江蘇省南通學(xué)科基地2021屆高三高考數(shù)學(xué)全真模擬試題（九）（解析版）

江蘇省南通學(xué)科基地2021屆高三高考數(shù)學(xué)全真模擬試卷(九)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知集合A={yly=f+2x+3}，B=<s\y=-^==1,則4nB=()

A.[2,3]B,[2,3)C.(2,3]D.(2,3)

【答案】B

【解析】

【分析】分別化簡集合A,集合8,然后取交集即可.

【詳解】A=y=x24-2x+3=(x+l)2+2|={y|y..2],By=1={x|x<3},

所以AcB=[2,3).

故選：B.

2.若復(fù)數(shù)z滿足iz=4—3z?中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】由給定等式求出復(fù)數(shù)z的，進(jìn)而求得結(jié)論.

【詳解】因為iz=4—3i,所以z=±3=-4i—3,

i

從而z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)(-3,-4)位于第三象限.

故選：C

3.哈六中開展勞動教育，決定在5月12日植樹節(jié)派小明、小李等5名學(xué)生去附近的兩個植樹點(diǎn)去植樹,

若小明和小李必須在同一植樹點(diǎn)，且各個植樹點(diǎn)至少去兩名學(xué)生，則不同的分配方案種數(shù)為()

A.8B.10C.12D.14

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理求解即可.

【詳解】當(dāng)小明和小李單獨(dú)去一個植樹點(diǎn)時，有2種不同的分配方案

當(dāng)小明和小李與另外一人去一個植樹點(diǎn)時，有2x3=6種不同的分配方案

則共有6+2=8種不同的分配方案

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

4.17世紀(jì)初，約翰?納皮爾在研究天文學(xué)的過程中，為簡化計算而發(fā)明了對數(shù).對數(shù)的發(fā)明是數(shù)學(xué)史上的重

大事件，恩格斯曾經(jīng)把對數(shù)的發(fā)明和解析幾何的創(chuàng)始、微積分的建立稱為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就.在進(jìn)行數(shù)

據(jù)處理時，經(jīng)常會把原始數(shù)據(jù)取對數(shù)后再進(jìn)一步處理，之所以這樣做是基于對數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函

數(shù)，且取對數(shù)后不會改變數(shù)據(jù)的相對關(guān)系，也可以將乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)換成加法運(yùn)算，將乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)

算，據(jù)此可判斷數(shù)2#(取電2B03010)的位數(shù)是()

A.108B.109C.308D.309

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，選令"=2嚴(yán)，再兩邊取對數(shù)化筒、計算、分析后就可以確定其位數(shù).

【詳解】記N=2*.因為=1024，

所以愴％=愴2/=1g21024=10241g2?1024x0.3010=308.224.

于是N=103°&224e(l03°8,K)3<?),又因為1()3。8是一個309位數(shù)，1()309是最小的31()位數(shù)，且N為整數(shù)，

所以數(shù)22m的位數(shù)是309.

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：事實上，任何一個正實數(shù)N都可以表示成N=axlO"(L,a<10,〃eZ)的形式，此時

lgN=〃+lga(0,,lga<l)).當(dāng)〃>0時，N是”+1位數(shù).

5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線3x+4y-5=0與圓》2+丁2=/(7>0)相交于人，〃兩點(diǎn)若

AB=2及，則圓的半徑廣為()

A.3B.2C.>/3D.五

【答案】C

【解析】

【分析】求出圓心到直線的距離，再由垂徑定理列式求解圓的半徑.

【詳解】圓f+y2=r”>0)的圓心為0(0,0),

1-51

圓心。到直線3x+4y-5=0的距離d=J,=1,

V3+4-

又AB=2&，；?/=『+(應(yīng)『=3，

則r=G,(r>0).

故選：C.

6.為了估計加工零件所花費(fèi)時間，為此進(jìn)行了4次試驗，測得的數(shù)據(jù)如下表:

零件數(shù)X(個)1357

加工時間y(分

0.5a22.5

鐘)

若零件數(shù)x與加工時間p具有線性相關(guān)關(guān)系，且線性回歸方程為》=0.36x+0.()l,則)?=()

A.1

B.0.8

C.1.09

D.1.5

【答案】B

【解析】

【分析】將樣本中心點(diǎn)代入回歸直線方程，解方程求得。的值.

