水文隨機分析課件

2024-2-121水文隨機分析

2024-2-122第一章隨機過程基礎知識隨機過程概念隨機過程的概率分佈及數(shù)字特徵隨機過程的基本分類平穩(wěn)隨機過程泊松過程2024-2-123隨機過程概念實際上，常遇到實驗過程中隨某個參變數(shù)變化而變化的隨機變數(shù)，數(shù)學上稱該隨機變數(shù)為隨機函數(shù)。（隨機變數(shù)定義：隨機事件的實數(shù)值函數(shù)，有一個基本事件，對應一個實數(shù)值，這個實數(shù)在一次試驗中能否發(fā)生，是很難事先確定的）。2024-2-124如南京滁河某站水位或流量，它是隨時間而變化的，包括年平均流量，年最大流量，日、月平均流量或水位都是隨時間而變。再如南京日、月平均氣溫值也隨時間而變化，當然南京氣溫值還隨空間位置不同而變化。換句話說，參變數(shù)不一定總是時間，可以是其他。這些隨機變數(shù)即為隨機函數(shù)。特別是：我們常稱以時間t為參變數(shù)的隨機函數(shù)為隨機過程。當然如果涉及水文現(xiàn)象的隨機過程則稱為水文隨機過程，一般用表示。

2024-2-125t可以是連續(xù)的，也可以是離散的。如t為離散的則簡稱隨機序列或時間序列，如年最大等，如t為連續(xù)的則仍稱隨機過程。在給定t情況下，就是一個隨機變數(shù)，其取值可以是離散的，也可以是連續(xù)的。（水文上一般是連續(xù)型的，年徑流量、年最高水位等；也有離散的，如年降水天數(shù)，1，2，…，365）2024-2-126t離散離散型時間序列連續(xù)型時間序列連續(xù)離散型隨機過程連續(xù)型隨機過程隨機過程的分類2024-2-127在研究水文隨機現(xiàn)象時，如研究洪水過程，如果把t當作連續(xù)的（暫態(tài)過程），理論上講是最好的，但這樣的隨機過程建模對資料要求高，工作量很大，實際上幾乎難於實現(xiàn)。因此，常根據實際水文現(xiàn)象特性對t作離散化處理，如對大江大河洪水過程，不要求t為連續(xù)的，而只要日平均過程，即一年365個數(shù)據則可，經驗表明：日平均過程可以近似反映長江幹流洪水。當然對中小河洪水過程，則不能用日平均流量來反映，而應該取時段長為幾個小時的平均流量做離散化（山區(qū)河流因流量變化大則應更短，一次洪水過程可用1、2個小時平均流量過程代替洪水過程）。2024-2-128在任意給定一個t值，為隨機變數(shù)，既然是隨機變數(shù)，那麼就會有概率分佈。，對於時刻t1，對於時刻t1和t2

。

，n個時刻的聯(lián)合分佈。

由於研究多維聯(lián)合分佈難度很大，因此常需要研究隨機過程的數(shù)字特徵，一般到2階即可。二、隨機過程的概率分佈與數(shù)字特徵2024-2-129隨機過程的主要數(shù)字特徵

2、方差()

3、自相關係數(shù)1、數(shù)學期望2024-2-12101、平穩(wěn)過程與非平穩(wěn)過程。主要看隨機過程的統(tǒng)計特性是否隨時間變化分類。如年徑流或年降水過程在人類活動影響很小時可以認為是平穩(wěn)隨機過程，但洪水過程不是平穩(wěn)的。2、獨立隨機過程與非獨立隨機過程主要看各時刻狀態(tài)之間是否相互獨立。年最大洪峰流量過程為獨立隨機過程，而日流量過程則為非獨立隨機過程。其中有一種特殊過程：Markov（馬爾科夫過程）如AR（1）過程，是非獨立隨機過程裏常見的一種，實際上應用此較多。即將來狀態(tài)與現(xiàn)在有關，而與其前面狀態(tài)毫無關係。10三、隨機過程的基本分類2024-2-1211

定義

如果對於時間t的任意n個數(shù)值t1,…,tn和任意實數(shù)k，隨機過程的n維分佈函數(shù)滿足關係式則稱為平穩(wěn)隨機過程。11當n=1

時，不管K取何值，；任何一維分佈都是用同分佈。四、平穩(wěn)隨機過程2024-2-1212當n=2時，說明二元聯(lián)合分佈僅與這兩個隨機變數(shù)時間間隔有關，與取多少無關。而且還可以證明，。這種平穩(wěn)過程，稱為嚴平穩(wěn)過程。由於實際上要求得多元聯(lián)合分佈難度很大，應該說絕大多數(shù)情況下是不可能辦到的，因此，一般只要求關心隨機過程一、二階矩。當，均與無關，這時可稱隨機過程為寬平穩(wěn)過程。今後所說平穩(wěn)過程，一般都是指寬平穩(wěn)過程。2024-2-1213②寬平穩(wěn)過程自相關函數(shù)性質≤1，。如

，則≥0。b.，偶函數(shù)。③平穩(wěn)隨機過程各態(tài)歷經性設為平穩(wěn)的一個樣本或一個現(xiàn)實，令為一個樣本或現(xiàn)實的平均值。當，則稱平穩(wěn)隨機過程具有各態(tài)歷經性。2024-2-1214事實上，這個概念還是很重要的。在許多實際隨機過程特別是水文過程中，僅能有一個樣本或一個現(xiàn)實，那麼要估計不同t下，(某一個時刻t僅一個數(shù)據)則無法進行，這時如果具備歷經性，則可用代替。各年年徑流隨機過程

這些資料僅有一個樣本或現(xiàn)實。2024-2-1215以上用代替，滿足兩個條件n足夠大，太小了不能反映實際，誤差大，同時滿足各態(tài)歷經性。2024-2-1216五、泊松過程①獨立增量過程若隨機過程X(t)(t≥0)滿足條件a:b:對任意時刻，（任意給定n+1時刻），如果過程增量相互獨立，則稱X(t)為獨立增量過程?？梢宰C明它是Markov過程。②泊松過程泊松分佈：n次獨立試驗中A事件發(fā)生了k次2024-2-1217獨立增量過程X(t)，若其增量的頻率分佈為泊松分佈，t2>t1≥0,n=0,1,2,…則稱X(t)為泊松過程。2024-2-1218當t1=0,t2=t，則，為平均數(shù)值（隨機變數(shù)）

