四川省南充市儀隴中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

儀隴中學(xué)20232024學(xué)年度上期第二次月考高二數(shù)學(xué)試卷命題人：鄧兵審題人：蔡德高滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.若一條直線經(jīng)過兩點(diǎn)和，則該直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用直線斜率公式，結(jié)合直線斜率與傾斜角的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)橐粭l直線經(jīng)過兩點(diǎn)，，所以該直線的斜率為，則有該直線的傾斜角滿足，因?yàn)椋?，故選：B2.雙曲線上點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離是，則到右焦點(diǎn)的距離是（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義可求到右焦點(diǎn)的距離.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，則，故，故或（舍）.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義，注意可根據(jù)（左焦點(diǎn)為）的大小判斷在雙曲線的左支上還是在右支上，一般地，如果，則在左支上，解題中注意這個(gè)結(jié)論的應(yīng)用.3.方程表示圓，則的范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)方程表示圓，應(yīng)當(dāng)滿足求解即可.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎緢A，所以，解得：.故選：B.4.已知棱長為2的正方體的各頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正方體外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線，容易求解．【詳解】棱長為2的正方體，其體對(duì)角線長為2，而正方體的外接球直徑即為正方體的體對(duì)角線，故外接球半徑為，∴故選A．【點(diǎn)睛】此題考查了正方體的外接球問題，屬容易題．球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長等于球的直徑.5.高二（1）班7人宿舍中每個(gè)同學(xué)的身高分別為170，168，172，172，175，176，180，求這7人的第60百分位數(shù)為A.168 B.175 C.172 D.176【答案】B【解析】【分析】將7人的身高從低到高排列，最后由百分位數(shù)的求法求解即可.【詳解】將7人的身高從低到高排列：第5個(gè)數(shù)據(jù)為所求的第60百分位數(shù)，即這7人的第60百分位數(shù)為故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了求百分位數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.6.我們把離心率為的橢圓稱為“最美橢圓”.已知橢圓C為“最美橢圓”，焦點(diǎn)在軸上，且以橢圓C上一點(diǎn)P和橢圓兩焦點(diǎn)和為頂點(diǎn)的三角形的面積最大值為4，則橢圓C的方程為（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】先由得到與，再由的最大值得，進(jìn)而求得，，故可得到橢圓C的方程.【詳解】由已知，得，故，∵，即，∴，得，故，所以橢圓C的方程為.故選：D.7.若過橢圓內(nèi)一點(diǎn)的弦被該點(diǎn)平分，則該弦所在的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)出端點(diǎn)，代入橢圓，兩式作差，變形，即可得到直線的斜率，再由點(diǎn)斜式寫出直線即可．【詳解】設(shè)弦兩端點(diǎn)為，則①②得即直線為化簡得故選C【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)橢圓中弦的中點(diǎn)求弦所在的直線，解決本類題的思路是點(diǎn)差法：設(shè)點(diǎn)作差變形，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出所在直線的的斜率，即可寫出直線，屬于基礎(chǔ)題．8.已知球的半徑為，、是球面上的兩點(diǎn)，且，若點(diǎn)是球面上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出圖形，取線段的中點(diǎn)，利用向量的加法法則可得，，可得出，求出的最大值和最小值，即可得出的取值范圍.【詳解】作出圖形，取線段的中點(diǎn)，連接、、、、，可知，由勾股定理可得，且有，由向量的加法法則可得，，.，由向量的三角不等式可得，，所以，.因此，的取值范圍是.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積取值范圍的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是選擇合適的基底來表示向量，考查數(shù)形結(jié)合思想以及計(jì)算能力，屬于中等題.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）9.直線l的方向向量，平面的法向量，則下列結(jié)論不正確的有（）A. B. C.與斜交 D.【答案】ABC【解析】【分析】判斷直線l的方向向量與平面的法向量的位置關(guān)系，從而可得直線l與平面的位置關(guān)系.【詳解】解：因?yàn)?，，則，所以，所以，故不正確的結(jié)論有ABC.故選：ABC.10.過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】分兩種情況求解，過原點(diǎn)時(shí)和不過原點(diǎn)時(shí)，結(jié)合所過點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解.【詳解】當(dāng)直線過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，此時(shí)直線方程為，符合題意；當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求直線方程為，代入點(diǎn)，可得，即.綜上可得，所求直線方程為和故選：AC.11.已知是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若且，則B.