黑龍江省大慶市2021年中考數(shù)學(xué)真題（解析版）

2021年大慶市初中升學(xué)考試

數(shù)學(xué)

一.選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確選項(xiàng)的序母填涂在答題卡上）

1.在左，-3,一這四個數(shù)中,整數(shù)是（）

27

1、4

A.7B.—C.-3D.-

27

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)整數(shù)分為正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)，由此即可求解.

【詳解】解：選項(xiàng)4乃是無理數(shù),不符合題意；

選項(xiàng)B：g是分?jǐn)?shù)，不符合題意；

2

選項(xiàng)G-3是負(fù)整數(shù)，符合題意；

4

選項(xiàng)。一是分?jǐn)?shù)，不符合題意；

7

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的定義,熟練掌握整數(shù)分為正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.

2.下列圖形中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（）

e

c@與

【答案】A

【解析】

【詳解】分析：根據(jù)中心對稱圖形的定義旋轉(zhuǎn)180。后能夠與原圖形完全重合即是中心對稱圖形，以及軸對

稱圖形的定義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形,

這條直線叫做對稱軸，即可判斷出答案.

詳解：A、此圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)正確；

B、此圖形不中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤；

C、此圖形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤；

D、此圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤.

故選A.

點(diǎn)睛：此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱的定義，關(guān)鍵是找出圖形的對稱中心與對稱軸.

3.北京故宮的占地面積約為720000加，將720000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）.

A.72x104B,7.2x105C.7.2x106D.0.72x106

【答案】B

【解析】

【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為axlO,其中n為整數(shù)，據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：將720000用科學(xué)記數(shù)法表示為7.2x105.

故選B.

【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axl（r的形式，其中i<|a|<io,n為整

數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.

4.下列說法正確的是（）

A.\x\<xB.若|xT|+2取最小值，則x=0

C.若則|x|<|y|D.若|x+l區(qū)0,則》=一1

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)絕對值的定義和絕對值的非負(fù)性逐一分析判定即可.

【詳解】解：A.當(dāng)％=0時，|x|=x,故該項(xiàng)錯誤：

B.???卜一1,0,.?.當(dāng)x=l時|%-1|+2取最小值，故該項(xiàng)錯誤；

C.：x>l>y>T,，國>1,3<1,故該項(xiàng)錯誤；

D....Ix+l區(qū)。且|尤+1|20,...|x+l|=0,...X=—1,故該項(xiàng)正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查絕對值，掌握絕對值的定義和絕對值的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵.

5.已知…>。，則分戔與緇的大小關(guān)系是（）

a。+1a。+1a。+1

A.—<------B.-=------C.一〉-----D.不能確定

h〃+1bZ?+lhh+\

【答案】A

【解析】

【分析】將兩個式子作差，利用分式的減法法則化簡，即可求解.

a<2+1a(b+l)-b(a+1)a—b

【詳解】解:

b0+1b[b+\)b[b+\)

b>a>0,

aa+\a-b八

------------=-...........<0

,?bb+\/?（/?+1）

.aa+1

??一v-----，

bb+1

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查分式的大小比較，掌握作差法是解題的關(guān)鍵.

6.已知反比例函數(shù)丁=&,當(dāng)x<0時，>隨x的增大而減小，那么一次的數(shù)y=-依+A的圖像經(jīng)過第（）

x

A.一，二，三象限B.—,二，四象限

C.一，三，四象限D(zhuǎn).二，三，四象限

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的增減性得到左>0,再利用一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：?.?反比例函數(shù)y=A,當(dāng)x<0時，y隨X的增大而減小，

X

J>0,

???y=+Z的圖像經(jīng)過第一，二，四象限，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

7.一個兒何體由大小相同的小立方塊搭成，從上面看到的幾何體的形狀圖如圖所示，其中小正方形中的數(shù)

字表示在該位置的小正方塊的個數(shù)，能正確表示該幾何體的主視圖的是（)

【答案】B

【解析】

【分析】主視圖的列數(shù)與俯視圖的列數(shù)相同，且每列小正方形的數(shù)目為俯視圖中該列小正方數(shù)字中最大數(shù)

字，從而可得出結(jié)論.

主視圖有3列，每列小正方形的數(shù)目分別為4,2,3,根據(jù)此可畫出圖形如下:

【點(diǎn)睛】本題考查了從不同方向觀察物體和幾何圖像，是培養(yǎng)學(xué)生觀察能力.

