大學(xué)物理課件-質(zhì)點力學(xué)

質(zhì)點力學(xué)

§1.1質(zhì)點與參考系

§1.2質(zhì)點運動的描述

§1.3自然坐標(biāo)中的平面曲線運動與角量描述

§1.4相對運動

§1.5牛頓運動定律

§1.6動量與動量守恒定律

§1.7功和能

經(jīng)典力學(xué)通?？煞譃檫\動學(xué)和動力學(xué)。運動學(xué)是從幾何的觀點來描述物體的運動，即研究物體的空間位置隨時間的變化關(guān)系，不涉及引發(fā)物體運動和改變運動狀態(tài)的原因。動力學(xué)研究物體的運動與物體間相互作用的關(guān)系。

一、質(zhì)點

根據(jù)問題的性質(zhì)和物體運動情況，將物體看做沒有大小和形狀、具有物體全部質(zhì)量的點，稱其為質(zhì)點。質(zhì)點模型：

物體自身線度與所研究的物體運動的空間范圍相比可以忽略；或者物體作平動。

§1.1質(zhì)點與參考系二、參考系

為描述物體的運動，被選作基準(zhǔn)的物體或物體系稱為參考系。運動學(xué)中參考系可任選▲

太陽參考系（太陽─恒星參考系）常用的參考系：日心系▲

地心參考系（地球─恒星參考系）地心系▲

地面參考系或?qū)嶒炇覅⒖枷档孛嫦怠?/p>

質(zhì)心參考系xyz0(x,y,z)0x

Pr

xyzP0s<0s>0AB三、坐標(biāo)系

為定量地描述物體的運動,須在參照系上選用一個坐標(biāo)系。坐標(biāo)系是參照系的數(shù)學(xué)抽象一.位置矢量由原點引向考察點的矢量。

0表示為§1.2質(zhì)點運動的描述直角坐標(biāo)系中xyz0(x,y,z)

運動方程和軌跡方程

質(zhì)點在運動過程中，空間位置隨時間變化的函數(shù)式稱為運動方程。表示為：

直角坐標(biāo)系中或運動方程是時間t的顯函數(shù)。運動方程和軌跡方程

質(zhì)點在空間所經(jīng)過的路徑稱為軌道（軌跡）從運動方程中消去t，即可得到軌道方程軌道方程不是時間t顯函數(shù)例1-1：已知某質(zhì)點的運動方程為z＝0從x，y兩式中消去t后，得軌道方程x2＋y2＝9，z＝0

這表明質(zhì)點是在z＝0的平面內(nèi)，作以原點為圓心，半徑為3m的圓周運動．二、位移由起始位置指向終位置的一個矢量ＯＡＢ位置矢量的增量矢量增量的模矢量模的增量Ｃ在直角坐標(biāo)系中，位移的表示式為位移的模為

路程△S

△t時間內(nèi)質(zhì)點在空間內(nèi)實際運行的路徑距離ＯＡＢs與的區(qū)別注意s為標(biāo)量,為矢量r與的區(qū)別Ｃ為標(biāo)量，為矢量三、速度描述質(zhì)點位置變化和方向變化快慢的物理量

1.平均速度與平均速率ＯAB2.瞬時速度與瞬時速率OABC在直角坐標(biāo)系中四、加速度描述質(zhì)點速度變化快慢和方向的物理量

稱為機(jī)械運動狀態(tài)的變化率

OAB平均加速度瞬時加速度簡稱加速度在直角坐標(biāo)系中加速度大小加速度方向當(dāng)Δt→0時，平均加速度或速度增量的極限方向例1-2：已知一質(zhì)點的運動方程為r＝3t－4t2

式中r以m計，t以s計，求質(zhì)點運動的軌道、速度和加速度.解將運動方程寫成分量式

x＝3t，y＝－4t2消去參變量t得軌道方程：

4x2＋9y＝0，這是一條頂點在原點的拋物線.0xy由速度定義得由加速度的定義得五、運動學(xué)的基本問題1.已知運動學(xué)方程，求速度、加速度例1-3:一人用繩子拉著車前進(jìn)，小車位于高出繩端h的平臺上，人的速率為

