2023年高考數(shù)學真題題源解密（新高考全國卷）專題08 解三角形（原卷版）

專題08解三角形目錄一覽2023真題展現(xiàn)考向一三角形中的幾何運算考向二正弦定理真題考查解讀近年真題對比考向一正弦定理考向二解三角形命題規(guī)律解密名校模擬探源易錯易混速記/二級結(jié)論速記考向一三角形中的幾何運算1．（2023?新高考Ⅱ?第17題）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC面積為3，D為BC的中點，且AD＝1．（1）若∠ADC=π3，求tan（2）若b2+c2＝8，求b，c．考向二正弦定理2．（2023?新高考Ⅰ?第17題）已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．（1）求sinA；（2）設(shè)AB＝5，求AB邊上的高．【命題意圖】考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、用正余弦定理解三角形、三角恒等變換等．【考查要點】解三角形是高考必考內(nèi)容．考查正余弦定理和三角形面積公式．借助正余弦定理和三角形面積公式以及恒等變形公式進行邊角轉(zhuǎn)換和化簡，求邊長、角度、面積等．【得分要點】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容asinA（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosC變形形式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA=a2R，sinB=ba：b：c＝sinA：sinB：sinCasinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=cosB=cosC=解決三角形的問題已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角已知三邊，求各角；已知兩邊和它們的夾角求第三邊和其他兩角2．三角形面積公式（1）S=12a?ha（ha表示邊（2）S=12absinC=12acsinB=（3）S=12r（a+b+c）（3．解三角形常用結(jié)論名稱公式變形內(nèi)角和定理A+B+C＝πA22A+2B＝2π﹣2C余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA=cosB=cosC=正弦定理asinAR為△ABC的外接圓半徑a＝2RsinA，sinA=b＝2RsinB，sinB=c＝2RsinC，sinC=射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面積公式S△=12aha=12bhS△=12absinC=12acsinBS△=12（a+b+c（r為△ABC內(nèi)切圓半徑）sinA=sinB＝2SsinC=考向一正弦定理3．（2021?新高考Ⅰ）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知b2＝ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC＝asinC．（1）證明：BD＝b；（2）若AD＝2DC，求cos∠ABC．4．（2021?新高考Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對的邊長為a，b，c，b＝a+1，c＝a+2．（1）若2sinC＝3sinA，求△ABC的面積；（2）是否存在正整數(shù)a，使得△ABC為鈍角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．考向二解三角形5．（2022?新高考Ⅰ）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知＝．（1）若C＝，求B；（2）求的最小值．6．（2022?新高考Ⅱ）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為S1，S2，S3．已知S1﹣S2+S3＝，sinB＝．（1）求△ABC的面積；（2）若sinAsinC＝，求b．本專題是高考?？純?nèi)容，結(jié)合往年命題規(guī)律，解三角形的題目多以解答題的形式出現(xiàn)，分值為10分。一．正弦定理（共7小題）1．（2023?淮北二模）已知△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求A；（2）若△ABC的面積為，sinB＝1+cosC，點D為邊BC的中點，求AD的長．2．（2023?西固區(qū)校級二模）若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC．（1）求角A；（2）若a＝6，求△ABC周長的取值范圍．3．（2023?小店區(qū)校級模擬）在三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＝2b，且．（1）求角C；（2）E為三角形ABC所在平面內(nèi)的一點，且，求線段CE的長．4．（2023?山西模擬）如圖，在四邊形ABCD中，已知∠ABC＝，∠BDC＝，AB＝BC＝7．（1）若BD＝5，求AD的長；（2）求△ABD面積的最大值．5．（2023?河南模擬）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知5bsinA＝3atanB，D是AC邊上一點，AD＝2DC，BD＝2．（1）求cosB；（2）求的最大值．6．（2023?武昌區(qū)校級模擬）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，BD平分∠ABC交AC于點D，且BD＝2，2AD＝3CD．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）求△ABC的面積．7．（2023?潤州區(qū)校級二模）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解決該問題．問題：在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足_____．（1）求角A的大??；（2）若D為線段CB延長線上的一點，且，求△ABC的面積．二．余弦定理（共4小題）8．（2023?蒙城縣校級三模）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，且cos2C﹣cos2A＝sinAsinB﹣sin2B．（1）求∠C的大??；（2）已知a+b＝4，求△ABC的面積的最大值．9．（2023?廣西模擬）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知．