高考試題數(shù)學(xué)理(福建卷)

2010年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試（福建卷）

數(shù)學(xué)試題（理工農(nóng)醫(yī)類）

第I卷（選擇題共50分）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1.計算sin43°cos13°-cos43°sin13°的結(jié)果等于

A1nG八6八G

A.-B.---C.---D.--

2322

2.以拋物線丁=4%的焦點為圓心，且過坐標(biāo)原點的圓的方程為

A.x2+y2+2%=0B.x2+y2+x=0

C.x?+—龍=0D.+y~—2x0

3.設(shè)等差數(shù)列｛/｝前〃項和為S,。若4=一11,4-4=-6,則

當(dāng)取最小值時，〃等于

A.6B.7C.8D.9

r2_7r-3r<f）

4.函數(shù)/（無）=的零點個數(shù)為

-2+Inx,x>0

A.0B.1C.2D.3

5.閱讀右圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出的i值等于

A.2B.3C.4D.5

6.如圖，若。是長方體ABC。—4月G〃被平面石FG”截去幾何體

EFGHB￡后得到的幾何體，其中E為線段4片上異于的點，

廠為線段8片上異于用的點，且由〃42,則下列結(jié)論中不

正確的是

A.EH//FGB.四邊形是矩形

C.。是棱柱D.。是棱臺

（第題圖）

7.若點。和點尸（—2,0）分別為雙曲線F—V=i（?！?）的中心和左6

a'

焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則。p血的取值范圍為

A.[3-273,+oo)B.[3+26，+8)C.[一7一，+8)D.7+℃)

44

x>\

8.設(shè)不等式組<x—2y+320所表示的平面區(qū)域是R,平面區(qū)域％與。關(guān)于直線

y>x

3尤一分-9=0對稱。對于Q,中的任意點4與。2中的任意點3,|A8|的最小值等于

28「12

A.一B.4C.—D.2

55

9.對于復(fù)數(shù)a,b,c,d,若集合S=｛a,b,c,d｝具有性質(zhì)“對任意x,ysS,必有

a=lf

孫ES"，則當(dāng)<從=1,時，Z?+c+d等于

c2=h

A.1B.-1C.0D.i

10.對于具有相同定義域D的函數(shù)/(x)和g(x),若存在函數(shù)〃(x)=履+力(后匕為常數(shù)),

對任給的正數(shù)陽，存在相應(yīng)的玉)￡。，使得當(dāng)且時，總有

0</(x)-/?(xx"則稱直線/：y為曲線y=/1)與丁=8(幻的“分漸近

0<〃(x)-g(xKj

線”。給出定義域均為口=｛工k〉1｝的四組函數(shù)如下：

①/(%)=—,g(x)=y；②/(x)=l(T*+2,g(x)=」一；

X

③g(x)="丁+1；④g(x)=2(x-l-e-x)。

xInxx+i

其中，曲線y=/(x)與y=g(x)存在“分漸近線”的是

A.@@B.②③C.②④D.③④

第n卷(非選擇題共io。分)

二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。

11.在等比數(shù)列｛4｝中，若公比g=4,且前3項之和等于21,則該數(shù)列的通項公式

12.若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示，則其表面積等于

13.某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個問題中，選手若能掌綾正確回答出兩個問

題，即停止答題，晉級下一輪。假設(shè)某選手正確回答每個問題的概率都是0.8,且每

個問題的回答結(jié)果相互獨立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率等

于。

TT

14.已知函數(shù)/(x)=3sin(s——)3>0)和g(x)=2cos(2x+*)+l的圖像的對稱軸完全

6

jr

相同。若則/(X)的取值范圍是。

15.已知定義域為(0,+8)的函數(shù)/(x)滿足：(1)對任意為€(0,+8),恒有/(2%)=2/(幻

成立；(2)當(dāng)尤e(L2］時/(x)=2-x。給出結(jié)論如下：

①對任意加wZ,有『(2"')=0；②函數(shù)/(x)的值域為［0,+oo)；③存在〃eZ,使得

/(2"+1)=9；④“函數(shù)/(x)在區(qū)間3，份上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在ZeZ,