對於這種隨機過程可以在水文中描述，（0，t）時間間隔內出現(xiàn)降水次數(shù)的概率。（在一段時間內接聽電話的次數(shù)也可按泊松分佈）2024-2-1219例如，某站汛期[0，t]（t=30,30天內）年平均暴雨發(fā)生次數(shù)為4.8次，即=4.8，這個數(shù)值完全可以根據實際觀測次數(shù)系列求平均得到，則在汛期開始30天內發(fā)生n次暴雨的概率。

這樣就可以知道發(fā)生不同次數(shù)暴雨的概率，如發(fā)生3-5次概率50%。這對於防汛決策是有意義的。當然這是假定符合泊松過程為前提。如果要檢驗它是否正確，需要有大量資料。如果可找到全國各地汛期暴雨資料，可以分析我們在汛期內發(fā)生暴雨次數(shù)是否符合這一泊松過程規(guī)律。2024-2-1220第二章水文時間序列的組成分析概述趨勢項分析處理與檢驗跳躍成分分析處理與檢驗週期成分的描述與提取2024-2-1221概述趨勢S（t)2024-2-1222對系列組成成分分析的目的隨機模擬，包括年月徑流系列，洪水系列(n年)，如長江中下游地區(qū)洪水模擬可以計算三峽水庫防洪效益的計算誤差。

預測（外延），西北乾旱區(qū)出口徑流作2年預測，上海水情中長期預測，晉江水情預測。

2024-2-1223一般的水文隨機序列，非週期[Tt（趨勢），Ct（突變），跳躍Kt等]週期[簡單或複合週期成分]隨機成分

當，則僅為隨機成分，這時要作預測？比有確定性成分時難度大，往往不易預測準確。反之，如S（t)=0,則系列僅有確定性成分，這時候一般易於進行預測，但如果規(guī)律性發(fā)生變化，則預測會出問題，如樹與小孩生長例子。2024-2-1224當，則，這時只要趨勢及週期等成分分析的比較好，則預測就比較可靠。當然如果這種確定性成分在今後時期內不是按現(xiàn)有資料變化規(guī)律變化，那麼預測起來精度也是不能保證的。要注意的是有些情況下，2024-2-1225第二節(jié)趨勢項分析處理與檢驗對於一個時間序列，隨著時間增長，呈現(xiàn)出系統(tǒng)而連續(xù)的增加或減少的變化。這種有規(guī)則變化稱為趨勢。這種趨勢可分整體趨勢與局部趨勢，往往是由於人為或自然原因造成，而不是隨機抽樣波動或觀測資料誤差所致。如氣候因素年際變化，若有某種明顯趨勢，那麼年降水量序列和年徑流序列則有可能出現(xiàn)相應的趨勢。在一定時期內湖泊中泥沙逐漸淤積，年平均水位就有升高的趨勢；如沿河逐年提高防洪堤，年最大洪峰流量就有增大趨勢等。流域內，灌溉面積不斷增加，流域蒸發(fā)量有增加趨勢，當然徑流量就有減少趨勢。為了排除趨勢成分應從物理成因和統(tǒng)計分析兩個方面著手進行。2024-2-1226查明趨勢現(xiàn)象及其產生原因，然後使用數(shù)學方法加予描述，進而加於排除。趨勢變化可以是線性和非線性的，常用多項式來描述。趨勢項剩餘項為係數(shù)，一般實際上先用簡單線性模型來描述如何定？2024-2-1227利用現(xiàn)有觀測數(shù)據，使得殘差最小為原則。

,來優(yōu)化確定係數(shù)。如果是一元線性，僅有兩個參數(shù)。優(yōu)化計算在許多方面都有應用，如電腦優(yōu)化適線，回歸分析，最小二乘法、流域模型參數(shù)優(yōu)化計算等2024-2-1228分離趨勢方法還有差分法，如：見下一個片子趨勢專案檢查（驗）方法：①移動平均法（把原系列從變幅大→變幅小，容易看出是否有趨勢）若觀測值為，若移動平均區(qū)段為h，例h=3則移動平均值其中為權重系，，當相等則是簡單的算術平均，當不等時，則為加權平均。

2024-2-12292024-2-1230得到新系列，（比原來少2項）一般通式：移動平均值y為h為奇數(shù)時，為係數(shù)，當則為算術平均，還可加權取值，

2024-2-1231h為偶數(shù)，移動平均後僅有n-h個數(shù)據。H的選擇一般根據時間序列的週期來選擇，即區(qū)段長度等於週期長度，如對月平均徑流量時間序列，由於存在年週期，h=12

2024-2-1232②Kendall秩次相關檢驗（水資源綜合規(guī)劃中使用此方法分析降水和徑流變化趨勢）

對於序列，先確定所有對偶值中的出現(xiàn)個數(shù)（設為P），順序的子集是：

如果按順序前進的值全部大於前一個值，是一種上升趨勢，則，系為等差級數(shù)，總和為2024-2-1233如果序列全部倒過來，即由大到小排列，則P=0，為下降趨勢，（說明P數(shù)值不能太多，也不能太少）P的數(shù)學期望（值）構造統(tǒng)計量當

2024-2-1234：無趨勢，當，接受無趨勢，：無趨勢

，拒絕原假設。

例12個數(shù)據，看是否有趨勢，Xt509490475482513535498540550560545530789864531010故趨勢明顯，有上升趨勢。2024-2-1235③Spearman秩次相關檢驗分析序列Xt與時序t的相關關係，在運算時，Xt用其秩次Rt（即把序列Xt從大到小排列時，Xt所對應的原來序列中的序號），t仍為時序秩次相關係數(shù)：n為序列長度，，顯然如秩次與t序號相近時則d小，秩次相關係數(shù)大，接近1，趨勢顯著。若反過來，則達最大，r接近-1。r是否異於0，用t檢驗。：無趨勢。2024-2-1236

R=-0.471T=-3.12

趨勢顯著

也可以建立線性回歸方程檢驗線性趨勢是否明顯，當然還要以肉眼觀看其變化趨勢，這是最直觀的。

例子：數(shù)據與上面同t123456789101112數(shù)據509490475482513535498540550560545590排序560550545540535530513509498490482475Rt109118612517243Dt=Rt-t978416-2-7-2-8-7-19d2814964161364494644981

