高考試題選-不等式

總題數(shù)：20題

第1題(2009年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)(遼寧卷))

題目

請(qǐng)考生在第(一)、(二)、(三)三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.

(?)選修4—1:兒何證明選講

已知4ABC中,AB=AC,D是4ABC外接圓劣弧.R上的點(diǎn)(不與點(diǎn)A,C重合)，延長(zhǎng)BD至E.

(1)求證:AD的延長(zhǎng)線平分NCDE;

(2)若NBAC=30°,AABC中BC邊上的高為2+君，求aABC外接圓的面積.

(-)選修4一4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，以0為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲

線C的極坐標(biāo)方程為Pcos(3)=i,M,N分別為C與x軸,y軸的交點(diǎn).

(1)寫(xiě)出C的直角坐標(biāo)方程，并求M,N的極坐標(biāo);

(2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P,求直線0P的極坐標(biāo)方程.

(三)選修4—5:不等式選講

設(shè)函數(shù)f(x)=|x-1|+|x—a|.

(1)若a=-l,解不等式f(x)23;

(2)如果VxeR,f(x)=2,求a的取值范圍.

答案

（一）解：（1）證明:如圖，設(shè)F為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn).

VA,B,C,D四點(diǎn)共圓,

ZCDF=ZABC.

又AB=AC,ZABC=ZACB,

且NADB=NACB....NADBuNCDF.

對(duì)頂角ZEDF=ZADB,故NEDF=NCDF,

即AD的延長(zhǎng)線平分NCDE.5分

⑵設(shè)0為外接圓圓心,連接A0交BC于H,則AH±BC.

連接0C.由題意N0AC=N0CA=15°,ZACB=75°.

/.Z0CH=60°.

r+^-r=2+啰

設(shè)圓半徑為r,則2，得r=2,外接圓面積為4”.10分

(二)解：⑴由Pcos(3)=1得

1出.

—cos^4"——sin&

P(22)=1.

從而c的直角坐標(biāo)方程為

14出1

-X+—V=1

即x+、&=2.

。=0時(shí)，「=2,所以乂(2,0);

ck2用2召不

u=—p=-----,—

2時(shí)，3，所以N(32).5分

(2)M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,0),

2品

N點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,3).

聒2-7T

所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,3)，則p點(diǎn)的極坐標(biāo)為(3,6),

0=-

所以直線OP的極坐標(biāo)方程為Q,P6(—8,+8).10分

(三)解：(1)當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=|x—1|+|x+l

由f(x)23得

Ix—11+!x+l|23,

①xW—l時(shí),不等式化為

1—x—1—x23,即一2x23.

(xM-l,3

不等式組I"')"的解集為(-8,2].

②當(dāng)一1<XW1時(shí)，不等式化為

1—x+x+123,不可能成立.

-1<X<1,

<

不等式組1,⑴23的解集為0.

③當(dāng)X>1時(shí)，不等式化為

x-l+x+1^3,即2x5=3.

3

不等式組I,")-3的解集為[2,+8).

_33

綜上，得f(X)33的解集為(-8,2]U[2,+8).5分

(2)若a=1,f(x)=21x—11,不滿(mǎn)足題設(shè)條件.

-2x+a+l,x<a,

/(x)="l-a,a<x<\,

.「2x-(a+l),x>l,

若a<l,'

f(x)的最小值為l-a.

f-2x+a+1,x<1,

/(x)='a-\S<x<a,

,,2x-(a+1),x>a,，、“日…“

若a>l,I'丁6)的最小值為2-1.

所以VxdR,f(x)92的充要條件是|2-1|》2,從而2的取值范圍為(-8,一門(mén)U[3,+8).10分

第2題(2009年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)(福建卷))

題目

本題有(1)、(2)、(3)三個(gè)選答題,每小題7分,請(qǐng)考生任選2題做答,滿(mǎn)分14分.如果多做,則按所做的前兩

題計(jì)分.

(1)選修4—2:矩陣與變換

(2一3、

M=

1-i

已知矩陣、)所對(duì)應(yīng)的線性變換把點(diǎn)A(x,y)變成點(diǎn)A，(13,5),試求M的逆矩陣及點(diǎn)A的坐標(biāo).

