講次09（三角函數(shù)與解三角形大題）（30題）2021高考數(shù)學(xué)考點必殺500題（上海專用）（教師版）

2021局考考點必殺500題

專練09(三角函數(shù)與解三角形大題)(30道)

1.(2021?上海黃浦區(qū)?高三一模)在AABC中，內(nèi)角所對的邊分別為a/,c,若A為鈍角，且

2asinB-V2Z?=0-

(1)求角A的大小；

TC

(2)記3=%,求函數(shù)/(x)=cosx+cos(]+x)的值域.

-5、3,、(3V2-V63)

【答案】(1)一乃；(2)~.

4I42J

【分析】

(1)根據(jù)正弦定理對等式2asinB-伍=0邊角互化，可得sinA=￥，再由A為鈍角，即可求得角A

TT

的值；(2)由三角形內(nèi)角和定理可得X的范圍，化簡函數(shù)/(x)=cosx+cos(§+x),利用整體法求解三角

函數(shù)的值域.

【詳解】

(1),??△A6C的內(nèi)角A,5,c所對的邊分別為a,b,c,2asinB—缶=0，

團(tuán)根據(jù)正弦定理：——-^=―-—=2R,

sinAsinBsinC

2。sinB-也b=0可化為2-2RsinAsin8-0?ZRsinB=0(0v8＜7,sin8K0).

HsinA=—：A為鈍角，二A=2萬.

24

(2)*.*B=xfA+B+C—7i?

37C

:.C=—X----71=-----Xy得0＜彳＜—.

444

71

/./(x)=cosx+cos(——l-x)

16.

=cosx+—cosx------sinx

22

=5/3sin(--x).

3

-7t-i-i/A冗一r/g1冗兀

又因為0＜x＜一,可得一＜---x＜—.

41233

由函數(shù)y=sinx的圖像，可知sin二<sinjf-x]<sin￡,即避二2/1<$訪（工一刈〈正.因此,

1213J3432

巫巫〈也stnG—x）<）.

432

（3V2-V63）

所以函數(shù)/（x）的值域是—,.

I42）

【點睛】

關(guān)于三角函數(shù)解析式的化簡問題，首先需要利用和差公式或者誘導(dǎo)公式展開化為同角，其次利用降累公式

進(jìn)行降次，最后利用輔助角公式進(jìn)行合一變換，最終得到〃耳=45皿的+夕）的形式.

2.（2021?上海靜安區(qū)?高三一模）如圖所示，在河對岸有兩座垂直于地面的高塔。。和旅.張明在只有量角

器（可以測量從測量人出發(fā)的兩條射線的夾角）和直尺（可測量步行可抵達(dá)的兩點之間的直線距離）的條件下，

為了計算塔CD的高度，他在點A測得點。的仰角為30。，ZCAB=75°，又選擇了相距100米的3點，

測得NA6C=60’.

（1）請你根據(jù)張明的測量數(shù)據(jù)求出塔CO高度；

（2）在完成（1）的任務(wù)后，張明測得NBAE=9（r，并且又選擇性地測量了兩個角的大?。ㄔO(shè)為&、〃卜

據(jù)此，他計算出了兩塔頂之間的距離。尸.

請問：①張明又測量了哪兩個角？（寫出一種測量方案即可）

②他是如何用生尸表示出。尸的？（寫出過程和結(jié)論）

【答案】（1）50匹米；（2）答案見解析.

【分析】

（1）由已知利用三角形內(nèi)角和定理可求得NACB的值，由正弦定理可求AC的值，進(jìn)而可求得8的值;

（2）由（1）知，可求出AD的值，①測得NA5F=a，4DAF=（3；②利用線面垂直的判定定理可得

AB_LAE，可求出AF=A3tana=100tana,在△相＞/中，由余弦定理，可求。尸.

【詳解】

解：（1）在AA3c中，ZACB=180-ZCAB-ZCBA=45°.

由正弦定理，有---------=----------

sin/CBAsinZACB

lOOxsin60

所以,AC==50指米.

sin45°

CD=ACtanZDAC=5076tan30,=50顯米.

（2）由（1）知AD=100a米.

①測得NA5F=a,NDAF=/3.

②由已知，ABLEF，ABJ_AE，AEcEF=E.