R=-0.471T=-3.12

2024-2-1237第三節(jié)：跳躍成分分析處理與檢驗跳躍是指水文系列急劇變化的一種形式，當水文序列從一種狀態(tài)過渡到另一種狀態(tài)時表現(xiàn)出來。平穩(wěn)過程（序列）跳躍大小跳躍一般也出現(xiàn)序列均值、方差與自相關係數(shù)等參數(shù)之中，實際上多在均值中尋找跳躍。2024-2-1238跳躍是由於人為或天然原因造成，如修築水庫前的壩下年最大流量序列與修建水庫後經過水庫調節(jié)後的年最大流量序列，就是人為引起的跳躍，修造後均值與方差變小（這是事實）。又因為修建水庫增加水的面積，蒸發(fā)增加，可能引起下游年徑流量均值的跳躍。如尼羅河阿斯旺壩斷面年徑流系列。

為從水文序列中排除跳躍成分，也和趨勢分析一樣，應先查明跳躍現(xiàn)象產生原因，並進行數(shù)學描述，再加排除。2024-2-1239跳躍成分是否存在的檢驗：檢驗方法：分成兩個樣本，假設前面樣本分佈，後面樣本分佈

若拒絕，認為總體發(fā)生顯著變化，跳躍顯著；若接受，認為總體發(fā)不發(fā)顯著變化，跳躍不明顯。關鍵，如何定：

①調查流域自然地理條件變化，確定因自然或人為原因使序列發(fā)生顯著變化的時間②用時序累積值相關曲線法確定③統(tǒng)計推斷確定，也可以目估看變化2024-2-1240時序累積值曲線法：設確定序列，參證序列（無跳躍和趨勢突變），兩個序列的累積值分別為點繪關係圖（如右圖）如果研究序列跳躍不顯著，則為一條通過原點的直線，否則為折線，轉捩點即為。圖中，1956年為研究序列的一個跳躍點，當然選擇參證序列時，參證序列不應包含有暫態(tài)（趨勢、跳躍、突變等成分2024-2-1241分佈一致性檢驗，①秩和檢驗法假定前後兩個分佈密度為和，從總體中取樣本長度分別為，方法：將兩個樣本所有數(shù)據依小→大排列並統(tǒng)一編號，規(guī)定每個數(shù)據在排列中所對應的序數(shù)稱為該數(shù)的秩，對於相同的數(shù)值，則用它的序數(shù)的平均值作秩。現(xiàn)記容量小的樣本各數(shù)值的秩之和為W（統(tǒng)計量），秩的檢驗就是對W作檢驗（W太大或太小都證明總體前後不一致）：當時，統(tǒng)計量W近似於正態(tài)分佈，2024-2-1242於是可用U檢驗~N（0，1）——小樣本容量——大樣本容量接受，否則拒絕。2024-2-1243例子：對所有數(shù)據由小→大排，所排序號為該數(shù)據的秩，把數(shù)據容量小的，如本例把個數(shù)據對應秩累加起來為W，再求U。W太大或太小,表明有跳躍成份。t12345678910111213Xt250210230275220245221265247220250205215t14151617181920212223Xt231202206209218204209219202214Xt*202202204205206209209210214215218219220wi22345778910111213Xt*220221230231245247250250265275wi141516171819202122232024-2-1244

②游程檢驗法有一觀測值序列：11，9，7，12，14，15，16，10，13，假設分割點,將它們由小到大的順序進行排列。7，9，10，11，12，13，14，15，16把屬於的記為A，的記為B

，這樣得到一個新的序列。，把每一連續(xù)出現(xiàn)同一字母的稱為1個游程，每個游程所含元素的個數(shù)為游程長，例如上式中，有2個A游程，游程長度為2；有2個B游程，游程長度分別為1和4，全部游程數(shù)為4個。2024-2-1245

當游程出現(xiàn)個數(shù)較期望的游程少時，就比較趨向於拒絕兩個樣本來自同一總體的假設。因為此時長的游程較多,表明個別樣本中的元素有較大聚集現(xiàn)象，因此,我們認為不服從同一總體，這是游程檢驗的指導思想。2024-2-1246游程個數(shù)檢驗法：當游程總個數(shù)K服從正態(tài)分佈跳躍不顯著2024-2-1247K太多、太少都說明有跳躍上例計算游程數(shù)K=6U=2.77

拒絕有跳躍成分。以上秩和檢驗與游程檢驗均屬於非參數(shù)假設檢驗，其他還有參數(shù)檢驗，如方差、均值齊性檢驗等。當經過成因分析和統(tǒng)計推斷，水文系列中有趨勢或跳躍明顯時，可用適當方法加以描述，再從序列中排除掉，剩餘的就是具有原始狀態(tài)或一致條件。2024-2-1248突變成分檢測：由於人為或自然原因，水文序列中可能出現(xiàn)突變。這一變化一過就又恢復原狀，這可看作是跳躍的一個特殊情況，如由於塌方攔截江河，形成水庫，以後又潰壩，這就引起流量突變，但臨時水壩沖毀，又恢復原來狀態(tài)。2024-2-1249第四節(jié)：週期成分的描述與提取一、週期成因週期地球繞太陽公轉：對於月徑流、旬徑流、日平均徑流存在年週期，週期分別是12個月、36旬和365天。對月、旬、日降水量、蒸發(fā)量一樣存在著年週期。地球自轉：氣溫、蒸發(fā)量等存在24小時週期。近似週期月球繞地球旋轉影響，潮水位過程出現(xiàn)週期，但頻率不可通約。太陽黑子影響等影響，存在若干年為一個週期（近似）可能不均勻變化週期。大氣環(huán)流2024-2-1250如黃河上游和松花江相鄰兩年年徑流之和與前一年太陽黑子數(shù)有對應關係，因為太陽黑子有一定迴圈週期，因而年徑流多年變化中也可能存在一定迴圈週期。再如1960年代分析結果，長江漢口站最大流量多年變化有55年主要週期，1989-90年代作分析，長江宜昌站100年資料（1881-1980）分析汛期流量存在15年主週期。2024-2-1251二、週期成分描述及譜分析

存在簡單週期成分，（同正弦或余弦表示）—振幅—角頻率當時，週期，∴週期對於月徑流序列，應該存在T=12這一情況。—相位這個正弦函數(shù)，均值等於0，方差這個有週期過程的自相關函數(shù)表現(xiàn)出週期性質或特點。

