八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期因式分解問(wèn)題綜合練習(xí)

因式分解問(wèn)題綜合練習(xí)

一、單選題

1.（2021?廣東潮州?八年級(jí)期末）6x3y2-3x2/分解因式時(shí)，應(yīng)提取的公因式是（）

A.3xyB.3x2yC.3x2y3D.3x2y2

【標(biāo)準(zhǔn)答案】D

【思路點(diǎn)撥】

分別找出系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母的最低指數(shù)次黑，即可確定公因式.

【精準(zhǔn)解析】

解：6x3y2-3x2y3=3x2y2（2x-y）,

因此6x3y2-3x2y3的公因式是3x2y2.

故選D.

【名師指路】

本題主要考查公因式的確定，找公因式的要點(diǎn)是：（1）公因式的系數(shù)是多項(xiàng)式各項(xiàng)系

數(shù)的最大公約數(shù)；（2）字母取各項(xiàng)都含有的相同字母；（3）相同字母的指數(shù)取次數(shù)最

低的.

2.（2021?廣東龍華?八年級(jí)期中）下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的是（

）

A.a^x-y^=ax-ayB.x2-4x+3=x（x-4）+3

C.a2-b2=^a+b）^a-b）D.a2+1=+—j

【標(biāo)準(zhǔn)答案】C

【思路點(diǎn)撥】

根據(jù)分解因式就是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，利用排除法求解.

【精準(zhǔn)解析】

解：A、是多項(xiàng)式乘法，不是分解因式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、是提公因式法，不是分解因式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、右邊是積的形式，故本選項(xiàng)正確.

D、沒(méi)有把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，錯(cuò)誤.

故選C.

【名師指路】

此題考查了因式分解的意義；這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于能否正確應(yīng)用分解因式的定義來(lái)判

斷.

3.(2021?廣東普寧?八年級(jí)期末)對(duì)于①(X+2)(X-1)=X2+X_2,@x-4xy=x(l-4y),

從左到右的變形，表述正確的是()

A.都是因式分解B.都是乘法運(yùn)算

C.①是因式分解，②是乘法運(yùn)算D.①是乘法運(yùn)算，②是因式分解

【標(biāo)準(zhǔn)答案】D

【思路點(diǎn)撥】

根據(jù)因式分解的定義(把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，叫因式分解，也叫分解因

式判斷即可.將多項(xiàng)式x多項(xiàng)式變得多項(xiàng)式，是乘法運(yùn)算.

【精準(zhǔn)解析】

解：①(X+2)(X-1)=Y+X_2,從左到右的變形是整式的乘法；@x-4xy=x(\-4y),

從左到右的變形是因式分解；

所以①是乘法運(yùn)算，②因式分解.

故選：D.

【名師指路】

此題考查了因式分解與乘法運(yùn)算的定義的認(rèn)識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握因式分解及乘法運(yùn)算

的定義.

4.(2021?廣東?南山實(shí)驗(yàn)教育集團(tuán)南海中學(xué)八年級(jí)期中)如果一個(gè)正整數(shù)可以表示為兩

個(gè)連續(xù)奇數(shù)的立方差，則稱這個(gè)正整數(shù)為“和諧數(shù)”.如：2=13-(-1)3,26=33-13,

2和26均為“和諧數(shù)”.那么，不超過(guò)2016的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為()

A.6858B.6860C.9260D.9262

【標(biāo)準(zhǔn)答案】B

【思路點(diǎn)撥】

根據(jù)“和諧數(shù)”的概念找出公式：(2%+1)3-(2&7)3=2(12公+1)(其中左為非負(fù)整數(shù))，

然后再分析計(jì)算即可.

【精準(zhǔn)解析】

解：(2什1)3-(2無(wú)-1)3

=[(2A+1)-(2&-1)][(2?+1>+(2&+1)(2)1-1)+(2A-I)2]

=2(12/+1)(其中々為非負(fù)整數(shù))，

由2(12^+1)=2016得，k<9,

：.k=0,1,2,8,9,即得所有不超過(guò)2016的“和諧數(shù)”，

它們的和為壯-(-1)可+(33-13)+(53-33)+…+(173-153)+(193-173)=193+1=6860.