（1）證明：A＝B．（2）若D為BC的中點，從①AD＝4，②，③CD＝2這三個條件中選取兩個作為條件證明另外一個成立．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．10．（2023?東風區(qū)校級模擬）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c．a(chǎn)＝2，b＝2，且cosA（ccosB+bcosC）+asinA＝0．（1）求A；（2）設(shè)D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積．11．（2023?瀘縣校級模擬）已知△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足（b﹣a）（sinB+sinA）＝（b﹣c）sinC．（1）求A；（2）從下列條件中：①a＝；②S△ABC＝中任選一個作為已知條件，求△ABC周長的取值范圍．三．三角形中的幾何計算（共10小題）12．（2023?西城區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠A＝，AC＝，CD平分∠ACB交AB于點D，CD＝．（Ⅰ）求∠ADC的值；（Ⅱ）求△BCD的面積．13．（2023?武功縣校級模擬）在△ABC中，是A，B，C所對應(yīng)的分邊別為a，b，c，且滿足asinB＝bsin2A．（1）求∠A；（2）若a＝2，△ABC的面積為，求三角形的周長．14．（2023?全國三模）已知a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，且．（1）求角C；（2）若c＝2，△ABC的面積為，求△ABC的周長．15．（2023?船營區(qū)校級模擬）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足____．（1）求角C；（2）若△ABC的面積為的中點為D，求BD的最小值．16．（2023?甘肅模擬）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，asin（B+C）＝（b﹣c）sinB+csinC．（1）求A；（2）若D在BC上，a＝2，且AD⊥BC，求AD的最大值．17．（2023?安徽模擬）如圖，在Rt△ABC中，AB⊥AC，D，E分別為邊CA，CB上一點，．（1）若，求AB的長；（2）若∠ADE＝∠BED，求BE的長．18．（2023?涪城區(qū)校級模擬）在①acosB﹣bcosA＝c﹣b，②tanA+tanB+tanC﹣tanBtanC＝0，③△ABC的面積為a（bsinB+csinC﹣asinA），這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且_____．（1）求角A；（2）若a＝8，△ABC的內(nèi)切圓半徑為，求△ABC的面積．19．（2023?邯鄲二模）已知條件：①2a＝b+2ccosB；②；③．從三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答．問題：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足：____．（1）求角C的大??；（2）若，∠ABC與∠BAC的平分線交于點I，求△ABI周長的最大值．20．（2023?資陽模擬）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bsinB﹣csinC＝a．（1）證明：（2）若，，求△ABC的面積．21．（2023?湖北模擬）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥AD，，AB＝1．（1）若，求△ABC的面積；（2）若，，求tan∠CAD．四．解三角形（共39小題）22．（2023?凱里市校級一模）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足sin（B﹣C）＝1，且（bcosC﹣ccosB）tanA＝a．（1）求A的大??；（2）若a＝，求△ABC的面積．23．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）在△ABC中，設(shè)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足＝．（1）求的值；（2）若△ABC的面積為1，求邊a的最小值．24．（2023?梅河口市校級模擬）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為S1，S2，S3，已知．（1）求△ABC的面積；（2）若，求c．25．（2023?新疆模擬）已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，若△ABC滿足cos2A+2sin2＝1，a＝，b＝2．（1）求角A；（2）求△ABC的面積．26．（2023?莆田模擬）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，△ABC的面積為，求△ABC的周長．27．（2023?岳麓區(qū)校級模擬）已知△ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足2csinAcosB+2bsinAcosC＝a，c＞a．（1）求角A；（2）若b＝2，△ABC的面積2，D是BC邊上的點，且，求AD．28．（2023?廣陵區(qū)校級模擬）如圖，四邊形ABCD中，已知BC＝1，AC2＝AB2+AB+1．（1）若△ABC的面積為，求△ABC的周長；（2）若AB＝3，∠ADB＝60°，∠BCD＝120°，求∠BDC的值．29．（2023?深圳模擬）已知a、b、c分別為△ABC三內(nèi)角A、B、C所對的邊，且．（1）求A；（2）若c2＝4a2﹣4b2，且，求c的值．30．（2023?桐城市校級二模）已知△ABC滿足2sinCsin（B﹣A）＝2sinAsinC﹣sin2B．（1）試問：角B是否可能為直角？請說明理由；（2）若△ABC為銳角三角形，求的取值范圍．31．（2023?南京三模）已知＝（sinωx，cosωx），＝（cosωx，cosωx），其中ω＞0，函數(shù)f（x）＝?（﹣）的最小正周期為π（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間：（2）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足f（）＝，求的取值范圍．32．（2023?晉中二模）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中，且滿足．