所以，ABJ_平面尸，得廠.

所以，AF=ABtana=\QOtana-

在^ADF中，由余弦定理，DF—AD2+AF2—2AD-AFcos（3-100-^2+tan2a—2\[2tancucos（3米.

【點睛】

解三角形應(yīng)用題的一般步驟：

（1）閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系.

（2）根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型.

（3）根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解.

（4）將三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關(guān)單位問題、近似計算的要求等.

3.（2021?上海松江區(qū)?高三一模）已知函數(shù)/（x）=gsinxcosx+cos?x+1.

（1）求的最小正周期和值域；

（2）若對任意xeR,72（幻—左./（尤）一240的恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.

5117

【答案】（1）最小正周期亦，值域為;（2）k>—.

]_22]10

【分析】

（1）利用三角恒等變換進(jìn)行化簡，即可求得周期與值域；

（2）設(shè)/（x）=f,由（1）得fe,轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立問題，分離參數(shù)，求取值范圍.

【詳解】

解：（1）/（X）=>/3sinJCCOSx+cos2x+1

V3.cos2%+1y/31c3.（不）3

——sin2xH---------Fl——sin2x—cos2xH——sin2xH—H—

22222<6j2

I2.f（x）的為最小正周期7=生=乃，

2

值域為/（X）GH:

、，「15一

（2）記/（x）=f,則fe—,

.22_

由尸（幻一腔/。）一240恒成立，

知『一公-240恒成立，即/一2恒成立,

/2-22

0r>O0A:>--

tt

2「15一

由g（t）=r—：在re時單調(diào)遞增

,、⑸5417

17

瞅的取值范圍是AN一

10

4.（2021?上海金山區(qū).高三一模）已知4、0、c是△ABC中NA、E>8、NC的對邊，0=4，b=6,

,1

cosA=——.

3

（1）求c；

（2）求cos23的值.

【答案】（1）2；（2）-1.

【分析】

（1）利用余弦定理求J（2）利用余弦定理求cosB,再利用二倍角公式求cos25.

【詳解】

（1）在△ABC中，由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccosA，

,1

即48=36+C2-2XCX6X（—§）,

整理，得，+4c-12=0，

解得c=2：

22?2

（2）在AA5c中，由余弦定理得，cosB=a+C~~,

2ac

得cosB=，

3

1

cos23=2cos~9B-\=——.

3

5.（2021?長寧區(qū)?上海市延安中學(xué)高三期中）如圖，四邊形04cB中，兄。"為43。的內(nèi)角4民。的對

sinB+sinC

邊，且滿足tanA=

2-cos5-cosC

6

A

(1)證明：b+c=2a；

(2)若。4=208=2,S.h=c,設(shè)NAO3=e(0<6><乃)，當(dāng)夕變化時，求四邊形。4cB面積的最大

值.

【答案】(1)證明見解析；(2)2+士七.

【分析】

(1)由已知條件化簡可得sinC+sin3=2sinA，再由正弦定理可得Z?+c=2a：

2

(2)由條件和(1)的結(jié)論可得△ABC為等邊三角形，利Cz/*vO用IXlJrytS+SMBr=-2OAOBsinO+—AB,

結(jié)合輔助角公式，可得平面四邊形OACB面積的最大值.

【詳解】

sinAsin8+sinC

(1)因為tanA4=----=------------

cosA2-cosB-cosC

所以sinBcosA+sinCcosA=2sinA—cosBsinA-cosCsinA，

所以sin3cosA+cos3sinA+sinCcosA+cosCsinA=2sinA,

所以sin(A+3)+sin(A+C)=2sinA,即sinC+sin5=2sinA,

由正弦定理得人+c=2a；

(2)因為0+c=2〃,/?=c,所以〃=〃=c,

所以△/WC為等邊三角形，

由余弦定理得A3?=l+4-2xlx2xcose=5-4cos。，

2

所以S°ACB=1OAB+=；QA?OBsin0+日AB

=sin6—\^cose+^^=2sin(。一+,

因為夕€(0,江)，所以6—5e］一,

所以當(dāng)即。=3時，四邊形OACB面積取得最大值2+拽.