故選：B.

【名師指路】

本題考查了新定義，以及立方差公式，有一定難度，重點(diǎn)是理解題意，找出其中規(guī)律是

解題的關(guān)鍵所在.

5.已知“，b,c是A4BC的三條邊長(zhǎng)，S.(a+h+c)(a-b)=O,則A4BC一定是()

A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.以上均不對(duì)

【標(biāo)準(zhǔn)答案】A

【思路點(diǎn)撥】

利用因式分解法得到a+6+c=0或a-b=0,而a+b+c>0,所以a-b=0,BPa=b,從而可判

斷AABC一定是等腰三角形.

【精準(zhǔn)解析】

Q(a+b+c)(a-/?)=0,

:.a-^-b+c=0^a-b=0,

???〃，b,C是A4BC的三條邊長(zhǎng)，

:.a+b+c>0,

:.a-b=0,即a=b,

...AA3C一定是等腰三角形.

故選：A.

【名師指路】

本題考查了因式分解的應(yīng)用：利用因式分解解決求值問(wèn)題.利用因式分解解決證明問(wèn)題;

利用因式分解簡(jiǎn)化計(jì)算問(wèn)題.

6.(2021?廣東?紅嶺中學(xué)八年級(jí)期中)下列各式中，因式分解錯(cuò)誤的是()

A.x2-xy=x(x-j)B.4必-1=(2x+l)(2x-1)

93

C.f+3乂+]=(x+—)2D.3X2+6X-1=3X(X+2)-1

【標(biāo)準(zhǔn)答案】D

【思路點(diǎn)撥】

根據(jù)因式分解的定義，提公因式法和公式法逐個(gè)判斷即可.把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式

乘積的形式，叫做因式分解.

【精準(zhǔn)解析】

解：A.使用提取公因式法，因式分解正確，不符合題意；

B,使用平方差公式，因式分解正確，不符合題意；

C.使用完全平方公式，因式分解正確，不符合題意；

D.因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式寫(xiě)成幾個(gè)整式的積的形式，而這里是差的形式，因式分解

錯(cuò)誤，符合題意.

故選：D.

【名師指路】

本題考查因式分解的定義，提取公因式法和公式法，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

7.（2021?廣東?汕頭市龍湖實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）已知長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為16cm,它兩鄰

邊長(zhǎng)分別為xcm,jcm,且滿足（x-?-2x+2y+l=0，則該長(zhǎng)方形的面積為（）

cm2

6331

A.—B.—C.15D.16

42

【標(biāo)準(zhǔn)答案】A

【思路點(diǎn)撥】

先根據(jù)題意求出x+y=8,然后由（x_y）2_2x+2），+l=0可得x_y_l=O,由此求解即

可.

【精準(zhǔn)解析】

解：：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為16cm,它兩鄰邊長(zhǎng)分別為xcm,ycm,

2（x+y）=16,

x+y=8①，

V（x-y）z-2x+2y+l=0,

A（x-y）2-2（x-.y）+l=O,

（x-^-l）2=0,

x-y-l=O②，

9

x=—7

聯(lián)立①②解得7,

y=2

??長(zhǎng)方形的［HI1/i—xy=-x—=—,

故選A.

【名師指路】

本題主要考查了完全平方公式和解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)

知識(shí)進(jìn)行求解.

8.(2020?廣東?和平縣和豐中學(xué)八年級(jí)月考)已知a=2012x+20U,b=2012x+2012,

c=2012x+2013,那么M+b2+c2—ab-be—ca的值等于()

A.0B.1C.2D.3

【標(biāo)準(zhǔn)答案】D

【思路點(diǎn)撥】

首先把"2+〃+/-必“c兩兩結(jié)合為“2-”〃+匕2bc+d2-ac,利用提取公因式法因

式分解，再把小仄C代入求值即可.

【精準(zhǔn)解析】

cfl+^+c1-ab-be-ac

=a2-ab+b2-bc+c2-ac

—a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)

當(dāng)a=2012x+2011,Z>=2012JC+2012,c=2012x+2013時(shí)，a-h=-1,b~c=—1,c—a=2,

原式=(2012x+2011)x(-1)+(2012x+2012)x(-1)+(2012x+2013)x2

=-2012x-2011-2012x-2012+2012xx2+2013x2

=3.

