浙江省嘉興市2024屆高三上學期9月基礎測試數(shù)學試題

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁浙江省嘉興市2024屆高三上學期9月基礎測試數(shù)學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值是（

）A．-1 B．1 C．0或-1 D．0或13．已知向量，，，則（

）A．14 B． C．50 D．4．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則的值是（

）A．0 B． C．12 D．105．如圖，在一個單位正方形中，首先將它等分成4個邊長為的小正方形，保留一組不相鄰的2個小正方形，記這2個小正方形的面積之和為；然后將剩余的2個小正方形分別繼續(xù)四等分，各自保留一組不相鄰的2個小正方形，記這4個小正方形的面積之和為．以此類推，操作次，若，則的最小值是（

）

A．9 B．10 C．11 D．126．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知點是直線：和：的交點，點是圓：上的動點，則的最大值是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的定義域為，且，，則的值是（

）A．9 B．10 C．11 D．12二、多選題9．下列結論中，正確的是（

）A．數(shù)據(jù)0，1，2，3的極差與中位數(shù)之積為3B．數(shù)據(jù)20，20，21，22，22，23，24的第80百分位數(shù)為23C．若隨機變量服從正態(tài)分布，，則D．在回歸分析中，用決定系數(shù)來比較兩個模型擬合效果，越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好10．下列函數(shù)中，以為最小正周期的函數(shù)是（

）A． B．C． D．11．設，為橢圓：的兩個焦點，為上一點且在第一象限，為的內(nèi)心，且內(nèi)切圓半徑為1，則（

）A． B． C． D．12．如圖，在中，，，，過中點的直線與線段交于點．將沿直線翻折至，且點在平面內(nèi)的射影在線段上，連接交于點，是直線上異于的任意一點，則（

）

A．B．C．點的軌跡的長度為D．直線與平面所成角的余弦值的最小值為三、填空題13．的展開式中的系數(shù)是．（用數(shù)字作答）14．已知圓錐的底面半徑為1，側面積為，則此圓錐的體積是．15．已知是拋物線：的焦點，點，過點的直線與交于，兩點，是線段的中點．若，則直線的斜率．16．關于的方程的兩根為，函數(shù)，若對于任意的，都有，則的最小值是．四、解答題17．記為數(shù)列的前項和，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和．18．如圖，在直三棱柱中，，，，點分別是的中點，點是線段上一點，且平面．

