高數(shù)微積分無窮級數(shù)

第八章微分方程第一節(jié)微分方程的根本概念常微分方程偏微分方程含未知函數(shù)及其導數(shù)的方程叫做微分方程

.(本章內(nèi)容)微分方程的根本概念分類例方程中所含未知函數(shù)導數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程(n

階顯式微分方程)一般地,n

階常微分方程的形式是的階.或引例2—

使方程成為恒等式的函數(shù).通解—

解中所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程—

確定通解中任意常數(shù)的條件.n階方程的初始條件(或初值條件):的階數(shù)相同.特解引例1

通解:特解:微分方程的解

—不含任意常數(shù)的解,定解條件

其圖形稱為積分曲線.一階:初值問題:求微分方程滿足初始條件的解的問題.解所求特解為補充:微分方程的初等解法:初等積分法求解微分方程求積分(通解可用初等函數(shù)或積分表示出來)中不含任意常數(shù),故為微分方程的特解.第二節(jié)可別離變量的微分方程一、可別離變量的微分方程可別離變量的微分方程.解法為微分方程的解.別離變量法例1

求解微分方程解別離變量兩端積分例2.

解初值問題解:別離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C

為任意常數(shù))故所求特解為練習:解別離變量即(C<0

)二、齊次方程的微分方程稱為齊次方程.2.解法作變量代換代入原式,得可別離變量的方程1.定義)(xyfdxdy=形如.)(xuufdxdu-=即例3.解微分方程解:代入原方程得別離變量兩邊積分得故原方程的通解為(

當C=0

時,

y=0

也是方程的解)(C

為任意常數(shù))原方程可寫成

解

別離變量得兩邊積分

得

u

ln|u|

C

ln|x|

或寫成ln|xu|

u

C

例4小結1.可別離變量的微分方程:別離變量法〔1〕別離變量;〔2〕兩端積分.可別離變量的微分方程解法：2.齊次方程齊次方程的解法：化為可別離變量得方程

解微分方程解:那么有別離變量積分得代回原變量得通解即說明:

顯然

x=0,y=0,y=x

也是原方程的解,但在(C

為任意常數(shù))求解過程中喪失了.§8.3一階線性微分方程線性方程

形如y

P(x)y

Q(x)的方程稱為一階線性微分方程

并且當Q(x)恒為零時稱為一階齊次線性方程

Q(x)不恒為零時稱為一階非齊次線性方程

一階線性微分方程考察以下方程是否是(或能否化為)線性方程？(2)3x2

5x

5y

0

(3)y

ycosx

e

sinx

注

非齊次線性方程的通解也可為上式說明非齊次線性方程的通解等于對應的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個特解之和非齊次線性方程的通解齊次線性方程的通解

非齊次線性方程y

P(x)y

Q(x)的通解為解例1例2

解方程

解:先解即積分得即用常數(shù)變易法求特解.令那么代入非齊次方程得解得故原方程通解為解第一步，求相應的齊次方程的通解.2的通解求方程xxydxdy=-解第二步，常數(shù)變易法求非齊次方程的通解.2的通解求方程xxydxdy=-例3

解方程

分析：如果把x看成自變量，把y看成因變量，上式不是一階線性方程；反之，如把y看成自變量，把x看成因變量,上式成為：是一階非齊次線性方程

分析：如果把x看成自變量，把y看成因變量，上式不是一階線性方程；反之，如把y看成自變量，把x看成因變量,上式成為：是一階非齊次線性方程先解對應齊次方程的通解，得：設非齊次方程的通解為：求將代回方程，經(jīng)整理得所求方程的通解：內(nèi)容小結

一階線性方程先解齊次方程,再用常數(shù)變易法.練習設F(x)＝f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(－∞,+∞)內(nèi)滿足以下條件:(1)求F(x)所滿足的一階微分方程;(2)求出F(x)的表達式.解:(1)所以F(x)滿足的一階線性非齊次微分方程:(2)于是(2)由一階線性微分方程解的公式得于是§8.5二階線性微分方程解的結構定義二階齊次線性微分方程二階非齊次線性微分方程二階線性微分方程問題:一.二階齊次線性方程的解的結構:例如舉例

(1)函數(shù)1

cos2x

sin2x在整個數(shù)軸上是線性相關的

這是因為1-cos2x-sin2x

0

舉例

(2)函數(shù)1

x

x2在任何區(qū)間(a

b)內(nèi)是線性無關的

這是因為對任意不全為0的k1

k2

k3

k1+k2x+k2x2不可能恒為零

線性相關與線性無關設y1(x)y2(x)yn(x)為定義在區(qū)間I上的n個函數(shù)如果存在n個不全為零的常數(shù)k1k2kn使得當xI時有恒等式k1y1(x)k2y2(x)knyn(x)0那么稱這n個函數(shù)在區(qū)間I上線性相關否那么稱為線性無關例如二.二階非齊次線性方程的解的結構:例如解的疊加原理第六節(jié)二階常系數(shù)齊次線性

微分方程一、定義n階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程:稱②為微分方程①的特征方程,①②其根稱為特征根.二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法例1.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解為定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.解特征方程為解得故所求通解為例2解特征方程為解得故所求通解為例3

求解初值問題解:

特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法特征方程為特征方程的根通解中的對應項注意n次代數(shù)方程有n個根,而特征方程的每一個根都對應著通解中的一項,且每一項各一個任意常數(shù).例4.的通解.解:特征方程特征根因此原方程通解為例5.解:

特征方程特征根原方程通解:例6為特解的4階常系數(shù)線性齊次微分方程,并求其通解.解:

根據(jù)給定的特解知特征方程有根:因此特征方程為即故所求方程為其通解為特征根為故所求通解為解特征方程為四、小結二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:〔1〕寫出相應的特征方程;〔2〕求出特征根;〔3〕根據(jù)特征根的不同情況,得到相應的通解.

特征方程為特征方程的根通解中的對應項思考與練習

求方程的通解.答案:通解為通解為通解為解答令那么特征根通解求微分方程的通解.一、

f(x)

Pm(x)e

x型§8.7二階常系數(shù)非齊次線性微分方程上頁下頁鈴結束返回首頁二、

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y

py

qy

Pm(x)e

x有形如y*

xkQm(x)e

x的特解

其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項式

而k按

不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2

下頁一、

f(x)

Pm(x)e

x

型

因為f(x)

Pm(x)e

x

3x

1

0不是特征方程的根

所以非齊次方程的特解應設為

y*

b0x

b1

把它代入所給方程

得

例1

求微分方程y

2y

3y

3x

1的一個特解

解

齊次方程y

2y

3y

0的特征方程為r2

2r

3

0

3b0x

2b0

3b1

3x

1

特解形式首頁

例2

求微分方程y

5y

6y

xe2x的通解

解

齊次方程y

5y

6y

0的特征方程為r2

5r

6

0

其根為r1

2

r2

3

2b0x

2b0

b1

x

因此所給方程的通解為

因為f(x)

Pm(x)e

x

xe2x

2是特征方程的單根

所以非齊次方程的特解應設為

y*

x(b0x

b1)e2x

把它代入所給方程

得特解形式解對應齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程的通解為對非齊次方程那么可設特解:其中為特征方程的

k

重根(k=0,1),二、例3

的一個特解

.解:此題特征方程故設特解為不是特征方程的根,代