人教版數(shù)學(xué)八年級上冊全冊培優(yōu)輔導(dǎo)資料講義附期末模擬試卷

目錄

第一講三角形......................................................2

第二講全等三角形的性質(zhì)與判定.....................................7

第三講角平分線的性質(zhì)與判定.......................................14

第四講軸對稱及軸對稱變換.........................................18

第五講等腰三角形.................................................25

第六講等邊三角形................................................32

第八講邪的運算..................................................45

第九講整式乘法...................................................50

第十講：整式乘法公式講義...........................................55

第十一講整式除法講義.............................................62

第十二講因式分解及其應(yīng)用.........................................66

第十三講分式的概念?性質(zhì)與運算..................................71

第十四講分式的化簡求值與證明.....................................75

第十五講分式方程及其應(yīng)用.......................................81

人教版數(shù)學(xué)八年級上數(shù)學(xué)期末模擬試卷2份（含答案）.................109

第一講三角形

考點?方法?破譯

1.了解與三角形有關(guān)的線段（邊、高、中線、角平分線），會畫出任意三角形的高、中線、角平分線.

2.知道三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

3.了解與三角形有關(guān)的角（內(nèi)角、外角）.

4.掌握三角形三內(nèi)角和等于180。，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

5.會用方程的思想解與三角形基本要素相關(guān)的問題.

6.會從復(fù)雜的圖形中找到基本圖形，從而尋求解決問題的方法.

經(jīng)典-考題?賞析

【例1】若的三邊分別為4,X,9,則x的取值范圍是,周長/的取值范圍是

;當(dāng)周長為奇數(shù)時，x=.

【變式題組】

1.若△A8C的三邊分別為4,X,9,且9為最長邊，則x的取值范圍是,周長/的取值范圍

是.

2.設(shè)△ABC三邊為a,b,c的長度均為正整數(shù)，且aVb<c,a+b+c=13,則以a,b,c為邊的三角形，共

有個.

3.用9根同樣長的火柴棒在桌面上擺一個三角形（不許折斷）并全部用完，能擺出不同形狀的三角形個數(shù)

是（）.

A.1B.2C.3D.4

【例2】已知等腰三角形的一邊長為18cm,周長為58cm,試求三角形三邊的長.

【變式題組】

1.己知等腰三角形兩邊長分別為6cm,12cm,則這個三角形的周長是（）

A.24cmB.30cmC.24cm或30cmD.18cm

2.已知三角形的兩邊長分別是4cm和9cm,則下列長度的四條線段中能作為第三條邊的是（）

A.13cmB.6cmC.5cmD.4cm

3.等腰三角形一腰上的中線把這個等腰三角形的周長分成12和10兩部分，則此等腰三角形的腰長為

【例3】如圖AD是△ABC的中線，DE是△ADC的中線，EF是△DEC的中線，F(xiàn)G是的中線，若

=

—1cm,貝USaABC?

【變式題組】

1.如圖，已知點D、￡、F分別是BC、AD、BE的中點，SAA6C=4,貝.

A

E

（第1題圖）

2.如圖，點D是等腰△A8C底邊BC上任意一點，DE_LAB于E,DF_LAC于F,若一腰上的高為4cm,則DE+DF

3.如圖，已知四邊形A3CD是矩形（AD>A8），點E在BC上，且AE=AD,OF_LAE于F,則DF與AB的數(shù)

量關(guān)系是.

【例4】已知，如圖，則NA+N8+NC+ND+/E=.

【變式題組】

1.如圖，則/A+N8+/C+ZD+NE=.

2.如圖，則/4+/B+/C+/D+NE+/F=.

3.如圖，則NA+N8+/C+ND+NE+/F=.

（第3題圖）

【例5】如圖，已知NA=70。，BO.C。分別平分NABC、ZACB.則NBOC=.

【變式題組】

1.如圖，ZA=70°,Ze=40°,NC=20°,則/BOC=

A

（第1題圖）

3.如圖，Z0=140°,ZP=100",BP、CP分別平分NABO、ZACO,則NA=.

【例6】如圖，已知/8=35。，ZC=47°,AD±BC,AE平分NR4C,貝|NEAD=.

【變式題組】

1.（改）如圖，已知/B=39°,NC=61°,BD1AC,AE平分N8AC,則N8FE=.

