數(shù)學(xué)-專項(xiàng)14 解直角三角形中的背靠背模型（原版）

專題14解直角三角形中的背靠背模型【模型展示】特點(diǎn)通過(guò)在三角形內(nèi)作高AC，構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形求解，其中公共邊AC是解題的關(guān)鍵.在Rt△ACD和Rt△BCA中，AC為公共邊，DC+CB=DB.結(jié)論“背靠背”型的關(guān)鍵是找到兩個(gè)直角三角形內(nèi)的公共高【題型演練】一、單選題1．如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東方向，距離燈塔60海里的小島A出發(fā)，沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔C的南偏東方向上的B處，這時(shí)輪船B與小島A的距離是()A．海里 B．海里 C．120海里 D．60海里2．如圖所示，從一熱氣球的探測(cè)器A點(diǎn)，看一棟高樓頂部B點(diǎn)的仰角為30°，看這棟高樓底部C點(diǎn)的俯角為60°，若熱氣球與高樓的水平距離為30m，則這棟高樓高度是（）

A．60m B．40m C．30m D．60m二、填空題3．如圖，海中有個(gè)小島A，一艘輪船由西向東航行，在點(diǎn)B處測(cè)得小島A位于它的東北方向，此時(shí)輪船與小島相距20海里，繼續(xù)航行至點(diǎn)D處，測(cè)得小島A在它的北偏西60°方向，此時(shí)輪船與小島的距離為_(kāi)_______海里．4．4月26日，2015黃河口（東營(yíng)）國(guó)際馬拉松比賽拉開(kāi)帷幕，中央電視臺(tái)體育頻道用直升機(jī)航拍技術(shù)全程直播．如圖，在直升機(jī)的鏡頭下，觀測(cè)馬拉松景觀大道A處的俯角為，B處的俯角為．如果此時(shí)直升機(jī)鏡頭C處的高度CD為200米，點(diǎn)A、D、B在同一直線上，則AB兩點(diǎn)的距離是____________米．5．如圖所示，輪船在處觀測(cè)燈塔位于北偏西方向上，輪船從處以每小時(shí)海里的速度沿南偏西方向勻速航行，小時(shí)后到達(dá)碼頭處，此時(shí)，觀測(cè)燈塔位于北偏西方向上，則燈塔與碼頭的距離是______海里(結(jié)果精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：，，)

6．如圖，某輪船以每小時(shí)30海里的速度向正東方向航行，上午8：00，測(cè)得小島C在輪船A的北偏東45°方向上；上午10：00，測(cè)得小島C在輪船B的北偏西30°方向上，則輪船在航行中離小島最近的距離約為_(kāi)_海里（精確到1海里，參考數(shù)據(jù)≈1.414，≈1.732）．7．某攔水壩的橫截面為梯形，迎水坡的坡角為，且，背水坡的坡度為是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比，壩面寬，壩高則壩底寬__________．三、解答題8．如圖，A，B兩地之間有一座山，汽車(chē)原來(lái)從A地到B地須經(jīng)C地沿折線A﹣C﹣B行駛，全長(zhǎng)68km．現(xiàn)開(kāi)通隧道后，汽車(chē)直接沿直線AB行駛．已知∠A＝30°，∠B＝45°，則隧道開(kāi)通后，汽車(chē)從A地到B地比原來(lái)少走多少千米？（結(jié)果精確到0.1km）（參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7）