0不變，求小車的速度和加速度大小與與人的位置坐標(biāo)ξ的關(guān)系。（繩子不可伸長）

解：人的速度大小為車前進(jìn)的速度大小為Ox

hθlξx由于定滑輪不改變繩長，所以小車坐標(biāo)的變化率等于拉小車的繩長的變化率由圖可知兩邊對t求導(dǎo)得例題1-4:有一質(zhì)點沿x軸作直線運動,t時刻的坐標(biāo)為x=5t2-3t3(SI);試求:(1)在第2秒內(nèi)的平均速度;(2)第2秒末的瞬時速度.(3)第2秒末的加速度.解:(1)

x=(5

22-3

23)-(5

12-3

13)=-6(m)

t=1s(2)(3)2.已知加速度和初始條件，求速度和運動方程初始條件t=0，

=

0可確定

初始條件t=0，x=x0可確定

例1-5:一質(zhì)點沿x軸運動，其加速度a=－ku2，式中k為正常數(shù)，設(shè)t=0時，x=0，u=u0；①

求u，x作為

t

函數(shù)的表示式；②求u作為x的函數(shù)的表示式。

解①分離變量得②由曲線上各點的切線和法線所組成的一系列坐標(biāo)系稱自然坐標(biāo)系。ASO/切向單位矢量指向物體運動方向法向單位矢量指向軌道的凹側(cè)0一、自然坐標(biāo)系§1.3自然坐標(biāo)系中的平面曲線運動與角量描述二、自然坐標(biāo)系中的平面曲線運動在曲線運動中，加速度的方向總是指向曲線凹進(jìn)的一邊如果速率是減小的，則a與v的方向夾角為鈍角

如果速率是增大的，則a與v的方向夾角為銳角

如果速率不變，則a與v的方向夾角為直角

ABC△

DP1P2△

△s切向加速度法向加速度△

ABC△

DP1P2△

△s反映速度大小的變化率反映速度方向的變化率例1-6：以速度v0平拋一小球，不計空氣阻力，求t時刻小球的切向加速度量值a

，法向加速度量值an.解由圖可知

x=

0

yθgana

θ勻速圓周運動

(=常數(shù))

角位置

角位移

方向為右手螺旋法則角速度角加速度0

1

2

p1p2極軸三、圓周運動的角量描述勻速圓周運動(

是恒量)勻角加速圓周運動(

是恒量)同一種運動的兩種描述方法，二者必有聯(lián)系。

四、角量與線量的關(guān)系例1-7:一小球作勻減速圓周運動，初始轉(zhuǎn)速n＝1500r·min－1，經(jīng)t＝50s后靜止．(1)求角加速度

和從開始到靜止小球的轉(zhuǎn)數(shù)N；(2)求t＝25s時小球的角速度ω；(3)設(shè)圓半徑R＝1m，求t＝25s時小球的速度和加速度．解：(1)由題知

當(dāng)t＝50s時，ω＝0，則從開始到靜止，小球的角位移為小球的轉(zhuǎn)數(shù)為(2)t＝25s時小球的角速度為(3)t＝25s時小球的速度為相應(yīng)的切向加速度和法向加速度分別為例1-8:一質(zhì)點沿半徑為1m的圓周運動，它通過的弧長s按s＝t＋2t2的規(guī)律變化.問它在2s末的速率、切向加速度和法向加速度各是多少？解由速率定義，有將t＝2代入上式，得2s末的速率為

＝1＋4×2＝9(m·s－1)法向加速度＝81m·s－2

切向加速度＝4m·s－2

，為一常數(shù)則2s末的切向加速度為4m·s－2.§1.4相對運動一、運動描述的相對性由于選取不同的參考系，對同一物體運動的描述就會不同.“靜止參考系”、“運動參考系”都是相對的

S系S’系絕對運動，牽連運動，相對運動.也是相對的二、參照系之間的變換(非相對論效應(yīng))參考系:S系和S’系1.位矢變換關(guān)系絕對位矢牽連位矢相對位矢位移關(guān)系：2.速度變換關(guān)系：絕對速度牽連速度相對速度稱為伽利略速度變換yx,x’SOO’S’y’若說明(1)結(jié)論是在物體的運動速度遠(yuǎn)小于光速時才成立.(2)只適用于相對運動為平動的情形。3.加速度變換關(guān)系：

在S’相對于S平動的條件下,有：三.同一參考系內(nèi)質(zhì)點系各質(zhì)點間的相對運動相對位矢

xyzoAB是B對A的位矢相對速度相對加速度

這種描述相對運動的方法與上述方法是一致的。絕對位矢牽連位矢相對位矢例1-9：如圖所示，河寬為L，河水以恒定速度u流動，岸邊有A，B兩碼頭，A，B連線與岸邊垂直，碼頭A處有船相對于水以恒定速率

0開動.證明：船在A，B兩碼頭間往返一次所需時間為(船換向時間忽略不計)：ABuL解:絕對速度為

，方向A→B，牽連速度為u，相對速度為

0，于是有u

0

A當(dāng)船由B返回A時，船對岸的速度模亦由上式給出.在AB兩碼頭往返一次的路程為2L，故所需時間為討論：(1)若u＝0，即河水靜止，則(2)若u＝

0，則t→∞，即船由碼頭A(或B)出發(fā)后就永遠(yuǎn)不能再回到原出發(fā)點了.(3)若u＞

0，則t為一虛數(shù)，這是沒有物理意義的，即船不能在A，B間往返.