2.如圖，在△ABC中，NACB=40。，4。平分/8AC,NACB的外角平分線交4?的延長線于點P,點F是8c

上一動點（F、。不重合），過點F作EFLBC交于點E,下列結(jié)論:①NP+NOEF為定值，②NP-/DEF

為定值中，有且只有一個答案正確，請你作出判斷，并說明理由.

*【例7】如圖，在平面內(nèi)將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△48C,使CU〃A8,若/8AC=70。，則旋轉(zhuǎn)角a

【變式題組】

1.如圖，用等腰直角三角形板畫NAOB=45。，并將三角板沿。8方向平移到如圖所示的虛線后繞點M逆時針

方向旋轉(zhuǎn)22。，則三角板的斜邊與射線GA的直角a=.

A

（第1題圖）

2.如圖，在平面內(nèi)將△AOB繞點。順時針旋轉(zhuǎn)a角度得到△0A9,若點A在AB上時，則旋轉(zhuǎn)角a=

.（ZAOB=90°,ZB=30"）

3.如圖，Z\A8E和△ACD是△ABC沿著AB邊,AC邊翻折180。形成的，若/8AC=130。,則Na=,

演練鞏固?反饋提局

1.如圖，圖中三角形的個數(shù)為（）

A.5個8.6個C.7個0.8個

2.如果三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么這個三角形是（）

人銳角三角形8.鈍角三角形

C.直角三角形D.不確定

3.有4條線段，長度分別是4cm,8cm,10cm,12cm,選其中三條組成三角形，可以組成三角形的個數(shù)是

（）

A.1個B.2個C.3個。.4個

4.下列語句中，正確的是（）

4三角形的一個外角大于任何一個內(nèi)角

B.三角形的一個外角等于這個三角形的兩個內(nèi)角的和

C.三角形的外角中，至少有兩個鈍角

D.三角形的外角中，至少有一個鈍角

5.若一個三角形的一個外角小于與它相鄰的內(nèi)角，則這個三角形是（）

A.直角三角形8.銳角三角形C.鈍角三角形D.無法確定

6.若一個三角形的一個外角大于與它相鄰的內(nèi)角，則這個三角形是（）

4直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.無法確定

7.如果等腰三角形的一邊長是5cm,另一邊長是9cm,則這個三角形的周長是.

8.三角形三條邊長是三個連續(xù)的自然數(shù)，且三角形的周長不大于18,則這個三角形的三條邊長分別是

9.如圖，在△ABC中，N4=42。，ZB與NC的三等分線，分別交于點D、E,則/BDC的度數(shù)是

A

10.如圖，光線/照射到平面鏡上，然后在平面鏡I、H之間來回反射，已知Na=55,Ny=75。，/6=

11.如圖，點D、E、F分別是BC、AD.8E的中點，且又出=1，則又謝=.

12.如圖，已知：/1=/2,/3=N4,N8AC=63。，則/DAC=.

13.如圖，已知點D、E是8c上的點，S.BE=AB,CD=CA,ZDAE^-ZBAC,求/8AC的度數(shù)

3

培優(yōu)升級-奧賽檢測

1.在△ABC中，2NA=3/B,且/。一30°=/A+NB,則△48（：是（）

4.銳角三角形B.鈍角三角形

C.有一個角是30。的直角三角形D.等腰直角三角形

B.C.

2.已知三角形的三邊a、b、c的長都是整數(shù)，且a幼女，如果b=7,則這樣的三角形共有（）

A.21個B.28個C.49個D.54個

3.在△ABC中，NA=50。，高BE、CF交于。點、,則N8OC=.

4.在等腰△A8c中，一腰上的高與另一腰的夾角為26。，則底角的度數(shù)為.

5.如圖，BP平分/A8C交CD于點F,DP平分/ADC交AB于點E,若/A=40。，ZC=38°,則NP=

6.如圖，已知OABC是一個長方形，其中頂點A.B的坐標(biāo)分別為（0,a）和（9,a）.點E在A8上，且AE=；A8.點

F在。C上，且。F=^oc,點G在OA上，且使△GEC的面積為16,試求a的值.

3

7.如圖，已知四邊形A8CD中，ZA+ZDCB=180°,兩組對邊延長后分別交于P、Q兩點，NP、NQ的平分

線交于M，求證PM_LQM.