(1)求證：點是線段的中點；(2)求二面角的余弦值．19．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，．(1)若邊上的高等于1，求；(2)若為銳角三角形，求的面積的取值范圍．20．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍．21．近年來，購買盲盒成為當下年輕人的潮流之一，為了引導青少年正確消費，國家市場監(jiān)管總局提出，盲盒經(jīng)營行為應規(guī)范指引，經(jīng)營者不能變相誘導消費．盲盒最吸引人的地方，是因為盒子上沒有標注，只有打開才會知道自己買到了什么，這種不確定性的背后就是概率．幾何分布是概率論中非常重要的一個概率模型，可描述如下：在獨立的伯努利（Bernoulli）試驗中，若所考慮事件首次出現(xiàn)，則試驗停止，此時所進行的試驗次數(shù)服從幾何分布，事件發(fā)生的概率即為幾何分布的參數(shù)，記作．幾何分布有如下性質(zhì)：分布列為，，期望．現(xiàn)有甲文具店推出四種款式不同、單價相同的文具盲盒，數(shù)量足夠多，購買規(guī)則及概率規(guī)定如下：每次購買一個，且買到任意一種款式的文具盲盒是等可能的．(1)現(xiàn)小嘉欲到甲文具店購買文具盲盒．①求他第二次購買的文具盲盒的款式與第一次購買的不同的概率；②設他首次買到兩種不同款式的文具盲盒時所需要的購買次數(shù)為，求的期望；(2)若甲文具店的文具盲盒的單價為12元，乙文具店出售與甲文具店款式相同的非盲盒文具且單價為18元．小興為了買齊這四種款式的文具，他應選擇去哪家文具店購買更省錢，并說明理由．22．已知雙曲線：，為的右頂點，若點到的一條漸近線的距離為．(1)求雙曲線的標準方程；(2)若，是上異于的任意兩點，且的垂心為，試問：點是否在定曲線上？若是，求出該定曲線的方程；若不是，請說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．C【分析】根據(jù)指、對數(shù)單調(diào)性求集合，再結合交集運算求解.【詳解】由題意可得：，，所以.故選：C.2．A【分析】由題意可得出，解方程即可得出答案.【詳解】因為復數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得：.故選：A.3．C【分析】由平行向量的坐標表示求出，再由數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】因為向量，，，所以，解得：，.故選：C.4．D【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，由此可以求出的值，進而可以求出.【詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即，即或，顯然函數(shù)的定義域為關于原點對稱，且當時，有，從而有，當時，有，但，所以，即，所以.故選：D.5．C【分析】由題意可知操作次時有個邊長為的小正方形，即，結合等比數(shù)列前項和解不等式即可.【詳解】由題意可知操作1次時有個邊長為的小正方形，即，操作2次時有個邊長為的小正方形，即，操作3次時有個邊長為的小正方形，即，以此類推可知操作次時有個邊長為的小正方形，即，由等比數(shù)列前項和公式有，從而問題轉換成了求不等式的最小正整數(shù)解，將不等式變形為，注意到，，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以的最小值是11.故選：C.6．B【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移變換原則可得，采用整體代換的方式，結合正弦函數(shù)單調(diào)性可構造不等式組求得的范圍，結合和進行討論即可求得結果.【詳解】由題意知：，當時，，在上單調(diào)遞增，，；若，則，，此時，又，，；若，則，，此時，與矛盾，不合題意；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故選：B.7．B【分析】根據(jù)題意分析可知點的軌跡是以的中點，半徑的圓，結合圓的性質(zhì)運算求解.【詳解】因為直線：，即，令，解得，可知直線過定點，同理可知：直線過定點，又因為，可知，所以直線與直線的交點的軌跡是以的中點，半徑的圓，因為圓的圓心，半徑，所以的最大值是.故選：B.8．D【分析】由賦值法先得，再由與關系列式求解．【詳解】中令，則，中令，，則，又中令，則，所以，中，令，則，再令，，則．故選：D9．BCD【分析】A求極差和中位數(shù)即可判斷；B由百分數(shù)求法求第80百分位數(shù)；C利用正態(tài)分布對稱性求指定區(qū)間的概率；D根據(jù)決定系數(shù)實際意義判斷.【詳解】A：數(shù)據(jù)極差、中位數(shù)分別為3、，則它們的積為，錯；B：由，則數(shù)據(jù)從小到大的第6位，23是第80百分位數(shù)，對；C：由正態(tài)分布的對稱性，，對；D：由回歸分析中決定系數(shù)實際意義知：越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好，對；故選：BCD10．AC【分析】由正弦函數(shù)的最小正周期公式可判斷A；由，可判斷B，C；由可判斷D.【詳解】對于A，，最小正周期為，故A正確；對于B，令，，故B錯誤；對于C，令，，故C正確；對于D，令，，故的最小正周期為，故D錯誤.故選：AC.11．ABD【分析】如下圖所示，設切點為，，，由橢圓的定義結合內(nèi)心的性質(zhì)可判斷A；由等面積法求出代入橢圓的方程可判斷B；求出可判斷C；由兩點的斜率公式可判斷D.【詳解】如下圖所示，設切點為，，，對于A，由橢圓的方程知：，由橢圓的定義可得：，易知，所以，所以，故A正確；對于BCD，，又因為，解得：，又因為為上一點且在第一象限，所以，解得：，故B正確；從而，所以，所以，而，所以，故C錯誤；從而，故D正確.故選:ABD．

12．BCD【分析】A、B選項結合線面角最小，二面角最大可判斷;對于C，先由旋轉，易判斷出，故其軌跡為圓弧，即可求解.對于D求直線與平面所成角的余弦值，即求，，用表示，再結合三角恒等變換求出函數(shù)的最值即可【詳解】

依題意，將沿直線翻折至，連接,由翻折的性質(zhì)可知，關于所沿軸對稱的兩點連線被該軸垂直平分，故，又在平面內(nèi)的射影在線段上，所以平面，平面，所以，，平面，平面所以平面.平面，平面，平面，，，且即為二面角的平面角對于A選項，由題意可知，為與平面所成的線面角，故由線面角最小可知，故A錯誤；對于B選項，即為二面角的平面角，故由二面角最大可知，故B正確；對于C選項，恒成立，故的軌跡為以為直徑的圓弧夾在內(nèi)的部分，易知其長度為，故C正確；對于D選項，如下圖所示

設，在中，，，在中，，，所以，設直線與平面所成角為，則，當且僅當時取等號，故D正確．故選：BCD．13．35【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式運算求解.【詳解】因為展開式的通項公式為，令，解得，可得，所以的系數(shù)是35.故答案為：35.14．【分析】由圓錐的側面積公式可求出母線長，再求出圓錐的高，由圓錐的體積公式即可得出答案.【詳解】設圓錐的高為，母線長為，半徑，因為圓錐的底面半徑為1，側面積為，所以，所以，所以，所以圓錐的體積是.故答案為：.