9．已知銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，邊角總滿足關(guān)系式：．（1）如圖1，若，求b的值；（2）某公園準(zhǔn)備在園內(nèi)一個(gè)銳角三角形水池中建一座小型景觀橋（如圖2所示），若米，米，，求景觀橋的長(zhǎng)度．10．為加強(qiáng)我市創(chuàng)建文明衛(wèi)生城市宣傳力度，需要在甲樓A處到E處懸掛一幅宣傳條幅，在乙樓頂部D點(diǎn)測(cè)得條幅頂端A點(diǎn)的仰角∠ADF=45°，條幅底端E點(diǎn)的俯角為∠FDE=30°，DF⊥AB，若甲、乙兩樓的水平距離BC為21米，求條幅的長(zhǎng)AE約是多少米？（，結(jié)果精確到0.1米）11．如圖，是某小區(qū)的甲、乙兩棟住宅樓，小麗站在甲棟樓房的樓頂，測(cè)量對(duì)面的乙棟樓房的高度，已知甲棟樓房與乙棟樓房的水平距離米，小麗在甲棟樓房頂部B點(diǎn)，測(cè)得乙棟樓房頂部D點(diǎn)的仰角是，底部C點(diǎn)的俯角是，求乙棟樓房的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．12．如圖，我市計(jì)劃在某工業(yè)園區(qū)內(nèi)，為相距4千米的彩印公司、包裝公司修一條筆直的公路．點(diǎn)P表示住宅小區(qū)，在彩印公司北偏東方向與包裝公司北偏西方向的交點(diǎn)，住宅小區(qū)在以P為圓心，0.8千米為半徑的范圍內(nèi)，問(wèn)這條公路是否會(huì)穿越這個(gè)住宅小區(qū)？（參考數(shù)據(jù)：，）

13．如圖，為了測(cè)量河寬，在河的一邊沿岸選取B、C兩點(diǎn)，對(duì)岸岸邊有一塊石頭A，在中，測(cè)得，，米，求河寬（即點(diǎn)A到邊的距離）（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）14．在一次課外活動(dòng)中，甲、乙兩位同學(xué)測(cè)量公園中孔子塑像的高度，他們分別在A，B兩處用高度為1.5m的測(cè)角儀測(cè)得塑像頂部C的仰角分別為30°，45°，兩人間的水平距離AB為20m，求塑像的高度CF．（結(jié)果保留根號(hào)）15．如圖，C地在A地的正東方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要繞行B地，已知B位于A地北偏東67°方向，距離A地520km，C地位于B地南偏東30°方向，若打通穿山隧道，建成兩地直達(dá)高鐵，求A地到C地之間高鐵線路的長(zhǎng)．（結(jié)果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：（sin67°≈；cos67°≈；tan67°≈；≈1.73）

16．某次臺(tái)風(fēng)來(lái)襲時(shí)，一棵筆直且垂直于地面的大樹(shù)AB被刮傾斜后在C處折斷倒在地上，樹(shù)的頂部恰好接觸到地面D處，測(cè)得∠ACD＝60°，∠ADC＝37°，AD＝5米，求這棵大樹(shù)AB的高．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）17．一滑板運(yùn)動(dòng)場(chǎng)斜坡上的點(diǎn)處豎直立著一個(gè)旗桿，旗桿在其點(diǎn)處折斷，旗桿頂部落在斜坡上的點(diǎn)處，米，折斷部分與斜坡的夾角為75°，斜坡與水平地面的夾角為30°，求旗桿的高度．（,，精確到1米）．18．一艘輪船向正東方向航行，在A處測(cè)得燈塔P在A的北偏東60°方向，航行40海里到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得燈塔P在B的北偏東15°方向上．（1）求燈塔P到輪船航線的距離PD是多少海里？（結(jié)果保留根號(hào)）（2）當(dāng)輪船從B處繼續(xù)向東航行時(shí)，一艘快艇從燈塔P處同時(shí)前往D處，盡管快艇速度是輪船速度的2倍，但快艇還是比輪船晚15分鐘到達(dá)D處，求輪船每小時(shí)航行多少海里？（結(jié)果保留根號(hào)）19．如圖，在東西方向的海面線MN上，有A，B兩艘巡邏船，兩船同時(shí)收到漁船C