第二講全等三角形的性質(zhì)與判定

考點?方法?破譯

1.能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形.全等三角形的形狀和大小完全相同；

2.全等三角形性質(zhì)：①全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；②全等三角形對應(yīng)高、角平分線、中線

相等；③全等三角形對應(yīng)周長相等，面積相等；

3.全等三角形判定方法有：SA5,ASAMAS,SSS,對于兩個直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，

還有HL法；

4.證明兩個三角形全等的關(guān)鍵，就是證明兩個三角形滿足判定方法中的三個條件，具體分析步驟是先

找出兩個三角形中相等的邊或角，再根據(jù)選定的判定方法，確定還需要證明哪些相等的邊或角，再設(shè)法對它

們進行證明；

5..證明兩個三角形全等，根據(jù)條件，有時能直接進行證明，有時要證的兩個三角形并不全等，這時需

要添加輔助線構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、等倍延長線中線、截取

等等.

經(jīng)典?考題?賞析

【例1】如圖，AB//EF//DC,ZABC=90°,AB=CD,那么圖中有全等三角形（）

A.5對8.4對C.3對。.2對

【變式題組】

1.（武漢2011）下列判斷中錯誤的是（）

4.有兩角和一邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

8.有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等

C.有兩邊和其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等

D.有一邊對應(yīng)相等的兩個等邊三角形全等

2.（黃岡）已知命題：如圖，點A、。、8、E在同一條直線上，且A0=8E,NA=NFDE,則△ABCgZ\OEF.

判斷這個命題是真命題還是假命題，如果是真命題，請給出證明；如果是假命題，請?zhí)砑右粋€適當(dāng)條件

使它成為真命題，并加以證明.

3.（上海）已知線段AC與相交于點。，連接A8、DC,E為。8的中點，F(xiàn)為。C的中點，連接EF（如圖所

示）.

⑴添加條件/A=ND,/OEF=NOFE,求證：AB=DC；

⑵分別將“NA=ND”記為①，“NOEF=NOFE”記為②，“AB=DC”記為③，添加①、③，以②為結(jié)

論構(gòu)成命題1;添加條件②、③，以①為結(jié)論構(gòu)成命題2.命題1是命題，命題2是—

命題（選擇“真”或“假”填入空格）.

【例2】已知AB=DC,AE=DF,CF=FB.求證：AF=DE.

【變式題組】

1.如圖，AD,BE是銳角△A8C的高，相交于點。，若BO=AC,BC=7,8=2,則AO的長為（）

A.2B.3C.4D.5

2.如圖，在8c中，AB=AC,ZBAC=90°,是過A點的一條直線，A￡_LCE于E,8D_LAE于。，0E=4cm,

CE=2cm,貝BD=

3.（孝感2013）己知：如圖，在△A8C中，ZACB=90°,CDJ_AB于點D,點￡在AC上，CE=BC,過點E

作AC的垂線，交CD的延長線于點F.求證：AB=FC.

【例3】如圖①，/\ABC^/\DEF,將△ABC和的頂點B和頂點E重合，把△蛇「繞點B順時針方向旋

轉(zhuǎn)，這時AC與DF相交于點。.

⑴當(dāng)△口￡下旋轉(zhuǎn)至如圖②位置，點B（E）、C、D在同一直線上時，ZAFD與NOCA的數(shù)量關(guān)系是

⑵當(dāng)△￡?￡下繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖③位置時，⑴中的結(jié)論成立嗎？請說明理由.

【變式題組】

1.（紹興2013）如圖，。、E分別為AABC的AC、8C邊的中點，將此三角形沿DE折疊，使點C落在AB邊

上的點P處.若NCDE=48。，則NAPD等于（）

A.42°B.48°C.52°D.58°

2.如圖，Rt^ABC沿直角邊8c所在的直線向右平移得到下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.AABg/\DEFB.ZDEF=90°

C.AC=DFD.EC=CF

3.一張長方形紙片沿對角線剪開，得到兩種三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成如下圖形式，使點B、

F、C、。在同一條直線上.

⑴求證：ABLED；

⑵若P8=BC,找出圖中與此條件有關(guān)的一對全等三角形，并證明.

【例4】（第21屆江蘇競賽試題）已知，如圖，BD、CE分別是△ABC的邊AC和AB邊上的高，點P在BD

的延長線，BP=AC,點Q在CE上，CQ=AB.求證：⑴AP=AQ；⑵AP_LAQ

【變式題組】

1.如圖，已知AB=AE,ZB=Z￡,BA=ED,點F是CD的中點，求證：AFrCD.