(2)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

x=-1+2cos9,

已知直線l:3x+4y-12=0與圓C:=2+2Sin0(9為參數(shù))，試判斷它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).

(3)選修4—5:不等式選講

解不等式：|2x-l|<|x|+l.

答案

(1)分析:本題主要考查矩陣、矩陣與變換等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.

(2-31

脛=

依題意得由U-得M=i,故

-13、

-12,

（2-3\（x\113、（~\3丫13、（-1x13+3x5、（2

從而由J一1八”〔"得B2大5,1-1x13+2x5）（-3,

x=2,

<

故-3,即A(2,-3)為所求.

(2)分析:本題主要考查圓的參數(shù)方程、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.

圓的方程可化為(x+l)z+(y-2)2=4,

其圓心為C(T,2),半徑為2.

由了圓心到直線1的距離

|3x(-l)+4x2-12|_7

d=<2

732+425

故直線I與圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

（3）分析:本題主要考查絕對(duì)值不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.

當(dāng)x<0時(shí)，原不等式可化為-2x+l<-x+l,

解得x>0,

又，x不存在;

0<x<—

當(dāng)2時(shí)，原不等式可化為-2x+l<x+l,解得x>0,

0<x<-0<x<-

又2?2.

當(dāng)2時(shí)，原不等式可化為2x-lVx+l,解得xV2,

x>--<x<2

XV2,2

綜上,原不等式的解集為{x10<x<2}.

第3題（2009年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)（江西卷））

題目

/w=—

設(shè)函數(shù)X

⑴求函數(shù)/（X）的單調(diào)區(qū)間;

(2)若k>0,求不等式f'(x)+k(bx),(X)>0的解集.

答案

1K1*X-1*

fU)="—+—2=—r-=^

解：(1)xxx,

由f'(x)=0,得x=L

因?yàn)楫?dāng)xVO時(shí)，伊(x)<0;

當(dāng)OVxVl時(shí),f'(x)<0;

當(dāng)x>l時(shí),fz(x)>0,

所以“X)的單調(diào)增區(qū)間是[1,+8)；單調(diào)減區(qū)間是(—8,0),(0,口.

x-1+kx-7f(x-l)(-^x+l)x

“消--------2--------8=----2--------g>0

⑵由f'(x)+kd-x)^W=XX

得(x-1)(kx-1)<0.

2

故當(dāng)0<kVl時(shí),解集是;

當(dāng)k=l時(shí),解集是°;

2

當(dāng)k>l時(shí),解集是｛x|k<x<l].

第4題(2009年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)(陜西卷))

題目

1-X

已知函數(shù)/(X)=ln(ax+l)+l+X,x>0,其中a>0.

⑴若,(X)在x=l處取得極值,求a的值；

⑵求了(X)的單調(diào)區(qū)間；

⑶若了0)的最小值為1,求a的取值范圍.

答案

分析：第⑴問(wèn)利用『⑴=0可解.第⑵問(wèn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,f'(x)>0=/(X)單調(diào)遞增,f'(x)<0=

/(X)單調(diào)遞減.第(3)問(wèn)結(jié)合第(2)問(wèn)分類(lèi)討論.

,攵=，__2

解：⑴公+1Q+x)2

ax24-(2-2

=皿+1)(1+乃2

???/(X)在x=l處取得極值，

/.f;(1)=0,KPa?l2+a-2=0,解得a=l.

q_ax2+a-2

⑵二(ax+l)(l+x),

Vx^0,a>0,.\ax+l>0.

①當(dāng)a22時(shí),在區(qū)間(0,+8)上,f'(x)>0,

:J(X)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+8).

②當(dāng)0Va<2時(shí),

由f‘(x)>0解得

由f,(x)VO解得

..J0)的單調(diào)減區(qū)間為（0,+8).

（3）當(dāng)a》2時(shí)，由⑵①知,?。╔）的最小值為f（0）=l;

時(shí),由⑵②知,丁@）在

當(dāng)0VaV2處取得最小值f（)<f(0)=l,

綜上可知,若/（X）的最小值為1,則a的取值范圍是［2,+8）.