故選D.

【名師指路】

本題利用因式分解求代數(shù)式求值，注意代數(shù)之中字母之間的聯(lián)系，正確運(yùn)用因式分解，

巧妙解答題目.

9.(2020?廣東?玉龍學(xué)校一模)如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么

稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)如4=22-。2,12=42-22,20=62-42,因此4,12,20都

是“神秘?cái)?shù)”，則下面哪個(gè)數(shù)是“神秘?cái)?shù)”()

A.56B.60C.62D.88

【標(biāo)準(zhǔn)答案】B

【思路點(diǎn)撥】

設(shè)這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)分別2m、2m+2(m為自然數(shù))，則“神秘?cái)?shù)”=(2m+2)2-(2m)2=

(2m+2+2m)(2m+2-2m)^4(2m+l),因?yàn)閙是自然數(shù)，要判斷一個(gè)數(shù)是否是“神秘?cái)?shù)”,

只需根據(jù)該數(shù)=4(2m+l)列方程求解即可，若解出m是自然數(shù)就符合，否則不符合.

【精準(zhǔn)解析】

解：設(shè)這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)分別2m、2m+2(m為自然數(shù))，

，“神秘?cái)?shù)”=(2m+2)2-(2m)2=(2m+2+2m)(2m+2-2m)=4(2m+l),

13

A、若4(2m+l)=56,解得m=],錯(cuò)誤

B、若4(2m+l)=60,解得m=7,正確；

29

C、若4(2m+l)=62,解得m=§,錯(cuò)誤

4

21

D、若4(2m+l)=88,解得m=y,錯(cuò)誤

故選：B.

【名師指路】

此題考查了利用平方差公式進(jìn)行因式分解，熟練掌握平方差公式以及對(duì)題中新定義的理

解是解題的關(guān)鍵.

10.(2021?廣東?深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中)24,-1能被60到70之間的某兩個(gè)整數(shù)整

除，則這兩個(gè)數(shù)是()

A.61和63B.63和65C.65和67D.64和67

【標(biāo)準(zhǔn)答案】B

【思路點(diǎn)撥】

248-1=(224+1)(224-1)=(224+1)(2'2+1)(212-1)=(224+1)(212+1)(26+1)

(26-1)=(224+1)(212+1)(26+1)(23+1)(23-1),即可求解.

【精準(zhǔn)解析】

解：248-1=(224+1)(224-1)=(224+1)解2+])(2一)

6

=(224+1)(212+1)(26+1)(2-1)

=(224+1)(212+])(26+|)(23+1)(23-1)

=(224+1)(2^+1)X65X63,

故選：B.

【名師指路】

此題考察多項(xiàng)式的因式分解，將248-1利用平方差公式因式分解得到(224+1)(2-2+1)

x65x63,即可得到答案

二、填空題

11.(2021?廣東潮陽(yáng)?九年級(jí)月考)已知m2+m-l=0,則m3+2m2+2014=

【標(biāo)準(zhǔn)答案】2015

【精準(zhǔn)解析】

試題分析::m2+m-1=0,

m2+m=1,

.\m3+2m2+2014

=m(m2+m)+m2+2014

=m2+m+2014

=1+2014

=2015.

故答案為2015.

考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用；代數(shù)式求值

12.(2021?廣東普寧?一■模)若a+b=2,ab=-3,則代數(shù)式a%+2a%?+蘇的值為

【標(biāo)準(zhǔn)答案】-12

【精準(zhǔn)解析】

分析：對(duì)所求代數(shù)式進(jìn)行因式分解，把a(bǔ)+b=2,ab=-3,代入即可求解.

詳解：a+b=2,ah=-3,

a,b+2a2b2+ai>3=ab^a2+2ab+b2^=ab^a+b\=-3x22=-12.,

故答案為-12.

點(diǎn)睛：考查代數(shù)式的求值，掌握提取公因式法和公式法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵.

13.分解因式：a3h+2a2b2+ab3=.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】ab(a+b)2.

【精準(zhǔn)解析】

a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2.

故答案為ab(a+b)2.

【名師指路】

此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練應(yīng)用乘法公式是解題關(guān)鍵.