2.（湖州市競賽試題）如圖，在一個房間內(nèi)有一個梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直距離MA為am,

此時梯子的傾斜角為75。，如果梯子底端不動，頂端靠在對面的墻上，此時梯子頂端距地面的垂直距離

NB為bm,梯子傾斜角為45。，這間房子的寬度是（）

a+ba-b

A.mB.mC.bmD.am

22

3.如圖，已知五邊形ABCDE中，ZABC=ZAED=90°,AB=CD=AE=BC+DE=2,則五邊形ABCDE的面

積為______

演練鞏固?反饋提高

1.（海南2011）己知圖中的兩個三角形全等，則Na度數(shù)是（）

A.72°B.60°C.58°D.50°

2.如圖，△ACB絲△HcV,ZBCB1=30°,則NACH的度數(shù)是（）

A.20°B.30。C.35°D.40°

3.尺規(guī)作圖作/4。8的平分線方法如下：以。為圓心，任意長為半徑畫弧交。A、OB于C、D,再分別以點

C、。為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點P,作射線OP,由作法得△。。。芻△。。2的根

2

據(jù)是（）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

4.（武漢2012）如圖，已知A8=AD,那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC絲△ADC的是（）

A.CB=CDB.NBAC=NDAC

C.ZBCA=ZDCAD.NB=ND=90°

5.有兩塊不同大小的等腰直角三角板△A8C和△8DE,將它們的一個銳角頂點放在一起，將它們的一個銳角

頂點放在一起，如圖，當(dāng)A、B、。不在一條直線上時，下面的結(jié)論不正確的是（）

A./\ABE^/\CBDB.ZABE=ZCBD

C.ZABC=ZEBD=45°D.AC//BE

6.如圖，△ABC和共頂點A,AB^AE,N1=N2,N8=/E8C交4。于M,DE交AC于/V,小華說：“一

定有8cg△AED.”小明說：“△A8M絲AAEM”那么（）

A小華、小明都對B.小華、小明都不對

C.小華對、小明不對D.小華不對、小明對

7.如圖，已知AC=EC,BC=CD,A8=ED,如果NBCA=119°,/ACD=98°,那么NECA的度數(shù)是.

8.如圖，△△8c四△ADE,BC延長線交DE于F,ZS=25°,ZACB=105°,ZDAC=10°,則/DFB的度數(shù)

為.

9.如圖，在RtZV?BC中，ZC=90°,DE±ABD,BC=BD.AC=3,那么AE+DE=

10.如圖，BALAC,CD//AB.BC=DE,且BC_LDE,若A8=2,8=6,則AE=.

11.如圖，AB=CD,AB//CD.BC=12cm,同時有P、Q兩只螞蟻從點。出發(fā)，沿CB方向爬行，P的速度是

OAcm/s,Q的速度是O2cm/s.求爬行時間t為多少時,，A-APB^AQDC.

12.如圖，ZVIBC中，ZfiC4=90°,AC=BC,AE是8c邊上的中線，過C作CF_LAE,垂足為F,過B作8。

_L8C交CF的延長線于D.

⑴求證：AE-CD-,

⑵若AC=12cm,求8D的長.

13.（吉林）如圖，AB=AC,AO_LBC于點。，AD等于AE,AB平分/DAE交DE于點F,請你寫出圖中三對

全等三角形，并選取其中一對加以證明.

14.如圖，將等腰直角三角板A8C的直角頂點C放在直線/上，從另兩個頂點A、B分別作/的垂線，垂足

分別為。、E.

⑴找出圖中的全等三角形，并加以證明；

⑵若。￡二a,求梯形DABE的面積.（溫馨提示：補形法）

15.如圖，ACLBC,AD±BD,AD=BC,CELAB,DF±AB,垂足分別是￡、F.求證：CE=DF.

培優(yōu)升級?奧賽檢測

1.如圖，在△ABC中，AB^AC,E、F分別是A8、AC上的點，且AE=AF,BF、CE相交于點。，連接A。并

延長交BC于點D,則圖中全等三角形有（）

A.4對B.5對C.6對D.7對

2.如圖，在△A8C中，AB^AC,0C=。。，下列結(jié)論中：①/A=/8②OE=CE,③連接DE,則。E平分/

AOB,正確的是（）

A.①②B.②③C.D.①②③

3.如圖，A在。E上，F(xiàn)在A8上，且AC=CE,Z1=Z2=Z3,則DE的長等于（）

A.DCB.BCC.ABD.AE+AC

4.下面有四個命題，其中真命題是（）

人兩個三角形有兩邊及一角對應(yīng)相等，這兩個三角形全等

B.兩邊和第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等

C.有一角和一邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等

D.兩邊和第三邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等

5.在△A8C中，高AD和8E所在直線相交于H點，且則/A8C=.