綜合上述討論可知，船在A，B間往返的必要條件是:

0

＞u一、牛頓運動三定律1.牛頓第一定律

一孤立質(zhì)點將永遠(yuǎn)保持其原來靜止或勻速直線運動狀態(tài).

牛頓第一定律又稱為慣性定律.意義：(1)定性給出了兩個重要概念,力與慣性力是物體與物體間的相互作用.慣性是物體的固有屬性.(2)定義了慣性參考系慣性定律成立的參照系為慣性系。§1.5牛頓運動定律2.慣性系與非慣性系相對于孤立質(zhì)點靜止或作勻速直線運動的參考系稱為慣性參考系，簡稱慣性系.牛頓定律只適用于慣性系中宏觀物體的低速（遠(yuǎn)小于真空光速）運動。asa/S/系S系光滑S/:牛頓定律不成立

a/0S:牛頓定律成立

a=0

③

相對于已知慣性系靜止或作勻速直線運動的參考系也是慣性系。

非慣性系：相對于已知慣性系作加速運動的參考系②通常，太陽參考系是一個精確度很好的慣性系；地球或靜止在地面上的任一物體也是近似程度很好慣性系。①一個參考系是否是慣性系，取決于實驗的精度要求。地球：自轉(zhuǎn)加速度公轉(zhuǎn)加速度2.牛頓第二定律

物體受到外力作用時，它所獲得的加速度的大小與合外力的大小成正比，與物體的質(zhì)量成反比；加速度的方向與合外力F的方向相同瞬時性：第二定律是力的瞬時作用規(guī)律之間一一對應(yīng)矢量性：有大小和方向，可合成與分解力的疊加原理比例系數(shù)k與單位制有關(guān)，在國際單位制中k＝1定量的量度了慣性:質(zhì)量是物體慣性大小的量度；

m1，m2為引力質(zhì)量。牛頓等許多人做過實驗，都證明引力質(zhì)量等于慣性質(zhì)量。今后在經(jīng)典力學(xué)的討論中不再區(qū)分引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量萬有引力定律：任何兩個物體之間都存在著引力作用

引力常量3.牛頓第三定律

當(dāng)物體A以力F1作用在物體B上時，物體B也必定同時以力F2作用在物體A上.F1和F2大小相等，方向相反，且力的作用線在同一直線上.作用力與反作用力：①總是成對出現(xiàn)，一一對應(yīng)的.②不是一對平衡力.③是屬于同一性質(zhì)的力.說明：

若相對論效應(yīng)不能忽略時，牛頓第三定律的這種表達(dá)就失效了，這時取而代之的是動量守恒定律.直角坐標(biāo)系中：自然坐標(biāo)系中：二、牛頓定律的應(yīng)用牛頓第二定律——矢量式

在具體運算時，一般先要選定合適的坐標(biāo)系，然后將牛頓第二定律寫成該坐標(biāo)系的分量式。解題思路:（1）選取對象（2）分析運動（軌跡、速度、加速度）（3）分析受力（隔離物體、畫受力圖）（4）列出方程（標(biāo)明坐標(biāo)的正方向；從運動關(guān)系上補(bǔ)方程）（5）討論結(jié)果（量綱？特例？等）例1-10：一細(xì)繩跨過一軸承光滑的定滑輪，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為m1和m2的物體(m1<m2)，如圖所示.設(shè)滑輪和繩的質(zhì)量可忽略不計，繩不能伸長，試求物體的加速度以及懸掛滑輪的繩中張力.解：選取對象

m1、m2及滑輪分析運動

m1，以加速度a1向上運動

m2，以加速度a2向下運動分析受力隔離體受力如圖所示.列出方程取a1向上為正方向，則有

T1－m1g＝m1a1①am1m2m1ga1T1m2gT2a2T1/T2/T以a2向下為正方向，則有

m2g－T2＝m2a2.②根據(jù)題意有

T1＝T2＝T，a1＝a2＝a.聯(lián)立①和②兩式得由牛頓第三定律知：

T1/＝T1＝T，T2/＝T2＝T，有討論:

(1)T/

＜(m1＋m2)g.