32

【點睛】

關(guān)鍵點睛：本題考查正弦定理和余弦定理解三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是由余弦定理得到

AB2=5-4cos0，從而可得=+=LQA-OBsind+如AB?=sin6-Gcos6+地，

Cz/iC/jIX（.MD244

將四邊形的面積式示成角。的三角函數(shù)，屬于中檔題.

6.（2021?上海市實驗學(xué)校高三開學(xué)考試）已知在AABC中，角A,B,C的對邊分別為“，》，。，且

c（cosB-2cosA）=（2a-Z?）cosC.

（團(tuán)）求區(qū)的值；

b

3

（團(tuán)）若cosC==，c=2,求△ABC的面積.

4

【答案】（團(tuán)）2；（0）叵.

2

【分析】

（回）由正弦定理將邊化角，再利用兩角和的正弦公式可得sin（B+C）=2sin（A+C）,再根據(jù)內(nèi)角和定理

及誘導(dǎo)公式可得sinA=2sin3,最后利用正弦定理即可得解；

（0）由余弦定理求出邊》，再利用面積公式計算可得；

【詳解】

解：（回）因為C（COS3-2COSA）=（2Q-/?）COSC,由正弦定理得

sinC（cosB-2cosA）=（2sinA-sin8）cosC,

所以sinCcosB-2cosAsinC=2sinAcosC-sinficosC

得sin（3+C）=2sin（A+C）.

因為A+8+C=7i,所以sinA=2sin3,

所以由正弦定理可得0=2.

b

3

（國）因為cosC=二，c=2,—=2,

4b

所以由余弦定理得父+“一廠=2,

2ab4

即（2））+從二4=之,解得b=

4b24

則a=2b=2V2.

乂sinC="Jl-cos2C=>

4

所以SA/ifiC=；absinC=gx2&x&x-^=.

【點睛】

本題考查解三角形，三角恒等變換及正、余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

7.（2021?上海高三專題練習(xí)）如圖所示，A、B兩處各有一個垃圾中轉(zhuǎn)站，8在A的正東方向16km處，AB

的南面為居民生活區(qū)，為了妥善處理生活垃圾，政府決定在A3的北面P處建一個發(fā)電廠，利用垃圾發(fā)電，

要求發(fā)電廠到兩個垃圾中轉(zhuǎn)站的距離（單位：km）與它們每天集中的生活垃圾量（單位：噸）成反比，現(xiàn)估測

得A.8兩處中轉(zhuǎn)站每天集中的生活垃圾量分別為約為30噸和50噸.

（1）當(dāng)AP=15km時，求NAP3的值；

（2）發(fā)電廠盡量遠(yuǎn)離居民區(qū)，要求的面積最大，問此時發(fā)電廠與兩個垃圾中轉(zhuǎn)站的距離各為多少？

【答案】（1）arccos捺；（2）PA=5用,PB=3庖.

【分析】

（1）根據(jù)已知條件先計算出BP的長度，然后利用余弦定理求解出cosNAPB的值，從而NAPB的值可求；

（2）建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件分析得到P的軌跡，由此確定出△K4B的面積最大值，從而可求解

出發(fā)電廠與兩個垃圾中轉(zhuǎn)站的距離.

【詳解】

（工）根據(jù)條件可知：AP-30=BP-50,所以BP=9km,

AP2+BP2-AB2225+81-256=—,所以NAP5=arccos2；

所以cos/APB

2APBP——2x15x92727

（2）以AB中點為坐標(biāo)原點，垂直于方向為V軸，建立坐標(biāo)系如圖所示：

設(shè)P（x,y）,A（—8,0）,3（8,0）,因為AP-30=8P50,所以AP=|BP,

所以J（x+81+y2=[J（x_8）2+y2,所以16/一544x+1024+16_/=0,

所以Y—34x+64+y2=0,所以(x—17)?+;/=225,

所以P的軌跡是圓心為(17,0),半徑為15的位于x軸上方的圓，

所以當(dāng)△PAB的面積最大時，此時P的坐標(biāo)為(17,15),

所以AP=^(17-(-8))2+152=5734-BP=,J(17-8)2+152=3734.

結(jié)論點睛：平面上給定兩個定點AB,設(shè)尸點在同一平面上且滿足震則尸的軌跡是

PB

個圓.