6.如圖，EB交AC于點M,交FC于點D,AB交FC于點N,NE=ZF=90°,ZB=ZC,AE=AF.給出下列結(jié)

論：①/1=/2；②BE=CF;③△ACN也△ABM;④CD=DB,其中正確的結(jié)論有.（填序號）

7.如圖，AD為在△ABC的高，E為AC上一點，BE交AD于點F,且有8F=AC,FD=CD.

⑴求證：BE±AC；

⑵若把條件"BF=AC”和結(jié)論"B￡_LAC”互換，這個命題成立嗎？證明你的判定.

8.如圖，。為在△A8C的邊BC上一點，且CD=4B,NBDA=/BAD,AE是△ABD的中線.

求證：AC=2AE.

9.如圖，在凸四邊形A8CD中，E為△ACD內(nèi)一點，滿足AC=AD,AB=AE,ZBAE+ZBCE=90°,ZBAC=

NEAD.求證：NCED=90°.

10.如圖，AB=AD,AC=AE,ZBAD=ZCAE=180°.AHrAHH,HADETG.求證：GD=GE.

第三講角平分線的性質(zhì)與判定

考點?方法?破譯

1.角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.

2.角平分線的判定定理：角的內(nèi)角到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.

3.有角平分線時常常通過下列幾種情況構(gòu)造全等三角形.

經(jīng)典?考題?賞析

【例1】如圖，已知。。平分/AO8,在。A、。8邊上截取。4=。8,PMLBD,PN_LAD.求證：PM=PN

【變式題組】

1.如圖，CP、BP分別平分△ABC的外角NBCM、NCBM求證：點P在N8AC的平分線上.

2.如圖，B。平分乙48C,A8=BC,點P是8D延長線上的一點，PM_L/W,PN_LCD.求證：PM=PN

【例2】（天津競賽題）如圖，已知四邊形A8CD中，47平分/BAD,CE_LAB于點E,且AE=1（A8+A。），

2

如果ND=120°,求NB的度數(shù)

【變式題組】

S

1.如圖，在△ABC中，C。平分NACB,AC=5,8c=3.求一

oqACBD

2.（河北競賽）在四邊形A8CD中，已知A8=a,AD=b.且8C=DC,對角線AC平分NBAD,問a與b的大

小符合什么條件時，有/8+/。=180。，請畫圖并證明你的結(jié)論.

【例3】如圖，在△A8C中，ZBAC=90°,AB=AC,BEABC,CE_LB￡求證：CE=1BD

2

【變式題組】

1.如圖，已知AC〃BD,EA,EB分別平分NCA8、ZDBA,CD過點￡,求證：AB=AC+BD.

2.如圖，在△ABC中，ZB=60°,AD,CE分別是NBAC、N8CA的平分線，AD,CE相交于點F.

⑴請你判斷FE和FD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

⑵求證：AE+CD=AC.

演練鞏固?反饋提高

1.如圖，在中，ZC=90°,8。平分NABC交AC于。，若CD=n,AB=m,則△AB。的面積是（）

11

A.-mnB.—mnC.mnD.2mn

32

2.如圖，已知A8=4C,BE=CE,下面四個結(jié)論：①8P=CP；?AD±BC；③AE平分/8AC；?ZPBC=ZPCB.