8.如圖，F(xiàn)是線段CO上除端點(diǎn)外的一點(diǎn)，將尸繞正方形ABCO的頂點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到

△ABE.連接所交AB于點(diǎn)下列結(jié)論正確的是（）

AD

8題圖

A.Z￡4F=120°B.AE:EF=l：6C.AF2=EH-EFD.EB：AD=EH：HF

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到△以/是等腰直角三角形，然后根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，以及平

行線分線段成比例定理即可作出判斷.

【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：Z￡AF=90°,故A選項(xiàng)錯誤；

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：ZE4F=90°,EA=AF,則△EAF是等腰直角三角形，

:.EF=6AE,即AE：EF=\：五,故8選項(xiàng)錯誤；

EAEF

若C選項(xiàng)正確，WJAF2=AE2=EH*EF＜即——=——，

EHEA

'：NAEF=NHEA=45°,

：.^EAF~/\EHA,

:.NEAH=NEFA,

而/￡；加=45°,NEAHN45°,

:.NEAH#ZEFA,

...假設(shè)不成立，故C選項(xiàng)錯誤；

???四邊形ABC。是正方形，

.,.CD//AB,即8”〃C尸，AD=BC,

：.EB：BC=EH：HF,即EB：AD=EH：HF,故。選項(xiàng)正確；

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，

正確運(yùn)用反證法是解題的關(guān)鍵.

9.小剛家2019年和2020年的家庭支出如下，已知2020年的總支出2019年的總支出增加了2成，則下列

說法正確的是（)

2019年總支出情況2020年總支出情況

A.2020年教育方面的支出是2019年教育方面的支出的1.4倍；

B.2020年衣食方面的支出比2019年衣食方面的支出增加了10%；

C.2020年總支出比2019年總支出增加了2%；

D.2020年其他方面的支出與2019年娛樂方面的支出相同.

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)2019年總支出為a元，則2020年總支出為1.2a元，根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖中的信息逐項(xiàng)分析即可.

【詳解】解：設(shè)2019年總支出為a元，則2020年總支出為1.2“元，

A.2019年教育總支出為0.3。，2020年教育總支出為1.2ax35%=0.42a,0.42a0.3a=1.4,故該項(xiàng)正確；

B.2019年衣食方面總支出為0.3a,2020年衣食方面總支出為1.2ax40%=0.48?,(0.48a-0.3a)+0.3a?53%,

故該項(xiàng)錯誤；

C.2020年總支出比2019年總支出增加了20%,故該項(xiàng)錯誤；

D.2020年其他方面的支出為1.2axl5%=0.18a,2019年娛樂方面的支出為0.15a,故該項(xiàng)錯誤；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查扇形統(tǒng)計(jì)圖，能夠從扇形統(tǒng)計(jì)圖中獲取相關(guān)信息是解題的關(guān)鍵.

10.已知函數(shù)丁=亦2-(a+l)x+l,則下列說法不正確的個數(shù)是()

①若該函數(shù)圖像與x軸只有一個交點(diǎn)，則

②方程"2—(a+i)x+i=。至少有一個整數(shù)根

③若則y=ad一(Q+I)X+I函數(shù)值都是負(fù)數(shù)

④不存在實(shí)數(shù)a，使得以2-(a+1)x+1K0對任意實(shí)數(shù)x都成立

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】對于①：分情況討論一次函數(shù)和二次函數(shù)即可求解；

對于②：分情況討論4=0和時方程的根即可；

對于③：已知條件中限定且4>1或。<0,分情況討論4>1或。<0時的函數(shù)值即可；

對于④：分情況討論a=o和a/0時函數(shù)的最大值是否小于等于0即可.