14.(2021?廣東高州?八年級(jí)期中)若多項(xiàng)式32-5X+2有一個(gè)因式為(x-1),那么

【標(biāo)準(zhǔn)答案】3

【思路點(diǎn)撥】

設(shè)另一個(gè)因式為。nr+〃)，則(，《%+〃)0-1)=，〃/+("-〃2)乂-",根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)列式求出

m和n的值.

【精準(zhǔn)解析】

解：假設(shè)另一個(gè)因式為,貝-5x+2=Qnx+〃)(x-l).

,\n-m=-5

(mx+n)(x-1)=mx'+(n-m)x-n,

\-n=2

故答案是：3.

【名師指路】

本題考查多項(xiàng)式的因式，解題的關(guān)鍵是掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算方法.

15.(2021?廣東高州?八年級(jí)期末)已知26-4+3=0,則(。-2加2一4"+昉=.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】-3

【思路點(diǎn)撥】

先由題意將式子2b-a+3=0,進(jìn)行變形，變成a-2b=3的形式，然后再將要求的式子化簡(jiǎn)，

使每一項(xiàng)都含有因式a-2b,再代入求值即可得出.

【精準(zhǔn)解析】

2h-a+3=0,

a-2b=3,

：.(a-2h)2-4a+Sb=(a-2b)2-4(a-2/?)=32-4x3=-3

【名師指路】

本題考察了整式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是，要把整式化成含有公因式a-2b的形式，

再代入求值.

16.(2021?廣東中山?八年級(jí)期末)已知a,6,c是A4BC的三條邊的長(zhǎng)度，且滿足/

-b2=c(a-b),則AASC一定是_____三角形.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】等腰

【思路點(diǎn)撥】

先把等式左邊進(jìn)行因式分解可化為3+6)(a-b)=c(a-b),移項(xiàng)提取公因式可得

(a-b)(a+b-c)=0,根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系兩邊之和大于第三邊，可得a-b

=0,即可得出答案.

【精準(zhǔn)解析】

解：由J-爐=c(a-b),

(a+h)(a-b)=c(a-b),

(a+b)(a-b)-c(a-b)=0,

(a-b)(a+b-c)=0,

；三角形兩邊之和大于第三邊，即a+b>c,

a+b-c/0,

'.a-b=0,即a=/>,

即AABC一定是等腰三角形.

故答案為：等腰.

【名師指路】

本題主要考查了三角形三邊之間的關(guān)系及因式分解，合理利用因式分解進(jìn)行計(jì)算是解決

本題的關(guān)鍵.

17.(2021?廣東?模擬預(yù)測(cè))分解因式：a2b-18ab+Slb=.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】以"-9)2.

【思路點(diǎn)撥】

先提取公因式，再用完全平方公式分解即可.

【精準(zhǔn)解析】

解:a2b-1Sab+S1h,

=Z>(a2-18a+81)

=b(a-9)2.

故答案為：b(a-9)2

【名師指路】

本題考查了因式分解，解題關(guān)鍵是明確因式分解的順序：先提取公因式，再用公式，并

能熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)分解；注意：因式分解要徹底.

18.(2021?廣東南海?一模)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：4xiy-2xyi=.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】2xy(Mx+y)

【思路點(diǎn)撥】

根據(jù)因式分解的步驟，先提取公因式，然后再利用平方差公式進(jìn)行因式分解.

【精準(zhǔn)解析】

解:4x3y-2孫3

=2xy(2x2-y2)

=2xy(V2x+v)(&x-y).

故答案為：2xy(近x+y)(五*y).

【名師指路】

本題考查實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的因式分解，因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式.在實(shí)數(shù)

范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解的式子的結(jié)果一般要分到出現(xiàn)無(wú)理數(shù)為止.

11Q1

19.(2021?廣東?中考真題)若x+—=”且0<x<l,則_____.

X6JT

【標(biāo)準(zhǔn)答案】一維

36

【思路點(diǎn)撥】

1171751

根據(jù)X+L=U，利用完全平方公式可得(X-L)2=g,根據(jù)X的取值范圍可得X-上的

x6x36x

值，利用平方差公式即可得答案.