其中正確的結(jié)論個數(shù)有（）個

A.1B.2C.3D.4

3.如圖，在△A8C中，P、Q分別是8C、AC上的點，作PR_LA8,PS±AC,垂足分別是R、5.若AQ=PQ,

PR=PS,下列結(jié)論：①AS=AR；②PQ〃AR；③△8RPZZ\CSP.其中正確的是（）

A.①③8.②③C.①②D.①②③

4.如圖，△△8c中，AB=AC,4。平分N8AC,DE1AB,DFYAC,垂足分別是E、F,則下列四個結(jié)論中：

①AD上任意一點到8、C的距離相等；②4。上任意一點到AB、AC的距離相等；③AD_L8c且BD=CD；

④N8DE=NCDF.其中正確的是（）

A.②③8.②④C.②③④D.①②③④

5.如圖，在RQA8C中，N4CB=90°,NCA8=30°,/ACB的平分線與/A8C的外角平分線交于E點，

則NAE8的度數(shù)為（）

A.50°B.45°C.40°D.35°

6.如圖，P是△A8C內(nèi)一點，PDJ_A8于。，PEJ_8c于E,PFJ_AC于F,且PD=PE=PF,給出下列結(jié)論：①

AD=AF,@AB+EC=AC+BE；③BC+CF=AB+AF；④點P是△△8c三條角平分線的交點.其中正確的

序號是（）

A.①②③④8.①②③C.①②④D.②③④

7.如圖，點P是aABC兩個外角平分線的交點，則下列說法中不正確的是（）

A.點P到8c三邊的距離相等8.點P在/A8c的平分線上

C./P與N8的關(guān)系是：ZP+-ZB=90°D.NP與NB的關(guān)系是：ZB=-ZP

22

8.如圖，BD平分/ABC,CDACE,8。與CD相交于。.給出下列結(jié)論：①點。到48、AC的距離相等:

②N8AC=2/BDC；③DA=DC；④DB平分NADC.其中正確的個數(shù)是（）

A.1個8.2個C.3個。.4個

9.如圖，△ABC中，/C=90°AD是△ABC的角平分線，D￡_LAB于E,下列結(jié)論中：①AD平分NCDE：②

NBAC=NBDE；③DE平分NADB；④A8=AC+8E.其中正確的個數(shù)有（）

人3個8.2個C.1個D.4個

10.如圖，已知8Q是/A8C的內(nèi)角平分線，CQ是/ACB的外角平分線，由Q出發(fā)，作點Q到8C、AC和

AB的垂線QM、QN和QK,垂足分別為M、N、K,則Q/W、QN、QK的關(guān)系是

11.如圖，AD是NBAC的平分線，DE_LAB于E,OF_LAC于F,且DB=DC.求證：BE=CF

12.如圖，在△ABC中，AD是N8AC的平分線，OE_LA8于點￡,DF_LAC于點F.求證：ADLEF.

培優(yōu)升級?奧賽檢測

1.如圖，直線/卜機/3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，

則可選擇的地址有（）

A.一處B.二處C.三處D.四處

2.已知RtZ\ABC中，NC=90°,ADZBACBCfD,若8c=32,且8O:CD=9:7,則。到AB邊的

距離為（）

A.18B.16C.14D.12

3.如圖，AABC中，/C=90°,A。是△ABC的平分線，有一個動點P從A向B運動.已知：DC=3cm,DB

=4cm,AD=8cm.DP的長為x（cm）,那么x的范圍是

4.如圖，已知AB〃CD,PE1AB,PF±BD,PGLCD,垂足分別為E、F、G,且PF=PG=PE,則NBPD=

5.如圖，已知AB〃CD,。為NCAB、NACD的平分線的交點，OEJ_AC,且OE=2,則兩平行線AB、CD間

的距離等于______

6.如圖，45平分/8AC,EF_LAD,垂足為P,EF的延長線于8c的延長線相交于點G.求證：ZG=-（ZACB

2

-ZB)

7.如圖，在中,AB>AC,AD是NBAC的平分線，P為AC上任意一點.求證:AB-AODB-DC

8.如圖，在△A8C中，ZB4C=60°,NACB=40°,P、Q分別在8C、AC上，并且AP、8Q分別為NBAC、

/ABC的角平分線上.求證：BQ+AQ=AB+BP

第四講軸對稱及軸對稱變換

考點-方法?破譯

1.軸對稱及其性質(zhì)

把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線成

軸對稱，這條直線叫對稱軸.

軸對稱的兩個圖形有如下性質(zhì)：①關(guān)于某直線對稱的兩個圖形是全等形；②對稱軸是任何一對對應(yīng)點所

連線段的垂直平分線；③兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點在對稱

軸上.

2.線段垂直平分線

線段垂直平分線也叫線段中垂線，它反映了與線段的兩種關(guān)系：①位置關(guān)系一一垂直；②數(shù)量關(guān)系一

平分.

性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.

判定定理：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.

3.當(dāng)已知條件中出現(xiàn)了等腰三角形、角平分線、高（或垂線）、或求幾條折線段的最小值等情況時，通

?？紤]作軸對稱變換，以“補齊”圖形，集中條件.