【詳解】解：對于①：當(dāng)4=0時，函數(shù)變?yōu)閥=-x+l,與X只有一個交點(diǎn)，

當(dāng)時，D=(a+1)2-4a=(a-I)2=0,

故圖像與x軸只有一個交點(diǎn)時，。=1或。=0,①錯誤；

對于②：當(dāng)。=0時，方程變?yōu)橐?+1=0,有一個整數(shù)根為1=1,

當(dāng)時0時，方程辦2一(。+1)%+1=0因式分解得到：(以―l)(x—1)=0,其中有一個根為x=l,故此時

方程至少有一個整數(shù)根，故②正確；

對于③：由已知條件L<x<l得到存0,且”>1或a<0

a

當(dāng)”>1時，y=改2開口向上，對稱軸為*=史」=2+」-,自變量離對稱軸越遠(yuǎn)，其對應(yīng)

2a22a

的函數(shù)值越大，

?"I

?a1,1，

222a

.?.x=_L,x=l離對稱軸的距離一樣，將x=l代入得到y(tǒng)=0,此時函數(shù)最大值小于0；

a

當(dāng)“<0時，丁=加一(a+l)x+l開口向下，自變量離對稱軸越遠(yuǎn)，其對應(yīng)的函數(shù)值越小，

—

.1,1.JWzn1=?i.M4a—(a+1)—-ci~+2tz—1(tzI)

..x=一+—n時，函數(shù)取得最大值為V=------------—=---------------=---------—，

22a4a4a4a

\"a<0,

最大值一(二D二>0,即有一部分實(shí)數(shù)x,其對應(yīng)的函數(shù)值y>0,故③錯誤；

4a

對于④：。=0時，原不等式變形為：—X+1W0對任意實(shí)數(shù)x不一定成立，故。=0不符合；

aWO時，對于函數(shù)y=<2^2-(a+l)x+l,

當(dāng)a>0時開口向上，總有對應(yīng)的函數(shù)值y>0,此時不存在。對a?一(a+1卜+1W0對任意實(shí)數(shù)X都成立;

當(dāng)a<0時開口向下，此時函數(shù)的最大值為4a—(a+D一=__+2"_]=一絲二紇.，

4。4。4a

???〃vo,

...最大值一《k1匚>0,即有一部分實(shí)數(shù)X,其對應(yīng)的函數(shù)值y>0,

4a

此時不存在a對ax2-(?+l)x+l<0對任意實(shí)數(shù)x都成立；故④正確；

綜上所述，②④正確，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，二次函數(shù)與方程之間的關(guān)系，分類討論的思想，本題難度較大,

熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本類題的關(guān)鍵.

填空題(本大題共8小題，每小題3分，共24分.不需寫出解答過程，請把答案直接填

寫在答題卡相應(yīng)位置上)

11.后二--------

【答案】4

【解析】

【分析】先算析2尸,再開根即可.

【詳解】解：7(-2/

=J2x2x2x2

=>/16

=4

故答案是：4.

【點(diǎn)睛】本題考查了求一個數(shù)的4次方和對一個實(shí)數(shù)開根號，解題的關(guān)鍵是：掌握相關(guān)的運(yùn)算法則.

—XVZ八?,X24-Ay

12.己知一二上=一。0,則-----=________

234yz

【答案】I

6

【解析】

【分析】設(shè)措=]=(=%,再將x，y，z分別用人的代數(shù)式表示，再代入約去人即可求解.

【詳解】解：設(shè)4=2=三=2。0,

234

則x=2k,y=3k,z=4k,

,,x2+ATQk『+2kx3k4A:2+6Z:210^25

故-------=---------------=----------=-----=一,

yz3kx4k12k212k26

故答案為：一.

6

【點(diǎn)睛】本題考查了比例性質(zhì)，正確用同一字母表示各數(shù)是解決此類題的關(guān)鍵.

13.一個圓柱形橡皮泥，底面積是12aM2.高是5c7〃.如果用這個橡皮泥的一半，把它捏成高為5cm的圓

錐，則這個圓錐的底面積是cm2

【答案】18

【解析】

【分析】首先求出圓柱體積，根據(jù)題意得出圓柱體積的一半即為圓錐的體積，根據(jù)圓錐體積計(jì)算公式列出

方程，即可求出圓錐的底面積.

【詳解】/?柱=S/z=12?560cm2，

1,

這個橡皮泥的一半體積為：V=-?6030cw2,

2

把它捏成高為5CTT2的圓錐，則圓錐的高為5am

故1S/?=30,

3

即;SQ=30,

解得5=18(cm2),

故填：18.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱的體積和圓錐的體積計(jì)算公式，解題關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握圓柱體積和圓錐

體積計(jì)算公式.