在海面停滯點(diǎn)發(fā)出的求救信號(hào)，測(cè)得漁船分別在巡邏船A，B的北偏西30°和北偏東45°方向，巡邏船A和漁船C相距120海里．（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45）（1）求巡邏船B與漁船C間的距離；（2）已知在A，B兩艘巡邏船間有一觀測(cè)點(diǎn)D（A，B，D在直線MN上），測(cè)得漁船C在觀測(cè)點(diǎn)D的北偏東15°方向，觀測(cè)點(diǎn)D的45海里范圍內(nèi)有暗礁．若巡邏船B沿BC方向去營(yíng)救漁船C，問(wèn)有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)？并說(shuō)明理由．20．如圖，某野外生態(tài)考察小組早晨7點(diǎn)整從A營(yíng)地出發(fā)，準(zhǔn)備前往正東方向的B營(yíng)地，由于一條南北向河流的阻擋（圖中陰影部分），他們需要從C處過(guò)橋．經(jīng)過(guò)測(cè)量得知，A、B之間的距離為13km，∠A和∠B的度數(shù)分別是37°和53°，橋CD的長(zhǎng)度是0.5km，圖中的區(qū)域CDFE近似看做一個(gè)矩形區(qū)域．（1）求CE的長(zhǎng)；（2）該考察小組希望到達(dá)B營(yíng)地的時(shí)間不遲于中午12點(diǎn)，則他們的行進(jìn)速度至少是多少？（結(jié)果保留1位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）21．一艘漁船從位于A海島北偏東60°方向，距A海島60海里的B處出發(fā)，以每小時(shí)30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海島周?chē)?0海里水域內(nèi)有暗礁．（參考數(shù)據(jù)：）

（1）這艘漁船在航行過(guò)程中是否有觸礁的危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）漁船航行3小時(shí)后到達(dá)C處，求A，C之間的距離．22．如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點(diǎn)分別為、、，測(cè)得，，千米，求、兩點(diǎn)間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果精確到1千米）．23．共抓長(zhǎng)江大保護(hù)，建設(shè)水墨丹青新岳陽(yáng)，推進(jìn)市中心城區(qū)污水系統(tǒng)綜合治理項(xiàng)目，需要從如圖，兩地向地新建，兩條筆直的污水收集管道，現(xiàn)測(cè)得地在地北偏東方向上，在地北偏西方向上，的距離為，求新建管道的總長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到，，，，）24．在數(shù)學(xué)實(shí)踐與綜合課上，某興趣小組同學(xué)用航拍無(wú)人機(jī)對(duì)某居民小區(qū)的1、2號(hào)樓進(jìn)行測(cè)高實(shí)踐，如圖為實(shí)踐時(shí)繪制的截面圖．無(wú)人機(jī)從地面點(diǎn)B垂直起飛到達(dá)點(diǎn)A處，測(cè)得1號(hào)樓頂部E的俯角為67°，測(cè)得2號(hào)樓頂部F的俯角為40°，此時(shí)航拍無(wú)人機(jī)的高度為60米，已知1號(hào)樓的高度為20米，且EC和FD分別垂直地面于點(diǎn)C和D，點(diǎn)B為CD的中點(diǎn)，求2號(hào)樓的高度．（結(jié)果精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)

sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）25．今年由于防控疫情，師生居家隔離線上學(xué)習(xí)，AB和CD是社區(qū)兩棟鄰樓的示意圖，小華站在自家陽(yáng)臺(tái)的C點(diǎn)，測(cè)得對(duì)面樓頂點(diǎn)A的仰角為30°，地面點(diǎn)E的俯角為45°．點(diǎn)E在線段BD上．測(cè)得B，E間距離為8.7米．樓AB高12米．求小華家陽(yáng)臺(tái)距地面高度CD的長(zhǎng)（結(jié)果精確到1米，1.41，1.73）26．小婷在放學(xué)路上，看到隧道上方有一塊宣傳“中國(guó)﹣南亞博覽會(huì)”的豎直標(biāo)語(yǔ)牌CD．她在A點(diǎn)測(cè)得標(biāo)語(yǔ)牌頂端D處的仰角為42°，測(cè)得隧道底端B處的俯角為30°（B，C，D在同一條直線上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=6.5m），求標(biāo)語(yǔ)牌CD的長(zhǎng)（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．