第5題（2009年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)（海南、寧夏卷））

題目

請(qǐng)考生在第（1）、（2）、（3）三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.

（-）選修4—1:兒何證明選講

如圖，已知aABC的兩條角平分線AD和CE相交于H,NB=60°,F在AC上，且AE=AF.

（1）證明B,D,H,E四點(diǎn)共圓;

⑵證明CE平分NDEF.

（二）選修4一4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

x=-4+cost,fx=8cos6,

*

已知曲線C,：3+sin'（t為參數(shù)），a：卜=3sin°（。為參數(shù)）.

（1）化Q,G的方程為普通方程,并說(shuō)明它們分別表示什么曲線；

開(kāi)p=3+2i,

（2）若a上的點(diǎn)p對(duì)應(yīng)的參數(shù)為2,Q為&上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線以：一2+'仕為參數(shù)）

距離的最小值.

（三）選修4—5:不等式選講

如圖,0為數(shù)軸的原點(diǎn),A,B,M為數(shù)軸匕三點(diǎn),C為線段0M匕的動(dòng)點(diǎn).設(shè)X表示C與原點(diǎn)的距離,y表示C到A

距離的4倍與C到B距離的6倍的和.

0ABM

-----?----------???-----------?

102030

（1）將y表示為x的函數(shù)；

（2）要使y的值不超過(guò)70,x應(yīng)該在什么范圍內(nèi)取值？

答案

（-）分析:此題考查平面幾何知識(shí),如四點(diǎn)共圓的充要條件,角平分線的性質(zhì)等.

證明：（1）在AABC中，因?yàn)镹B=60°,

所以NBAC+NBCA=120°.

因?yàn)锳D,CE是角平分線,

所以NHAC+NHCA=60°.

故NAHC=120°.

于是NEHD=NAHC=120°,

因?yàn)镹EBD+NEHD=180°,

所以B,D,H,E四點(diǎn)共圓.

(2)連結(jié)BH,則BH為NABC的平分線,得NHBD=30°.

由(D知B,D,H,E四點(diǎn)共圓，

所以NCED=NHBD=30°.

XZAHE=ZEBD=60°，由已知可得EFd_AD,

可得NCEF=30°.

所以CE平分NDEF.

(-)分析:參數(shù)方程的考查，即為三角函數(shù)中同角三角函數(shù)的基本關(guān)系si/x+cos'n的應(yīng)用;

第(2)小問(wèn)點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用.

22

---+----=1

解：(1)G:(x+4)2+(y-3)2=l,G:649

a為圓心是(一4,3),半徑是1的圓.

G為中心是坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是8,短半軸長(zhǎng)是3的橢圓.

7Tc3.八

t——2+—sin0

⑵當(dāng)2時(shí)，p(_4,4),Q(8cosO,3sinO),故M(—2+4cosO,2).

d=—\4cosd-3sai0-13\

以為直線x-2y-7=0,M到a的距離

4875

cos6=一

從而當(dāng)55時(shí),d取得最小值5.

（三）分析:第⑴小問(wèn)考查絕對(duì)值的兒何意義一距離問(wèn)題.

第（2）小問(wèn)考查含絕對(duì)值不等式的解法及分段思想.

解：(Dy=4|x-10|+6|x—20|,0WxW30.

4|x-10|+6|x-20|<70,

<

⑵依題意,X滿(mǎn)足10工工工30.

解不等式組，其解集為[9,23].

所以X6[9,23].

第6題（2008年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)（四川卷延考））

題目

2x+l

設(shè)函數(shù)"

x+2

（I）求/（X）的單調(diào)區(qū)間和極值;

6

（II）若對(duì)一切XR,-3<qf^）+b<3t求a的最大值.

答案

r'/.x,2x+lf-2(x+2)(x-l)

3)“"=夕*)=(—+2)2

解答:

當(dāng)xc(-2,1)時(shí)，/(X)>0.當(dāng)xe(-8,-2川(1,拉)時(shí)，/U)<0.

故在（-2,1）單調(diào)增加，在（一8,—2）,（l,4oo）單調(diào)減少

1

小)的極小值八一2)=一

2,極大值,。)=1

(了⑶+如曲-三沸薩?