14.如圖，3條直線兩兩相交最多有3個交點(diǎn)，4條直線兩兩相交最多有6個交點(diǎn)，按照這樣的規(guī)律，則20

條直線兩兩相交最多有個交點(diǎn)

【答案】190

【解析】

【分析】根據(jù)題目中的交點(diǎn)個數(shù)，找出〃條直線相交最多有的交點(diǎn)個數(shù)公式：-n(/?-l).

2

【詳解】解：2條直線相交有1個交點(diǎn)；

3條直線相交最多有l(wèi)+2=3=,3x2個交點(diǎn)；

4條直線相交最多有1+2+3=6=^X4X3個交點(diǎn)；

5條直線相交最多有1+2+3+4=10=葭5*4個交點(diǎn)；

2

20條直線相交最多有LX2OX19=19O.

2

故答案為：190.

【點(diǎn)睛】本題考查的是多條直線相交的交點(diǎn)問題，解答此題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，即〃條直線相交最多有

1/八

5〃(〃-1),

15.三個數(shù)3,。在數(shù)軸上從左到右依次排列，且以這三個數(shù)為邊長能構(gòu)成三角形，則。的取值范

圍為______

【答案】-3<a<-2

【解析】

【分析】根據(jù)三個數(shù)在數(shù)軸上的位置得到3<1-a<l-2a,再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到

1—a+3>l—2a,求解不等式組即可.

【詳解】解：；3,1一”,1-2a在數(shù)軸上從左到右依次排列，

3<1—n<1—2a,解得a<—2,

?.?這三個數(shù)為邊長能構(gòu)成三角形，

1—。+3>1—2a,解得a>—3>

綜上所述，。的取值范圍為一3<。<一2,

故答案為：-3<a<-2.

【點(diǎn)睛】本題考查不等式組的應(yīng)用、三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)題意列出不等式組是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，作。0的任意一條直經(jīng)FC,分別以為圓心，以R9的長為半徑作弧，與O。相交于點(diǎn)EA

和。、8,順次連接A3,3C,CZ),￡>E,E居E4,得到六邊形ABC。跖，則0。的面積與陰影區(qū)域的面積

的比值為一一；

【答案】獨(dú)叁

3

【解析】

【分析】可將圖中陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為兩個等邊三角形的面積之和，設(shè)。。的半徑與等邊三角形的邊長

為。，分別表示出圓的面積和兩個等邊三角形的面積，即可求解

【詳解】連接OE,OD,OB,OA,

由題可得：EF=OF=OE=FA=OA=AB=OB=BC=OC=CD=OD

.?.△EFO,AO/^,AOA5,AOjBC,AOCr),AODE為邊長相等的等邊三角形

可將圖中陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為AODE和△。鉆的面積之和，如圖所示：

設(shè)OO的半徑與等邊三角形的邊長為a,

?,*OO的面積為S=7rr2=Tea2

?：等邊AOED與等邊△Q45的邊長為a

.c-s-回

,?0A0ED.“△048一-

?一一回

..-o^OED+o^OAB----

S_7VCT_264

???OO的面積與陰影部分的面積比為■=7方==-

~ir

故答案為：述L.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的面積轉(zhuǎn)換，等邊三角形面積以及圓面積的求法，將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)換成規(guī)

則圖形的面積是解題關(guān)鍵.

17.某酒店客房都有三人間普通客房，雙人間普通客房，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：三人間I50元/間，雙人間140元/

間.為吸引游客，酒店實(shí)行團(tuán)體入住五折優(yōu)惠措施，一個46人的旅游團(tuán)，優(yōu)惠期間到該酒店入住，住了一

些三人間普通客房和雙人間普通客房，若每間客房正好住滿，且一天共花去住宿費(fèi)1310元，則該旅游團(tuán)住

了三人間普通客房和雙人間普通客房共—間；

【答案】18.

【解析】

【分析】根據(jù)客房數(shù)x相應(yīng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)=1310元列出方程并解答.

【詳解】解：設(shè)住了三人間普通客房x間，則住了兩人間普通客房4空6一-3竺x間，由題意，得：

2

150x0.5%+140x0.5x-4^6^-3-=X1310,

2

解得：尸10,

所以，這個旅游團(tuán)住了三人間普通客房10間，住了兩人間普通客房8間，共18間.

故答案為：18.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，弄清題意，找出合適的等量關(guān)系，利用已知得出等式方程是解

題關(guān)鍵.