_,._,.—I+3+5+7-0.5+42+2+2.55+a

【詳o解】依題意x=--------------=4,y=---------------------=——，

444

將(4,空］代入$=0.36x+0.01得號@=0.36x4+0.01,解得a=0.8.

故選：B

【點(diǎn)睛】本小題主要考查回歸直線方程過樣本中心點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.

7.在矩形ABCD中AC=1,AE±BD,垂足為E，則（而?通）?（麗?區(qū)）的最大值是（）

A.—B.-C.在D.—

27363

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)=AD=b,則。2+6=1，AE=ah,將（而?荏）?（行?再）用b表示，再利用導(dǎo)數(shù)

即可得到最大值.

【詳解】設(shè)AD=b,則Q2+/=I，AE=ab,

于是（而?荏）?（而?再）=（亞興麗y=a2b4=b4（l-b2）.

令t=〃，則0</<1，/（I—。?）=*（］_）

2

令/?）=r則/''?）=2，_3/.由/'Q）=o,得f=§.

當(dāng)時,當(dāng)住時,.故=/（|）=段.

fe（o,g）/（0>0；,1）f'（f）<0/?）1rax

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題引入邊作為變量，合理利用一元表示（而?女）?（函是解題的關(guān)鍵，求最

值即可利用導(dǎo)數(shù)，亦可利用三元均值不等式.

8.若函數(shù)/（x）為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)》》0時，/（x）=2,-2,則不等式/*-1）22/（為的解集為

【答案】B

【解析】

【分析】由偶函數(shù)定義寫出Ax）的解析式，然后分類討論解不等式.分三類：x<0,0<x<l,x>l.

【詳解】由題意得/（x）=2w-2,

所以不等式/(xT)..2/(x)即2|v-"-2..2(2w-2),亦即-2|t|+l+2..0.

當(dāng)X,0時,不等式為2-一2-,+2..0,顯然成立.

當(dāng)。時，不等式為戶-2%2一。，即2-2'+1.。令/=23則V<2,4T,。，即

「T-L,O,解得1<%，上叵，所以o〈蒼，log,上叵.

22

4

當(dāng)X..1時，不等式為21-2,+2..0,即2',,—,顯然不成立.

3

綜上，不等式/(x-l)..2/(x)的解集為—,log2

故選：B.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的奇偶性，考查解絕對值不等式.解題方法是分類討論，根據(jù)絕對值里

面式子的正負(fù)分類去掉絕對值符號，然后求解.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分.

9,已知數(shù)列｛4｝,｛4｝均為等比數(shù)列，則下列結(jié)論中一定正確的有()

A.數(shù)列｛。也｝是等比數(shù)列B.數(shù)列｛4,+〃｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列1g匕是等差數(shù)列D.數(shù)列｛1g(建/“)｝是等差數(shù)列

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的定義或通項公式判斷.

【詳解】設(shè)數(shù)列｛嗎的公比為9,數(shù)列也｝的公比為%,所以q="4"T,b“=b靖.

對于A，anbn=%姐「"=。自(2％)"T，從而數(shù)列｛a?bn｝的公比為qg,故A正確.

對于B,%+「=*1+姑尸,多與%不一定相等，所以數(shù)列｛4+"｝不是等比數(shù)列，故B錯誤.

對于C,1g義b

,從而數(shù)列〈lgj的公差為lg.故c正確.

a?T翳卜q

對于D,lg（a?；）=21g|a也|=21g|a閨+2（"-1）咽[%],從而數(shù)列｛lg（q%；）｝的公差為,D

正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的判斷.掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義是關(guān)鍵.判斷

方法有：（1）定義法；（2）通項公式法；（3）等差中項、等比中項法；（2）前"項和公式.特別注意等比

數(shù)列中各項均不為0.

22

10.已知方程』-----匚=l/eR）,則下列說法中正確的有（）

16+Z9-k

A.方程=1可表示圓

16+Z9^1

22

B.當(dāng)2>9時，方程一三-----匚=1表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓

16+Z9-k

C.當(dāng)一16〈人<9時，方程」------匚=1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線

16+Z9-k

D.當(dāng)方程』-----匚=1表示橢圓或雙曲線時，焦距均為10

16+左9-k

【答案】BCD

【解析】

【分析】分別將人的值代入各個命題，根據(jù)圓錐曲線方程的特點(diǎn)即可作出判斷.