1)=*到輸⑴一2

(II)由44X十/)

--</(x)<l--

即2，由此及(I)知J的最小值為2,最大值為1.

-3<--a+b<3

2

因此對(duì)-切xeK,一3VM幻+8工3的充要條件是-3<a+b<3

a+b>-3

a+b<3

--a+b>-3

2

——a+843

即a,5滿(mǎn)足約束條件2,由線性規(guī)劃得，a-占的最大值為5.

第7題(2007年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)(四川卷))

題日

(21)已知函數(shù)/(x)=x2-4,設(shè)曲線y=/(x)在點(diǎn)(八/U))處的切線與x軸的交點(diǎn)(m,o)(XGN*)其

中x為正實(shí)數(shù)

(I)用的表示Xn>\

(ID求證：對(duì)?切正整數(shù)〃，5+1￡%的充要條件是勺之2：

.4+2

(III)若汨=4,記4-2,證明數(shù)列｛&｝成等比數(shù)列，并求數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式。

答案

本題綜合考察數(shù)列、函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等知識(shí)，以及推理論證、計(jì)算及解決問(wèn)題的能力。

解（I）由題可得/（才）=2x

所以過(guò)曲線上點(diǎn)卜十yGJ）的切線方程為、一/（/）=

令丫=0,得一卜「一4)=2,(4+1一演)，即xj+4=2&&+1

/2

x?.i=F—

顯然勺H°???2%

（II）證明：（必要性）

Xi2.

一+——A

若對(duì)一切正整數(shù)"，友+1?/，則為工々，即2Xi,而々>0,二々之4,即有占22

%=%+2

（充分性）若工之由

12>0,2xx

xK+1=—+—>2

用數(shù)學(xué)歸納法易存。>°,從而2々,哂22(%22)

又xj22二4之2（附之1）

x*+i4--7+-4—A------------------su

于是2X*2x,2x”

即x*+i=。對(duì)一切正整數(shù)我成立

/2+2=安\，…w

x?+i=—+—h

(III)由2%,知

勺+1+2_:1+2)

Z-2

故x*+i-2L?J

lg、+i+2=2ig^i1^

從而—2%—2,即即+i=2ax

4=2"%=21坨g=2”1電3

所以，數(shù)列成等比數(shù)列，故Xi-2,

lg^13=211g3=32"-1

即五一2,從而仆一2

2（尹】+1）

所以'-3加-1_1

第8題（2007年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)（海南、寧夏卷新課標(biāo)））

題日

選做題22.C選修4-5；不等式選講

設(shè)函數(shù)/（*）=|2*+1|一卜一4|

（D解不等式/（x）>2；

（II）求函數(shù)V=/（x）的最小值.

答案

解：

（I）令"=|2"+1|一卜一4|,則

x<-；，

-x-5,

y=<3x-3,--<x<4,

2

x+5,x24.

作出函數(shù)y=|2x+l|Tx—4|的圖象，它與直緲=2的交點(diǎn)為（一7,2）MJ,2

(一x，-7)U(q,+x

所以|2x+l|—卜一4|>2的解集為

r15

_9

（II）由函數(shù)J=|2x+l]一卜一4|的圖像可知，當(dāng)一2時(shí)，丁=|2工+1|一上一4|取得最小值2.

第9題（2006年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)）重慶卷（新課程））

題目

(20)

已知函數(shù)〃x）=（'+"+c）e”,其中3,ceR為常數(shù).

⑴若1>4（c-D,討論函數(shù)“X）的單調(diào)性;

lim/⑴一匕_4

(H)若“X4(c-l),且*TOX，試證：-64542；

答案

解（I）求導(dǎo)得了'（”）=[”+（"+2）*+3+/*

因/>4（c-1）,故方程/。）=。即,+3+2）*+3+，=°有兩根：

b+2Jbi-4(c-T)b+21^2-4(C-1)

句=一一丁"------；-------

2222

令」'（x）＞o,解得X＜占或X＞工2；

又令/（）＜

X0,解得有＜X.