18.已知，如圖1,若A￡>是AABC中44C的內(nèi)角平分線，通過證明可得一=—,同理，若AE是

ACCD

△AHC中N84c的外角平分線，通過探究也有類似的性質(zhì).請你根據(jù)上述信息，求解如下問題：如圖2,

在AABC中，8。=2,。=3,4。是4A3。的內(nèi)角平分線，則△ABC的BC邊上的中線長/的取值范圍

是________

圖1圖2

【答案】-</<-

22

【解析】

AJ)2

【分析】根據(jù)題意得到——=—,反向延長中線AE至尸，使得AE=EE，連接CF,最后根據(jù)三角形三

AC3

邊關(guān)系解題.

【詳解】如圖，反向延長中線AE至尸，使得AE=EF，連接C/，

:BD=2,CD=3,AD是△ABC的內(nèi)角平分線，

,AB二—2

"AC3

'DE=EC

v<NAEB=NCEF

AE=EF

:.AABE*FEC(SAS)

:.AB=CF

由三角形三邊關(guān)系可知，

AC-CF<AF<AC+CF

.-.1<AF<5

1-5

22

故答案為：一</<一.

22

BD

F

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、中線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識，是

重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

三.解答題(本大題共10小題，共66分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解有時應(yīng)寫出文字說

明，證明過程或演算步驟)

19.itw|V2-2|+2sin450-(-l)2

【答案】1

【解析】

【分析】直接利用去絕對值符號、特殊角度的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)的平方運(yùn)算計(jì)算出結(jié)果即可.

【詳解】解：出一2k2sin45。—(―以

=2-V2+2x--1

2

=1

故答案是：1.

【點(diǎn)睛】本題考查了去絕對值符號、特殊角度的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)的平方運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是：掌

握相關(guān)的運(yùn)算法則.

20.先因式分解，再計(jì)算求值：2V—8x，其中％=3.

【答案】2x(x+2)(x-2),30

【解析】

【分析】先利用提公因式法和平方差公式進(jìn)行因式分解，再代入x的值即可.

【詳解】解：2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x+2)(x-2),

當(dāng)x=3時，原式=2x3x5x1=30.

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解題的關(guān)鍵.

Xs

21.解方程：----+二一=4

2x—33—2x

【答案】％=1

【解析】

【分析】去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,求出整式方程的解得到X的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解.

【詳解】方程兩邊乘2%-3,得:x-5=4(2x-3),

解得：x=1,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=l時，2X—3H0.

=l是原分式方程的解.

【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程,利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn).

22.小明在A點(diǎn)測得C點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏西75°方向，并由A點(diǎn)向南偏西45°方向行走到達(dá)B點(diǎn)測得C點(diǎn)在

3點(diǎn)的北偏西45°方向，繼續(xù)向正西方向行走2km后到達(dá)。點(diǎn)，測得C點(diǎn)在。點(diǎn)的北偏東22.5。方向，求

AC兩點(diǎn)之間的距離.（結(jié)果保留0.1km,參數(shù)數(shù)據(jù)也。1.732）

【解析】

【分析】根據(jù)題中給出的角度證明△CCB為等腰三角形，得至UCB=OB=2,再證明ACBA為30。，60。，

90°直角三角形，最后根據(jù)sin?C4Bsin60'=C"=3即可求出AC的長.

AC2

【詳解】解：如下圖所示,

c

E

由題意可知：ZEAC=75°,NFAB=/NBA=45。,NCBN=45。,￡)B=2km,/MDC=22.5。,

在^BCD中，ZCDB=90o-ZMDC=90°-22.5o=67.5°,

ZCBD=90°-Z。8290。-45。=45。,

Z￡)CB=180o-ZC￡>B-ZCB￡>=180o-67.5o-45o=67.5°,

:?/DCB=/CDB,△COB為等腰三角形，

：.CB=DB=2,

在AC剛中，ZCBA=ZCBN+ZNBA=45°4-45°=90°,

為直角三角形，

又NC48=NCAG+NGAB=(90O-NEAC)+NGA8=(90°-75°)+45°=60。,

為30。,60°,90°直角三角形，

sin?CABsin60u,代入C8=2,

AC2

4J3

；?AC=-22.3(6)，

3

故A,C兩點(diǎn)之間的距離為2.3加人

【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)解直角三角形，讀懂題意，將題中信息轉(zhuǎn)化成已知條件，本題中得出△CD8

為等腰三角形是解題的關(guān)鍵.

