2024版大二輪數(shù)學(xué)新高考提高版（京津瓊魯遼粵冀鄂湘渝閩蘇浙黑吉晉皖云豫新甘貴贛桂）專題二　培優(yōu)點(diǎn)5　極化恒等式、奔馳定理與等和線定理66

培優(yōu)點(diǎn)5極化恒等式、奔馳定理與等和線定理平面向量基本定理及數(shù)量積是高考考查的重點(diǎn)，很多時(shí)候需要用基底代換，運(yùn)算量大且復(fù)雜，用向量極化恒等式、奔馳定理、等和(高)線求解，能簡化向量代換，減少運(yùn)算量，使題目更加清晰簡單．考點(diǎn)一向量極化恒等式極化恒等式：a·b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,2)))2.變式：(1)a·b＝eq\f(a＋b2,4)－eq\f(a－b2,4)，a·b＝eq\f(|a＋b|2,4)－eq\f(|a－b|2,4).(2)如圖，在△ABC中，設(shè)M為BC的中點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(CB,\s\up6(→))2＝eq\o(AM,\s\up6(→))2－eq\o(MB,\s\up6(→))2.例1(1)如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)．eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－1，則eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))的值為________．答案eq\f(7,8)解析設(shè)BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，則AD＝3n.根據(jù)向量的極化恒等式，得eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝9n2－m2＝4，①eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝n2－m2＝－1.②聯(lián)立①②，解得n2＝eq\f(5,8)，m2＝eq\f(13,8).因此eq\o(EB,\s\up6(→))·eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝4n2－m2＝eq\f(7,8).即eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(7,8).(2)(2023·鄭州模擬)如圖所示，△ABC是邊長為8的等邊三角形，點(diǎn)P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，長度為6的線段EF的中點(diǎn)為B，則eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的取值范圍是________．答案[39,55]解析由向量極化恒等式知eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|2－|eq\o(BE,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|2－9.又△ABC是邊長為8的等邊三角形，所以當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)A或點(diǎn)C時(shí)，|eq\o(PB,\s\up6(→))|取最大值8.當(dāng)點(diǎn)P位于AC的中點(diǎn)時(shí)，|eq\o(PB,\s\up6(→))|取最小值，即|eq\o(PB,\s\up6(→))|min＝8sineq\f(π,3)＝4eq\r(3)，所以|eq\o(PB,\s\up6(→))|的取值范圍為[4eq\r(3)，8]，所以eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的取值范圍為[39,55]．規(guī)律方法利用向量的極化恒等式可以對數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，特別適合于以三角形為載體，含有線段中點(diǎn)的向量問題．跟蹤演練1(1)如圖，△AOB為直角三角形，OA＝1，OB＝2，C為斜邊AB的中點(diǎn)，P為線段OC的中點(diǎn)，則eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))等于()A．1B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,4)D．－eq\f(1,2)答案B解析取AO的中點(diǎn)M，連接PM，如圖所示，易得AB＝eq\r(5)，由向量極化恒等式知eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\o(PM,\s\up6(→))2－eq\o(OM,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AC,\s\up6(→))))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up6(→))))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)\o(AB,\s\up6(→))))2－eq\f(1,4)＝eq\f(1,16)eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)＝eq\f(5,16)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,16).(2)如圖，正方形ABCD的邊長為2，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)(包含邊界)，且PA⊥PB，則eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))的取值范圍是________．答案[0,4]解析如圖，∵PA⊥PB，∴點(diǎn)P在以AB為直徑的半圓上，取CD的中點(diǎn)O，連接PO，由向量極化恒等式知eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))2－eq\o(OC,\s\up6(→))2＝eq\o(PO,\s\up6(→))2－1，當(dāng)點(diǎn)P在A(或B)處時(shí)，|eq\o(PO,\s\up6(→))|max＝eq\r(5)，當(dāng)點(diǎn)P在eq\o(AB,\s\up9(︵))的中點(diǎn)時(shí)，|eq\o(PO,\s\up6(→))|min＝1，∴|eq\o(PO,\s\up6(→))|∈[1，eq\r(5)]，∴eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))∈[0,4]．考點(diǎn)二平面向量“奔馳定理”定理：如圖，已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則有S△PBC·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0.