線性代數(shù)課后習(xí)題參考答案

習(xí)題1.1

1、寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)

的樣本空間.

(1)生產(chǎn)產(chǎn)品直到有4

件正品為正，記錄生產(chǎn)產(chǎn)

品的總件數(shù).

(2)在單位園中任取一

點(diǎn)記錄其坐標(biāo).

(3)同時(shí)擲三顆骰子，

記錄出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和.

解：(1)。={4,5,6,7,8…}

(2)。={(%.，)*+/<1}

(3)C={3,4,5,6,7,8,9,10,…,18}

2、同時(shí)擲兩顆骰子，

x、)分別表示第一、二

兩顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，設(shè)

事件A表示“兩顆骰子出現(xiàn)

點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，8表示

“點(diǎn)數(shù)之差為零”，C表示

“點(diǎn)數(shù)之積不超過20”，用

樣本的集合表示事件

B-AfBC,B\JC,

*B-A={(1.1),(2.2),(3.3),(4.4),(5.5).(6.6))

BC={(1.1),(2.2),(3.3),(4.4)}

BUC={(1.1),(2.2),(3.3),(4.4),(5.5),(6.6),(4.6),(6.4),(5.6),(6.5)}

3、設(shè)某人向靶子射擊

3次，用A表示“第，次射

擊擊中靶子”(，=123),試

用語言描述下列事件.

(1)AU4

(2)(AU4)A

(3)4AUAA

解：(1)第1,2次都

沒有中靶

(2)第三次中靶且

第L2中至少有一次中靶

(3)第二次中靶

4.設(shè)某人向一把子射擊三次，用4表示“第i次射擊擊中靶子"(i=l，2,

3),使用符號(hào)及其運(yùn)算的形式表示以下事件：

(1)“至少有一次擊中靶子”可表示為;

(2)“恰有一次擊中靶子”可表示為;

(3)“至少有兩次擊中靶子”可表示為:

(4)“三次全部擊中靶子”可表示為;

(5)“三次均未擊中靶子”可表示為;

(6)“只在最后一次擊中靶子”可表示為.

解：(1)AUAUA3；(2)AI&AUA&AUAHA；

(3)44U44U4A3;(4)4A2A3;(5)A4A3

(6)A&4

5.證明下列各題

(1)A-B=AB(2)AU5=(A-B)U(A8)U(8—A)

證明：(1)右邊=A(O—3)=A—=A且0后8}=A—8=左邊

(2)右邊=(A豆)0045)11(3^={43€4或℃5}=403

習(xí)題1.2

1.設(shè)A、B、C三事件，P(A)=P(5)=P(C)=!

4

F(AC)=P(BC)=-,P(AB)=0,求A、B、C至少有一個(gè)發(fā)生的概率.

8

解：vP(AB)=0P(ABQ=0

P(AU3UC).=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(A0+P(ABC)

=3°x-1---2cx—1=—1

482

2.已知p(Z)=0.5,P(印6)=0.2,P(8)=0.4,求(1)P(A8)

⑵P(A-B),(3)P(AUB),(4)P(AB).

解:(1)

,/AuB,：.AB=A

P(4B)=P(A)=0.1

(2)

■：AdB,：.A\JB=B

：.P(AU8)=P(8)=0.5

3.設(shè)P(A)=0.2尸(AUB)=0.6A.B互斥，求P(B).

解：???A,B互斥，尸(AU8)=P(A)+P(8)

故P(B)=P(AU3)—P(A)=0.6-0.2=0.4

4.設(shè)A、B是兩事件且P(A)=0.4,P(8)=0.8

(1)在什么條件下P(A5)取到最大值，最大值是多少？

(2)在什么條件下尸(AB)取到最小值，最小值是多少？

解：由加法公式P(AB)=P(A)+P(B)—P(AU8)=1.2-P(AUB)

(1)由于當(dāng)Au8時(shí)AUB=B，P(AU8)達(dá)到最小，即

P(AU8)=P(B)=0.8,則此時(shí)P(AB)取到最大值，最大值為0.4

(2)當(dāng)P(AU8)達(dá)到最大，即P(AU8)=P(Q)=1,則此時(shí)P(AB)取到最小

值，最小值為0.2

5.設(shè)

11___is

P(A)=P(B)=P(C)=-,P(AB)=P(BC)=P(AC)=—,P(AU5UC)=二

4816

求P(AUBUC).

、....———151

解：P(ABQ=l-P(ABC)=l-P(A\JB\JC)=1——=一，

1616

P(AU5UC).=P(A)+P(B)+P(C)--P(BC)-P(AQ+P(ABC)

cIc1I7

=3x--3x—H------=—

481616

習(xí)題1.3

1.從一副撲克牌(52張)中任取3張(不重復(fù))求取出的3張牌中至少有2

張花色相同的概率.

解：設(shè)事件A={3張中至少有2張花色相同}

則,={3張中花色各不相同}

P(A)"Ed受號(hào)?0.602

2.50只釧釘隨機(jī)地取來用在10個(gè)部件上，其中有3個(gè)鉀釘強(qiáng)度太弱，每個(gè)

部件用3只鉀釘，若將3只強(qiáng)度太弱的鉀釘都裝在一個(gè)部件上，則這個(gè)部件強(qiáng)度

就太弱，問發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率.