故當(dāng)Xe（-00,Xi）時(shí)，/（X）是增函數(shù)：當(dāng)Xe（町,+8）時(shí)，也是增函數(shù)：但當(dāng)xe（々，叼）時(shí),

/（X）是減函數(shù).

di)易知/(°)=c,1/'(0)="+c，因此

limJ⑶=lim/⑶寸⑼=/(0)=b+c.

XT。xXT0X

所以，由已知條件得

b+c=4,

b1<4(c-l),

因此"+48T2Mli

解得-6<Z><2.

第10題（2005年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)）江西卷（新課程））

題目

/?=--

17.已知函數(shù)ax+6（a,b為常數(shù)）且方程/tA）-A+12=0有兩個(gè)實(shí)根為M=3,X?=4.

（1）求函數(shù)，（*）的解析式；

/W＜（"一上

（2）設(shè)k＞L解關(guān)于才的不等式2-X

答案

Xi=3,x2=4分別代入方程———-x+12=0

17.解：(1)將ax+b得

--9fI2

<黑’解得仁，所"=之”2).

-----=-8i

、4a+3

(2)不等式即為

工〈生+%一上可化為\W+l)x+尢<0

2-x2-x2-x

即(天一2)0—1)*一上)>0.

①當(dāng)1"<2,解集為xe(1出u(2,4oo).

②當(dāng)尢=2時(shí)，不等式為(x-2)2(x-1)>0解集為

xe(1.2)O(2,-K)O)；

③當(dāng)左>附解集為xe(l,2)u(yt,+oo)

第11題(2005年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類(lèi))重慶卷(新課程))

題目

%=1且%+1=(1+—)%+之1)

22.數(shù)列｛aj滿(mǎn)足n+n2

(I)用數(shù)學(xué)歸納法證明：%~2伽-2).

(II)已知不等式明+乃〈甜X>。成立，證明9+(心1),其中無(wú)理數(shù)e=2.71828….

答案

22.

(I)證明：(1)當(dāng)n=2時(shí)，°2=2之2,不等式成立.

(2)假設(shè)當(dāng)"=冷之2)時(shí)不等式成立，即6-2Gt22),

々此+i=(1+---------)□北+~■工—2

那么小(上+1)2.這就是說(shuō)，當(dāng)/=上+1時(shí)不等式成立.

根據(jù)(1)、(2)可知：a*-2對(duì)所有%N2成立

(II)證法一：

由遞推公式及(I)的結(jié)論有

"1=0+——)%+不■WQ+—----+不-1)

n+n2n+n2

兩邊取對(duì)數(shù)并利用已知不等式得

lna*+i<ln(l+-jl—+^-)+lnas<ln?x+^—4-^-.

n+n2n+?2

t??11

Inax.}-InX----------+—

故?(?+1)2s

上式從1到萬(wàn)一1求和可得

In以及-In/V------F------11?…+----------1—+—―+…+

1x22x3(?-!)?222

1-J_

=】」+d」)+..」」+L

223?-1?211n2*

2即

In以及<2,故以及<e(?之1).

（II）證法二:

由數(shù)學(xué)歸納法易證2a>》仍_1）對(duì)正22成立，故

a=(1+>+—<(1+--~>a*+―-—

S+1?*2+*?*2*?(?-!/s?(?-1)

令

以=怎+1⑴N2),則&+】工(1+丁=地，(?>2).

Inbn+1<ln(l+—)+lnbx

取對(duì)數(shù)并利用已知不等式得n[n-1)

<ln6.H--------——(?>2).

?(?-1)上式從2到n求和得

11]

必4+1一叫工_J_p???+

lx22x3n(n-1)

.1111

=1——+———+…+--<1.

223n-\n

1+ln3

因%=a2+l=3.feln6s+1<l+ln3,4+1<e=3e(?>2).

22

故am〈寵一1<e\"22,又顯然為<e,a2<e,^ax對(duì)一切％之1成立

第12題（2004年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)）全國(guó)卷I（舊課程））

題目

19.某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800n?的矩形菜溫室.在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1ra寬的

通道,沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地.當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)各為多少時(shí),蔬菜的種植面積最大?最大種植面積是

多少？

答案

19.本小題主要考查把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題,應(yīng)用不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和方法解決問(wèn)題的能力.