若是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，，則C.若直線，直線，則與為異面直線D.若直線是異面直線，直線是異面直線，則直線異面【答案】AB【解析】【分析】確定，A正確，若推出和重合，得到B正確，CD選項(xiàng)都有多種情況，錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：若且，則，正確；對(duì)選項(xiàng)B：若，又，則和重合，不成立，正確；對(duì)選項(xiàng)C：直線，直線，則與為異面直線或或相交，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：若直線是異面直線，直線是異面直線，則直線異面或相交或平行，錯(cuò)誤；故選：AB12.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，左、右頂點(diǎn)分別為、，為雙曲線右支上的一點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于，則下列說法正確的是（）A.雙曲線的漸近線方程為B.若，且，則C.分別以線段、為直徑的兩個(gè)圓內(nèi)切D.【答案】ACD【解析】【分析】通過求得，從而求得雙曲線的漸近線方程，由此判斷A選項(xiàng)的正確性；結(jié)合三角形的面積以及雙曲線的定義求得，由此判斷B選項(xiàng)的正確性；通過圓心距和兩個(gè)圓半徑間的關(guān)系判斷C選項(xiàng)的正確性；結(jié)合二倍角的正切公式來判斷D選項(xiàng)的正確性.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)?、，所以，由，得，故雙曲線的漸近線方程為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，根?jù)雙曲線的定義可得，又因?yàn)?，所以，整理?由，可得，即，解得，B錯(cuò)；對(duì)于C，設(shè)的中點(diǎn)為，為原點(diǎn).因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，所以，則可知以線段、為直徑的兩個(gè)圓內(nèi)切，C對(duì)；對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，設(shè)點(diǎn)，則，.因?yàn)闈u近線方程為，所以，.當(dāng)時(shí)，即當(dāng)軸時(shí)，則，所以，，可得，所以，，此時(shí)，為等腰直角三角形，則，滿足；當(dāng)時(shí)，，，所以，因?yàn)?，所以；?dāng)點(diǎn)在第四象限時(shí)，同理可得，綜上可知，D對(duì).故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，，若，則實(shí)數(shù)m的值為________．【答案】7【解析】【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合空間向量垂直的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，解得．故答案為?．【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量垂直的性質(zhì)，考查了空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.14.若直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．【答案】且【解析】【分析】根據(jù)直線方程寫出其所過定點(diǎn)，結(jié)合其與橢圓的位置關(guān)系，可得答案.【詳解】由直線，則可知其過定點(diǎn)，易知當(dāng)該點(diǎn)在橢圓內(nèi)或橢圓上時(shí)，直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則，解得且.故答案為：且.15.已知雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足∠F1PF2=60°，則△F1PF2的面積為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線定義以及余弦定理得,再根據(jù)面積公式得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?所以，【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線定義以及焦點(diǎn)三角形，考查基本分析求解能力，屬中檔題.16.已知A，B為橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，，若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)T，則__________．【答案】【解析】【分析】設(shè),利用焦半徑公式得到,設(shè)，寫出垂直平分線方程，代入，化簡得到值，最終求出的值.【詳解】取橢圓方程為，，直線方程為（橢圓右準(zhǔn)線），橢圓上點(diǎn)，右焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為d，則，所以，因?yàn)楸绢}橢圓離心率:，設(shè)由焦半徑公式:得:,即中點(diǎn)，，則垂直平分線斜率為根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，則有，，作差化簡得，則線段的垂直平分線方程為,代入得:,即,則.故答案為：.【點(diǎn)睛】橢圓中常見的二級(jí)結(jié)論對(duì)解決橢圓相關(guān)難題，尤其是選擇填空題具有很好的作用，例如本題中的焦半徑公式，，，點(diǎn)在橢圓上適合橢圓方程這一條件做題時(shí)容易忽略，但是卻是設(shè)點(diǎn)法做題必要的步驟.四、解答題（本大題共6小題，共70分）17.的三個(gè)頂點(diǎn)是，，，求：（1）邊BC上的中線所在直線的方程；（2）邊BC上的高所在直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出BC邊中點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)式寫出直線的方程；（2）根據(jù)垂直關(guān)系求出斜率，再寫出點(diǎn)斜式直線方程得出結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)?，，則BC邊中點(diǎn)E的坐標(biāo)為，，則直線AE的方程為，即；【小問2詳解】因?yàn)?，，則，∵BC邊上的高與BC垂直，∴BC邊上的高所在直線的斜率為，∴BC邊上的高所在的直線方程為，即．18.已知圓C過兩點(diǎn)，且圓心C在直線上．