解法一隨機(jī)試驗(yàn)是從50只釧釘隨機(jī)地取3個(gè)，共有種取法，而發(fā)生“某

一個(gè)部件強(qiáng)度太弱”這一事件只有《這一種取法'其概率為a=嬴’而1。

個(gè)部件發(fā)生“強(qiáng)度太弱”這一事件是等可能的，故所求的概率為

10101

p=￡P(guān)i=

(=1196001960

解法二樣本空間的樣本點(diǎn)的總數(shù)為C；。，而發(fā)生“一個(gè)部件強(qiáng)度太弱”這

一事件必須將3只強(qiáng)度太弱的鉀釘同時(shí)取來，并都裝在一個(gè)部件上，共有

種情況，故發(fā)生“一個(gè)部件強(qiáng)度太弱”的概率為

CC一1

P=

C21960

3.從1至9的9個(gè)整數(shù)中有放回地隨機(jī)取3次，每次取一個(gè)數(shù)，求取出的3

個(gè)數(shù)之積能被10整除的概率.

解法一設(shè)A表示“取出的3個(gè)數(shù)之積能被10整除”,

4表示“取出的3個(gè)數(shù)中含有數(shù)字5”,

為表示“取出的3個(gè)數(shù)中含有數(shù)字偶數(shù)”，

P（A）=P（A,A2）=1-P（A^）

=1-P（A}U工）=1-P（A）-P（Q+尸（］川）

=1--1|、+［：）=1-0.786=0.214

解法二設(shè)義為“第4次取得數(shù)字5”，紇為“第4次取得偶數(shù)"，k=1,2,3o

則A=（AlUA2U4）（4UB2UB3）

N=（A44）U（瓦瓦瓦）

P（K）=P（4KA）+p（瓦瓦瓦）一瓦瓦瓦）

由于是有放回地取數(shù)，所以各次抽取結(jié)果相互獨(dú)立，并且

一一一8——一5

P（4）=P（4）=P（A）=N，P（B）=P（B）=P（B）=-

91239

----------------------4

P（AB^=P（AB）=P（AB.）=-

2239

因此P(A)=1-噸)=1一［管)+圖-電1=1-0.786=0.214

4.袋內(nèi)裝有兩個(gè)5分，三個(gè)2分，五個(gè)1分的硬幣，任意取出5個(gè)，求總數(shù)

超過1角的概率.

解共10個(gè)錢幣，任取5個(gè)，基本事件的總數(shù)N=CQ有利的情況，即5

個(gè)錢幣總數(shù)超過一角的情形可列舉6種(1)5,5,2,2,2；(2)

5,5,2,2,1;(3)5,5,2,1,1;(4)5,5,1,1,1;(5)5,2,2,2,1;(6)5,2,2,1,1.故包含

的基本事件數(shù)為

N(A)=C2++C~Cl+C\C}C[+C；C；C；

=1+3x5+3x10+10+2x5+2x3x10=126

126_1

故所求概率為尸=

5.設(shè)有N件產(chǎn)品，其中M件次品，今從中任取“件,

(1)求其中恰有以女件次品的概率;

(2)求其中至少有2件次品的概率.

解：(1)(2)1cM+MC'L

*心〃

6.設(shè)n個(gè)朋友隨機(jī)的圍繞圓桌而坐，求下列事件的概率：

(1)甲乙兩人坐在一起，且乙在甲的左邊；

(2)甲、乙、丙三人坐在一起；

(3)如果n個(gè)人并列坐在一張長(zhǎng)桌的一邊，再求上述事件的概率.

解(1)n個(gè)朋友隨機(jī)的圍繞圓桌而坐，樣本空間樣本點(diǎn)總數(shù)為(〃-1)!

而事件A為甲乙兩人坐在一起，且乙在甲的左邊，可將兩人“捆綁”在一起,

看成是“一個(gè)”人占“一個(gè)”座位，有利于事件4發(fā)生的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為(〃-2)!

(n-2)!1

于是P(A)=

(zz-1)!n-1

(2)n個(gè)朋友隨機(jī)的圍繞圓桌而坐，樣本空間樣本點(diǎn)總數(shù)為(〃-D!,而事

件B為甲、乙、丙三人坐在一起，可將三人“捆綁”在一起，看成是“一個(gè)"人

占“一個(gè)”座位，有利于事件B發(fā)生的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為用?(〃-3)!

〒口…砥〃-

于是P(B)=」——3-)!=-----6-----

(H-1)!(〃一1)(“一2)

(3)n個(gè)人并列坐在一張長(zhǎng)桌的一邊，樣本空間樣本點(diǎn)總數(shù)為"!，

而事件A為甲乙兩人坐在一起，且乙在甲的左邊，可將兩人''捆綁”在一起,

看成是“一個(gè)”人占“一個(gè)”座位，有利于事件A發(fā)生的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為(”-1)!

于是P(A)=%二更=!

〃！n

而事件8為甲、乙、丙三人坐在一起，可將三人“捆綁”在一起，看成是“一

個(gè)”人占“一個(gè)”座位，有利于事件B發(fā)生的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為3!(〃-2)!