解：設(shè)矩形溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為am,后側(cè)邊長(zhǎng)為bm,則a爐800.

蔬菜的種植面積a(a—4)(A-2)

=ab—46—2/8

=808-2(a+26).

所以SW808-4O^=648(m2).

當(dāng)a=2b,即a=40(m),加20(m)時(shí)，5"人他=648(m2).

答：當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為40m,后側(cè)邊長(zhǎng)為20m時(shí),蔬菜的種植面積最大,最大種植面積為648京

第13題(2004年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類(lèi))北京卷(舊課程))

題目

19.某段鐵路線上依次有A、B、C三站，AB=5km,BC=3km.在列車(chē)運(yùn)行時(shí)刻表上，規(guī)定列車(chē)8時(shí)整從A站發(fā)

車(chē)，8時(shí)07分到達(dá)B站并停車(chē)1分鐘，8時(shí)12分到達(dá)C站.在實(shí)際運(yùn)行時(shí)，假設(shè)列車(chē)從A站正點(diǎn)發(fā)車(chē)，在

B站停留1分鐘，并在行駛時(shí)以同一速度rkm/h勻速行駛，列車(chē)從A站到達(dá)某站的時(shí)間與時(shí)刻表上相應(yīng)時(shí)

間之差的絕對(duì)值稱(chēng)為列車(chē)在該站的運(yùn)行誤差.

(I)分別寫(xiě)出列車(chē)在B、C兩站的運(yùn)行誤差；

(II)若要求列車(chē)在B、C兩站的運(yùn)行誤差之和不超過(guò)2分鐘，求丫的取值范圍.

答案

19.主要考查解不等式等基本知識(shí)，考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

解:

（I）列車(chē)在B、C兩站的運(yùn)行誤差（單位：分鐘）分別是

3004801[

-------/-------11

v|和|v

（II）由于列車(chē)在B,C兩站的運(yùn)行誤差之和不超過(guò)2分鐘，所以

3007480H

|V|+|P|W2.（*）

300300480

當(dāng)OV/W7時(shí)（*）式變形為u-7+u-11W2,

300

解得39WV7；

300480300480

當(dāng)7VY11時(shí)（*）式變形為7—U+射-11^2,

300480

解得7vY11；

480300480

當(dāng)11時(shí)（*）式變形為7—U+11-vW2,

480195

解得11VY4.

195

綜上所述，夕的取值范圍是[39,4].

第14題（2004年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)）北京卷（舊課程））

題目

20.給定有限個(gè)正數(shù)滿(mǎn)足條件T：每個(gè)數(shù)都不大于50且總和G1275.現(xiàn)將這些數(shù)按卜.列要求進(jìn)行分組，每組

數(shù)之和不大于150且分組的步驟是：

首先，從這些數(shù)中選擇這樣一些數(shù)構(gòu)成第一組，使得150與這組數(shù)之和的差與與所有可能的其他選擇相比

是最小的，n稱(chēng)為第一組余差：

然后，在去掉已選入第一組的數(shù)后，對(duì)余下的數(shù)按第一組的選擇方式構(gòu)成第二組，這時(shí)的余差為㈤如此繼

續(xù)構(gòu)成第三組(余差為八)、第四組(余差為羽)、…,直至第/V組(余差為八)把這些數(shù)全部分完為止.

(I)判斷八n,…,n的大小關(guān)系，并指出除第川組外的每組至少含有幾個(gè)數(shù)；

153-Z

(II)當(dāng)構(gòu)成第〃"＜加組后，指出余下的每個(gè)數(shù)與的大小關(guān)系，并證明;

(III)對(duì)任何滿(mǎn)足條件T的有限個(gè)正數(shù)，證明：/VW11.

答案

20.主要考查不等式的證明等基本知識(shí)，考杳邏輯思維能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

解：

150

(1)nWgW…Wn.除第川組外的每組至少含有50=3個(gè)數(shù).

(II)當(dāng)?shù)凇ńM形成后，因?yàn)椤ā慈怂赃€有數(shù)沒(méi)分完，這時(shí)余下的每個(gè)數(shù)必大于余差心余下數(shù)之和也大

于第〃組的余差不的即￡一[(150—ri)+(150—r2)+…+(150—r,)]＞rnt

由此可得r1+及+…+〃T＞150〃一￡.