8.(2021?上海市實驗學(xué)校高三開學(xué)考試)如圖1,一藝術(shù)拱門由兩部分組成，下部為矩形ABC。，AB,AD

的長分別為2Gm和4〃?，上部是圓心為。的劣弧CO,NCOO=竽.

(1)求圖1中拱門最高點到地面的距離；

(2)現(xiàn)欲以B點為支點將拱門放倒，放倒過程中矩形ABC。所在的平面始終與地面垂直，如圖2、圖3、

圖4所示.設(shè)8c與地面水平線/所成的角為6.記拱門上的點到地面的最大距離為〃，試用。的函數(shù)表示

h,并求出〃的最大值.

4sin6+26cos。,0W"工

6,其最大值為

【答案】(1)拱門最高點到地面的距離為5m.(2)h=<

2+2>/3sin(6H—),—<0<一

662

2+273

【分析】

（1）求出圓的半徑，結(jié)合圓和R石的性質(zhì)求出拱門最高點到地面的距離即可；

（2）通過討論P(yáng)點所在的位置以及三角函數(shù)的性質(zhì)求出h的最大值即可.

【詳解】

（1）如圖，過。作與地面垂直的直線交AB,CD于點。，02,交劣弧8于點P,。/的

長即為拱門最高點到地面的距離.

在R/AQOC中，NQ0C=2，CO[=C，

所以O(shè)Q=1,圓的半徑R=oc=2.

所以gP=R+OQi=R+O,O2-OO2=5.

答：拱門最高點到地面的距離為5，〃.

（2）在拱門放倒過程中，過點。作與地面垂直的直線與“拱門外框上沿"相交于點P.

當(dāng)點尸在劣弧CD上時，拱門上的點到地面的最大距離〃等于圓。的半徑長與圓心。到地面距離之和;

當(dāng)點P在線段AD上時，拱門上的點到地面的最大距離人等于點。到地面的距離.

由（1）知，在放A。。/?中，OB=JOO：+OF=2后

以3為坐標(biāo)原點，直線/為x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系.

TTTT

當(dāng)點尸在劣弧co上時，一＜ew—.

62

由/。&=8+￥，08=26，

6

由三角函數(shù)定義，

得O2GCOS(8+1,2次sin(6+專

則/z=2+26sin[e+J

兀兀兀

所以當(dāng)6+上='即。=上時,

623

。取得最大值2+26.

7F

當(dāng)點P在線段AO上時，0?8￡意.設(shè)4CBD=(p,在R^BCD中,

6

DB=VBC2+CD2=277，

.2V3V2142幣

sin(p=—1==----

2a7"=訪一個

由ZDBx=0+(p,得O(2>/7COS(，+9),2V7sin(e+e)).

所以/z=2>/7sin(e+。)=4sin0+2>/3cos0.

又當(dāng)0<6<?時,li=4cos0-2>/3sin0>4cos-2>/3sin=^3>0.

L九

所以〃=4sine+2j*cos。在0,-上遞增.

o

TT

所以當(dāng)6=?■時，人取得最大值5.

6

因為2+26>5，所以人的最大值為2+26.

綜上，藝術(shù)拱門在放倒的過程中，拱門上的點到地面距離的最大值為(2+26)m-

【點睛】

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，

數(shù)形結(jié)合思想，是一道綜合題.

9.(2021?上海徐匯區(qū)?位育中學(xué)高三開學(xué)考試)某旅游區(qū)每年各個月份接待游客的人數(shù)近似地滿足周期性規(guī)

律，因而第〃個月從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)/(〃)可近似地用函數(shù)/(〃)=Acos(vm+8)+Z來刻畫，其中

正整數(shù)〃表示月份且〃6口,12],例如〃=1表示1月份，A和攵是正整數(shù)，卬>0,6G(0,萬).統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，

該地區(qū)每年各個月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)有以下規(guī)律：

①每年相同的月份，該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)基本相同；

②該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)最多的8月份和最少的2月份相差400人；

③2月份該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)為100人，隨后逐月遞增直到8月份達(dá)到最多.