于是p(B)=6("2)!=_6一

〃！〃(〃一1)

7.在一分鐘內(nèi)，一個(gè)正常信號(hào)與一個(gè)干擾信號(hào)均隨機(jī)地各出現(xiàn)一次，設(shè)正常

信號(hào)出現(xiàn)后持續(xù)10秒鐘，干擾信號(hào)出現(xiàn)后持續(xù)5秒鐘，若這兩個(gè)信號(hào)相遇，則

系統(tǒng)就受干擾了，求系統(tǒng)受干擾的概率.

解

樣本空間的面積S(Q)=6()2=3600

系統(tǒng)受干擾的面積(陰影部分面積)S(?l)=602-ix502--?-x552

22

系統(tǒng)受干擾的概率P(A)=9⑷=0.2326

S(Q)

8.兩艘輪船都要?？吭谕粋€(gè)泊位，它們可能在一晝夜的任意時(shí)刻到達(dá)，設(shè)

兩艘輪船停靠泊位的時(shí)間分別為lh和2h,求有一艘輪船?？坎次粫r(shí)不需要等待

一段時(shí)間的概率.

習(xí)題1.4

1.一盒中有新舊兩種乒乓球100只，其中新球中有40只白的和30只黃的,

舊球中有20只白的和10只黃的.現(xiàn)從中任取一只，則：

(1)取到一只新球的概率是;

(2)取到一只黃球的概率是；

(3)已知取到的是新球，該球是黃球的概率是；

(4)取到一只新黃球的概率是

解⑴0.7(2)0.4(3)3/7(4)0.3

2.已知P(A)=；尸=；P(A|B)=g求P(AUB)

解P(AB)=P(A)P(B\A)=：x；=A

PMB)=1H2=1

P(4忸)1/26

3.已知P(A)=().5,P(B)=0.6,P(@A)=0.8,求P(AB)RP(AB).

解P(AB)=P(A)尸(耳A)=0.5x0.8=0.4

P(AB)=P(AU5)=1-P(A)—P(B)+P(AB)=0.3

4.擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7,求其中有一顆為1點(diǎn)的概率(用

兩種方法).

解法一設(shè)事件A為“兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7"，事件B“一顆骰子點(diǎn)數(shù)為

1”，所求概率為

尸…3

P(A)

=2C?=1

2x3C：C：3

解法二點(diǎn)數(shù)為7的種數(shù)為3(6,1:5,2；3,4),其中一個(gè)點(diǎn)數(shù)為1的

種數(shù)為1,則所求概率為1、

5.已知在10只產(chǎn)品中有2只次品,在其中取兩次，每次任取一只，作不放

回抽樣，求下列事件的概率.

(1)兩只都是正品，(2)兩只都是次品，

(3)一只是正品，一只是次品，(4)第二次取出的是次品.

Cl28

解(1)片C^=45

1

⑵*45

16

^=T^=45

Jo^

（4）第一次取出的是正品而第二次取出的是次品的概率

?1618

小丁廣石

第一次取出的是次品而第二次取出的是次品的概率

D_C；C：1_1

所以第二次取出的是次品的概率為巴=%+&=:

6.由長(zhǎng)期統(tǒng)計(jì)資料得知，某一地區(qū)在4月份下雨（記作事件A）的概率為4/15,

刮風(fēng)（用B表示）的概率為7/15,既刮風(fēng)又下雨的概率為1/10,求玖川6）、P（4A）、

P(AUfi).

解蟲）=需=毀

=0.214

漳）=需=就=0.375

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

=4/15+7/15-1/10=0.633

7.12個(gè)乒乓球中有9個(gè)新的，3個(gè)舊的，第一次比賽取出了3個(gè)，用完后放

回去，第二次比賽又取出3個(gè)，求第二次取到的3個(gè)球中有2個(gè)新球的概率.

解設(shè)A（i=0,1,2,3）表示第一次比賽時(shí)用了z?個(gè)新球，B表示第二次取到的3

個(gè)球中有2個(gè)新球的概率.

由全概率公式

P（S）=ZF（B|A）XA）=豈與裊?第二0.455

1=01=0

。12。12

8.玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱次品數(shù)為0,1,2只的概率分別為

0.8,0.1,0.1,一顧客欲買下一箱玻璃杯售貨員隨機(jī)取出一箱，顧客開箱后隨機(jī)取

4只進(jìn)行檢查，若無次品，則購買，否則退回，求

(1)顧客買下該箱玻璃杯的概率？

(2)在顧客買下的一箱中，確實(shí)沒有次品的概率？

解設(shè)4?=0,1,2,)表示箱中有i件次品，B表示顧客買下該箱玻璃杯

(1)由全概率公式

P(B)=￡H34)P(A)=0.8X1+0.1X與+01X為20.94

/=°。20。20

(2)由貝葉斯公式

3史2皿85

切P(B)

9.設(shè)有兩箱同類零件，第一箱內(nèi)裝有50件，其中10件是一等品；第二箱內(nèi)

裝有30件，其中18件是一等品，現(xiàn)從兩箱中任意挑出一箱，然后從該箱中依次

隨機(jī)地取出兩個(gè)零件(取出的零件不放回)，試求

(1)第一次取出的零件是一等品的概率；

(2)在第一次取出的零件是一等品的條件下，第二次取出的零件仍是一等

品的概率.