23.如圖①是甲，乙兩個圓柱形水槽的軸截面示意圖，乙槽中有一圓柱形實(shí)心鐵塊立放其中(圓柱形實(shí)心鐵

塊的下底面完全落在乙槽底面上)，現(xiàn)將甲槽中的水勻速注入乙槽，甲，乙兩個水槽中水的深度y(cm)與

注水時間x(min)之間的關(guān)系如圖②所示，根據(jù)圖象解答下列問題：

（1）圖②中折線E0C表示槽中水的深度與注入時間之間的關(guān)系；線段AB表示

槽中水的深度與注入時間之間的關(guān)系；鐵塊的高度為.cm.

（2）注入多長時間，甲、乙兩個水槽中水的深度相同？（請寫出必要的計(jì)算過程）

【答案】（1）乙，甲，16；（2）2分鐘

【解析】

【分析】（1）根據(jù)圖象分析可知水深減少的圖象為甲槽的，水深增加的為乙槽的，并水深16cm之后增加的

變慢，即可得到鐵塊的高度；

（2）利用待定系數(shù)法求出兩個水槽中水深與時間的解析式，即可求解.

【詳解】解：（1）圖②中折線EOC表示乙槽中水的深度與注入時間之間的關(guān)系；

線段AB表示甲槽中水的深度與放出時間之間的關(guān)系；

鐵塊的高度為16cm.

（2）設(shè)甲槽中水的深度為y=審+加把A（0,14）,3（7,0）代入，可得

=14匕=-2

h.',八，解得《

Ik.+b,=04=14，

，甲槽中水的深度為凹=-2x+14,

根據(jù)圖象可知乙槽和甲槽水深相同時，在。E段,

設(shè)乙槽QE段水的深度為必=%2%+打，把石（。，4）,。（4,16）代入，可得

2=4攵2=3

血+%=?解得14=4,

，甲槽中水的深度為必=3x+4,

...甲、乙兩個水槽中水的深度相同時，—2x+14=3x+4,解得x=2,

故注入2分鐘時，甲、乙兩個水槽中水的深度相同.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意理解每段函數(shù)對應(yīng)的實(shí)際情況是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，在平行四邊形ABC。中，AB=3,點(diǎn)E為線段A3的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A）,點(diǎn)尸為線段CO

的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)C,且CE_LAB.將ABCE沿CE對折，8c邊與AO邊交于點(diǎn)G,且。C=OG.

（1）證明：四邊形AEC廣為矩形;

（2）求四邊形AECG的面積.

【答案】（1）證明見解析；（2）拽

4

【解析】

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB〃C￡>,AB=CD,根據(jù)題意三等分點(diǎn)可得AE=CF,根據(jù)

對邊平行且相等得到四邊形AEb為平行四邊形，再根據(jù)一個角為90°的平行四邊形是矩形即可得證；

（2）根據(jù)角度關(guān)系可得△9AG是等邊三角形，AGBC是等邊三角形，利用割補(bǔ)法即可求出面積.

【詳解】解：（1）???四邊形ABC。是平行四邊形，

/.AB//CD,AB=CD,

???點(diǎn)￡為線段AB三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A）,點(diǎn)尸為線段CD的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)C）,

AE=-AB,CF=-CD,

33

AE=CF,

：.四邊形AECF為平行四邊形，

CE±AB,

，四邊形AECF為矩形；

（2）???/歸=3,點(diǎn)E為線段AB的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A）,

A￡=l，BE=2,

?.?將ABCE沿CE對折，BC邊與AD邊交于點(diǎn)G,

：.BB，=2BE=4,=

DC=DG,

：.NDGC=NDCG,

AB//CD,

AZB'=ZDCG,ZB'AG=ZD=ZB=ZB：

：.NB'AG=NB'=NB'G4,

AATAG是等邊三角形，AB'B。是等邊三角形,

作8H_LAG于H,

AB'H=—AB'=—,CE=—BC=2-5,

222

=；x2&x2-；x爭仁苧

?SAECG=SACEB，-S.GAIT

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定、割補(bǔ)法求面積、解直角三角形，掌握上述性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