(1)試根據(jù)已知信息，求/(“)的表達(dá)式；

(2)一般地，當(dāng)該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)在400或400以上時，該地區(qū)也進(jìn)入了一年中的旅游“旺

季”，那么，一年中的哪幾個月是該地區(qū)的旅游"旺季"？請說明理由.

(jr27r、

【答案】⑴/(〃)=200cosK〃+丁+300；(2)答案見解析.

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)三條規(guī)律，知該函數(shù)為周期為12的周期函數(shù)，進(jìn)而求得卬，利用規(guī)律②③可求得三

角函數(shù)解析式中的振幅A，攵和6,則函數(shù)的解析式可得；(2)利用余弦函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)題意求得

cos([〃+竺)的范圍，進(jìn)而求得”的范圍，再根據(jù)“eN*，進(jìn)而求得〃的值.

63

TC

試題解析：(1)根據(jù)三條規(guī)律，知該函數(shù)為周期為12的周期函數(shù)，所以w=—.

6

田該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)最多的8月份和最少的2月份相差400人，2月份該地區(qū)從事旅游服務(wù)工

作的人數(shù)為100人

A+左=500A=200

，解得《

%—4=100Z=300

團(tuán)最少的2月份該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)為100人

77TT

0200cos(——x2+0)+300=100,即cos(——卜6)=—1.

63

團(tuán)e￡(o,")

八2兀

國。=—

3

TT2乃

回f(n)=200cos(-〃+——)+300

63

(2)令/'(〃)=AcOS(H72+e)+RZ400

.712%、、1

團(tuán)cos(—n+——)>—

632

團(tuán)〃￡[12左一6/2左一2](左￡Z)

田/￡[1,12]

團(tuán)〃￡[6,10]

0M=6,7,8,9,10

答：一年中6,7,8,9,10月是該地區(qū)的旅游〃旺季〃.

10.(2020?上海高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=2夜sincos+2后cos2—V2.

(1)求函數(shù)/(X)在區(qū)間[0,句上的值域；

(2)若方程/(0月=6(0>0)在區(qū)間[0,句上至少有兩個不同的解，求。的取值范圍.

【答案】(1)[-逝,2]；(2)W'，+00].

【分析】

(1)利用及二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)化簡整理為f(x)=2sin(x+生7T)，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖像與性

4

質(zhì)求出函數(shù)的值域；

(2)由已知得/(GX)=2sin(0x+工尸——，由X￡[0,7r],得力工+^￡—,,且

3X+?=2%乃+W(keZ)或0X+=215+T(攵eZ),結(jié)合方程/((yx)=g(<w>0)在區(qū)間[0,句上至

TC2萬

少有兩個不同的解，可得口》+—2—，解不等式可得解.

43

【詳解】

(1)f(x)=2A/2sin-cos—+2>/2cos2-->/2=0sinx+亞cosx=2sin(x+巳)，

n不

令U=x+(,,.,XG[O,^-],:.U&5

7'T

V2,即sin(x+￡]e,收1

由y=sinU的圖像知,sinUe----，]/.2sin友目,

2I4j2H[-

所以函數(shù)/(X)的值域為卜0,2].

兀

(2)=2sin(d9%+—)(<y>0)

4

Q.二2sin(s+?)=G,即sin(Gx+?)=*,

717171

?.?xG[0,7l\,COXd---G——0.69X+—=2k7V+yGZ)或++(ZGZ)

4|_44

山于方程f（cox）=6（co〉0）在區(qū)間［0,7r］上至少有兩個不同的解，

所以（071d---2----，解得CO2---，

4312

所以。的取值范圍為卷，+00］

【點睛】

方法點睛：考查三角函數(shù)的值域時，常用的方法：

（1）將函數(shù)化簡整理為f（x）=Asin（s+e）,再利用三角函數(shù)性質(zhì)求值域；

（2）利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值.

TT

11.（2020?上海浦東新區(qū)?高三一模）已知函數(shù)/'（刈=5由（。%+:）（0>0）的最小正周期為乃.

6

（1）求。與/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間；

A

（2）在AABC中，若/（萬）=1,求sinB+sinC的取值范圍.