（1）求△ABC的外接圓半徑；（2）若∠B的平分線BD交AC于點D，且，求△ABC的面積．33．（2023?麒麟?yún)^(qū)校級模擬）在銳角△ABC中，角A，B，C，的對邊分別為a，b，c，從條件①：，條件②：，條件③：2acosA﹣bcosC＝ccosB這三個條件中選擇一個作為已知條件．（1）求角A的大??；（2）若a＝2，求△ABC周長的取值范圍．34．（2023?龍華區(qū)校級模擬）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足．（1）求tanAtanB的值；（2）若cosAcosB＝，c＝6，求△ABC的面積S．35．（2023?徐州模擬）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知b，a，c成等比數(shù)列，且．（1）求B；（2）若b＝4，延長BC至D，使△ABD的面積為，求sin∠ADC．36．（2023?保定三模）在△ABC中，BC＝10，，△ABC內(nèi)有一點M，且BM⊥CM，．（1）若，求△ABC的面積；（2）若AC＝14．求BM的長．37．（2023?招遠市模擬）在△ABC中，AB＝4，D為AB中點，．（1）若BC＝3，求△ABC的面積；（2）若∠BAC＝2∠ACD，求AC的長．38．（2023?祁東縣校級模擬）如圖，在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，過點A作AD⊥AB，交線段BC于點D，且AD＝DC，a＝3，bsinC＝asinA﹣bsinB﹣csinC．（1）求∠BAC；（2）求△ABC的面積．39．（2023?定遠縣校級二模）設(shè)函數(shù)，若銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC外接圓的半徑為R，acosB﹣bcosA＝R．（1）若f（A）＝1，求B；（2）求的取值范圍．40．（2023?烏魯木齊模擬）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求∠B大?。唬?）若△ABC為銳角三角形，且a＝2，求△ABC面積的取值范圍．41．（2023?青羊區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，，點D在AB延長線上，且．（1）求；（2）若△ABC面積為，求CD．42．（2023?朝陽區(qū)二模）在△ABC中，a＝4，b＝5，．（1）求△ABC的面積；（2）求c及sinA的值．43．（2023?浙江模擬）在△ABC中，∠A＝90°，點D在BC邊上，在平面ABC內(nèi)，過D作DF⊥BC且DF＝AC．（1）若D為BC的中點，且△ABC的面積等于△CDF面積的倍，求∠ABC；（2）若∠ABC＝30°，且CD＝3BD，求tan∠CFB．44．（2023?陳倉區(qū)模擬）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，．（1）求△ABC的面積；（2）若，求b．45．（2023?重慶模擬）在銳角△ABC中，a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊，外接圓周長為，且2（b﹣ccosA）＝a．（1）求c；（2）記△ABC的面積為S，求S的取值范圍．46．（2023?青島二模）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，2a﹣c＝2bcosC．（1）求B；（2）若點D為邊BC的中點，點E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，，b＝c＝2．設(shè)∠BDE＝α，將△DEF的面積S表示為α的函數(shù)，并求S的取值范圍．47．（2023?威海一模）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求B；（2）若a＝3，，求△ABC的面積．48．（2023?鼓樓區(qū)校級模擬）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且△ABC的面積．（1）求C；（2）若△ABC內(nèi)一點P滿足AP＝AC，BP＝CP，求∠PAC．49．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．（1）求A；（2）若△ABC的面積為，求．50．（2023?日照一模）已知△ABC中，a，b，c是角A，B，C所對的邊，asin＝bsinA，且a＝1．（1）求B；（2）若AC＝BC，在△ABC的邊AB，AC上分別取D，E兩點，使△ADE沿線段DE折疊到平面BCE后，頂點A正好落在邊BC（設(shè)為點P）上，求此情況下AD的最小值．51．（2023?香洲區(qū)校級模擬）如圖所示，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝2，AD＝2．（1）證明cosA﹣cosC為定值并求出這個定值；（2）記△ABD與△BCD的面積分別為S1和S2，求+的最大值．52．（2023?駐馬店二模）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且5cos2B﹣14cosB＝7．（1）求sinB的值；（2）若a＝5，c＝2，D是線段AC上的一點，求BD的最小值．53．（2023?烏魯木齊模擬）在△ABC中，邊a，b，c所對的角分別為A，B，C，a＝3，c2＝b2﹣3b+9．（1）求角C的大小；（2）若，求邊c．54．（2023?河南模擬）在△ABC中，B≠C，sinB+sinC＝cosB+cosC．（1）求A；（2）若在△ABC內(nèi)（不包括邊界）有一點M，滿足CM＝2MA＝2MB，且∠AMC＝90°，求tan∠ACB．55．（2023?錦江區(qū)校級模擬）已知a，b，c分別為銳角△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，c2﹣a2＝ab．（1）證明：C＝2A；（2）求的取值范圍．56．（2023?北流市模擬）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別a，b，c，且bcosA+acosB＝2ccosA．（1）求角A的值；（2）已知D在邊BC上，且BD＝3DC，AD＝3，求△ABC的面積的最大值．57．（2023?湖北模擬）在△ABC中，AB＝9，點D在邊BC上，AD＝7．（1）若，求BD的值，（2）若，且點D是邊BC的中點，求AC的值．58．（2023?河南模擬）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求角C；（2）若c＝4，△ABC的面積為，求a，b．59．（2023?河北模擬）在△ABC中，角A，B