具有複合週期的週期成分，可用以下公式（傅立葉級數(shù)表示）。2024-2-1252為基本週期，這個式子說明序列Xt可由l個諧波（週期）線性疊加而成，而且不同諧波週期與基本週期是倍比關係。

——為Xt

平均值。2024-2-1253那麼如何根據已有實測序列求，下麵先介紹譜分析技術方法---方差線譜。滿足一定條件時，進行傅立葉級數(shù)展開，用上面式子表示。l為諧波總個數(shù)（n為偶數(shù)，）諧波振幅。角頻率（為基本角頻率，令f=1/n）2024-2-1254分析一下：在已知前提下，關係一一對應，不同角頻率下諧波振幅，反映諧波大小?？梢宰C明：為對應諧波方差大小。反映不同頻率諧波所占比重，愈大，諧波週期含量愈大，愈顯著。方差譜密度2024-2-1255代表任一點上對應的方差密度為方便定義，方差譜密度函數(shù)可以證明實用時

，（對稱函數(shù)）從圖形中要以看出哪一個頻率下譜密度大，即該週期諧波分量比較大。可以根據實測樣本估計出來（仍是離散化）2024-2-1256計算時m取值：，但自相關係數(shù)求相關係數(shù)（糾偏係數(shù)，對估計量而言）從估計結果可以知道哪些週期諧波比重大，哪些小不顯著。2024-2-1257三、用簡單分波法分析系列週期（近似）

—隨機水文系列，—趨勢，跳躍，突變—不含非週期確定性成分序列（趨勢項或跳躍項）簡單分波法尋找後序列中週期項，把（一般即可）。一般針對年、月徑流，年、月降水量序列2024-2-12581、分析思路：①先分離第一週期，得出餘波，計算餘波系列均方差。②對餘波A1分離第二週期，得出餘波，計算餘波系列均方差（顯然會愈來愈少）。③對餘波分離第三週期（如果存在），得餘波（如果已無第二週期那麼就不要做第③

），計算。④再對餘波分離第四週期（如存在），得，計算（如果已無第三週期就不再做第④

）。2024-2-12592、分析週期用途：①瞭解序列未來變化規(guī)律②用於預測未來年份或月份的水文特徵如對年徑流序列分析下來有2個週期：第一個7年週期，其週期值已知，P1674.2P2658.2P3426.2P4520.4703.1P5751.4P6907.5P7第二個3年週期，Q1Q2Q392.7-22.9-78.6此時，可以用於預測，先假設無趨勢項，即T=02024-2-1260(預則值)，作為第n+1年的週期項取值，再加T(n+1)（如果有趨勢的話）。則：2024-2-12613、第一週期分離與提取要對n個數(shù)據分析週期，顯然根據這些數(shù)據分析出來同期不可能超過（偶數(shù)），（奇數(shù)）?！噙L期長度為：對於任意l年週期成分是否顯著，。①計算整個系列均值②把現(xiàn)有時間序列分組（分成m行，l組，各組數(shù)據至多m個）如不為整數(shù)，取行。2024-2-1262按l年分組即週期長為l年情況對於水文時間序列數(shù)據，按時間順序，從左→右，從上→下排列。（先取l=2作週期顯著性檢驗，再取l=3，再按次序來作）2024-2-1263③計算每一個組計算均值，，及，，每一組數(shù)據個數(shù)，最多為。④計算組間離差平方和，

或計算組內離差平方和，⑤：不存在長度為l的週期成分，：當顯著性水年，可查F表，當由樣本計算則原假設成立，當，則拒絕原假設即存在明顯的長度為l的週期成分。2024-2-1264如何理解？假如一組數(shù)據完全按週期排列，即每7年重複同一套數(shù)據（7個數(shù)據不同差異較大），在這種情況下，按分組，計算大小則F很大，存在週期但是如按分組（打亂了），小大F很小，週期不顯著實際做的時候要計算，或2024-2-1265年數(shù)據顯然在時，週期顯著，其他情況下不顯著，有時可能出同幾個F計算值超過，這時應選哪個？選F值最大的。2024-2-1266⑥如何提取出這個7年週期值就是在時，計算的作為週期為7年週期成分，⑦求餘波⑧求餘波均方差2024-2-12674、第二週期分離與提取這時分析序列的週期成分，不再是原序列，而是對餘波進行，餘波與原水文序列差別主要在，一般水文序列不為負值，但餘波有正有負，正負相抵消。分析週期方法與第一週期分析完全一樣，只不過這時分組組數(shù)l應不包括第一週期長度（如第一週期長度7年，則這時對l

=7可不進行週期顯著性檢驗）。2024-2-1268求餘波求餘波（殘差）均方差，比第一餘波均方差要小。假如經過檢驗後發(fā)現(xiàn)時明顯存在週期，這時對餘波序列，求時分組平均值，如2024-2-12695、第三、四周期分離與提取

與第二週期完全一樣，不再敘述。當然，分析週期成分個數(shù)愈多，最後餘波均方差會愈小，但由於實際上資料較短，本身存在誤差，不一定愈多愈好。（特別用於預報時）原則上，為了提高週期分析精度，應使資料盡可能長一些。當增加新的資料，則應重新分析週期成分。（哪怕只增加一年或一次）另外顯著性水準大小選取對週期成分判斷也會有影響，所做假設檢驗前提是系列符合正態(tài)分佈，事實上也未必成立。這樣分析出來的週期成分會犯錯誤。對週期成分還可以通過小波分析，最大熵估計等方法。2024-2-1270四、平穩(wěn)隨機成分的分析