【答案】（1）（0=2,kjr――,k7t+—，女eZ；（2）——,y/3

【分析】

（1）根據(jù)函數(shù)的最小正周期為不，可求出，并寫出函數(shù)式進(jìn)而求/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間:

A

（2）由（1）結(jié)論，/（萬）=1求角A，根據(jù)三角形內(nèi)角和的性質(zhì)可知角B、C的關(guān)系，進(jìn)而求B的范圍,

即可求sin8+sinC的取值范圍.

【詳解】

（1）因為/'（x）=sin8+￡（。>0）的最小正周期為），即7=1=萬

V6；0）

,JiTTJL7/

069=2,/(x)=sin(2xH——),令2攵萬---<2x-\——《——,keZ

6262

jr7T

解得女萬---<X<k7l-\——,kGZ

36

JIj[

團(tuán)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是k?！文?—9keZ

36

（2）在AABC中，若/（￡|=1,

由（1）得，/（x）=sin[2x+.）,所以sin（A+看=1

因為0<A〈肛所以A+上TT=一TT，即A=—TT

623

sinB+sinC=sinB+sin（與一⑶J=+#5=Gsin（3+

因為0<8<，所以一<B—<—；

3666

所以3<411（8+2]1,咚<氐m（8+今卜6

所以sin5+sinC的取值范圍卜亨，也

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：

T2萬

（1）由最小正周期丁=一求參數(shù)，利用整體代入法求/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間：

（2）應(yīng)用三角形內(nèi)角和性質(zhì)可得內(nèi)角8、C的關(guān)系，進(jìn)而用其中一角表示另一角并確定角的范圍，進(jìn)而求

函數(shù)值的范圍.

12.（2020?上海市建平中學(xué)高三期中）在AABC中，設(shè)角A、B、C所對應(yīng)的邊分別為a、b、C,氤M

是邊的中點，且=J^acosC+csinA.

（1）求A的值；

（2）若。=7,c=5,求△A3M的面積.

【答案】（1）A=-（2）55/3?

【分析】

（1）根據(jù)題意和力:弦定理化簡得sinAsinC=J^cosAsinC，進(jìn)而得到Ce（0,7），即可求解；

（2）由余弦定理列出方程，求得匕=8,進(jìn)而求得S“ABC=1M，再結(jié)合點M是邊的中點，即可求解.

【詳解】

（1）因為6acosC+csinA=，

山正弦定理得GsinAcosC+sinCsinA=y/3sinB,

又因為5缶3=5111（?1+。）=511124（：05。+?）5/15111。，

所以sinAsinC=A/3cosAsinC>

因為Ce（O,〃），所以sinCVO,所以tanA=J§，

又Ae（（）,〃），所以A=?.

122

（2）由余弦定理得cosA=3h■+三c—-a+25—491解得b=8,

2bc10沙2

所以以",;=—bcsinA=—x8x5xsin—=1073,

223

因為點M是邊BC的中點，所以Soa”=-S^ABC=5y/3.

【點睛】

對于解三角形問題，通常利用正弦定理進(jìn)行"邊轉(zhuǎn)角"尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊"尋求邊的關(guān)系，利用余弦

定理借助三邊關(guān)系求解，同時注意利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式在解題中的應(yīng)用.

TV

13.（2020?上海市洋涇中學(xué)高三期中）已知函數(shù)/（x）=2sinX---c--o-sx,xeR.

3

（1）求函數(shù)/（X）的最小正周期;

(2)當(dāng)-,求函數(shù)/(X)的最大值與最小值，并指出相應(yīng)的X值.

【答案】⑴%;⑵當(dāng)x=—/j(x)取得最大值為一帶叵；當(dāng)x=?時，/(x)取得最小值為

【分析】

(1)由兩角差的正弦公式、二倍角公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式(-次的)，然后由正弦函數(shù)

性質(zhì)求得最小正周期；

(2)求出2尤-§的范圍，利用正弦函數(shù)性質(zhì)可得最值.

【詳解】

(1)根據(jù)題意得：/(x)=2sinx-1)cosx=2(sinxcos?-

-cosxsin-cosx

3j

--cos2x=sin(2x-&］一@

-sinxcosx-^3cos**x=sin2x0?=sin2x-

2222L3J2

27r

所以最小正周期7

2

7t71

(2)因為xe—■—

_34_

乃「71

所以2x一二?€一辦:

36

當(dāng)2x-^=_色時，即x=_C

3212

"Hmm=2

當(dāng)2x—工=工時，即％=工

364

f(x｝」H

Inin222

所以當(dāng)％=-忘,/(冷取得最大值為一2乎

當(dāng)x=?時，/(X)取得最小值為與叵.