【精準(zhǔn)解析】

..113

?Xd---=----,

x6

*e?(X--)2=(x+')2-4x--=-||,

xxx36

V0<x<l,

x<一,

X

故答案為：-或

【名師指路】

本題考查了完全平方公式及平方差公式，準(zhǔn)確運(yùn)用公式是解題的關(guān)鍵.

2().已知關(guān)于x的多式2Y-5x+L的一個(gè)因式是x+3,則k的值是_.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】-33

【思路點(diǎn)撥】

設(shè)另一個(gè)因式為(2x-”)，根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式展開(kāi)，左右兩邊對(duì)比得到等量關(guān)系求解

即可；

【精準(zhǔn)解析】

設(shè)另一個(gè)因式為(型-"),

貝(2x—n)(x+3)=2x2+(6-n)x—3n,

即2x"—5x+k—2x~+(6-3〃,

j6-n=-5

"[k=-3n，

\n=W

解得z-，

[K=-33

故答案為：-33.

【名師指路】

本題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的應(yīng)用，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

21.(2021?廣東?紅嶺中學(xué)八年級(jí)期中)常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式

法，但有一部分多項(xiàng)式只單純用上述方法就無(wú)法分解，如必-2孫+V-16,我們細(xì)心觀

察這個(gè)式子，會(huì)發(fā)現(xiàn)，前三項(xiàng)符合完全平方公式，進(jìn)行變形后可以與第四項(xiàng)結(jié)合，再應(yīng)

用平方差公式進(jìn)行分解.過(guò)程如下：x2-2xy+y2-16=(x-j)2—16=(x-y+4)(x

-J-4)

這種分解因式的方法叫分組分解法.利用這種分組的思想方法解決下列問(wèn)題：

(1)9a2+4b2-25m2-n2+12ab+10mn；

(2)已知a、b、c分別是AA8C三邊的長(zhǎng)且2a2+62+c2-2a(He)=0,請(qǐng)判斷AABC

的形狀，并說(shuō)明理由.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)(3a+2b+5m-n)(3a+2b-5m+n);(2)AABC的形狀是等邊三

角形.

【思路點(diǎn)撥】

(1)認(rèn)真閱讀題例的思想方法，觀察所給多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，合理分組運(yùn)用完全平方

公式后再整體運(yùn)用平方差公式進(jìn)行分解.

(2)等式左邊的多項(xiàng)式拆開(kāi)分組，構(gòu)造成兩個(gè)完全平方式的和等于0的形式，利用非

負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b、c的關(guān)系即可.

【精準(zhǔn)解析】

(1)9a2+4爐-25加2-〃+12ah+1Omn

=(9a2+l2ab+4b2)-(25m2-\0mn+n2')

=(3a+2b)2-(5m-n)2

=(3a+2h+5m-n)(3a+2b-5m+n)

(2)|t|2a2+b2+c2-2a(b+c)=0可得：2a2+b2+c2-2ab-2ac-0

(a2-lab+h1)+(a2-2ac+c2)=0,(a-b)2+(a-c)2=0

根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)互為相反數(shù)，只能都同時(shí)等于。才成立，于是：a-氏0,a-c=0,所以

可以得到a=b=c.

即：AA8C的形狀是等邊三角形.

【名師指路】

本題考查了用分組分解法對(duì)超過(guò)3項(xiàng)的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，合理分組是解題的關(guān)鍵，

綜合運(yùn)用因式分解的幾種方法是重難點(diǎn).

22.“、b、c是AMC的三邊，且有"2+匕2=4a+10%—29

(1)求6的值

(2)若，為整數(shù)，求c?的值

(3)若是等腰三角形，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)

【標(biāo)準(zhǔn)答案】⑴a=2,b=5;(2)c=4或c=5或c=6;(3)12

【思路點(diǎn)撥】

(1)由a2+b2=4a+10b—29,可得：(a-2)2+(b-5)2=0,利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解a,b;

(2)再利用三角形三邊的關(guān)系得到c的取值范圍；

(3)分兩種情況討論，當(dāng)a=2為腰時(shí)，當(dāng)b=5為腰時(shí)，再結(jié)合三角形的三邊的關(guān)系，

確定三角形的三邊，從而可得答案.