25.某校要從甲，乙兩名學(xué)生中挑選一名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，在最近的8次選拔賽中，他們的成績（成績均

為整數(shù)，單位：分）如下：

甲：92,95,96,88,92,98,99,100

乙：100,87,92,93,9，，95,97,98

由于保存不當(dāng)，學(xué)生乙有一次成績的個位數(shù)字模糊不清，

（1）求甲成績的平均數(shù)和中位數(shù)；

（2）求事件“甲成績的平均數(shù)大于乙成績的平均數(shù)”的概率；

（3）當(dāng)甲成績的平均數(shù)與乙成績的平均數(shù)相等時，請用方差大小說明應(yīng)選哪個學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽.

4

【答案】（1）平均數(shù)95分，中位數(shù)為95.5分；（2）y；（3）甲

【解析】

【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可；

（2）設(shè)乙成績模糊不清的分?jǐn)?shù)個位數(shù)為4,求出乙成績的平均數(shù)，解不等式得到。的范圍，利用概率公式

即可求解;

（3）利用方差公式求出甲和乙的方差，選方差較小的即可.

92+95+96+88+92+98+99+100

【詳解】解：（1）甲成績的平均數(shù)為:=95；

甲成績從小到大排列為：88,92,92,95,96,98,99,100,

95+96

二甲成績的中位數(shù)為:=95.5；

廠

（2）設(shè)乙成績模糊不清的分?jǐn)?shù)個位數(shù)為。，（。為0-9的整數(shù)）

100+87+92+93+90+4+95+97+98_752+a

則乙成績的平均數(shù)為:-1―-

*7I

當(dāng)甲成績的平均數(shù)大于乙成績的平均數(shù)時，即-8,<95,

解得6!<8,

???”的值可以為0~7這8個整數(shù)

84

???P（甲成績的平均數(shù)大于乙成績的平均數(shù)）=歷=］；

（3）當(dāng)甲成績的平均數(shù)與乙成績的平均數(shù)相等時，軍士q=95,解得a=8,

8

此時乙的平均數(shù)也為95,

甲的方差為：

扁=1[(92-95)2+(95_95『+(96-95)2+(88-95)2+(92-95)2+(98-95)2+(99-95)2+(100-95)1

=[(9+0+1+49+9+9+16+25)=14.75；

乙的方差為：

si="[(100-95)2+(87-95)2+(92-95)2+(93-95『+(98-95)2+(95-95)2+(97-95)2+(98-95)2]

=((25+64+9+4+9+1+4+9)=15.5,

甲的成績更穩(wěn)定，故應(yīng)選甲參加數(shù)學(xué)競賽.

【點(diǎn)睛】本題考查求平均數(shù)、中位數(shù)和方差，以及概率公式，掌握求平均數(shù)、中位數(shù)和方差的公式是解題

的關(guān)鍵.

4

26.如圖，一次函數(shù)'=履+6的圖象與y軸的正半軸交于點(diǎn)A,與反比例函數(shù)y=—的圖像交于P,。兩

x

點(diǎn).以為邊作正方形ABC。，點(diǎn)8落在x軸的負(fù)半軸上，已知ABOD的面積與AAOB的面積之比為

1:4.

x

?

(1)求一次函數(shù)y="+力的表達(dá)式：

(2)求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△CPD外接圓半徑的長.

【答案】(l)y=-1x+4；(2)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(。,3)；△<?「￡>外接圓半徑的長為獨(dú)3

436

【解析】

【分析】⑴過。點(diǎn)作OE〃y軸交x軸于“點(diǎn)，過A點(diǎn)作E尸〃x軸交。E于E點(diǎn)，過B作8F〃y軸交于

416

F點(diǎn),證明AA8尸絲D(a,-)(a>0),△60。的面積與dOB的面積之比為1:4得到0A=—，進(jìn)

aa

而得到3=。，求出A、。兩點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；

a

(2)聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)；再求出C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出CP長度，RtACPD

外接圓的半徑即為CP的一半.