因?yàn)?"-1)r1＞打+及+…+n-1,所以口-1.

(in)用反證法證明結(jié)論.假設(shè)財(cái)＞11,即第11組形成后，還有數(shù)沒(méi)分完，由(1)和(n)可知，余下的

每個(gè)數(shù)都大于第11組的余差如,且r”學(xué)?。，

150x11-1275

故余下的每個(gè)數(shù)〉1°=37.5.(*)

因?yàn)榈?1組數(shù)中至少含有3個(gè)數(shù)，所以第11組數(shù)之和大于37.5X3=112.5.

此時(shí)第11組的余差r“=150—第11組數(shù)之和＜150—112.5=37.5,

這與(*)式中ru＞37.5矛盾，所以,收11.

第15題（2004年普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)）北京卷（舊課程））

題目

15.當(dāng)0<a<l時(shí),解關(guān)于x的不等式」.1</2.

答案

15.本小題主要考查不等式的解法、指函數(shù)的性質(zhì)等基本知識(shí)，考查運(yùn)算能力和邏輯思維能力.

解：由?！此?,原不等式可化為

-I>x-2.

這個(gè)不等式的解集是下面不等式組①及②的解集的并集：

12r-l>0,

①

pr-l>0,

r-2>0,

2

.nr—1>（r—2）,三

或i②

解不等式組①得解集W水2},

解不等式組②得解集{引2^X5},

_1_

所以原不等式的解集為3亍〈水5}.

第16題（2004年普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)）安徽卷（新課程））

題目

17.解關(guān)于x的不等式

3

logax<31og/（a>0,且a/l）.

答案

17.本小題主要考查對(duì)數(shù)、不等式解法等基礎(chǔ)知識(shí),考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

解：令y=log.,x,則原不等式化為

"一3y<0,

解得八一石，或00<后，

即log"一出，或OVLOG/LOG〈#.

當(dāng)0〈水1時(shí)，不等式的解集為}U{x|a'<MD;

一點(diǎn)J5

當(dāng)a〉l時(shí)，不等式的解集為{x\0<x<a}U{xlKK^}.

第17題（2002年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)）北京卷（舊課程））

題目

（17）解不等式|J2X-1-x/<.2.

答案

（17）本小題主要考查不等式的解法等基本知識(shí)，考查運(yùn)算能力和邏輯思維能力.

jJ2r-]_x<2,

解：原不等式O（J2x-I>-2.

2x-l>0,

<；x+2>0,

因?yàn)閊/^<戶(hù)20Si<（r+2）2

x>~,

2,1

=1r+2x+5>0o2

2x-l>0,

r-2>0,2r-l>0,

2

又J2x-1_X>_202r-l<(x-2)或x—2《0

xN2,1

<5Jc—

0卜一61+5<02-V2

,xA2,i

Ol!<x<5或』2

工

02（xV5或2WxV2

工

02<V5.

X-Ti

<=>—

-1<,x<5u2

所以，原不等式組0I?WxV5.

因此，原不等式的解集為"WxV5）.

第18題（2002年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)）北京卷（舊課程））

題目

（18）如圖，在多面體力比9—44?！ㄖ校?、下底面平行且均為矩形，相對(duì)的側(cè)面與同一底面所成的二面

角大小相等，側(cè)棱延長(zhǎng)后相交于反b兩點(diǎn)，上、下底面矩形的長(zhǎng)、寬分別為c,d與a,b,

且a>c,b>d,兩底面間的距離為力.

(1)求側(cè)面力破4與底面力及力所成二面角的大小；

(II)證明：EF//面ABCV：

(III)在估測(cè)該多面體的體積時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用近似公式

瞑=5”世而?力來(lái)計(jì)算.已知它的體積公式是

h

片6(5|底向+45，|,雙向+$卜*而)，試判

斷心與，的大小關(guān)系，并加以證明.

(注：與兩個(gè)底面平行，且到兩個(gè)底面距離相等的截面稱(chēng)為該多面體的中