例2(1)已知O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，滿足eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋meq\o(OC,\s\up6(→))＝0，且eq\f(S△AOB,S△ABC)＝eq\f(4,7)，則實(shí)數(shù)m等于()A．2B．3C．4D．5答案C解析由奔馳定理得S△BOC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△AOC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△AOB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，又eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋meq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m.∴eq\f(S△AOB,S△ABC)＝eq\f(m,1＋2＋m)＝eq\f(4,7)，解得m＝4.(2)(2023·重慶模擬)△ABC內(nèi)一點(diǎn)O滿足關(guān)系式S△OBC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△OAC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△OAB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若△ABC的三邊為a，b，c，現(xiàn)有a·eq\o(OA,\s\up6(→))＋b·eq\o(OB,\s\up6(→))＋c·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則O為△ABC的()A．外心 B．內(nèi)心C．重心 D．垂心答案B解析記點(diǎn)O到AB，BC，CA的距離分別為h1，h2，h3，S△OBC＝eq\f(1,2)a·h2，S△OAC＝eq\f(1,2)b·h3，S△OAB＝eq\f(1,2)c·h1，因?yàn)镾△OBC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△OAC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△OAB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則eq\f(1,2)a·h2·eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)b·h3·eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)c·h1·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即a·h2·eq\o(OA,\s\up6(→))＋b·h3·eq\o(OB,\s\up6(→))＋c·h1·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，又因?yàn)閍·eq\o(OA,\s\up6(→))＋b·eq\o(OB,\s\up6(→))＋c·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以h1＝h2＝h3，所以點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心．易錯(cuò)提醒利用平面向量“奔馳定理”解題時(shí)，要嚴(yán)格按照定理的格式，注意定理中的點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)；定理中等式左邊三個(gè)向量的系數(shù)之比對應(yīng)三個(gè)三角形的面積之比．跟蹤演練2(1)如圖，設(shè)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))，則eq\f(S△AOB,S△ABC)等于()A.eq\f(2,5)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,3)答案D解析∵O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝3(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋2(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))?3eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∵S△BOC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△AOC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△AOB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝3∶1∶2，∴eq\f(S△AOB,S△ABC)＝eq\f(S△AOB,S△AOB＋S△BOC＋S△AOC)＝eq\f(1,3).(2)(2023·安陽模擬)如圖，已知O是△ABC的垂心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB等于()A．1∶2∶3 B．1∶2∶4C．2∶3∶4 D．2∶3∶6答案A解析O是△ABC的垂心，延長CO，BO，AO分別交邊AB，AC，BC于點(diǎn)P，M，N，如圖，則CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，∠BOP＝∠BAC，∠AOP＝∠ABC，因此，eq\f(S△BOC,S△AOC)＝eq\f(\f(1,2)OC·BP,\f(1,2)OC·AP)＝eq\f(BP,AP)＝eq\f(OPtan∠BOP,OPtan∠AOP)＝eq\f(tan∠BAC,tan∠ABC)，同理eq\f(S△BOC,S△AOB)＝eq\f(tan∠BAC,tan∠ACB)，于是得tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝S△BOC∶S△AOC∶S△AOB，又eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，由“奔馳定理”有S△BOC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△AOC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△AOB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶3，所以tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝1∶2∶3.