【點睛】

方法點睛：本題考查兩角差的正弦公式，二倍角公式，考查正弦函數(shù)的性質(zhì).此類問題的解題方法是：利

用二倍角公式降幕，利用誘導(dǎo)公式、兩角和與差的正弦（余弦）公式展開與合并，最終把函數(shù)化為

/（X）=Asin（?yx+0）+〃?形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求解.

14.（2020?上海高三專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD是某個歷史文物展覽廳的俯視圖，點E在上，在梯

形。區(qū)域內(nèi)部展示文物，DE是玻璃幕墻,游客只能在E1ADE區(qū)域內(nèi)參觀.在AE上點尸處安裝一可

旋轉(zhuǎn)的監(jiān)控攝像頭，NMPN為監(jiān)控角，其中M、N在線段（含端點）上，且點M在點N的右下方.經(jīng)

7T

測量得知：A￡>=6米，A￡=6米，AP=2米，NMPN=—.記NEPM=6（弧度），監(jiān)控攝像頭的

4

可視區(qū)域回PMN的面積為S平方米.

（1）分別求線段PM、PN關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式，并寫出。的取值范圍;

（2）求S的最小值.

【答案】（1）PM=---------,PN=0<6><--arctan3；（2）8（正一1）平方米.

sin。+cos。cos64

【分析】

（1）由正弦定理求得利用極限值求得。的范圍.

（2）求出APMN的面枳S,利用:倍角公式，兩角和的正弦公式化簡函數(shù)式，然后利用正弦函數(shù)性質(zhì)得最

小值.

【詳解】

7T37r

解：（1）在△PME中，/F,PM=0,PE=AE-AP=4米，ZPEM=—NPME=——e,

44

PMPE

由正弦定理得

sinNPEMsinZPME

“PExsinZPEM2724

pypy—______________—__________—___________

所以-sinZPME-。；巾3萬力-sin6+cos6,

sin（——u）

PNPE

同理在AP/VE中，由正弦定理得

sinAPENsinNPNE

c、，PEXsinAPEN272272

PN=_____________=_________=_____

所以sinAPNE.小小cos。，

sin(——U)

當(dāng)M與E重合時，0-0\當(dāng)N與。重合時，tanZAPD=3,即NAq￡)=arctan3,

7T37r371

O=TI----arctan3=----arctan3,所以。4。工2----arctan3；

444

14

(2)△PMN的面積5=-PMx尸Nxsin/MPN=——-------------

2cos~e+sinJcos。

_________4_________8_8

1+COs2^+-sin2^sin20+cos2^+1夜sin(26+馬+1，

224

37rJrTT7T)7C

因為0W<9?---arctan3,所以當(dāng)26+—=—即6=—e0,-----arctan3時，

4428[_4

o

S取得最小值為萬口=8(72-1)

所以可視區(qū)域"MN面積的最小值為8(72-1)平方米.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查解三角形的應(yīng)用.掌握三角函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵是.解題方法是利用正弦定理或

余弦定理求出三角形的邊長，面積，利用三角函數(shù)的恒等變換化函數(shù)為基本三角函數(shù)形式，然后由正弦函

數(shù)性質(zhì)求最值.

15.(2020?上海楊浦區(qū)?高三一模)設(shè)常數(shù)左wR,/(x)=Z:cos2x+V3sinxcosx,xeR.

(1)若〃x)是奇函數(shù)，求實數(shù)k的值；

(2)設(shè)％=1,AABC中，內(nèi)角AB,C的對邊分別為a,4C.若/(A)=1,a=不,b=3,求△ABC的

面積S.

【答案】(1)%=0；(2)延或延.

42

【分析】

(1)由/(0)=0,知攵=0,再對左=0進(jìn)行檢驗，即可；

71

(2)結(jié)合二倍角公式、輔助角公式和正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可推出A二一，再由余弦定理求出C的信，

3

最后根據(jù)S=-besinA,即可得解.