當前面介紹非週期成分及週期成分被提取之後，所得序列隨機成分原序列非週期週期一般可認為是平穩(wěn)隨機過程。對於這樣一個平穩(wěn)隨機成分，一般情況下，還可以分成相依隨機成分+獨立成分。對於這種平穩(wěn)隨機成分，可以用不同隨機模型：線性、非線性（模型加以描述）。即平穩(wěn)相依成分純隨機——不同t之間相互獨立，平穩(wěn)獨立隨機過程2024-2-1271即方差為為常數(shù)，但不同時刻t時相互獨立。在水文計算中，主要研究的就是平穩(wěn)獨立隨機序列，如年最大洪峰或洪量序列、年最大t天暴雨量序列。當中無相依成分，則為純隨機序列。對於純隨機序列，其分佈線型（我國一般）：對數(shù)正態(tài)，P-III等，有時為了簡化，要用正態(tài)分佈，當然對年最高水位還採用極值分佈。如何檢驗一個隨機序列是平穩(wěn)獨立隨機序列？2024-2-1272一般是通過計算自相關係數(shù)作檢驗根據不同k做計算，看是否落在上下置信項之間。若都落在置信項之間，則認為是獨立的，若不在之間，那麼就是有相關。事實上，我們處理一個無確定性成分的年徑流序列，它一般並不是獨立，而是有一定相關關係，但年最大洪峰、洪量序列一般可認為是獨立平穩(wěn)序列。因此把年徑流序列當作純隨機成分作頻率計算會帶來一些誤差。2024-2-1273對於一個平穩(wěn)隨機序列，若不是獨立的，則應該把該序列分成兩部分：相依部分與純隨機部分。對相依部分（成分）可以用下麵介紹的平穩(wěn)隨機模型加以描述。有些同學未學習過隨機水文學課程，故這裏把幾種常見純隨機變數(shù)的亂數(shù)生成復習一下。2024-2-1274①[0，1]均勻分佈生成，在FORTRAN語言下，調用RANDOM(u)即可生成一個[0，1]均勻分佈亂數(shù)，如需生成100個[0，1]均勻分佈亂數(shù)u。

DIMENSIONA（100）

DO10I=1，10010CALLRANDOM（A(I)）

WRITE(*,*)ASTOPENDVB語言用內部函數(shù)RND生成。2024-2-1275②正態(tài)分佈生成生成出這樣生成……是相互獨立亂數(shù)

，即符合均值為0，方差1正態(tài)分佈。對於一般正態(tài)分佈，把轉換成……2024-2-1276③對數(shù)正態(tài)分佈生成X----三參數(shù)對數(shù)正態(tài)生成生成出這樣生成出來符合對數(shù)正態(tài)分佈，其平均值為，均方差，偏態(tài)係數(shù)。2024-2-1277生成un+1,un+2,un+3NoYesz’=x+yz=z’/+a0生成u1,u2,…,unP-III分佈隨機數(shù)的生成EX,Cv,Cs2024-2-1278舉例：EX=103.4,CV=0.482,CS=1.621,生成的亂數(shù)有:u1=0.86515，u2=0.69186，u3=0.41686,u4=0.86122要求生成一個P-III分佈亂數(shù).(1)

n=1p=0.522(2)生成y

(3)生成x,由u2，u3，u4

成立2024-2-1279

不同P情況下，抽樣效率不一樣

P愈小，效率愈高。

(4)問題:如何生成第二個P-III亂數(shù)?2024-2-1280第三章水文隨機模擬第一節(jié)概述第二節(jié)線性平穩(wěn)水文序列模型（ARMA(p,q)）第三節(jié)分數(shù)高斯雜訊模型第四節(jié)季節(jié)性隨機模型第五節(jié)散粒雜訊模型第六節(jié)多變量模型2024-2-1281第一節(jié)概述兩種模擬水文模擬：確定模型結構+估計參數(shù)→短期水文預報

水文隨機模擬：通過亂數(shù)生成，得到很長水文模擬系列，可以充分利用已有序列資訊。主要應用:理論研究（參數(shù)估計方法比較），風險與可靠性分析。

2024-2-1282主要簡要介紹：ARMA(p,q)及其簡化模型AR(p)，季節(jié)性AR(p)，多站AR(1)。2024-2-1283不同水文變數(shù)採用模型

對於平穩(wěn)的年徑流，年降水量過程，一般採用ARMA(p,q)模型，特別是AR(P)模型加以描述。但如有長持續(xù)性特徵，應用分數(shù)高斯雜訊模型。對於月、日旬徑流或降水過程：也可以做平穩(wěn)化變換（中心化和標準化變換）變成平穩(wěn)過程，但如果以上變換後仍是不平穩(wěn)的，則采有非平穩(wěn)模型季節(jié)性模型，如月徑流或日徑流過程，可用季節(jié)性AR(1)，AR(2)模型描述，解集模型。洪水過程：對於特大江河一般可採用平穩(wěn)模型。（長江幹流，漢江，長江上游地區(qū)，珠江流域），對於一般河流，可採用季節(jié)性AR(P)模型、散粒雜訊、解集模型等（山區(qū)性河流漲落明顯）2024-2-1284水文隨機模擬一般程式實測資料選樣與審查（有時包括調查雨洪資料）水文隨機序列組成分析與處理隨機模型選擇模型參數(shù)估計結束水文隨機序列生成模型殘差項獨立計算檢驗有時還有正態(tài)性檢驗模擬序列檢驗包括Box—Cox，對數(shù)變換等(有些模型需要序列是正態(tài))有時還要定階不合理合理模型檢驗不好2024-2-1285第二節(jié)線性平穩(wěn)水文序列模型（ARMA(p,q)）一、模型形式一般形式（直接形式）（離均差） 研究變數(shù)Xt，中心化變數(shù),標準化變數(shù)

。 自回歸模型AR(P)：

是p個參數(shù)，也是參數(shù)，另一個是的方差，這個模型中與相互獨立，但與有關，p為階數(shù)。2024-2-1286

顯然這個模型告訴大家的是，t時刻值與前面p個時刻取值有關且是線性之和，這在水文中有現(xiàn)實意義，如年、月徑流量大小是與前面時刻取值大小有關的。 表示殘差，不同時刻t的殘差要求獨立同分佈（但不一定是正態(tài)分佈）。這一條件要求較高，所以水文變數(shù)不一定都能滿足這一要求，即白雜訊的要求，也是上面一般工作程式中所要做的檢驗內容之一。如果出現(xiàn)這種情況，應該把殘差(假如用表示)，用以下形式表示：,q為階數(shù)這個模型稱為自回歸滑動平均模型，ARMA(p,q),共p+q+2個參數(shù).2024-2-1287 該模型能表徵許多水文變數(shù)的變化特徵，因此使用比較多。當，自回歸模型。當，滑動平均模型。對於用表示 對於用表示

為的均方差。這三種形式都可使用。2024-2-1288傳遞形式 對AR(1)模型

,不失一般性，令

逐次用代入上式 這說明由無數(shù)個獨立白雜訊線性疊加而成的，是其權重，時間距離愈遠，權重愈小。2024-2-1289如用Green函數(shù)表示，（對AR(1)模型而言）對模型（一般ARMA模型）傳遞形式：