解設(shè)d(j=O,1,2,)表示從第i箱中取得的是一等品(取出的零件不放回)，B

表示從第一箱中取零件，豆表示從第二箱中取零件

(1)由全概率公式

P(4)=p(4忸)p⑻+p(AB)P?=^x1+l|xl=0.4

(2)由全概率公式

P(AA)=P(A4忸)P(8)+P(A,A|B)P(B)=^X^X1+11X11X1

因此有

.5IO2,I18

P(A(XX+X=0.4856

225049230

習(xí)題1.5

1.已知尸(A)=a,P(3)=0.3,P(AUB)=0.7,

⑴若事件A與B互不相容，求a；

(2)若事件A與B相互獨(dú)立，求a.

解⑴P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

=1-P(A)+P(B)-P(B)+P(AB)

=l-a=0.7

于是a=0.3

(2)P(AUB)=P(A)+P(B)-P(?P(6)即

0.7=(l-。)+0.3-(1-。)乂0.3于是。=3/7

2.甲、乙兩人射擊，甲擊中的概率為0.8,乙擊中的概率為0.7,兩人同時(shí)

獨(dú)立射擊，求⑴兩人都中靶的概率；(2)甲中乙不中的概率；(3)乙中甲不中

的概率.

解設(shè)A表示甲擊中，B表示乙擊中

(1)尸(AB)=P(A)尸(B)=0.8x0.7=0.59

(2)P(AB)=P(A)P(B)=0.8x0.3=0.24

(3)P(AB)=P(A)P(B)=0.2x0.7=0.14

3.甲、乙、丙三人獨(dú)立的去破譯一個(gè)密碼，他們各自能破譯該密碼的概率分

別為±1_和」，求：(1)該密碼能被他們破譯的概率；(2)該密碼被僅僅三人中

543

的一人破譯的概率.

解設(shè)A,8,C分別表示甲、乙、丙獨(dú)立的去破譯出密碼，

(1)該密碼能被他們破譯的概率為

-——4323

P(AUBUC)=1-P(A)P(B)P(C)=1--x^x-=-

(2)該密碼被僅僅三人中的一人破譯的概率為

P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

=-X—X-----1------X—X-------1------X—X—=------

54354354330

4.某機(jī)構(gòu)有一個(gè)9人組成的顧問小組，若每個(gè)顧問貢獻(xiàn)正確意見的百分比是

0.7,現(xiàn)在該機(jī)構(gòu)對(duì)某事可行與否個(gè)別征求各位顧問意見，并按多數(shù)人意見作出

決策，求作出正確決策的概率.

解作出正確決策的概率為.

C^O.75-0.34+C^0.76-O.33+C；0.77.0.32+C^0.780.3+0.79?0.901

5.某電子元件在每一次試驗(yàn)中發(fā)生故障的概率為0.3,當(dāng)故障發(fā)生不少于3

次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào)

(1)進(jìn)行了5次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率；

(2)進(jìn)行了7次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率.

解(1)進(jìn)行了5次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，指示燈發(fā)出信號(hào)的概率為

或OH，0.72+^0.34-0.7+0.35?0.163

(2)進(jìn)行了7次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，指示燈發(fā)出信號(hào)的概率為

1-0.77-C；0.3-0.76+^0.32-0.75?0.353

6.甲乙為交戰(zhàn)雙方，甲方一架飛機(jī)要飛過乙方的一個(gè)高炮陣地，假設(shè)該處每門

炮能夠擊落該飛機(jī)的概率均為0.4,若要保證以不低于95%的概率擊落該飛機(jī)，

那么該陣地至少需要配置多少門這種高炮？

解設(shè)A表示擊落該飛機(jī)(即至少有一門炮擊中飛機(jī))，且需要配置〃門這種高

炮

P(A)=1-P(A)=1-0.6”>0.95

lg0.05

n<

lg0.6

因此若要保證以不低于95%的概率擊落該飛機(jī)，那么該陣地至少需要配置6門

這種高炮.

7.某射手射靶5次，各次射中的概率都是0.6,求下列各事件的概率：

(1)前3次中靶，后2次脫靶；

(2)第一、三、五次中靶，第二、四次脫靶；

(3)五次中恰有三次中靶；

(4)五次中至少1次中靶.

解設(shè)4(7=123,4,5)表示第i次中靶

（1）P（A,4444）=P（A）尸（4）P（A3）P（A4）P（&）

=06x0.42?0.0346

（2）P（A4&4&）=p（A）p（不）P（A）P（4）P（A）

=0.63X0.42?0.0346

（3）Cj0.63x0.42?0.3456

（4）p（aU4UA3IM4DAJ=1-P（耳）P（4）P（A）P（4）P（4）

=1-0.45ao.9898

第一章復(fù)習(xí)題（A）

1.填空題

（1）設(shè)Au8,P（A）=0.1,P（B）=0.5,則P（AB）=,

P（AUB）=,P（A\JB）=.

答案；1.（1）0.10.50.9

（2）設(shè)A,B是任意兩個(gè)隨機(jī)事件，則P［（^U8）（AU6）qU》）（AU歷］=

答案0

（3）設(shè)A,B相互獨(dú)立，P（AUB）=0.6,P（A）=0.4,則P（8）=

答案：一

3

2.選擇題

（1）設(shè)P（A）=0.8,P（B）=0.7,M川3）=0.8,則下列結(jié)論正確的是.