使得(a,b)c(2k,2k+')no

其中所有正確結(jié)論的序號是。

三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.(本小題滿分13分)

設(shè)S是不等式尤―6W0的解集，擎數(shù)加，neSo

(I)記“使得加+〃=0成立的有序算組(小，〃)”為事件A,試列舉A包含的基本

事件；

(II)設(shè)自=m2,求&的分布列及其數(shù)學(xué)期望EJ。

17.(本小題滿分13分)

已知中心在坐標(biāo)原點0的橢圓C經(jīng)過點A(2,3)，且點F(2,0)為其右焦點。

(I)求橢圓。的方程；

(II)是否存在平行于Q4的直線/,使得直線/與橢圓C有公共點，且直線Q4與/的

距離等于4?若存在，求出直線/的方程；若不存在，說明理由。

18.（本小題滿分13分）

如圖，圓柱。01內(nèi)有一個三棱柱ABC—AAG，三棱柱的

底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且A3是圓。的直徑。

（I）證明：平面AACG，平面4>cq；

（II）設(shè)A3=A4］。在圓柱0a內(nèi)隨機(jī)選取一點，記該點取自于三棱柱

ABC—A4G內(nèi)的概率為P。

（i）當(dāng)點。在圓周上運動時，求p的最大值;

（ii）記平面AACG與平面片0C所成的角為6（0°<6W90°）。當(dāng)p取最

大值時，求cos。的值。

19.（本小題滿分13分）

某港口。要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時，輪船

位于港口0北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速

度沿正東方向勻速行駛，經(jīng)過f小時與輪船相遇。

（I）若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？

（II）假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時，試設(shè)計航行方案（即確定航行

方向和航行速度的大?。?，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由。

20.（本小題滿分14分）

（I）已知函數(shù)/（尤）=d—x,其圖象記為曲線C。

（i）求函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間;

（ii）證明：若對于任意非零實數(shù)演，曲線。與其在點［（%,/（%））處的切線交

于另一點￡（々，/（々）），曲線。與其在點名處的切線交于另一點7*3）），線

段片鳥、鳥P與曲線。所圍成封閉圖形的面積分別記為S”$2,則"為定值；

（11）對于一般的三次函數(shù)8（%）=0?+"2+5+/4彳0）,請給出類似于（1）（打）

的正確命題，并予以證明。

21.本題設(shè)有（1）（2）（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分。

如果多做，則按所做的前兩題記分。作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)

的題號涂黑，并將所選題號填入括號中。

（1）（本小題滿分7分）選修4—2：矩陣與變換

1a20、

已知矩陣M,N=且MN二

bLV)d[20,

(1)求實數(shù)a、b、c、d的值；(II)求直線y=3x在矩陣”所對應(yīng)的線性變換作

用下的像的方程。

(2)(本小題滿分7分)選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

[Q夜

尤=3----1

在直角坐標(biāo)系xQy中，直線/的參數(shù)方程為<2_(f為參數(shù))，在極坐標(biāo)系

I2

(與直角坐標(biāo)系X。)，取相同的長度單位，且以原點。為極點，以x軸正半軸為極軸)

中，圓C的方程為0=2逐sin。。

(I)求圓C的直角坐標(biāo)方程；

(II)設(shè)圓C與直線/交于點A、B。若點尸的坐標(biāo)為(3,6)，求|PA|+|PB|。

(3)(本小題滿分7分)選修4一5：不等式選講

已知函數(shù)f(x)^x-a\.