22

【詳解】對于A,當(dāng)方程上-----匚=1可表示圓時，16+%=々一9>0,無解，故A錯誤.

16+&9-k

對于8,當(dāng)左>9時，—-----匚=」~+上二=1,l6+k>k-9,表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，故8

16+Z9-k16+kk—9

正確.

對于C,當(dāng)一16<9時-------工一=1,16+左>0,9-2>0,表示焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線，故C

16+Z9-k

正確.

對于。，當(dāng)方程工-----匚=1表示雙曲線時,。2=16+女+9—攵=25；當(dāng)方程工-----匚=1表示

16+Z9-k16+A9-k

橢圓時，/=16+4—（&-9）=25,所以焦距均為10,故。正確.

故選：BCD

11.已知函數(shù)/(x)=2sin2x與g(x)=-2cos2x,則下列結(jié)論中正確的有()

7T

A.將尸/⑴的圖像向右平移屋個單位長度后可得到尸g。)的圖像

B.將發(fā)/3+g⑺的圖像向右平移:個單位長度后可得到//⑴一g(x)的圖像

C.丁=/(幻的圖像與丁=8(幻的圖像關(guān)于直線1=9對稱

O

7F

D.>=/(x)+g(x)的圖像與y=/(%)一g(x)的圖像關(guān)于直線x=一對稱

4

【答案】AD

【解析】

【分析】由題意利用函數(shù)>=4而(5+夕)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論.

【詳解】對于A,/(x-3)=2sin2(x-?J=-2cos2x=g(x),A正確；

對于B,y=/(x)+g(x)=2sin2x-2cos2x=2式sin(2x-￡),

y=f(x)-g(x)=2sin2x+2cos2x=2血sin[2x+?),

f^x-^+f(x)-g(x),故B錯誤；

對于c,y=/(x)的圖像關(guān)于直線x=g對稱的圖像為/(f-x)=2夜sin(-2x+f),

844

顯然/(?-x)Kg(x)，故c錯誤；

對于D,函數(shù)y=/(x)+g(x)關(guān)于直線》二]對稱的圖象為y=/(,-x)+g(5-幻，

即y=2及sin2f--xl--=272sin2x+—=/(x)—g(x),故D正確.

_(2J4」I\)

故選：AD

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)/(x)關(guān)于直線x=a的對稱圖象為“2a-x),函數(shù)〃x)關(guān)于點(diǎn)(。⑼的對稱

圖象為y=2h-/(2a—x).

12.若非負(fù)實數(shù)。，b,。滿足〃+b+c=l,則下列說法中一定正確的有()

A./十^十^的最小值為§B.(〃+b)c的最大值為］

1LL4

C.ac+bc+ca的最大值為§D.ajb+Z?Jc的最大值為,

【答案】ACD

【解析】

【分析】由已知條件結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論，即可作出判斷.

【詳解】對于A,由/+。2..246,h2+c2..2hc,c2+a2..2ca,Wlei1+2b2+2c2,.lab+2bc+lea>兩

邊同時加上^+從十/,可得3(/+〃2+。2).,所以/+62+。2…“當(dāng)且僅當(dāng)

Q=〃=C=，時取等號，所以A正確.

3

2

fl-c+cY1

對于8,易得。+匕=1一C,所以(Q+力)C=(l一C)C,,I2J=4

當(dāng)且僅當(dāng)。+力=,，。=工時取等號，所以8不正確.

22

對于C,由a2+b2+c2..ab^-bc+ca，兩邊同時加上2"+2Z?c+2ca，得1=(a-^b+c)2..3(ab+bc+ca)，

所以，必+6c+c“，,，當(dāng)且僅當(dāng)”=0=c=，時取等號，所以C正確.

33

對于。，易得a=l-b-c,令&=x，&=y，所以

a^b+h\[c=(l—h—c)\[b+hy/c=(l—x2-y2^x+x2y=x—xi+xy(x-y),

3(y+x-y)3x3

?X-X+X?-------X-X4-X=XX3

I2)44

3(2、4

記/(x)=x—43,O^ijt1,利用導(dǎo)數(shù)易求得了(x),,/彳=人，所以。正確.