2

【詳解】

(1)解：由題意/(。)=左=0

檢驗：/(x)=V3sinxcosx

對任意xeR都有

/(-%)=V3sin(-x)cos(-x)=-V3sinxcosx=-/(x)

/(x)是奇函數(shù)

*,?4=().

(2)解：/(A)=cos2A+GsinAcosA=^^^+苴sin2A=sin(2A+2]+,=1,整理得

2216J2

sin(2A+{4,

是三角形的內(nèi)角

所以2A+巴=2

66

71

A=一

3

〃+2219+(?_7

由余弦定理cosA=~—,即L―-

2bc26c

整理得/—3c+2=0,解得c=l或c=2

c1人.，3G才3百

S——besinA----->或-----

242

16.(2020?上海高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=cos(②x)(?y>0)的最小正周期為乃.

(1)求。的值及函數(shù)8。)=百/(￡一幻一/(》),方€[0百的值域；

(2)在△A6C中，內(nèi)角A,B,C所對應(yīng)的邊長分別為。，b,。，若/(A)=-1,^ABC

的面積為3百，b-c=2,求。的值.

【答案】(1)。=2：值域為[-1,2]；(2)4.

【分析】

(1)由周期求得。，利用誘導(dǎo)公式和兩角差的正弦公式化g(x)為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后由正

弦函數(shù)性質(zhì)可得值域;

(2)由/(A)=-g求得A,再由三角形面積得力C,然后由余弦定理可求得a.

【詳解】

解：(1)因為函數(shù)/(x)=cos3x)的最小正周期為7，

由T=M=?,|?y|=2,

又因為g>0所以。=2.

此時/(九)=cos2x,則得g(x)=6cos2一無]一cos2x,

B|Jg(x)=y/3sin2x-cos2x?E|J^(x)=2sin(2x--j

當(dāng)T唱時，2》一3[-奈朗，2sin(2x-J-2],

所以所求函數(shù)的值域為[-1,2].

(2)由題意得cos2A=-,

2

因為工]則得2Ae(0,〃)，所以2A=2工，解得4=工

I2J33

因為AAfiC的面積為3g，則得《人csinA=3VL即gbcsing=3百，

即從=12.

又因為6—c=2,

由余弦定理，得a=yjb2+c2-2bccosA=\/b2+c2-be=y](b-c)2+bc

=,22+12=4

所以a=4.

【點睛】

方法點睛：本題考查求三角函數(shù)的值域，考查余弦定理解三角形，以及三角形面積公式.三角函數(shù)問題中，

首先需利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式、兩角和與差的正弦(余弦)公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式

(主要是/(幻=45m(5+0)+無形式)，然后利用正弦函數(shù)性質(zhì)確定求解.

17.（2020.上海長寧區(qū)?高三一模）某公共場所計劃用固定高度的板材將一塊如圖所示的四邊形區(qū)域ABCD

沿邊界圍成一個封閉的留觀區(qū).經(jīng)測量，邊界A3與的長度都是20米，NA4O=6（y,N8CO=120.

（1）若乙4。。=105°，求BC的長（結(jié)果精確到米）;

（2）求圍成該區(qū)域至多需要多少米長度的板材（不計損耗，結(jié)果精確到米）.

【答案】⑴16米；（2）63米.

【分析】

（1）連接30,可知△A5D是等邊三角形，可得出30=20,求出N80C的值，利用正弦定理可求得

的長；

（2）設(shè)NADC=6?,利用正弦定理得出BC="?sin[e—2]，℃=也Asin（也—6〕，進(jìn)而可得

3I3）3I3J

出圍成該區(qū)域所需板材的長度關(guān)于。的表達(dá)式，利用正弦函數(shù)的有界性可求得結(jié)果.

【詳解】

（1）連接BD，由題意△ABD是等邊三角形，所以班＞=20,

又因為ZADC=105°-所以ZBDC=45。，

BCBDBDsin45_20x^2076

在△BCD中,，得BC=16（米）；

sinZBDCsinZCsin120

2

jr

(2)設(shè)ZADC=6,則NBDC=e-一，NCBD=——0,

33

CDBCBD

在△BCD中,

sinNCBD-sinZBDC一sinZC

所以BC=^^sin(