(I)若不等式/(x)<3的解集為{x|-14xW5},求實數(shù)a的值；

(II)在(I)的條件下，若/(x)+/(x+5)之相對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)〃2的

取值范圍。

數(shù)學(xué)試題(理工農(nóng)醫(yī)類)參考答案

一、選擇題：本大題考查基礎(chǔ)知識和基本運算。每小題5分，滿分50分。

1.A2.D3.A4.C5.C6.D7.B8.B9.B10.C

二、填空題：本大題考查基礎(chǔ)知識和基本運算。每小題4分，滿分20分。

11.4"-112.6+2613.0.12814.--,315.①②④

_2_

三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.本小題主要考查概率與統(tǒng)計、不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、應(yīng)用意識，考查

分類與整合思想、必然與或然思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想。滿分13分。

解：(I)由X2一%一6<0得一2WxW3,即5=卜|—24xK3}

由于加,〃€S且加+〃=0,所以A包含的基本事件為：

(—2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0)

(II)由于加的所有不同取值為-2,-1,0,1,2,3,

所以4=〃/的所有不同取值為0,1,%9,

且有PG=0)=L,P化=1)=HPG=4)=]=；,P(J=9)=；

6o363o

故4的分布列為：

40149

P1J_]_j_

6336

所以E4=0X』+1X」+4X」+9XL=2

63366

17.本小題主要考查直線、橢圓等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)

與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想。滿分13分。

解法一：

V+q

(I)依題意，可設(shè)橢圓C的方程為靛+/1(a>b>0),且可知左焦點為尸(—2,0)

從而有「c=2

12a=\AF\+\AF'|=3+5=8

22

又/+匕2=。2,所以"2=]2,故橢圓C的方程為—+^-=1

1612

3

(H)假設(shè)存在符合題意的直線/，其方程為y=+f

得3/+3b+產(chǎn)-12=0

因為直線/與橢圓C有公共點，所以A=(3產(chǎn))—4x3(〃-12)20,

解得一4g44g

另一方面，由直線0A與/的距離d=4可得=4,從而t=+2y/l3。

由于±2而■史14百,4石],所以符合題意的直線/不存在。

解法二：

x2y2

(I)依題意，可設(shè)橢圓C的方程為=+彳=1(a>b>0),且有：

a~b~

49oo

F+A=1,解得。2=12或。20=一3(舍去)。從而/=16

a2b2

a2-b2=4

(ID同解法一

18.本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，以及兒何體的體積

幾何概型等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力；考查數(shù)形結(jié)

合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想。滿分13分。

解法一：

(I)AAJ_平面ABC,BCu平面A8C,AtA±BC

???A3是圓0的直徑，BCYAC

又ACnAA=A,.?.BCL平面AACG

而BCu平面B[BCC],

所以平面AACG，平面。

(ID(i)設(shè)圓柱的底面半徑為r,則AB=A4=2廠

故三棱柱ABC_ABG的體積

V,=-ACBC-2r=ACBCr

12

又AC?+8。2^AB2=4，

AC2+BC2

ACBC<=2/

2

當(dāng)且僅當(dāng)AC=8C=V2r時等號成立。

從而，匕＜2r3

而圓柱的體積V=4-2?2r=2m③，

故〃=區(qū)4二彳=工，當(dāng)且僅當(dāng)

V22m^

AC=BC=曰,即OCLAB時等號成立。

所以，〃的最大值等于工

71

(ii)由(i)可知，〃取最大值時，OCYAB

于是，以。為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系。-肛z(如圖)，

則C(r,0,0),B(0,r,0),B[(0,r,2r)

平面AACG,BC=(r,-r,0)是平面&ACG的一個法向量

設(shè)平面80c的法向量〃=(x,y,z),

[rt±OC[rx-0fx=O

由《得《。故4?

[n1B0t[ry+2rz=Q[y=-2z

取z=l,得平面用OC的一個法向量為〃=(0,—2,1)