2024-2-1290逆轉形式 即把用表示形式 如對MA(1)模型

2024-2-1291也有逆轉形式這兩種形式在作水文時間序列預測時都用到。2024-2-1292二、自回歸模型定階與參數(shù)估計AR(P)

[對公式可用乘以方程兩邊求數(shù)學期望， 經過整理可得出]矩法參數(shù)估計：（P個方程，P個未知數(shù)）

2024-2-1293有了樣本那麼可以估計出參數(shù)。(k階自相關係數(shù))這樣方程中參數(shù)均可估計出

不是真正的相容估計，模型定階AR(P)2024-2-1294BIC定出的階數(shù)P一般要比AIC小，是相合估計量，一致性估計量P上限值一般取為或。對於以上參數(shù)估計公式k階自相關係數(shù)當P=1，2024-2-1295 對AR（1）模型，當為正數(shù)，按指數(shù)衰減，一直不為0（理論上）。因此，如果實際上計算出來自相關係數(shù)，若能符合上述要求（指數(shù)衰減要求）的話，那麼可以認為用AR（1）模型來描述。AR（P）平穩(wěn)性條件，方程根如都在單位園內，即，則是平穩(wěn)的，否則模型不平穩(wěn)。2024-2-1296三、一階自回歸模型建模與模擬一階自回歸模型，一階馬爾科夫模型最常用。參數(shù)估計2024-2-1297平穩(wěn)性條件，要求在單位圓內即，一般都能滿足。自相關係數(shù)有正有負按指數(shù)衰減①k∴不單單是圖①情況下才可以用AR（1）模型加予描述2024-2-1298隨機模擬：正態(tài)殘差若用,則要模擬水文時間序列，必須生成白雜訊序列：由[0,1]均勻分佈亂數(shù)，生成生成時從t=1開始，或任意原序列中的數(shù)值2024-2-1299要生成水文序列，如年徑流等

一般為了消除初值影響，前50~100次去掉，甚至可以更多一點，顯然這樣生成序列符合正態(tài)分佈。問題將會出現(xiàn)，即出現(xiàn)負值，這是不符水文變化特性的?！?2024-2-12100 解決方法： ①把原序列先變成正態(tài)序列模擬正態(tài)序列

同上述方程建模，包括定階P及估計參數(shù)，這樣即可生成很長y的模擬序列

至於完全可以利用，轉換在統(tǒng)計書上都有（隨機水文學）,上一章已經講過。

2024-2-12101②把殘差項改成,分佈均值0，方差1，其偏態(tài)係數(shù)為一階自相關係數(shù),

偏態(tài)係數(shù)

這樣生成序列只能說近似符合P-III分佈分佈用舍選抽樣生成2024-2-12102四、二階自回歸模型建模與模擬AR（2）r平穩(wěn)域要求(主要要求)模型形式2024-2-12103隨機模擬先假定為原序列中最後兩個數(shù)值,從t=2開始去掉前50~100次,這是正態(tài)過程2024-2-12104非正態(tài)過程與AR（1）不一樣,殘差P-III分佈t-1t-12024-2-12105五、滑動平均模型 水文上用得少（中心化,即減去均值後） 該過程肯定是平穩(wěn)的，但是否可逆，需要滿足以下條件（其參數(shù)估計在參數(shù)估計中做介紹） 若方程根都在單位園內，則MA(q)系列滿足可逆性條件。

2024-2-12106

自相關係數(shù)是截尾的模型估計係數(shù)

2024-2-12107六、ARMA(p,q)模型主要特點：比AR(p)和MA(q)能更好地反映水文變數(shù)在時序上變化統(tǒng)計特性，具有更大彈性。在達到一定的要求下，較AR(p)和MA(q)具有更少參數(shù)。但ARMA(p,q)模型參數(shù)估計較複雜。2024-2-12108

可逆平穩(wěn)條件：

根要求在單位圓內則平穩(wěn)。

根要求在單位圓內則可逆。

2024-2-12109

參數(shù)估計①對系列(中心化系列),按自回歸模型估計參數(shù)(矩法)②從原始系列yt中減去具有參數(shù)的AR（P）系列③用矩法滑動平均模型估算參數(shù)參數(shù)矩法估計較粗，精度不高也可以用最小二乘法估計t-12024-2-12110

不同參數(shù)，使得

所對應的值，即為最小二乘估計。（該方法精度較高）

ARMA（1,1）為較常用不做詳細介紹（有興趣自己看書）

實例：用AR（p）模擬年徑流過程用AR（p）模型模擬大渡河下游水文站銅街子控制站的年徑流過程，F(xiàn)=7.64萬km2，資料1937～1979年，銅街子站附近擬建一個水電站，現(xiàn)需對未來年徑流變化作分析，資料是一致，可靠及有代表性（無趨勢，無明顯週期存在）

2024-2-12111

從年徑流過程線上看，無趨勢存在,從計算的自相關係數(shù)看,有明顯相依性，考慮用AR(p)來加以模擬，用修正糾編矩法計算

考慮到系列偏態(tài)特徵明顯,建模時應考慮其偏態(tài)特性。

先對序列建立AR（1）模型

2024-2-12112是平穩(wěn)的模型t=1生成亂數(shù)t=2生成亂數(shù),，代入模型得…2024-2-12113

當然在生成年徑流序列之前還應檢驗模型是否符合獨立性前提條件

對做獨立性檢驗，計算出

2024-2-12114作獨立性檢驗，查，具備零相關。

∴符合建模前提條件，即殘差具有獨立性。年徑流模擬成果檢驗

AR(1)2-3階相關係數(shù)差別較大14890.1280.3330.4250.1810.075長系列14910.1280.3310.420.3020.206實測值14890.1260.2880.3720.1180.008短系列AR(2)14890.1290.3370.4260.3040.172長系列148914890.1250.3540.2180.076短系列2024-2-12115用AIC（p）定階進一步從理論上證明P=2是最佳的。實用性檢驗：短序列檢驗即生成K個43年資料，然後計算各個43年序列的。對K個43年系列求所列參數(shù), 的平均值與均方差。以正負一個均方差為檢驗可接受區(qū)間。P0123AIC451.7445.3446448.2BIC2024-2-12116第三節(jié)分數(shù)高斯雜訊模型 用ARMA（p，q）僅能模擬短持續(xù)水文過程，當水文隨機過程表現(xiàn)出長持續(xù)性（連續(xù)豐水年組或枯水年組交替出現(xiàn)）在相關係數(shù)圖緩慢衰減時，此時應使用分數(shù)高斯雜訊模型。 （類似滑動平均）獨立的正態(tài)分佈。M—記憶長度，取值較大。2024-2-12117Hurst係數(shù)K計算若有一個系列2024-2-12118 即把每年與平均值之差累加起來，相當於水庫按平均流量泄水，水庫累計水量。相當於調節(jié)庫容（極差）