(2)m1=m2:a1＝a2＝0;T=2m1g例1-11:升降機(jī)內(nèi)有一光滑斜面，固定在底板上，斜面傾角為

.當(dāng)升降機(jī)以勻加速度a1豎直上升時，質(zhì)量為m的物體從斜面頂端沿斜面開始下滑，如圖所示.已知斜面長為l，求物體對斜面的壓力，物體從斜面頂點滑到底部所需的時間.

a1解:(1)選取對象

以物體m為研究對象.(2)分析運動m相對于斜面向下的加速度為a2xyN

mga1m相對于地的加速度為(3)分析受力

m受力如圖x方向:mgsin

＝m(a2－a1sin

)y方向:N－mgcos

＝ma1cos

(4)列出方程對m應(yīng)用牛頓定律列方程：a2xyN

mga1解方程，得:a2＝(g＋a1)sin

N＝m(g＋a1)cos

物體對斜面的壓力大小

N′=N=m(g＋a1)cos

垂直指向斜面.m沿斜面向下作勻變速直線運動，所以(5)討論結(jié)果當(dāng)

＝0時,

N′=N=m(g＋a1).當(dāng)

＝0時，無水平滑動，l=0,t=0例1-12:跳傘運動員在張傘前的俯沖階段，由于受到隨速度增加而增大的空氣阻力，其速度不會像自由落體那樣增大.當(dāng)空氣阻力增大到與重力相等時，跳傘員就達(dá)到其下落的最大速度，稱為終極速度.一般在跳離飛機(jī)大約10s，下落300～400m時，就會達(dá)到此速度(約50m·s－1).設(shè)跳傘員以鷹展姿態(tài)下落，受到的空氣阻力為F＝k

2(k為常量)，如圖所示.試求跳傘在任一時刻的下落速度.解：設(shè)向下為y軸正向0y跳傘運動員受力如圖Fmg由牛頓第二定律得時,終極速度運動方程寫為因t＝0時，

＝0；并設(shè)t時，速度為

.取定積分則有設(shè)m＝70kg，

T＝54m·s－1，則k＝0.24N2·m2·s－1.可得到如圖所示的

(t)函數(shù)曲線.§1.6動量與動量守恒定律整個物理學(xué)大廈的基石,三大守恒定律：

動量守恒定律能量轉(zhuǎn)換與守恒定律角動量守恒定律

一.質(zhì)點的動量定理

定義:質(zhì)點的動量—△狀態(tài)矢量△相對量定義:力的沖量—若一個質(zhì)點，所受合外力為質(zhì)點動量定理：微分形式積分形式

作用于物體上的合外力的沖量等于物體動量的增量這就是質(zhì)點的動量定理。直角坐標(biāo)系中:沖量:沖量的方向不能由某瞬時力的方向來決定平均沖力ff0tt+△tt說明:△F應(yīng)為合外力；△也只對慣性系成立?！鱬是狀態(tài)量；I是過程量。二.質(zhì)點系的動量定理ij第i個質(zhì)點受的合外力則i質(zhì)點的動量定理：對質(zhì)點系:由牛頓第三定律有:所以有:令則有：

質(zhì)點系總動量的增量等于作用于該系統(tǒng)上合外力的沖量.三.動量守恒定律

一個孤立的力學(xué)系統(tǒng)或合外力為零的系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點間動量可以交換，但系統(tǒng)的總動量保持不變。這就是動量守恒定律。即：=常矢量說明:1.守恒條件是而不是2.動量定理及動量守恒定律只適用于慣性系.3.若某一方向的合外力零，則該方向上動量守恒；但總動量可能并不守恒。4.動量守恒定律是比牛頓定律更普遍、更基本的定律，它在宏觀和微觀領(lǐng)域均適用例1-13:一彈性球，質(zhì)量m＝0.20kg，速度v＝5m·s，與墻碰撞后以原速率彈回。且碰撞前后的運動方向和墻的法線所夾的角都是

，設(shè)球和墻碰撞的時間Δt＝0.05s，

＝60°，求在碰撞時間內(nèi)，球和墻的平均相互作用力。

Nxm1m2解：以球為研究對象.設(shè)墻對球的平均作用力為，球在碰撞前后的速度為v1和v2，由動量定理可得將沖量和動量分別沿圖中N和x兩方向分解得解方程得按牛頓第三定律，球?qū)Φ钠骄饔昧偷姆较蛳喾炊戎担创怪庇趬γ嫦蚶?例1-14:一輛裝礦砂的車廂以

＝4m·s－1的速率從漏斗下通過，每秒落入車廂的礦砂為k＝200kg·s－1，如欲使車廂保持速率不變，須施與車廂多大的牽引力(忽略車廂與地面的摩擦)？解:設(shè)t時刻已落入車廂的礦砂質(zhì)量為m，經(jīng)過dt后又有dm＝kdt的礦砂落人車廂.