經(jīng)典?考題?賞析

【例1】(蘭州)如圖所示，將一張正方形紙片對折兩次，然后在上面打3個洞，則紙片展開后是()

2.(荊州)如圖，將矩形紙片A8CD沿虛線EF折疊，使點A落在點G上，點。落在點”上；然后再沿虛線

GH折疊，使B落在點E上，點C落在點F上，疊完后，剪一個直徑在8c上的半圓，再展開，則展開

后的圖形為()

【例2】(襄樊)如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，將△ABC向右平移兩個單位長度得到B'C',則

與點8'關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是()

A.(0,—1)B.(1,1)C.(2,一1)D.(1,—1)

【變式題組】

1.若點P(—2,3)與點Q(a,b)關(guān)于x軸對稱，貝ija、b的值分別是()

A.-2,3B.2,3C.—2,—3D.2,—3

2.在直角坐標(biāo)系中，已知點P(—3,2),點。是點P關(guān)于x軸的對稱點，將點Q向右平移4個單位得到

點R,則點R的坐標(biāo)是.

3.(荊州)已知點P(a+1,2a-1)關(guān)于x軸的對稱點在第一象限，則。的取值范圍為.

【例3】如圖，將一個直角三角形紙片ABC(NACB=90°),沿線段C。折疊，使點B落在氏處，若NACBi

=70°,則NACD=()

A.30°B.20°C.15°D.10°

【變式題組】

1.（孝感）如圖，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點。、C分別落在點O'、C'的位置.若/EFB=65°,

則/AED'等于（）

A.70°B.65°C.50°D.25°

2.如圖，△ABC中，NA=30°,以BE為邊，將此三角形對折，其次，又以BA為邊，再一次對折，C點落

【例4】如圖，在△A8C中，AD為/8AC的平分線,EF是AD的垂直平分線，E為垂足，EF交BC的延長線

于點F,求證：NB=NCAF.

【變式題組】

1.如圖，點。在△A8C的BC邊上，且BC=BD+AD,則點。在________的垂直平分線上.

2.如圖，△ABC中，NA8c=90°,ZC=15°,DE_LAC于E,且AE=EC,若A8=3cm,則DC=cm.

3.如圖，△ABC中，ZBAC=126°,DE、FG分別為A8、AC的垂直平分線，則N￡AG=.

4.△A8C中，AB^AC,AB邊的垂直平分線交AC于F,若AB=12cm,ZXBCF的周長為20cm,則△A8C的周

長是cm.

【例5】（荊州）如圖，在3X3的正方形格點圖中，有格點△ABC和△￡>￡下，且△A8C和4OEF關(guān)于某直線成

軸對稱，請在下面的備用圖中畫出所有這樣的△DEF.

【變式題組】

1.如圖，在2X2的正方形格點圖中，有一個以格點為頂點的△A8C,請你找出格點圖中所有與△ABC

成軸對稱且也以格點為頂點的三角形，這樣的三角形共有個.

2.如圖甲，正方形被劃分成16個全等的三角形，將其中若干個三角形涂黑，且滿足下列條件：

⑴涂黑部分的面積是原正方形面積的一半；

【例6】如圖，牧童在A處放牛，其家在B處，若牧童從A處出發(fā)牽牛到河岸CD處飲水后回家，試問在何

處飲水，所求路程最短？

【變式題組】

1.（山西）設(shè)直線/是一條河，P、Q兩地相距8千米，P、Q兩地到/地距離分別為2千米、5千米，欲在/

上的某點M處修建一個水泵站向P、。兩地供水.現(xiàn)在如下四種鋪設(shè)管道方案，圖中的實線表示輔設(shè)的

管道，則鋪設(shè)的管道最短的是（）

2.若點4、8是銳角N/WON內(nèi)兩點，請在。M、ON上確定點C、點D,使四邊形ABCD周長最小，寫出你

作圖的主要步驟并標(biāo)明你確定的點.

演練鞏固,反饋提局

1.(黃岡)如圖，△ABC與△△‘8'C'關(guān)于直線/對稱，且/A=78°,/C'=48°,則NB的度數(shù)是().