故選：ACD

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在用基本不等式求最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三相等.①一正：關(guān)系式中，各

項均為正數(shù)；②二定：關(guān)系式中，含變量的各項的和或積必須有一個為定值；③三相等：含變量的各項均

相等，取得最值.

三.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.《墨子?經(jīng)說上》上說：“小故，有之不必然，無之必不然，體也，若有端，大故，有之必然，若見之成

見也這一段文字蘊(yùn)含著十分豐富的邏輯思想，那么文中的“小故”指的是邏輯中的(選”充分條

件”.必要條件”“充要條件”既不充分也不必要條件'’之一填空)

【答案】必要條件

【解析】

【分析】通過理解古文，知“小故”是導(dǎo)致某個結(jié)果出現(xiàn)的幾個條件中的一個或一部分條件，結(jié)合必要條

件的定義可得答案.

【詳解】由“小故，有之不必然，無之必不然也”，知“小故”是導(dǎo)致某個結(jié)果出現(xiàn)的幾個條件中的一個或

一部分條件，故“小故”指的是邏輯中的必要條件.

故答案為：必要條件

92

14.已知拋物線G：V=-2Px(p>0)的準(zhǔn)線恰好與雙曲線C,:與-馬=1(4>0/>0)的右準(zhǔn)線重合，雙曲

ab

線a的左準(zhǔn)線與拋物線G交于P，Q兩點(diǎn)，且雙曲線的右頂點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離等于線段PQ的長，則

雙曲線c2的離心率為.

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線與雙曲線的準(zhǔn)線方程以及拋物線的通徑長列式可得c=3a,再根據(jù)雙曲線的離心率公式

可得結(jié)果.

222

【詳解】拋物線y2=—2內(nèi)(〃>0)的準(zhǔn)線為x=K,雙曲線［一］=1的右準(zhǔn)線為％=土，左準(zhǔn)線為

2礦廳c

2

x=--,在拋物線V=一2〃尢(〃>0)中，|PQ|=2p,

c24〃rr

所以<.,消去，得上一=。+幺，即3a2=〃c，所以c=3a,

八acc

2P=a+—

所以雙曲線的離心率e=-=3.

a

故答案為：3

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求雙曲線離心率的關(guān)鍵是得到關(guān)于A,c的等量關(guān)系，通過拋物線與雙曲線的準(zhǔn)線方

程以及拋物線的通徑長列式可得所要的等量關(guān)系.

15.《擲鐵餅者》取材于希臘現(xiàn)實生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強(qiáng)健的男子在挪鐵餅的過程中最

IT

具有表現(xiàn)力的瞬間.現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的手臂長約為im,

s/?

擲鐵餅者雙手之間的距離約為*m，"弓''所在圓的半徑約為1.25m,則挪鐵餅者的肩寬約為

m.（精確到0.01m）

【答案】0.39

【解析】

【分析】由求出圓弧所對圓心角大小，再由弧長公式即可求得.

【詳解】如圖，=OA=OB=1.25,△AOB中，過。作。于M,

572

則M是弦A8中點(diǎn)，AM=—，sinNAOM=處=-？-=史，NAOM=冬,

52

4

7FTT

則NAOB=2NAOM=一，“弓”所在的弧長/=—

2248

5乃714

所以其肩寬為土?一2x2=2,0.39.

848

故答案為：0.39

16.已知正三棱柱ABC-A4G的各條棱長均為2,則以點(diǎn)A為球心、2為半徑的球與正三棱柱各個面的交

線的長度之和為.

【答案】3兀

【解析】

【分析】分別考慮球與各個面的相交情況，并根據(jù)三棱錐棱長求得交線弧的半徑，從而求得交線長.

由圖知：球與口48。和△A4G，沒有交線；與四邊形和四邊形446。的交線是以點(diǎn)A為圓心

、2為半徑的,圓弧，故長為萬；與四邊形的交線是以8。長為直徑的半圓，故長為7.因此，交線

4

的長度之和為3萬.

故答案為：37t.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在①A,B,C成等差數(shù)列，②。，b,c成等差數(shù)列，③sinA=cosC這三個條件中任選一個，補(bǔ)

充到下面的問題中并作答.

