300200800510

好評率0.40.20.150.250.20.1

好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.

（I）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的

概率；

（口）隨機選取1部電影，估計這部電影沒有獲得好評的概率；

（H）電影公司為增加投資回報，擬改變投資策略，這將導(dǎo)致不同類型電影的好評率

發(fā)生變化.假設(shè)表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類電影的好評率增

加°」，哪類電影的好評率減少°」，使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部

數(shù)的比值達到最大？（只需寫出結(jié)論）

55.（2018?全國（理））某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項

生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們

隨機分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)

方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間（單位：min）繪制了如下莖葉圖：

第種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式________

8655689

976270122345668

987765433281445

211000

（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由;

（2）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)加，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超

過用和不超過用的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:

超過陽不超過加

第一種生產(chǎn)方式

第二種生產(chǎn)方式

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？

n(ad-hc^f

(a+b)(c+d)(Q4-c)(b+d)

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

56.（2018?全國（文））某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)（單位:

〃,）和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：

未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

日用水

[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[03,0.4)[0.4,0.5)[0,5,0.6)[0.6,0.7)

量

頻數(shù)13249265

使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

日用水量[0,0.1)[0,1,0.2)[0.2,0.3)[0,3,0.4)[0,4,0.5)[0.5,0.6)

頻數(shù)151310165

（1）在答題卡上作出使用了節(jié)水龍頭5°天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:

頻率/組距

3.4

3.2

3.0

2.8

2.6

2.0

1.8

1.6

1.4

L2

L0

0.8

0.6

日用水量/m，

（2）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0-35〃戶的概率；

（3）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？（一年按365天計算，同一組

中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表.）

57.（2018?全國（文））下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額歹（單位:

億元）的折線圖.

為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時間變量’的兩個線

性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量/的值依次為L2,…」7）建立

模型①：9=-30.4+13.5/；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量.的值依次為

12…，7）建立模型②:￡=99+17.57.

（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值;

(2)你認為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由.

58.(2018?天津(理))已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)

采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調(diào)查.

(I)應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？

(H)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做

進一步的身體檢查.

(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(ii)設(shè)/為事件”抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工“，求事

件/發(fā)生的概率.

59.(2018?全國(理))某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付

用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱

產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設(shè)每件

產(chǎn)品為不合格品的概率都為?(°<?<1),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立.

(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為/(夕),求/(夕)的最大值點P。；

(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以