【詳解】解：(1)過。點(diǎn)作QE〃y軸交x軸于，點(diǎn)，過A點(diǎn)作EF〃x軸交。E于E點(diǎn)，過B作BF〃y軸交

EF于F點(diǎn)、,如下圖所示：

y

??,ABOD馬aAOB有公共的底邊BO,其面積之比為1:4,

：.DH:OA=\:4f

4416

設(shè)。(a,—)(Q>0),則=一，OA=一，OH=AE=a,

aaa

??,4?CQ為正方形，

：.AB=AD,NBAZ)=90。，

：.ZBAF+ZEAD=^°,

ZBAF+ZFBA=90°,

：,/FBA=/EAD,

ZF=ZE=90

在△ABF和AZME中：<ZFBA=ZEAD,

AB=AD

：.DAE(AAS),

BF=AE=OA=a

又。A=3,

a

16

*,?—=a,解得。=4(負(fù)值舍去)，

a

???A(0,4),。(4,1),代入y=fcr+h中,

3

4,

3

一次函數(shù)的表達(dá)式為y=--x+4；

y-——x+4

(2)聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式：〈

整理得到：3——16X+16=0，

4

解得玉=§，W=4,

4

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(§,3)：D點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,1)

?/四邊形ABCD為正方形，

?*-DC=AD=yjAE2+DE2=A/42+32=5-

且尸r>2=(g-4)2+(3-1)2=%，

inn325

在RfAPCD中，由勾股定理：PC2=DC2+PD2=25+—=—,

99

3

又RCP。為直角三角形，其外接圓的圓心位于斜邊PC的中點(diǎn)處,

CPD外接圓的半徑為氧叵.

6

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理求線段長，

本題屬于綜合題，解題的關(guān)鍵是正確求出點(diǎn)A、。兩點(diǎn)坐標(biāo).

27.如圖，已知AB是O。的直徑.8C是。0的弦，弦EO垂直于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G.過點(diǎn)C作O。

的切線交的延長線于點(diǎn)尸

A

（1）求證：PC=PG；

（2）判斷PG2=PZ>PE是否成立？若成立，請證明該結(jié)論；

（3）若G為8C中點(diǎn)，0G=6，sinB.求。后的長.

5

【答案】（I）見解析；（2）結(jié)論成立，見解析；（3）476

【解析】

【分析】（1）連接0C,可得ABOC為等腰三角形，則NB=NOCB,結(jié)合垂經(jīng)定理和切線的性質(zhì)可得

ZOCP=ZBFG=90°,從而可得NBGF=NPCG,即可得到結(jié)論；

（2）連接EC,CD,CO并延長CO交。O于點(diǎn)〃，連接OH，證明△PCDSAPEC,在結(jié)合（1）中的

結(jié)論即可求解；

（3）連接OD,OG,根據(jù)垂經(jīng)定理的推論得出OG_LBG，/B=/FGO,在中利用三角函數(shù)

求出。。的半徑，在/^△GOP中利用三角函數(shù)即可求得OF長，在利用勾股定理求出ED,從而可求OE

【詳解】（1）如圖：連接OC

,ABOC為等腰三角形

4B=N0CB

\ED±AB，PC切。O于點(diǎn)C

???ZOCP^ZBFG=90°

ZOCB+ZPCG=90°,ZB+NBGF=90°

/BGF=/PCG

?:4BGF=4PGC

4PGC=/PCG

:.PC=PG

(2)結(jié)論成立；理由如下；

如圖：連接EC,CD,CO并延長CO交。O于點(diǎn)H,連接￡)“

.,.CH為。O的直徑

ZHDC=90°

???PC切。O于點(diǎn)c

/HCP=90。

NH+4HCD=90°,ZPCD+NHCD=90°

.\ZH=ZPCD

?;NH=ZE

:"E=/PCD

.?△PCDS&EC

.PC_PD

"~PE~~PC

?:PC=PG

PG2=PD?PE

(3)如圖：連接?！?,OG,

A

;G為8C中點(diǎn)

:.OGLBC

:.ZBGO=90°

..?OG=6sin8;乎

0G亞亞

sinB=

OB

:.OB=5

..OB=OD=5

???1ED_LA3與點(diǎn)尸

:.ED=2FD

ZOFG=90°.1.4BOG+NFGO=90°,NB+NBOG=90°

:.ZB=ZFGO

..舊OFOF

50G加

;.OF=1

二在中有

OD1=OF2+FD2

：.52=l2+FD2

FD=276

DE=4-\/6

【點(diǎn)睛】本題考查了垂經(jīng)定理及推論，相似三角形的判定和