取m和m＋dm為研究對象，則系統(tǒng)沿x方向的動量定理為Fdt＝(m+dm)

－(m

+dm·0)＝

dm＝

kdt則:F＝k

＝2000×4＝8×103(N)§1.7功和能一.功功率1.功：力在位移方向上的投影與該物體位移大小的乘積.

力沿路徑l的線積分直角坐標(biāo)系中功值的圖示法0absFcosθdW說明：(1)功是標(biāo)量，有正、負(fù)之分。(2)功是過程量，與初末位置及運動路徑有關(guān)。2.功率

單位時間內(nèi)所作的功稱為功率

功率的單位：在SI制中為瓦特（w）

1.重力的功

物體m在重力作用下由a運動到b，取地面為坐標(biāo)原點.0xyzabz1z2mg

重力的功只由質(zhì)點始、末位置來決定，而與所通過的路徑無關(guān).二.保守力的功2.萬有引力的功

兩個質(zhì)點之間在引力作用下相對運動時，以M所在處為原點,M指向m的方向為矢徑的正方向。m受的引力方向與矢徑方向相反。Mm3.彈簧彈性力的功0xx保守力

一質(zhì)點相對于另一質(zhì)點沿閉合路徑運動一周時，它們之間的保守力做的功必然是零。例1-15:質(zhì)點所受外力F＝(y2－x2)i＋3xyj，求質(zhì)點由點(0,0)運動到點(2,4)的過程中力F所做的功：(1)先沿x軸由點(0,0)運動到點(2,0)，再平行y軸由點

(2,0)運動到點(2,4)；(2)沿連接(0,0)，(2,4)兩點的直線；(3)沿拋物線y＝x2由點(0,0)到點(2,4)(SI單位制).解:(1)由點(0,0)沿x軸到(2,0).此時y＝0，dy＝0=-8/3J由點(2,0)平行y軸到點(2,4).此時x＝2，dx＝0＝48JW=W1+W2=(2)因為由原點到點(2,4)的直線方程為y＝2x，則＝40J(3)因為y＝x2，所以三.質(zhì)點的動能定理令Ek是狀態(tài)量，相對量，與參照系的選擇有關(guān)。合力對質(zhì)點作的功等于質(zhì)點動能的增量例1-16:一質(zhì)量為10kg的物體沿x軸無摩擦地滑動，t＝0時物體靜止于原點.(1)若物體在力F＝3＋4tN的作用下運動了3s，它的速度增為多大？(2)物體在力F＝3＋4xN的作用下移動了3m，它的速度增為多大？解(1)由動量定理得=2.7m

s-1(2)由動能定理得=2.3m

s-1四.勢能重力的功萬有引力的功彈性力的功

保守力的功只與初、終態(tài)的相對位置有關(guān)，說明系統(tǒng)存在一種只與相對位置有關(guān)的能量?？梢胍粋€

由物體相對位置所決定而又具有能量性質(zhì)的函數(shù)，稱之為勢能函數(shù)。用Ep表示.或保守力的功等于系統(tǒng)勢能增量的負(fù)值。

若選定勢能零點為Ep2=0

重力勢能：

選地球表面為勢能零點萬有引力勢能:

通常選兩質(zhì)點相距無限遠(yuǎn)時的勢能為零.

對彈性勢能:

通常選彈簧自然長度時的勢能為零,則討論：1.勢能是相對量，其值與零勢能參考點的選擇有關(guān).2.勢能函數(shù)的形式與保守力的性質(zhì)密切相關(guān).3.勢能是以保守力形式相互作用的物體系統(tǒng)所共有.4.勢能物理意義可解釋為：一對保守力的功等于相關(guān)勢能增量的負(fù)值.例1-17:一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，下懸一質(zhì)量為m的物體而處于靜止?fàn)顟B(tài).今以該平衡為坐標(biāo)原點，并作為系統(tǒng)的重力勢能和彈簧彈性勢能零點，那么當(dāng)m偏離平衡位置的位移為x時，整個系統(tǒng)的總勢能為多少？解系統(tǒng):地球、彈簧、重物m建坐標(biāo)如圖示，則彈性勢能在