15．2【分析】方法一：設直線：，設，，聯(lián)立直線與拋物線的方程求出，由可得，將韋達定理代入化簡即可得出答案；方法二：設，，在準線上的射影分別是，，，由題意可得出軸，設，，：，聯(lián)立直線與拋物線的方程可得，解方程即可得出答案.【詳解】方法一：由題意，，設直線：，其中，聯(lián)立消去得，，設，，則，，又，則，即，而，，則，即，即，所以，解得，所以.方法二：如下圖，由題意，，點在準線上，設，，在準線上的射影分別是，，，則，所以軸，設，，：，聯(lián)立消去得，所以，所以，故答案為：2．

16．【分析】由題設得，結合解析式，只保證上恒成立，利用導數(shù)研究的單調(diào)性并確定極大值及極大值點范圍，應用隱零點得到，即可求范圍.【詳解】由題意，故對于，只需考慮即可，令，，則，開口向上且對稱軸，所以在遞減，又，，所以存在唯一，在遞增，遞減，故只需，即，所以，即的最小值是.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：將問題化為研究上恒成立，結合導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、隱零點確定參數(shù)與極值點的關系.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)與的關系分析可得數(shù)列是3為首項，2為公差的等差數(shù)列，結合等差數(shù)列通項公式運算求解；（2）由（1）可得：，利用裂項相消法運算求解.【詳解】（1）因為，可得，兩式相減得，整理得，可知數(shù)列是3為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以．（2）由（1）可得：，則，所以．18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）方法一：過點作，由線面平行的性質(zhì)可知，從而證得四邊形為平行四邊形，由長度關系得，從而證得結論；方法二：取的中點，根據(jù)面面平行的判定可證得平面平面，進而得到，從而證得結論；方法三：以為坐標原點建立空間直角坐標系，設，由可構造方程求得，從而得到結論；（2）方法一：以為坐標原點建立空間直角坐標系，利用二面角的向量求法可求得結果.方法二：取中點，中點，過點作，利用線面垂直的判定與性質(zhì)，結合二面角平面角定義可證得即為所求二面角的平面角；根據(jù)長度關系可求得結果；【詳解】（1）方法一：過點作，且，

，四點共面，平面，平面平面，，又，四邊形是平行四邊形，，，又為中點，，又，點是線段的中點.方法二：取的中點，連接，

分別為中點，，平面，平面，平面，又平面，，平面，平面平面，又平面平面，平面平面，，是中點，點是線段的中點.方法三：以為原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，

設，則，，平面軸，平面的一個法向量，又平面，，解得：，點是線段中點.（2）方法一：以為原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，

則，，，，，，則，，，，設平面的法向量，則，令，解得：，，；設平面的法向量，則，令，則，，；，又二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.方法二：取中點，中點，連接，過點作，且，連接，

，為中點，，平面，平面，，，平面，平面，又，平面，平面，，又，平面，平面，又平面，，即為二面角的平面角；在正方形中，作，且，

，，，，，，又，，，即二面角的余弦值為.19．(1)(2)【分析】（1）先由正弦定理求出，注意到，由此可以求出，最終由余弦定理即可求解.（2）先由正弦定理以及恒等變換表示，結合已知條件可以求出的范圍，且注意到，由此即可得解.【詳解】（1）由正弦定理，，所以，則，又，所以，因為，所以，解得，又由余弦定理，，解得，所以．（2）由正弦定理有，且由（1）可知，所以，又因為銳角，所以，解得，所以，所以，所以，所以面積的取值范圍是．20．(1)答案見解析；(2).【分析】（1）利用導數(shù)并討論參數(shù)a研究單調(diào)性；（2）討論參數(shù)a，注意有，構造并應用導數(shù)研究單調(diào)性，進而求參數(shù)范圍.【詳解】（1）定義域為，且，當：恒成立，在遞增；當：在上，遞減，在上，遞增；（2）若，則，符合題意；若，則，不合題意，舍；若，由（1）知，只需，令，所以，在上，遞增，在上，遞減，當時，，即符合題意；當時，注意到，故只需，即，綜上所述，的取值范圍是．21．(1)①；②(2)應該去乙店購買非盲盒文具，理由見解析【分析】（1）①明確第二次只需買到其余的三種文具盲盒的任意一款即可求解；②結合已知由幾何分布的性質(zhì)即可求解.（2）由隨機變量以及相應的均值結合幾何分布的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）①由題意可知，當?shù)谝淮钨徺I的文具盲盒已經(jīng)確定時，第二次只需買到其余的三種文具盲盒的任意一款即可，所以；②設從第一次購買文具后直到購買到兩種不同款式的文具盲盒所需要的購買次數(shù)為，則由題意可知，又，所以.（2）由