0°<"90",

〃BC|_I2rI_Vw

cos0=|cos<n,BC>|=l?|-|BC||一|V5-V2r|一"T

解法二：

(I)同解法一

(II)(i)設(shè)圓柱的底面半徑為不，則AB=4A1=2r,

故三棱柱的體積匕=：ACBC-2r=ACBCu

設(shè)ZBAC=a((r<a<90°),

則AC=ABcosa=2rcoscr，BC=ABsina=2rsincr,

由于BC=4r2sinacosa=2r2sin2a<2r2,當(dāng)且僅當(dāng)sin%=1即a=45°

時等號成立，故乂K2/

而圓柱的體積V="2-2r=2"3,

v?r31

故〃=—L<--=當(dāng)且僅當(dāng)$11122=1即。=45°時等號成立。

V22療3汽

所以，p的最大值等于工

7t

(ii)同解法一

解法三：

(I)同解法一

(II)(i)設(shè)圓柱的底面半徑r,則AB=A41=2r,故圓柱的體積V="2.2r=2"3

因為p=j,所以當(dāng)匕取得最大值時，p取得最大值。

又因為點C在圓周上運動，所以當(dāng)OCJ.A6時，AA8C的面積最大。進(jìn)而，三棱柱

1a

ABC_AgG的體積最大，且其最大值為/?ZruQrnZ/

故p的最大值等于工

乃

(ii)同解法一

19.本小題主要考查解三角形、二次函數(shù)等基礎(chǔ)知識，綠茶推理論證能力、抽象概括能力、

運算求解能力、英語意識，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分

類與整合思想。滿分13分。

解法一：

(I)設(shè)相遇時小艇航行的距離為S海里，則

5=7900?2+400-2-30/-20-cos(900-30°)

=A/900T2-600^+400

=,900(7—g)2+300

故當(dāng)，=工時，Smin=10A/3,此時V=$3=30百

3

即，小艇以30名海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小。

(II)設(shè)小艇與輪船在B出相遇，則

v2?=400+900r2-2-20-30/-cos(90°—30°)

故小900一竿+等

v0<v<30,.-.900--+^<900

tr

232

即二-±W0,解得fN—

t2t3

2

又1=一時，v=30

3

2

故u=30時，t取最小值，且最小值等于士

3

此時，在△Q4B中，有Q4=O3=A3=20,故可設(shè)計寒星方案如下:

航行方向為北偏東30°,航行速度為30海里/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇

解法二：

(1)若相遇時小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向為正北

方向。

設(shè)小艇與輪船在C處相遇。

在R/AOAC中，OC=20cos300=10A/3,AC=20sin30°=10

又AC=30r,OC=vtf

即，小艇以30海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小。

(II)猜想u=30時，小艇能以最短時間與輪船在I)出相遇，此時40=00=38

2

又NQAD=60°,所以AZ)=00=04=20,解得r=—

3

據(jù)此可設(shè)計航行方案如下:

航行方向為北偏東30°,航行速度為30海里/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇

證明如下：

如圖，由(I)得OC=K)當(dāng)，AC=10,

故OC>AC,且對于線段4c上任意點P,

有。PNOC>AC而小艇的最高航行速度只能達(dá)到

30海里/小時，

故小艇與輪船不可能在A,C之間(包含C)的任意位置相遇.

設(shè)NCO0=e((r<6<90')，則在H/ACOD中，CO=loQtan。，OD=

COS。

由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的時間分別為

10+10V3tan^1073

t=--------------和x/=——

30vcos^

10+logtan。10A/3

所以,

30vcosO

1573

由此可得,V=

sin(6+30°)

V3

又uW30,故sin(e+30°)之手

從而，30°<6><90°

由于。=30°時，tan。取得最小值，且最小值為七

于是，當(dāng)夕=30°時，fJ°+Ltane取得最小值,且最小值為2

303

解法三：

(I)同解法一或解法二

(II)設(shè)小艇與輪船在B處相遇。依據(jù)題意得：

/產(chǎn)=400+900〃-2.20-30r-cos(90J-30°),

((v2-900V2+600^-400=0

(1)若0<v<30,則由

△=360000+1600(v2-900)

o

=1600(v2-675)>0

得

-300±20Vv2-675

從而,VG[15V3,30)

v2-900

-300-207V2-675

①當(dāng)”時,

v2-900

i-------_Qnn_7O-on4

令X=G—675,則xe[0,15),t=-----------r=------>-,當(dāng)且僅當(dāng)x=0即

X2-225x-153

v=156時等號成立。

-300+20&一67524

②當(dāng)t-時,同理可得一</4—

v2-90033

由①、②得，當(dāng)"口5后,30）時，

3

2

（2）若u=30,貝ijf=—

3

2

綜合（1）、（2）可知，當(dāng)u=30時，t取最小值，且最小值等于一

3

此時，在△OAB中，OA=OB=AB=20,故可設(shè)計航行方案如下:

航行方向為北偏東30。，航行速度為30海里/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇。

20.本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括能力、推理論證能

力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一

般思想。滿分14分。

解法一：

(I)(i)有/,(x)=x3-x得/'(%)=3/-1=3(》一

當(dāng)》€(wěn)（—8,一,+8）時，/'（X）＞o；

當(dāng)xe時，f'(x)<0o

因此，/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-8,-牛）和（牛,+00）,單調(diào)遞減區(qū)間為

Y與

（ii）曲線C在點《處的切線方程為

y=（3x,2-IXx-x^+x/-x,,

即y=（3X|2-l）x-2x『。

/y=（3x『-l）x-2x：

由＜3

）=芳一尤

得-X=（3x；_l）x-2X|3

即（X—X]）2（X+2X1）=0,

解得x=%或尤=-2x1,

故%2=-2%|o

進(jìn)而有

2

St=11'（--3x：x+2x；）dr=（--/--yx；x+2x；x）j=^xj.

27

4

用它代替X，重復(fù)上述計算過程，可得W=-2々和邑=—x2。

又/=一2%70,所以工=土Sxjwo,因此有血=_1_。

4s216

（II）記函數(shù)g（x）=o?+笈2+以+43/（））的圖像為曲線°,類似于（I）（H）的正

確命題為：若對于任意不等于-b二的實數(shù)演，曲線C'與其在點6（%,g（%））處的切線交

3a

于另一點￡（%，g（馬）），曲線。與其在點尸處的切線交于另一點鳥（芻，g（/））線段

q

桃、鳥鳥與曲線。所圍成封閉圖形的面積分別記為5、52,則々為定值。

$2

證明如下：

bb

因為平移變換不改變面積的大小，故可將曲線y=g（x）的對稱中心（-一，g（-一））平移

3a3a

至坐標(biāo)原點，因而不妨設(shè)8（幻=依3+法，且%工0。

類似（I）（ii）的計算可得5]=曰。＜,邑=27；6時、0

故'=L

S216

解法二：

(I)同解法一。

(II)記函數(shù)g(1)=o?+笈2+仃+43彳0)的圖像為曲線0,類似于(I)(ii)的正

確命題為：若對于任意不等于-2的實數(shù)再，曲線。與其在點々(X，g(xj)處的切線交

3a

于另一點鳥(工2,g(%2))，曲線。與其在點尸處的切線交于另一點6(芍g(^3))線段

q

P用、鳥鳥與曲線。所圍成封閉圖形的面積分別記為S「S2,則，為定值。

證明如下：

函數(shù)g(x)=ax3+bx2+cx^-d(a^O)得g\x)=ax2-\-2bx-\-c,所以曲線C‘在點

32

(xPg(xj)處的切線方程為y=(3ox；+2萬王-^c)x-2ax}-bx1+d。

y=ax3+bx+ex+d,

2得(x-X])2[a(x+2玉)+b]=0,

y=(3叼2+2如+c)x-2叼3-隊：+d

&=J*[ax3+bx2-+2bxi)x+2ax^+bx；]dx=+j)

用々代替修，重復(fù)上述計算過程，可得七=—2—2々和工=色色U

a\2a

又看=----2%|且X2=X1W----,

a3a

(3ax+b)4_(一6%一20)4_16(3%+Z?)4

所以S22

12a3——12a5―i2a3

故鳥'1

S,16

21.(1)選修4—2：矩陣與變換

本小題主要考查矩陣與變換等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力。滿分7分。

解法一：

c+0=2,a=-1,

b=-1,

（I）由題設(shè)得：《

c=2,

2b+d=0.d-2.

（ID因為矩陣”為對應(yīng)的線性變換將直線變成直線（或點），所以可取直線y=3尤上的

（1,3）在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的像是點（0,0）,（-2,2）。

從而，直線y=3x在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的像的方程為>=—X。

解法二：

（I）同解法一。

（II）設(shè)直線y=3x上的任意