Hurst建議：Vn為Xt的標準差對於ARMA模型，n無窮大時,K=0.52024-2-12119 利用以上k計算公式，對800個系列（河川徑流，降水量，氣溫，樹木年輪等）計算k的數(shù)值。 發(fā)現(xiàn) 但對於ARMA(p、q)，當 這與Hurst計算實際系列不一致，出現(xiàn)矛盾，這種現(xiàn)象叫赫斯特現(xiàn)象。（原因：樣本序列不夠長或非平穩(wěn)式序列或具有很長相關結構）。2024-2-12120

實際工作中，當n逐漸加大，k較快趨於0.5，可認為水文序列為短相關結構模型，可用ARMA（p，q）模擬；而當n逐漸加大，k較慢趨於0.5或不趨於0.5，則可把水文序列當作長持續(xù)模型。 由於該模型缺乏物理基礎，因此實際上未得到普遍應用。2024-2-12121第四節(jié)季節(jié)性隨機模型一、季節(jié)性AR（1）模型是一種比較實用模型，除了模擬洪水進程外，還可以用於模擬月徑流過程。1、模型形式，第年份，

t為截口， 當表示月徑流序列時，形式：

2024-2-12122—第t個截口水文序列均值—均值0，方差1，的P—Ⅲ分佈亂數(shù)（獨立）—為待定係數(shù)，不隨而變，但隨t而變?！喾Q為季節(jié)性模型，因為模型參數(shù)在年內不同月份間是變化的，隨t而變。2024-2-121232、參數(shù)估計

為第t個截口的均方差，為第t-1個截口的均方差，為第t-1與第t個截口的相關係數(shù)，Cst為第t個截口偏態(tài)係數(shù)。2024-2-121243、水文序列的模擬逐年進行模擬。每年生成步驟：先第一截口即x1,1生成，可用純隨機模型生成。如已知，則按P-Ⅲ生成方法生成。第二截口生成：

其餘截口類似於第2截口，直至最後一個截口這是生成第一年，對於第2年生成從頭開始生成第一截口仍採用純隨機模型生成。一直到第k年。

2024-2-121254、實例（含如何檢驗）對長江支流烏江武隆站1954-1983年共30年洪水過程建立了季節(jié)性AR（1）模型，每年取最大20d平均流量作為其洪水過程（用日平均流量過程代表洪水過程，該流域平均）屬大江大河。檢驗時，殘差檢驗：獨立性；截口特性檢驗：截口均值、Cv、Cs、最大值、最小值及一階自相關係數(shù)，還有時段量特性檢驗，全部屬於實用性檢驗。生成500個30年資料，對每個截口先計算檢驗參數(shù)數(shù)，再統(tǒng)計500組各檢驗參數(shù)的樣本平均值與均方差2024-2-12126

經過計算絕大部分能通過一個方差檢驗（這個應該說較容易通過，因為建模時中考慮了這些截口特性參數(shù)）

實際上水文上更關心的是時段量，如最大洪量的平均值，的檢驗

2024-2-12127時段量長度19.989.800.835實測模擬0.3360.4250.067實測模擬9.989.800.835實測模擬750.8051.164.1530.3670.4120.0600.8820.7200.525326.5725.932.1780.3510.4270.06407020.9120.593從該表時段量檢驗結果中可以看出，大部分能通過一個均方差檢驗，但還是有偏差。事實上對於模擬洪水過程，還應列印出其過程線，看是否符合水文實際情況（憑肉眼看看，特別是看特大洪水過程）。

2024-2-12128是否相關獨立除了不同截口間的獨立性，還要看各截口的自相關如何，如

該模型參數(shù)較多，在樣本長度n較小時，可能導致模型不穩(wěn)定，誤差大。如果考慮平穩(wěn)模型則參數(shù)大大減少（作標準化變換後序列相關結構是平穩(wěn)的）。季節(jié)性AR（1），還可應用於模擬月徑流過程，缺點未直接考慮更高階自相關，如等自相關關係，參數(shù)較多。

殘差特性的獨立性檢驗2024-2-12129二、解集模型（相關解集Disaggregationmodel） 形式：由ValenciaSchaake提出

2024-2-12130殘差為：P-Ⅲ分佈，均值0，方差1，（獨立同分佈）（X,Y都是離均系列）該模型把總量X分解成各個分量A反映不同分量所占比重，B表示不同分量之間相關程度。2024-2-12131當X表示年徑流量，年徑流等於不同月份月徑流量之和。表示月徑流量，當模擬洪水過程時，X表示每年洪水過程總量（如長江洪水模擬時，X表示180天洪水總量，而y表示每天流量值，顯然）2024-2-12132參數(shù)估計，用矩法：已知資料設2024-2-12133寫出通式：對對2024-2-12134偏態(tài)分佈的考慮：2024-2-12135為了求殘差偏態(tài)係數(shù)，此時應把分解成（水文序列非負定矩陣一般解滿足）

隨機模擬時，先生成X（可以用純隨機模型或AR（p）模擬）通過生成重複上述步驟可生成所需水文過程2024-2-12136優(yōu)點：①結構簡單，概念清楚；②總量分成分量後，各分量之間之和嚴格等於總量，即保持水量平衡；③應用較廣。不足：①模型參數(shù)太多；②相關結構不一致。

實例對宜昌站180天洪水過程採用解集模型模擬效果較為理想（約100年資料），殘差為

P-Ⅲ分佈。

2024-2-12137第五節(jié)多變量模型實際上常會碰到模擬幾個站點水文序列的情況，由於上下游之間存在相關關係，因此不能分別模擬，而應同時模擬。2024-2-12138多變量AR（1）與AR（2）模型：2024-2-12139不僅與有關，還與其他站時刻值有關。到底是什麼分佈？一般是正態(tài)分佈。另一種對數(shù)正態(tài)變換後作變換生成，至於如何進行參數(shù)估計可自行查閱有關文獻。2024-2-12140二階模型：為正態(tài)分佈。