2.(泰州)如圖，把一張長方形紙片對折，折痕為AB,再以A8的中點。為頂點把平角/AOB三等分，沿

平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出一個以。為頂點的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全

部展開鋪平后得到的平面圖形一定是()

A.正三角形8.正方形C.正五邊形D.正六邊形

3.圖1是四邊形紙片A8CD,其中NB=120°,ZD=50°,若將其右下角向內(nèi)折出△0(：/?,恰使CP〃48,

RC//AD,如圖2所示，貝(]/C=()

A.80°B.85°C.95°D.110°

4.如圖，陰影部分組成的圖案既是關(guān)于x軸成軸對稱的圖形又是關(guān)于y軸成軸對稱的圖形，若點A的坐標(biāo)

是(1,3),則點M和點N的坐標(biāo)分別是()

A.M(1,—3)>N(—1,—3)B.M(—1,—3),N(—1,3)

C.M(—1,—3),N(1.-3)D.M(—1,3),N(1,—3)

5.點P關(guān)于x軸對稱的對稱點P'的坐標(biāo)是(一3,5),則點P關(guān)于y軸對稱的對稱點的坐標(biāo)是()

A.(3,—5)B.(—5,3)C.(3,5)D.(5,3)

06.已知M(1-a,2a+2)關(guān)于y軸對稱的點在第二象限，則a的取值范圍是()

A.—1<a<1B.—IWaWlC.a>1D.a>一1

7.如圖，鏡子中號碼的實際號碼是

8.如圖，正方形A8CD的邊長為4cm,則圖中陰影部分的面積為cm2.

9.已知點A(2a+3b,-2)和B(8,3a+2b)關(guān)于x軸對稱，則a+b=.

10.如圖，在△ABC中，OE、OF分另IJ是48、AC中垂線，且NA8O=20°,NA8C=45°,求N8AC和NACB

的度數(shù).

11.如圖，C、D、E、F是一個長方形臺球桌的4個頂點，A、8是桌面上的兩個球，怎樣擊打4球，才能使

入球撞擊桌面邊緣CF后反彈能夠撞擊B球？請畫出A球經(jīng)過的路線，并寫出作法.

B

D，E

12.如圖，P為NA8C的平分線與AC的垂直平分線的交點，PM_L8c于M,PA/J_84的延長線于N.求證：

AN=MC.

13.（荊州）有如圖“?的8張紙條，用每4張拼成一個正方形圖案，拼成的正方形的每一行和每一

列中，同色的小正方形僅為2個，且使每個正方形圖案都是軸對稱圖形，在網(wǎng)格中畫出你拼成的圖.（畫

出的兩個圖案不能全等）

培優(yōu)升級?奧賽檢測

1.（浙江競賽試題）如圖，直線A與直線〃相交，/。=60°,點P在內(nèi)（不在/也上）.小明用下面的

方法作P的對稱點：先以/,為對稱軸作點P關(guān)于人的對稱點P,,再以L為對稱軸作弓關(guān)于〃的對稱點P2,

然后再以人為對稱軸作對關(guān)于A的對稱點P”以為為對稱軸作P：；關(guān)于〃的對稱點P”....如此繼續(xù)，得

到一系列n、Pz、P,...P”與P重合，則。的最小值是（）

A.58.6C.7D.8

2.（宜昌）己知：如圖，AF平分NBAC,BCA.AF,垂足為E,點。與點A關(guān)于點E對稱，P8分別與線段CF、

AF相交于P、M.

⑴求證：AB—CD；

（2）若/8AC=2NMPC,請你判斷NF與NMC。的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

3.在△ABC中，/BAC=90°,點A關(guān)于BC邊的對稱點為A',點8關(guān)于AC邊的對稱點為B',點C關(guān)于

=

AB邊的對稱點為C，,若S^ABC1）求SAA,B'C'

4.小王同學(xué)在小組數(shù)學(xué)活動中，給本小組出了這樣一道“對稱跳棋”題：如圖，在作業(yè)本上畫一條直線/,

在直線/兩邊各放一粒圍棋子48,使線段A8長。厘米，并關(guān)于直線/對稱，在圖中0處有一粒跳棋

子，自距A點b厘米、與直線/的距離C厘米，按以下程序起跳：第1次，從A點以A為對稱中心跳至

Pz點;第2次，從Pz點以/為對稱軸跳至P3點；第3次，從R點以B為對稱中心跳至P,點；第4次，

從P，以/為對稱軸跳至P1點;

⑴畫出跳棋子這4次跳過的路徑并標(biāo)注出各點字母；(畫圖工具不限)

⑵棋子按上述程序跳躍2011次后停下，假設(shè)。=8,b=6,c=3,計算這時它與4的距離是多少？

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