A.事件A與事件B相互獨(dú)立，B.事件A與事件B互逆，

C.D.P（AUB）=P（A）+M8）.

答案：A

（2）設(shè)4,8是任意兩個(gè)隨機(jī)事件，且BuA,則下列結(jié)論正確的

是.

A.尸(AU8)=P(A),B.P(AB)=P(A),

C.P(B|A)=P(8),D.P(B—A)=P(B)—P(A).

答案：A

(3)設(shè)A,B為兩個(gè)互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,則下列結(jié)論正確的

是.

A.P(qA)>0B.

C.44|勸=0D.P(A8)=P(A)P(8)

答案:C

(4)設(shè)A表示事件“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”,則其對(duì)立事件Z為一.

A.“甲種產(chǎn)品滯銷或乙種產(chǎn)品暢銷”，B.“甲種產(chǎn)品滯銷”，

C.“甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷”.D.“甲、乙都暢銷”，

答案：A

3、設(shè)事件滿足43cH①，試把下列事件表示為互不相容的事件的和:

AUBUC,ABUC,B-AC.

答案：(1)ABCUABCUABCUA8CUABCUABCUABC

(2)(AAB)UC(3)ABCUABCUABC

4.設(shè)AB為兩事件，且設(shè)P(5)=0.3,P(AUB)=0.6,求尸(Ag).

解：P(AUB)=P(A)+P(B)—P(A8)

P(AB)=P(A)-P(AB)=P(AU5)-P(3)=0.6-0.3=0.3

5.在某城市中發(fā)行三種報(bào)紙C經(jīng)調(diào)查，訂閱A報(bào)的有45%,訂閱B報(bào)的

有35%,訂閱C報(bào)的有30%,同時(shí)訂閱A及B報(bào)的有10%,同時(shí)訂閱A及C報(bào)的

有8樂同時(shí)訂閱B及C報(bào)的有5%,同時(shí)訂閱報(bào)的有3%,試求下列事件的

概率：

(1)只訂A報(bào)的；(2)只訂A及B報(bào)的；(3)只訂一種報(bào)紙

的；

(4)正好訂兩種報(bào)紙的；(5)至少訂閱一種報(bào)紙的.

解：⑴

P(ABC)=P(AB\JC)=P(A)-P[A(B\JC)]

=P(A)-P(AB)-P(AC)+P(ABC)

=0.45-0.10-0.08+0.03=0.30

(2)P(ABC)=P(AB-C)=P(AB)-P(ABC)=0.10-0.03=0.07

(3)P(ABC\JABC\JABC)

=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=0.30--B(AUC))+P(C-C(AU8))

=0.30+P(B)-P(BA)-P(BC)+P(ABC)+P(C)~P(AC)-P(BC)+P(ABC)

=0.30+0.35-0.10-0.05+0.03+0.30-0.08-0.05+0.03=0.73

(4)P(ABC\JABC\JABQ

=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=P(AB)-P(ABC)+P(AC)-P(ABQ+P(BC)-P(ABQ

=P(AB)+P(AC)+P(BC)-3P(ABQ

=0.10+0.08+0.05-3x0.03

=0.14

(5)P(AU8UC)=P(A)+P(8)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BQ+P(ABC)

=0.45+0.35+0.30-0.10-0.08-0.05+0.03=0.90

(6)P(ABQ=l-P(AU5UC)=l-0.90=0.10

6.從5個(gè)數(shù)字1,2,3,4,5中等可能地，有放回地連續(xù)抽取3個(gè)數(shù)字，試

求下列事件的概率：事件A"三個(gè)數(shù)字完全不同”，事件B“三個(gè)數(shù)字不含1和

5”，事件C“三個(gè)數(shù)字中5恰好出現(xiàn)兩次”，事件。”三個(gè)數(shù)字中5至少出現(xiàn)一

次”.

解:(1)尸(A)=哼

(2)P(fi)=4=—

53125

(3)P(C)=C1=0.096

4

(4)P(￡>)=1-

7.將〃個(gè)球隨機(jī)地放入N(N2〃)個(gè)盒子中去，設(shè)盒子的容量不限，試求

(1)每個(gè)盒子至多有一只球的概率；

(2)〃個(gè)盒子中各有一球的概率.

解：(1)每個(gè)盒子至多有一只球共有勺種不同的方法，每一個(gè)球都可以放

入N個(gè)盒子中的任意一個(gè)盒子，共有N"種不同的方法，故所求概率為當(dāng)

(2)〃個(gè)盒子可以有種不同的選法，對(duì)于選定的〃個(gè)盒子，每個(gè)盒子各

N'

有一個(gè)球的放法有”!種。故所求概率為—

N'\N-n)\

8.某人有一筆資金，他投入基金的概率為0.58,購買股票的概率為0.28,

兩項(xiàng)同時(shí)都投資的概率為0.19,

(1)已知他已投入基金，再購買股票的概率是多少？

(2)已知他已購買股票，再投入基金的概率是多少？

解：記人=｛把資金投入基金｝,B=｛購買股票｝,依題意有

P(A)=0.58,P(B)=0.28,P(AB)=0.19

(1)所求概率為：P(劇4)=出絲=/

(2)所求概率為：P(A怛)=5普=普

r(￡))2o

9.有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8、0.7,在兩批種子中任意選取一

顆，試求：(1)這兩顆種子都能發(fā)芽的概率.(2)至少有一顆發(fā)芽的概率.