【精準(zhǔn)解析】

解：(1)a2+h2=4a+Wb-29

R2-4a+4)+W-100+25)=0

(a-2)2+(/?-5)2=0

a=2,b=5

(2):。、b、c是AABC的三邊

3<c<7

又?.?c為整數(shù)

c=4,c=5,c=6

(3)?.?”IBC是等腰三角形，a=2、b=5

根據(jù)三邊關(guān)系可知，只有當(dāng)c=5時(shí)三角形才為等腰三角形，

c=5

/.C^ABC=2+5+5=12

故周長(zhǎng)為：12

【名師指路】

本題考查的是完全平方式的變形，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，因式分解，三角形三邊之間的關(guān)系，

等腰三角形的定義，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

23.(2021?廣東高州?八年級(jí)期中)第一步：閱讀材料，掌握知識(shí).

要把多項(xiàng)式+歷〃+配分解因式，可以先把它的前兩項(xiàng)分成一組，并提出公因

式明再把它的后兩項(xiàng)分成一組，提出公因式。，從而得：am+an+bm+bn=a(in+

n)+h(m+n).這時(shí)，由于a(,〃+/?)+",〃+")中又有公因式("?+〃)，于是可提出(，"+"),

從而得到(，"+n)(a+b),因此有：am+an+bn+bn=(am+即)+(bm+bn)=a(m+n)

+b(m+n)=(m+n)(a+h).這種方法稱為分組法.

第二步：理解知識(shí)，嘗試填空.

(1)ah—ac+bc—b2=(ab-ac)+(bc-b2)=a(b—c)—b(b—c)=.

第三步：應(yīng)用知識(shí)，解決問(wèn)題.

(2)因式分解：*2,一4y—2，+8.

第四步：提煉思想，拓展應(yīng)用.

(3)已知三角形的三邊長(zhǎng)分別是a、b、c,且滿足a2+2"+c2=2A(a+c),試判斷這個(gè)

三角形的形狀，并說(shuō)明理由.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】⑴(b-c)(a-b);(2)(y-2)(x+2)(x-2);(3)這個(gè)三角形

為等邊三角形，理由見(jiàn)解析.

【思路點(diǎn)撥】

(1)提取b-c即可；

(2)先分組，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可；

(3)移項(xiàng)后分解因式，可得出a=b=c,則可得出答案.

【精準(zhǔn)解析】

解：(1)a(b-c)-b(b-c)

=(b-c)(a-b).

故答案為：(b-c)(a-b);

(2)x2y-4y-2x2+8

=(x2y-4y)-(2x2-8)

=y(x2-4)-2(x2-4)

=(y-2)(x2-4)

=(y-2)(x+2)(x-2);

(3)這個(gè)三角形為等邊三角形.

理由如下：

Va2+2b2+c2=2b(a+c),

,a2+2b2+c2-2ba-2bc=0,

a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0,

(a-b)2+(b-c)2=0,

■:(a-b)2>0,(b-c)2>0,

a-b=0,b-c=0,

a=b=c,

這個(gè)三角形是等邊三角形.

【名師指路】

本題考查分組因式分解，等邊三角形的定義.能理解題意，掌握分組分解法是解題關(guān)鍵.

24.(2021?廣東?深圳中學(xué)八年級(jí)期中)因式分解：

(1)15a3+10a2

(2)iax2+6axy+3ay2

(3)(2x+y)2-(x+2y)2

【標(biāo)準(zhǔn)答案】⑴5。2(3a+2)；(2)3a(x+y)2；(3)3(x+y)(x-y)

【思路點(diǎn)撥】

(1)原式提取公因式即可；

(2)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；

(3)原式利用平方差公式分解即可.

【精準(zhǔn)解析】

(1)原式=5解(3a+2);

(2)原式=3“(N+Zxy+y2)

=3。(x+y)2;

(3)原式=(2x+y+x+2y)(,2x+y-x-2y)

=3(x+y)(x-y).

【名師指路】

本題考查了多項(xiàng)式的因式分解，具體考查了提公因式法和公式法，對(duì)于多項(xiàng)式的因式分

解，首先考慮是否有公因式可提，然后再考慮是否能用公式法，要注意：因式分解必須

分解到再也不能分解為止，此外，完全平方公式和平方差公式不要用錯(cuò).