（1）求圓C的方程；（2）若直線與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，求弦的長度．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)圓的圓心為，半徑為，由題意，列出關(guān)于、、的方程組即可求解；（2）結(jié)合（1）求出圓心到直線的距離，再利用勾股定理即可求出弦的長．詳解】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)圓的圓心為，半徑為，則圓方程為，又由圓過，兩點(diǎn)，且圓心在直線上，則有，解可得，，，所以圓的方程為；（2）由（1）知圓的圓心，半徑為4，所以點(diǎn)到直線的距離，所以．19.已知函數(shù).（1）求求函數(shù)的最小正周期及對(duì)稱中心.（2）求函數(shù)在值域.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由三角恒等變換可得正弦型三角函數(shù)，據(jù)此求周期、對(duì)稱中心即可；（2）利用整體代換法求正弦函數(shù)的值域即可.【小問1詳解】所以函數(shù)的最小正周期為，令，解得∴對(duì)稱中心是【小問2詳解】令由，則，則，所以的值域是.20.某新能源汽車制造公司，為鼓勵(lì)消費(fèi)者購買其生產(chǎn)的新能源汽車，約定從今年元月開始，凡購買一輛該品牌汽車，在行駛?cè)旰螅緦⒔o予適當(dāng)金額的補(bǔ)貼.某調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)已購買該品牌汽車的消費(fèi)者，就補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值進(jìn)行了抽樣調(diào)查，得其樣本頻率分布直方圖如圖所示.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）估計(jì)已購買該品牌汽車的消費(fèi)群體對(duì)購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值的中位數(shù)；（精確到0.01）（3）現(xiàn)在要從補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在的已購車消費(fèi)者中用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行調(diào)查，求抽到2人中補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值都在間的概率.【答案】（1）（2）中位數(shù)的估計(jì)值為萬元（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為得到方程，解得即可；（2）首先判斷中位數(shù)位于內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，再根據(jù)中位數(shù)計(jì)算規(guī)則得到方程，計(jì)算可得；（3）根據(jù)分層抽樣求出、中抽取的人數(shù)，再用列舉法列出所有可能結(jié)果，最后利用古典概型的概率公式計(jì)算可得.【小問1詳解】解：由題意知，，解得.【小問2詳解】解：因?yàn)椋瑒t中位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，則，得，所以中位數(shù)的估計(jì)值為萬元【小問3詳解】解：從補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在的已購車消費(fèi)者中用分層抽樣的方法抽取6人，則補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在間的有人，記為，，，，補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在間的有人，記為，，則基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15種情況.其中補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值都在間有，，，，，，共種情況，所以抽到人中補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值都在間的概率.21.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若面，求平面與平面的夾角.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)O，連接，證得，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得平面.（2）連接，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求得平面和一個(gè)法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：連接交于點(diǎn)O，連接，由是正方形可得，O是的中點(diǎn)，又由F為的中點(diǎn)，在中，為中位線，所以，因?yàn)槠矫?，且平面，所以平?【小問2詳解】解：連接，由面，因?yàn)槊?，所以，又由平面，且面，所以，所以，所以點(diǎn)G為的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為，又平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面與平面的夾角.22.已知橢圓C：過點(diǎn)．右焦點(diǎn)為F，縱坐標(biāo)為的點(diǎn)M在C上，且AF⊥MF．（1）求C的方程；（2）設(shè)過A與x軸垂直的直線為l，縱坐標(biāo)不為0的點(diǎn)P為C上一動(dòng)點(diǎn)，過F作直線PA的垂線交l于點(diǎn)Q，證明：直線PQ過定點(diǎn)．【答案】（1）（2）過定點(diǎn)；證明過程見詳解【解析】【分析】（1）由題可得，結(jié)合條件可知，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，即可得解；（2）設(shè)點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出直線的方程，結(jié)合條件變形即得.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，其中，則，因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，則，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程得，所