初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)4 綜合與實(shí)踐 多邊形的鑲嵌 全國(guó)公開課一等獎(jiǎng)

19.4綜合與實(shí)踐多邊形的鑲嵌

19.4綜合與實(shí)踐多邊形的鑲嵌上課教師：施佑新上課時(shí)間：2019.5.28定義：用形狀相同或不同的平面封閉圖形，覆蓋平面區(qū)域，使圖形間既無縫隙又不重疊地全部覆蓋，在幾何里面叫做平面鑲嵌.

探究1：僅用一種正多邊形鑲嵌，哪些正多邊形能單獨(dú)鑲嵌成一個(gè)平面圖案？正方形正三角形正六邊形做一做：

要用正多邊形鑲嵌成一個(gè)平面,關(guān)鍵是：這種正多邊形內(nèi)角的度數(shù)能整除360°。鑲嵌滿足的條件:能鋪滿地面的多邊形,圍繞某一點(diǎn)的內(nèi)角和為（）思考：什么樣的正多邊形能夠進(jìn)行鑲嵌?

360°啊!拼不了啦,為什么呢?你能說說道理嗎?123∠1+∠2+∠3=?用邊長(zhǎng)相同的正五邊形能否鑲嵌？

理一理6

60

o

90

o

108

o

120

o433能拼好能拼好不能拼好有缺口能拼好60×6=360

o

o90×4=360

o

o108×3＜360

o

o120×3=360

o

o實(shí)驗(yàn)結(jié)果正n邊形拼圖每個(gè)內(nèi)角度數(shù)多邊形個(gè)數(shù)結(jié)果

n=3

n=4

n=5

n=6

還能找到能鑲嵌的其他正多邊形嗎？

。k·(n-2)×180n=360。(n-2)(k-2)=4k=6n=3k=4n=4k=3n=6

設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有k個(gè)正n邊形的角，則有∵k為正整數(shù)，n為大于等于3的正整數(shù)∴解為探究2：用邊長(zhǎng)相等的兩種正多邊形鑲嵌，哪兩種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖案？正三角形正方形正六邊形60°×3+90°×2=360°正三角形和正方形（一）正三角形與正方形2m+3n=12m=3n=2

m·60°+n·90°=360°設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有m個(gè)正三角形的角,n個(gè)正方形的角，則有∵m,n為正整數(shù)∴解為正三角形和正六邊形60°×4+120°=360°60°×2+120°×2=360°（二）正三角形與正六邊形m+2n=6m=2n=2m=4n=1

m·60°+n·120°=360°設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有m個(gè)正三角形的角,n個(gè)正六邊形的角，則有∵m,n為正整數(shù)∴解為想一想正方形和正八邊形能否鑲嵌?正三角形和正十二邊形能否鑲嵌?你能說出其中的道理嗎？135°135°90°150°150°60°正方形和正八邊形正三角形和正十二邊形正方形和正六邊形能否鑲嵌?正方形和正六邊形

用兩種正多邊形進(jìn)行鑲嵌應(yīng)滿足什么條件？

當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的兩種正多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角時(shí)，這兩種正多邊形就能鑲嵌.規(guī)律：正五邊形、正十邊形圍繞一點(diǎn)能拼成360o，但能擴(kuò)展到整個(gè)平面，即鋪滿地面嗎？盡管能圍繞一點(diǎn)拼成360o，但不能擴(kuò)展到整個(gè)平面.結(jié)論：用兩種正多邊形進(jìn)行平面鑲嵌，有以下五種可能：（3個(gè)）正三角形+（2個(gè)）正方形（4個(gè)）正三角形+（1個(gè)）正六邊形（2個(gè)）正三角形+（2個(gè)）正六邊形（1個(gè)）正三角形+（2個(gè)）正十二邊形（1個(gè)）正方形+（2個(gè)）正八邊形正十二邊形與正方形、正五邊形的平面鑲嵌思考：用三種以上不同正多邊形可以作平面鑲嵌嗎？正三角形與正方形、正六邊形的平面鑲嵌探究3：

用幾個(gè)形狀、大小相同的任意三角形能鑲嵌成一個(gè)平面圖案嗎？四邊形呢？1321432231231231231231231231231231231（一）同一種任意三角形的鑲嵌結(jié)論：形狀、大小完全相同的任意三角形能鑲嵌成平面圖形。

通過探究我發(fā)現(xiàn)：1.任意形狀、大小相同的三角形都____鑲嵌,2.在每個(gè)拼接點(diǎn)處有___個(gè)角，而這___個(gè)角的和恰好是這個(gè)三角形的內(nèi)角和的___倍，也就是它們的和為____.可以六六兩360o241324132413241324132413241324132413241324132413（二）同一種任意四角形的鑲嵌結(jié)論：形狀、大小相同的任意四邊形能鑲嵌成平面圖形。通過探究我發(fā)現(xiàn)：1.任意形狀大小相同的四邊形__

_鑲嵌.2.在每個(gè)拼接點(diǎn)處有___個(gè)角，而這___個(gè)角的和恰好是這個(gè)四邊形的四個(gè)內(nèi)角之___,也就是它們的和為____.可以四四和360o想一想上面我們討論的一般三角形和四邊形都可以平面鑲嵌，因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°它們的內(nèi)角和是整數(shù)倍都是360°，那么其它的一般多邊形能進(jìn)行鑲嵌嗎？例如：在五邊形中，內(nèi)角和540°，已經(jīng)超過360°，即每一個(gè)內(nèi)角拼接在一起時(shí)有重疊部分，不符合平面鑲嵌的含義。當(dāng)邊數(shù)越大時(shí)，內(nèi)角和也越大，更不符合要求，因此邊數(shù)大于4的一般多邊形不可以平面鑲嵌。結(jié)論：1.要用圖形不留空隙、不重疊地鑲嵌一個(gè)平面區(qū)域，需使得拼接點(diǎn)處的所有角之和等于360°。2.任意形狀但全等的三角形都可以進(jìn)行鑲嵌3.任意形狀但全等的四邊形也都可以進(jìn)行鑲嵌4.用一種正多邊形可以進(jìn)行鑲嵌的是：正三角形、正方形、正六邊形5.用兩種正多邊形可以進(jìn)行鑲嵌的是：正三角形和正方形、正三角形和正六邊形、正方形和正八邊形正三角形和正十二邊形等6.用三種正多邊形可以進(jìn)行鑲嵌的是：正三角形和正方形和正六邊形、正方形和正五邊形和正十二邊形等圖形美圖形美鞏固練習(xí)：1.只用下列一種正多邊形不能鑲嵌成平面圖案的是()A.正三角形B.正方形C.正五邊形D.正六邊形2.下列圖形中,能鑲嵌成平面圖案的是()A.正六邊形B.正七邊形C.正八邊形D.正九邊形

3.不能鑲嵌成平面圖案的正多邊形組合為()A.正八邊形和正方形B.正五邊形和正十邊形C.正六邊形和正三角形D.正六邊形和正八邊形4.某學(xué)校的教室在裝修過程中，準(zhǔn)備用邊長(zhǎng)相等的正方形和正三角形兩種地磚鑲嵌地面，在每個(gè)頂點(diǎn)周圍的正方形、正三角形地磚