25.因?yàn)?x+l)(x-2)=f_x-2,所以x-2)?(x2)=I,我們稱之為f-x-2能

被、-2整除，得到X+1.回答下面問(wèn)題，

(1)填空，+x-6)?(X3)=.

(2)多項(xiàng)式A=V+加+配-75,同時(shí)A能被犬-3整除，得到一個(gè)完全平方式(x+廳，

求a+6的值.

(3)設(shè)多項(xiàng)式8=■?+,加+nx+,",女為整數(shù))，且有一18=(X-4)(x+3),求

X+K

&值.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】⑴x-2；(2)2;(3)%=—5或無(wú)=6.

【思路點(diǎn)撥】

(1)將V+x-6=(x+3)(x-2)十字相乘公式因式分解即可求解；

(2)利用整除的定義表示A,利用?？+o?+for-75=(x-3)(x+,)2可求；

(3)利用———+18=(x-4)(x+3)表示B,

x+k

利用犬+"Y+nx+mn=(x-4)(x+3)(x+k)-18(x+&)可求.

【精準(zhǔn)解析】

解(1)Qx2+x-6=(x+3)(x-2),

\(x2+x-6)?(x3)=(x+3)(x-2)?(x3)=x-2;

故答案為：*-2；

(2)由題意可得，

A=(x-3)(x+r)2=(x-3)(x2+2u+t2)=x3+(2/-3*+(產(chǎn)-6f)x-3r,

又QA=x1+ar2+hx-75,

\JC3+ar2+hx-75=jr3+(2t-3)x2+(產(chǎn)-6t)x-3產(chǎn),

\a=2/-3,b=t1-6r,-75=-3r2,

:.a=l,*=-5,t=5,

\a+b=7-5=2；

(3)v-^-+18=(x-4)(x+3),

x+k

\B=(x-4)(x+3)(x+k)-18(x+2)=??+(k-l)x2-(k+30)x-30k,

又Q8=x3+mx2+nx+nw,

\x3+(hl)x2-(A+30)x-30k=x3+mx2+nx+rnn,

\k-1=7M,-(%+30)=ny-30左=tnn,

\-30k=■伏-1)(2+30),

解得%=—5或，=6.

【名師指路】

本題考查了以整除為背景因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：能夠合理的運(yùn)用因式分解.

26.(2021?廣東連州?八年級(jí)期中)觀察“探究性學(xué)習(xí)”小組的甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行的分

解因式：

甲：x2+2ax-3a2

=x2+2ax+a2-a2-3a2

=(x+a)2-4砂(分成兩組)

=(x+a)2-(2a)2

=(x+3a)(x-a)(平方差公式)

乙：a2-b2-c2+2bc

=a2-(b2+c2-2bc)(分成兩組)

=a2-(b-c)2(直接運(yùn)用公式)

=(a+b-c)(a-b+c)(再用平方差公式)

請(qǐng)你在他們解法的啟發(fā)下，把下列各式分解因式：

(1)x2-4x+3

(2)好-2盯-9+V

(3)X2+2XJ+J2-6X-6J+9

【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)(x-l)(x-3);(2)(x-y+3)(x-y-3);⑶(x+y-3「

【思路點(diǎn)撥】

(1)先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形，再根據(jù)完全平方公式分解因式，最后根據(jù)平方差

公式分解因式即可；

(2)先分組，再根據(jù)完全平方公式分解因式，最后根據(jù)平方差公式分解因式即可；

(3)先分組，再根據(jù)完全平方公式分解因式即可.

【精準(zhǔn)解析】

解：⑴x2-4x+3

=x2-4x+4-4+3

=(x—2)2-1

=(x-2+l)(x-2-l)

=(x-l)(x-3);

(2)x2-2xy-9+y2

=x2-2xy+y2-9

=(x-y)2-32

=(x—y+3/x-y-3);

(3)x2+2xy4-y2-6x-6y+9

=(1+y)2-6(x+y)+9

=(x+y-3)2.