考點(diǎn)三等和(高)線定理等和(高)線平面內(nèi)一組基底eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))及任一向量eq\o(OP′,\s\up6(→))，eq\o(OP′,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若點(diǎn)P′在直線AB上或在平行于AB的直線上，則λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線．(1)當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí)，k＝1；(2)當(dāng)?shù)群途€在O點(diǎn)和直線AB之間時(shí)，k∈(0,1)；(3)當(dāng)直線AB在O點(diǎn)和等和線之間時(shí)，k∈(1，＋∞)；(4)當(dāng)?shù)群途€過O點(diǎn)時(shí)，k＝0；(5)若兩等和線關(guān)于O點(diǎn)對稱，則定值k1，k2互為相反數(shù)；(6)定值k的變化與等和線到O點(diǎn)的距離成正比．例3在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，則λ＋μ的最大值為()A．3B．2eq\r(2)C.eq\r(5)D．2答案A解析如圖所示，由平面向量基底等和線定理知，當(dāng)?shù)群途€l與圓相切時(shí)，λ＋μ最大，此時(shí)λ＋μ＝eq\f(AF,AB)＝eq\f(AB＋BE＋EF,AB)＝eq\f(3AB,AB)＝3.規(guī)律方法要注意等和(高)線定理的形式，解題時(shí)一般要先找到k＝1時(shí)的等和(高)線，利用比例求其他的等和(高)線．跟蹤演練3如圖，△BCD與△ABC的面積之比為2，點(diǎn)P是△BCD內(nèi)任意一點(diǎn)(含邊界)，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則λ＋μ的取值范圍為()A．[2,3] B．[1,2]C．[1,3] D．[1,4]答案C解析如圖，當(dāng)點(diǎn)P位于線段BC上時(shí)，(λ＋μ)min＝1，當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)D時(shí)，(λ＋μ)max＝3.故1≤λ＋μ≤3.專題強(qiáng)化練1．如圖，AB為⊙O的直徑，P是eq\o(AB,\s\up9(︵))上任一點(diǎn)，M，N是直徑AB上關(guān)于點(diǎn)O對稱的兩點(diǎn)，且AB＝6，MN＝4，則eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))等于()A．13B．7C．5D．3答案C解析依題意，O為MN的中點(diǎn)，由向量極化恒等式知，eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))2－eq\o(OM,\s\up6(→))2＝9－4＝5.2．點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，設(shè)eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)λ和μ的值分別為()A.eq\f(2,9)，eq\f(4,9) B.eq\f(4,9)，eq\f(2,9)C.eq\f(1,9)，eq\f(2,9) D.eq\f(2,9)，eq\f(1,9)答案A解析根據(jù)奔馳定理，得3eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即3eq\o(OA,\s\up6(→))＋2(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋4(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，整理得eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→))，故λ＝eq\f(2,9)，μ＝eq\f(4,9).3.如圖，在四邊形MNPQ中，若eq\o(NO,\s\up6(→))＝eq\o(OQ,\s\up6(→))，|eq\o(OM,\s\up6(→))|＝6，|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝10，eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))＝－28，則eq\o(NP,\s\up6(→))·eq\o(QP,\s\up6(→))等于()A．64B．42C．36D．28答案C解析由eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))＝eq\o(MO,\s\up6(→))2－eq\o(ON,\s\up6(→))2＝36－eq\o(ON,\s\up6(→))2＝－28，解得eq\o(ON,\s\up6(→))2＝64，所以eq\o(OQ,\s\up6(→))2＝64，所以eq\o(NP,\s\up6(→))·eq\o(QP,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))2－eq\o(OQ,\s\up6(→))2＝100－64＝36.4.如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，MN是它的內(nèi)切球的一條弦(我們把球面上任意兩點(diǎn)之間的線段稱為球的弦)，P為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長度最大時(shí)，eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范圍是()A．[0,1] B．[0,2]C．[1,3] D．[0,4]答案B解析由正方體的棱長為2，得內(nèi)切球的半徑為1，正方體的體對角線長為2eq\r(3).當(dāng)弦MN的長度最大時(shí)，MN為內(nèi)切球的直徑．設(shè)內(nèi)切球的球心為O，則eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))2－eq\o(ON,\s\up6(→))2＝eq\o(PO,\s\up6(→))2－1.由于P為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，故OP∈[1，eq\r(3)]，所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))∈[0,2]．5．(2023·佛山模擬)已知A(－1,0)，B(2,0)，若動(dòng)點(diǎn)M滿足MB＝2MA，則eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))的最大值是()A．－eq\f(9,4)B．4C．12D．