先生成第一截口分佈亂數(shù)，在通過建立第二截口與第一截口關係的生成公式：2024-2-12141長江三峽多站洪水模擬AR（3）及一種特殊變換:2024-2-12142第四章水文隨機序列的預報概述平穩(wěn)線性最少方差預報AR（p）序列預報門限自回歸模型2024-2-12143第一節(jié)概述模機水文模型應用：最簡單一個例子：對中心化（離均差後）系列建立了一階自回歸模型：（1）

—水文序列已知1984年2024-2-12144對（1）式取數(shù)學期望得：（預報公式）其實，這是一個期望預報，把隨機變數(shù)取為0值（平均值）因此一步預報誤差：已知水文序列作預報。①建立水文隨機模型（假如無趨勢及週期）②給出預報公式和預報方法。③利用現(xiàn)在及過去觀測值作預測，必要時作即時修正。④區(qū)間預報，誤差分析，對模型作評定及檢驗。2024-2-12145第二節(jié):平穩(wěn)線性最小方差預報對正態(tài)平穩(wěn)系列作l步預報問題：當前時刻k和過去時刻為已知，需對時刻隨機變數(shù)是，可記為。所謂平穩(wěn)線性最少方差預報定義為：∴∴水文變數(shù)2024-2-12146一、ARMA（p、q）序列差分形式公式：離均化ARMA（p、q）兩端取數(shù)學期望（條件,l>p,q)）當MA(0,q)模型時，如當為AR（p）模型時，將在後面作介紹。2024-2-12147二、ARMA（p、q）序列傳遞形式預報公式：把上式(2)式中t用代替2024-2-12148上式兩邊取條件數(shù)學期望該公式2024-2-12149三、ARMR（p、q）遞推預報公式（可用於即時修正）對（2）式作一些變換，把k改為k+12024-2-12150事實上以上公式含義：要做k+1時刻l步預報等於在k時刻作l+1步預報值+（k+1時刻實測值與在k時刻對k+1時刻預測值之差）*權重係數(shù)。相當於對時刻作預測時，用誤差來校正預測值，把這個稱為即時校正（現(xiàn)時校正）。預測如顯然在時刻預測比用預測效果要好，用了誤差校正。2024-2-12151預報誤差（評定與檢驗）[合格率（允許相對誤差範圍內,如20%）合格率>85%，甲等；70%-84%，乙等；60%-69%，丙等]（枯季徑流允許誤差30%，每日徑流20%）2024-2-12152如區(qū)間估計。2024-2-12153第三節(jié)AR（p）序列預報（一般ARMA(p,q)模型有此結果）一步預報公式先估計模型參數(shù)2024-2-12154再作一步預報，又由預報如此遞推可以作l步預測，當然還可以作即時校正預報。實例：某站中心化模型已建立（正態(tài)分佈假定）求預測1983-1985平均流量。2024-2-12155①以1982年為k時刻進行預報區(qū)間預報2024-2-12156即時校正：以1983年為k+1進行即時校正預報2024-2-12157第四節(jié):門限自回歸模型(1978年提出H.Tong）（ThresholdAutoregressiveModel）

觀察：①②

這樣生成不是線性模型生成隨機過程，若生成數(shù)據100年，用線性模型擬合效果較差即殘差相關比較大，不一定獨立，正態(tài)。2024-2-12158模型形式（一般）一般l取2～3，不宜取太多了，否則太複雜。這個模型實際說明了隨機序列是分段線性的，即每個區(qū)間內可用自回歸模型來描述，但這些模型序數(shù)在不同區(qū)間是不一樣的。2024-2-12159建模：已知當用傳統(tǒng)線性模型建模時發(fā)現(xiàn)，獨立性差，或預測精度較差，則可以考慮用門限自回歸模型來建模，（當然還應考慮是否在成因上做分段線性合理性）據以上模型採用以上已知數(shù)據，來辯認模型參數(shù)步驟如下：1：令。分成段，如確定各段自回歸階數(shù)，L為逐段自回歸允許最大階數(shù)，這裏都認為各段有相同L值。2024-2-12160把實數(shù)軸分成l個區(qū)間一般是預報值取為這樣可以把取值區(qū)間分l成個。對於已知觀察分析動態(tài)數(shù)據中在不同區(qū)間個數(shù)（以排在開始統(tǒng)計），如L=3，d=1，從開始統(tǒng)計在不同區(qū)間個數(shù)。2024-2-12161記第一個區(qū)間N1個第二個區(qū)間N2個第l個區(qū)間Nl個設動態(tài)數(shù)據中有：對於第一段線性自回歸模型具體形式已知：2024-2-12162用最小二乘法可求出可以想像，給定以上一組係數(shù)則可求出一組殘差及其殘差平方和，即可得第一段自回歸模型，其他段求法一致。顯然不同2024-2-121632、對於固定RSS(k1)為第1個模型殘差平方和（最小二乘法估計參數(shù)）顯然k1愈大，則殘差愈小，但AIC考慮懲罰因數(shù)則第二項大，故找到。其他段的自回歸模型階數(shù)一樣估計。2024-2-121643、固定

達到最少的即為門限值4、估計值AIC（）一般5、2024-2-12165不同那麼d初值取多少？若效果不好，可先進行常用2024-2-12166第五章方差分析單因素方差分析多因素方差分析（雙因素方差分析）2024-2-12167單因素方差分析（引例）某農科所為了比較四種不同的肥料對農作物產量的影響，進行了下麵試驗。他們選擇採用一塊肥沃程度比較均勻的土地，分成十六塊。為了減少土地肥沃程度的影響，作了以上試驗安排：A1表示第一種肥料A3表示第三種肥料A2表示第二種肥料A4表示第四種肥料2024-2-12168每種肥均施在由上到下不同層次的土地中，並可得出16塊土地農作物產量通過上表，來推斷不同肥料對農作物產量有無影響？如果影響顯著，施哪一種肥料產量最高，而哪一種肥料最好？2024-2-12169在統(tǒng)計學中，考慮因素稱為因數(shù)，因數(shù)不同狀態(tài)稱為水準，上例中一個因數(shù)是肥料，有四個不同水準，A1，A2，A3，A4

。由表又可知，肥料不同可能產生產量不同。因此，採用不同肥料所得產量不可以當作來自同一總體的樣本，而應看作4個不同總體.抽取的樣本長度為4的樣本。通常假定這裏要求假定方差相等，即方差齊性，那麼要知道四種不同肥料