解：A=｛甲發(fā)芽｝,B=｛乙發(fā)芽｝

(1)P(AB)=P(A)P(3)=0.56

(2)P(A\JB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.94

10.某商場(chǎng)各柜臺(tái)受到消費(fèi)者投訴的事件數(shù)為0,1,2三種情形，其概率分別

為0.6,0.3,0.1有關(guān)部門每月抽查商場(chǎng)的兩個(gè)柜臺(tái)，規(guī)定：如果兩個(gè)柜臺(tái)受到投

訴的事件數(shù)之和超過1，則給商場(chǎng)通報(bào)批評(píng)；若一年中有三個(gè)月受到通報(bào)批評(píng)，

則該商場(chǎng)受掛牌處分一年，求該商場(chǎng)受處分的概率.

解：記人={商場(chǎng)某月受到通報(bào)批評(píng)}

名={第一個(gè)柜臺(tái)受d=0,1,2)次投訴的事件}

G={第二個(gè)柜臺(tái)受迨=0,1,2)次投訴的事件}

則P(A)=P(B2coUB<GU瓦以)

=P(B2)P(CO)+P(線)P(C2)+P(瓦)P(Q)

=O.lx0.6+0.6x0.1+0.4x0.4=0.28

以X記一年中受到通報(bào)批評(píng)的次數(shù)，則

P{X23}=1—P{X=0}—P{X=1}-P{X=2}

=1-3(0.28)°(0.72產(chǎn)一a、0.28(0.72)"-C；(0.28)2(0.72)1°=0.696

11.第一個(gè)盒子中有5只紅球，4只白球，第二個(gè)盒子中有4只紅球，5只白

球，先從第一個(gè)盒子中任取2只球放入第二個(gè)盒子中去，然后從第二個(gè)盒子中任

取一球，求取到白球的概率.

解;設(shè)瓦為“從第一個(gè)盒子中取到甲=0,1,2)只白球”

A為“從第二個(gè)盒子中取到白球”

由全概率公式

P（A）=￡P(guān)（BM（AB）

/1=0

5C；67C153

11Cl11C；11Cl99

12.甲、乙、丙3人同向一飛機(jī)射擊，設(shè)擊中飛機(jī)的概率分別為0.4,0.5,0.7,

如果只有1人擊中飛機(jī)，則飛機(jī)被擊落的概率是0.2；如果有2人擊中飛機(jī)，則

飛機(jī)被擊落的概率是0.6；如果3人都擊中飛機(jī)，則飛機(jī)一定被擊落，求飛機(jī)被

擊澆的概率.

解：設(shè)4,A?,4分別表示甲、乙、丙擊中飛機(jī)，用表示有i（i=1,2,3）個(gè)人擊

中飛機(jī)

「但）=P（A4A）+P（44%）+p（可44）

=P（A）p（a*（4）+P（X）P（&）P（4）+p（x）尸（4）P（A）

=0.4x0.5x0.3+0.6x0.5x0.3+0.6x0.5x0.7=0.36

P（B2）=p（444）+P（444）+尸（A4）

=P（A）p（4）P（4）+尸（4）P（4）P（A）+P（A）P（耳）P（A）

=0.4x0.5x0.3+0.6x0.5x0.3+0.4x0.5x0.7=0.41

P（B3）=P（A44）

=P（A）P（4）P（A）

=0.4x0.5x0.7=0.14

由全概率公式

P（B）=P（BJP（眠）+P（B2）P（E\B2）+P?）P卿J

=0.36x0.2+0.41x0.6+0.14xl=0.458

13.有兩批產(chǎn)品：第一批20件，有5件特級(jí)品；第二批12件，有兩件特級(jí)

品，今按下列兩種方法抽樣：

（1）將兩種產(chǎn)品混在一起，從中任取2件；

（2）從第一批中任取2件混入第二批中，再從混合后的第2批中任取2件;

試分別求出兩種抽樣情況下所抽兩件都是特級(jí)品的概率.

解：設(shè)A為“取到的兩件是第一批的產(chǎn)品”

B為“取到的兩件是第二的產(chǎn)品”

AB為“取到的兩件，一個(gè)是第一批的，一個(gè)是第二批的“

C為“所抽兩件都是特級(jí)品”

（1）解法一P（C）=2=2

Q496

解法二：P(C)=P(AC)+P(BC)+P(ABC)

―-I-----±-4——--=------

此U叱496

(2)設(shè)4為“從第一批中任取2件有9=0,1,2)件特級(jí)品”

由全概率公式

p?=p（4）p（q4）+p（A）p（c|A）+P（A）P（C|A3）

14.某種儀器由三個(gè)部件組裝而成，假設(shè)各部件質(zhì)量互不影響且它們的優(yōu)質(zhì)

品率分別為0.8,0.7與0.9已知：如果三個(gè)部件都是優(yōu)質(zhì)品，則組裝后的儀器

一定合格，如果有一個(gè)部件不是優(yōu)質(zhì)品，則組裝后的儀器不合格率為0.2,如果

有兩個(gè)部件不是優(yōu)質(zhì)品，則儀器的不合格率為0.6,如果三個(gè)部件都不是優(yōu)質(zhì)品,

則儀器的不合格率為0.9.