18答案D解析設(shè)M(x，y)，因?yàn)镸B＝2MA，所以eq\r(x－22＋y2)＝2eq\r(x＋12＋y2)，化簡得(x＋2)2＋y2＝4，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為C，則Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，因?yàn)閑q\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))2－eq\o(CA,\s\up6(→))2＝|MC|2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)|AB|))2＝|MC|2－eq\f(9,4)，又|MC|max＝eq\f(1,2)－(－2)＋2＝eq\f(9,2)，所以eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))的最大值為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))2－eq\f(9,4)＝18.6.(多選)給定兩個(gè)長度為1的平面向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，它們的夾角為eq\f(2π,3)，如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的eq\o(AB,\s\up9(︵))上運(yùn)動(dòng)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，則x＋y的取值可以是()A．1B.eq\f(5,4)C．2D.eq\f(5,2)答案ABC解析令x＋y＝k，如圖，在所有與直線AB平行的直線中，切線離圓心最遠(yuǎn)，即此時(shí)k取得最大值，又∠AOB＝eq\f(2π,3)，則k＝eq\f(|\o(OD,\s\up6(→))|,|\o(OE,\s\up6(→))|)＝2.當(dāng)點(diǎn)C在A(或B)處時(shí)，x＋y最小為1.故x＋y的取值范圍是[1,2]．7．(多選)(2023·六安模擬)已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為S△BOC，S△AOC，S△AOB，則S△BOC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△AOC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△AOB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有()A．若2eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝4∶3∶2B．若|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，∠AOB＝eq\f(2π,3)，且2eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則S△ABC＝eq\f(9\r(3),4)C．若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))，則O為△ABC的垂心D．若O為△ABC的內(nèi)心，且5eq\o(OA,\s\up6(→))＋12eq\o(OB,\s\up6(→))＋13eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則∠ACB＝eq\f(π,2)答案BCD解析對于A,2eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝2∶3∶4，故A錯(cuò)誤；對于B，S△AOB＝eq\f(1,2)×2×2×sineq\f(2π,3)＝eq\r(3)，又2eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，故S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝2∶3∶4，所以S△ABC＝eq\f(9,4)S△AOB＝eq\f(9\r(3),4)，故B正確；對于C，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))，即(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，故eq\o(CA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，同理可得eq\o(CB,\s\up6(→))⊥eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(OC,\s\up6(→))，所以O(shè)為△ABC的垂心，故C正確；對于D,5eq\o(OA,\s\up6(→))＋12eq\o(OB,\s\up6(→))＋13eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，故S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝5∶12∶13，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，S△BOC＝eq\f(1,2)r·BC，S△AOC＝eq\f(1,2)r·AC，S△AOB＝eq\f(1,2)r·AB，即BC∶AC∶AB＝5∶12∶13，即AB2＝AC2＋BC2，∠ACB＝eq\f(π,2)，故D正確．8.(2023·黃岡模擬)如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，∠DAB＝45°.若M為菱形ABCD內(nèi)部(含邊界)任一點(diǎn)，則eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))的取值范圍是________．答案[－1,4＋2eq\r(2)]解析取線段AB的中點(diǎn)E，連接ME，如圖，eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(ME,\s\up6(→))2－eq\o(EA,\s\up6(→))2＝eq\o(ME,\s\up6(→))2－1，當(dāng)且僅當(dāng)|eq\o(ME,\s\up6(→))|＝0，即點(diǎn)M與點(diǎn)E重合時(shí)，eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))最小為－1，當(dāng)且僅當(dāng)|eq\o(ME,\s\up6(→))|最長，即點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí)，eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))最大，顯然∠CBA＝135°，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(BE,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cos∠CBA＝1×2×cos135°＝－eq\r(2)，因此eq\o(CE,\s\up6(→))2＝(eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))2＝eq\o(BE,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,