【名師指路】

本題考查了因式分解-分組分解法，完全平方公式和平方差公式等知識(shí)點(diǎn)，注意：

]2+2〃。+。2=(〃+〃)2,a2_2"+按=3/)2,02一加二3+份3力

4

27.(2021廣東高州?八年級(jí)期中)利用因式分解進(jìn)行計(jì)算：9小+12外+4y2,其中x

1

>,=~2?

【標(biāo)準(zhǔn)答案】(3升2y)19.

【思路點(diǎn)撥】

先根據(jù)完全平方公式分解因式，再代入求出即可.

【精準(zhǔn)解析】

解：9x2+12^+4/

=(3x)2+2.3x.2y+(2>>)2

=(3x+2y)2,

4i

當(dāng)x=5,y=”時(shí)，

原式干鋁代)]

=(4-以=(4-1)2

=9

【名師指路】

本題考查了分解因式和代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值，能根據(jù)公式正確分解因式是解此題的關(guān)鍵.

28.(2021?廣東?佛山市華英學(xué)校八年級(jí)期中)某老師在講因式分解時(shí)，為了提高同學(xué)

們的思維訓(xùn)練力度，他補(bǔ)充了一道這樣的題：對(duì)多項(xiàng)式12-4x+2)(/-4X+6)+4

進(jìn)行因式分解，有個(gè)學(xué)生解答過(guò)程如下，并得到了老師的夸獎(jiǎng)：

解：設(shè)x2-4x=y.

原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)

=V+8y+16(第二步)

=(J+4)2(第三步)

=(i-4x+4)2(第四步)

根據(jù)以上解答過(guò)程回答以下問(wèn)題：

(1)該同學(xué)第二步到第三步的變形運(yùn)用了—(填選項(xiàng))；

A.提取公因式法

B.平方差公式

C.兩數(shù)和的完全平方公式

D.兩數(shù)差的完全平方公式

(2)第四步的結(jié)果繼續(xù)因式分解得到結(jié)果為—；

(3)請(qǐng)你模仿以上方法對(duì)多項(xiàng)式(X2+6X)(F+6X+10)+25進(jìn)行因式分解.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】⑴C；(2)(x-2)管(3)(X+1)2(X+5)2.

【思路點(diǎn)撥】

(1)利用完全平方公式判斷即可；

(2)檢查第四步結(jié)果，利用完全平方公式分解即可；

(3)仿照閱讀材料中的方法將原式分解即可.

【精準(zhǔn)解析】

(1)該同學(xué)第二步到第三步的變形運(yùn)用了完全平方公式，

故選：C;

(2)第四步的結(jié)果還能繼續(xù)因式分解，直接寫(xiě)出結(jié)果(x-2尸；

故答案為：(x-2尸；

(3)設(shè)N+6x=y,

原式=y(y+10)+25

=盧10丫+25

=。+5)2

=(/+6X+5)2.

=(X+l)2(x+5)2.

【名師指路】

本題考查了因式分解-運(yùn)用公式法，以及提公因式法，熟練掌握因式分解的方法是解本

題的關(guān)鍵.

29.(2021?廣東三水?八年級(jí)期末)閱讀下列材料：整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見(jiàn)的一種

思想方法:下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式(，+2x)(x2+2x+2)+l進(jìn)行因式分解的過(guò)程.將“7+2x”

看成一個(gè)整體，令7+2x=y,則原式=，+2y+l=(y+1)2再將“y”還原即可.

解：設(shè)

原式=y(j+2)+1(第一步)

=y2+2y+i(第二步)

=。+1)2(第三步)

=(d+2x+l)2(第四步).

問(wèn)題：

(1)①該同學(xué)完成因式分解了嗎？如果沒(méi)完成，請(qǐng)你直接寫(xiě)出最后的結(jié)果；

②請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式(爐-4外(x2-4x+8)+16進(jìn)行因式分解；

(2)請(qǐng)你模仿以上方法嘗試計(jì)算：

(1-2-3-…-2021)x(2+3+…+2022)-(1-2-3-...-2022)x(2+3+...+2021).

【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)①?zèng)]有，(x+1)4;②(廠2)4；(2)2022

【思路點(diǎn)撥】

(1)①根據(jù)因式分解的意義進(jìn)行判斷，再利用完全平方公式分解因式即可；②利用