(1)求儀器的不合格率；

(2)如果已發(fā)現(xiàn)一臺(tái)儀器不合格，問它有幾個(gè)部件不是優(yōu)質(zhì)品的概率最大.

解：設(shè)B為“儀器不合格”

A,為“儀器上有z(z=0,1,2,3)個(gè)部件不是優(yōu)質(zhì)品”

P(耳&)=0,尸(耳4)=0.2,尸(四4)=0.6,P(44)=0.9

P(A))=o.8x0.7X0.9=0.504

P(A,)=0.2x0.7x0.9+().8x().3x0.9+0.8x0.7x0.1=0.398

P(A3)=0.2X0.3x0.1=0.006

P(A2)=1-P(4)-尸(4)一P(4)=0.092

(1)由全概率公式，有

P(B)=￡p(a)P(HA,)

=0.504x（）+0.398x0.2+0.092x0.6+0.006x0.9=0.1402

(2)由貝葉斯公式，有

P(4忸)=0

P(4)P(B|4)=796

P(B)—1402

31P(B)1402

由此可知，一臺(tái)不合格儀器中有一個(gè)部件不是優(yōu)質(zhì)品的概率最大.

第一章復(fù)習(xí)題(B)

1.填空題

(1)設(shè)事件A、B、C相互獨(dú)立，且ABC=①，P(A)=P(B)=P(C)<0.5,

9

P(AUBUC)=—,則P(A)=.

產(chǎn)(AU8UC)=尸(A)+P(B)+P(C)

-P(AB)-P(BQ-P(AC)+P(ABQ

P(A)—3[P(A)r=

解方程得

尸⑷」或a

由題意P(A)<0.5

故P(A)=-

4

(2)設(shè)事件A,B相互獨(dú)立，且A和8都不發(fā)生的概率為:，A發(fā)生8不發(fā)

生的概率與8發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，則尸(A尸.

解：根據(jù)題意設(shè)有

P(7UB)=1-P(AUB)=-

9

P(AS)=P(兩

注意到A=AB+AB,B=BA+BA

P(A)=P(A§)+P(AB),P(B)=P(BA)+P(BA)

由P(麗)=P(BA)有P(A)-P(AB)=P(B)-P(BA)

于是P(A)=P(8),由事件的獨(dú)立性及P(AUB)=1—P(AUB)=,得

l-P(A)—P(8)+P(A)P(B)

=P2(A)-2P(A)+1

=(P(A)-l)2=-

9

解方程得

94

P(A)=—或—(舍去)

33

故P(A)=2

3

(3)設(shè)事件A、B、C,且萬)=09P(^U5U0=O.97,則

P(AB-C)=_.

解：

P(AB-C)=P(AB)-P(ABC)=[1-P(AB)]-[1-P(ABC)]

=[1-P(AUB)]-[1-P(AU5UC)]

=(1—0.9)—(1—0.970)=0.07

2.選擇題

(1)設(shè)當(dāng)事件A與B同時(shí)發(fā)生時(shí)C也發(fā)生，則.

A.P(C)=P(ADB),B.P(C)<P(A)+P(8)-1,

C.P(C)=P(AUB),D.P(C)2P(A)+P(6)-1.

解：已知45uC

P(C)>P(AB)=1-P(AB)

=1-P?U歷

^l-P(A)-P(B)+P(AB)

=P(A)+P(B)-1+P(AB)

>P(A)+P(B)-1

故選(D)

解法二：已知ABuC,P(AB)<P(C)

1NP(4U8)=P(A)+P(B)-P(AB)

NP(4)+P(8)—P(C)

于是，P(C)NP(A)+P(8)—1,選(D)

(2)設(shè)O<P(B)<1,P((4UA2)|B)=P(A]|B)+P(A2IB),則下列結(jié)論正

確的是—.

A.P((AU4)I0=P(A國+P(41歷，

B.P(43U4B)=P(4B)+P(43),

c.P(4U4)=P(4|B)+P(4iB),

D.P(B)=P(A)P(B|4)+P(4)P(B|4).

解：依題意設(shè)O<P(B)<1

P(AB)

P(A|6)=

P(B)

P((AuA2)|B)=P(A|B)+P(4IB)

日nP(4BUA,B)P(A,B)

P(B)P(B)P(B)

從而P(AtB\jA2B)=P(46)+P(45)

故選B

(3)設(shè)事件4、B、C兩兩相互獨(dú)立，則A、B、C相互獨(dú)立的充要條件

A.A與BC獨(dú)立.B.A3與AUC獨(dú)立.

C.AB與AC獨(dú)立.D.AUB與AUC獨(dú)立.

解：應(yīng)該選擇A,證明如下：

必要性：設(shè)A、8、C相互獨(dú)立的事件

則有P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=P(A)P(B。

故事件A與BC獨(dú)立，從而必要性成立。

充分性：設(shè)A、8、C兩兩相互獨(dú)立，且A與獨(dú)立.

于是有

P(AB)=P(4)P(B)

P(BC)=P(B)P(C)

P(AC)=P(A)P(C)

P(ABC)=P(A)P(BQ=P(A)P(B)P(C)

由定義知A、B、C相互獨(dú)立，從而充分性成立。

3.設(shè)A、3獨(dú)立，ABuD,ABczD,證明：P(AD)>P(A)P(￡>).

證明：因?yàn)锳BuO,ABczD,DcAUB

AD^AB+DB

P(AD)=P(AB)+P(。初而P(A8)=P(A)P(8)NP(A)P(OB)

P(DB)>P(A)P(￡)Z)

=P(AD)=P(AB)+P(DB)

=P(A)P(6)+P(DB)

>P(A)P(DB)+P(A)P(DB)

=P(A)[P(DB)+P(DB)]

=P(A)P(。)

于是P(AD)>P(A)P(D)

4.從5雙不同的鞋子中任取4只，求取得的4只鞋子中至少有2只配成一雙

的概率.

解法一設(shè)A表示“4只鞋子中至少有2只配成一雙”

X表示“4只鞋子均不成雙”

樣本點(diǎn)的總數(shù)為片"

Z的樣本點(diǎn)為10x8x6x4(因?yàn)榈谝恢恍邮菑?雙中選一只有10種選法,

第二只鞋子是從4雙中選一只有8種選法，第三只鞋子是從3雙中選一只有

6種選法，第四只鞋子是從2雙中選一只有4種選法)

解法二樣本點(diǎn)的總數(shù)為G3

入的樣本點(diǎn)為C；X24(因?yàn)閺?雙中任選4雙，再從每雙中任意取一只)

_c4x2413

P(A)=1-P(A)=1-5.=—

品21

5.4張卡片標(biāo)著1到4,面朝下放在桌子上，一個(gè)自稱有透視能力的人將用

他超感覺的能力說出卡上的號(hào)碼，如果他是冒充者而只是隨機(jī)地猜一下，他至少

猜中一個(gè)的概率P是多少？

解：A表示“至少猜中一個(gè)‘

印表示“4個(gè)全部猜錯(cuò)”

P(A)=1-P(A)=l-3x3xl=-

4:8

6.一袋中裝有N-1只黑球1只白球，每次從袋中隨機(jī)地摸出一球，并換入

一只黑球，這樣繼續(xù)下去，問第女次摸球時(shí)，摸到黑球的概率是多少？

解：設(shè)A表示“第女次摸球時(shí)，摸到黑球”

可表示第％次摸球時(shí)，摸到白球”

因?yàn)榇兄挥幸恢话浊颍看蚊桨浊驎r(shí)換入一只黑球放入，故為了第k

次摸到白球，則前左-1次一定摸到的是黑球

故P(A)=

于是所求概率為P（A）=1-P（a=1-（

7.設(shè)8、C分別是將一枚骰子接連擲兩次先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求方程

X2+BX+C=0有實(shí)根的概率p和有重根的概率q.

解：一枚骰子接連擲兩次，樣本點(diǎn)總數(shù)為36,方程組有實(shí)數(shù)根的充分必要條

R2

件為8224c即。<幺

4

注意到

B123456

02012466

使CK幺的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)

4

?2010100

使。=幺的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)

4

由此可見，方程/+以+。=0有實(shí)根的概率°=一

36

方程/+8x+c=o有重根的概率為夕='

8.隨機(jī)地向半圓0<y<J2ax-犬（。為正常數(shù)）內(nèi)扔一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)落在半圓內(nèi)

任何區(qū)域內(nèi)的概率與區(qū)域的面積成正比，求原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于

工的概率.

4

解：以D表示半圓0<y<12ax—d,由題設(shè)，點(diǎn)（用力應(yīng)該落在如圖的陰影部

分G,G的面積為（在極坐標(biāo)系中計(jì)算）

S（G）=fW必=網(wǎng)，產(chǎn)小

=2cJ『cos?。/。=a2￡4（1+cos2^）^=I+2P2

（或G的面積等于一個(gè)等腰直角三角形的面積加上l個(gè)圓的面積）

4

S(G)11

故P(A)==—I--

5(D)271

9.設(shè)0<P(A)<LO<P(B)<1,證明:A、5獨(dú)立oP(A|B)+P(M歷=1.

證明：P(A|B)+P(卬豆)=1oP(A|B)=1-P(A|~B)=口小歷

0P(AB)=P(AB)0_p(B)p(AB)=P(B)P(AB)

P(B)1-P(B)

OP(AB)=P(B)[P(AB)+P(AB)]=P(B)P(A)OA、8獨(dú)立

10.設(shè)第一只盒子中裝有3只蘭球，2只綠球，2只白球；第二只盒子中裝有

2只蘭球，3只綠球，4只白球，獨(dú)立地分別在兩只盒子中各取一只球.

⑴求至少有一只蘭球的概率；

⑵球有一只蘭球一只白球的概率；

(3)已知至少有一只蘭球，求有一只半求一只白球的概率.

解：設(shè)片=｛從第i只盒子中取得一只白球｝i=l,2

B,=｛從第，?只盒子中取得一只藍(lán)球｝i=1,2

由題設(shè)在不同盒子則取球是相互獨(dú)立的

(1)所求的概率為

尸(4U斗)=尸(4)+尸(為)-

P(BiB2)

=P(B”P(BJ-P(BJP(B2)

32325

=--