問題：在口ABC中，角A,B,C的對邊分別為“，b,c,若5sinA=3sin3,且,求sinA

的值.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】答案見解析

【解析】

【分析】選①A,C,B成等差數(shù)列可得8=120。一A,然后結(jié)合5sinA=3sin/?=3sin(12O?！狝)，然

后結(jié)合差角正弦公式展開即可求解；

選②。，h,c成等差數(shù)列，2b=a+c,由sinA=3sin3,結(jié)合正弦定理及余弦定理可求；

選③sinA=cosC=sinT(T1-C),進(jìn)而可得A,C的關(guān)系，然后結(jié)合5sinA=3sin6及和差角公式展開可求.

【詳解】選擇條件①：在DABC中，因為A,C,8成等差數(shù)列，所以2C=A+B.又A+B+C=180°,

所以3c=180。，解得C=60°,所以8=120°—A.

因為5sinA=3sin6,所以5sinA=3sin(120°-A).

)

從而5sinA=3--cosA---sinA,即7sinA=3gcosA.

_2\2)

又sin?A+cos2A=1，且sinA>0,

所以sinA=±￡7,即sinA的值為之巨.

3838

選擇條件②：因為5sinA=3sin6,所以由正弦定理得5。=3乩

即sinA的值為豆1

14

選擇條件③：因為sinA=cosC=sin—C）>0,所以。e（。，萬"）,從而f—

JT7TTTTT

又AG(0,?),所以4=二一?；駻+J-C=TT,即A+C=2或A=C+勺.

2222

71713

右A+C=—,則5=—,所以5sinA=3sin5=3,即sinA=—.

225

TT37r

若4=。+—,又A+B+C=〃，所以5="-2A,

22

所以5sinA=3sin6=3sin已-2A=-3cos2A=6sin?A-3,即6sin2A—5sinA—3=0,

解得sinA=-----<0（舍去）或sinA=>1（舍去）.

1212

3

綜上，sinA的值為己.

5

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈

活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.其基本步驟是：

第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.

第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實施邊角之間的互化.

第三步：求結(jié)果.

已知等差數(shù)列的前〃項和為“，且外+邑=

18.｛q｝S20，S6=2S4,

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列也｝滿足伉=4,且％—勿=4凡，求數(shù)列〈彳一了的前〃項和7；

/7

【答案】（1）?！?2〃+1；（2）T=——.

n2n+l

【解析】

【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為由可得

（1）｛q｝d,4+S3=20,S6=2S4,q+d+3q+3d=20,

64+寸4=2（44+號^4）,解得q,d.即可得出見；

（2）設(shè)數(shù)列｛2｝滿足乙=4,且〃用一2=4%=8“+4,可得

ba-）+也h）+……+（打-幻+4=4〃2,￡=而匕=；（止7一七），利用裂項求和方

法即可得出.

【詳解】（1）設(shè)數(shù)列｛為｝的首項為為,公差為

因為。

2+§3=20,S6=2s4,

(%+d)+(3q+3d)=20,q=3,

所以《解得《

6q+15。=2(4q+6d),d=2.

所以數(shù)列的通項公式為

｛an｝4=2〃+1.

當(dāng)幾時,1=a+卜

(2).2bn—h[={h2-h^-\-(h3-^)"-----~^n-\)^\-----4a1，

所以仇=力2

1+4q+4a2+…+4an_j=4(1+3+5+???+2〃-1)=4n

當(dāng)〃時，2所以勿

=1b]=4=4xl,=4/,

于是-二—!—

_L=_1=lf_L_

2

bn-\4W-1(2n-l)(2n+l)2<2n-l2/?+l

111

所以（,=-------1---------F

"1—1%-I

1"I"1"I1"...11

3352〃-12〃+1

一4__1]_〃

512n+lJ2?+1'

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這

一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項技巧：

11(11A1

⑴;比.馬；(2)+k一冊);(3)

<n+k+?k

11<11>11ii

此外,

(2n-l)(2n+l)2(2〃-12/?+1J'〃(〃+1)(〃+2)2〃(〃+1)(〃+1)(〃+2)

需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤.

19.近年來，手機(jī)行業(yè)的競爭已經(jīng)進(jìn)入白熱化階段，各大品牌手機(jī)除了靠不斷提高手機(jī)的性能和質(zhì)量來提

升品牌競爭力，在廣告投放方面的花費(fèi)也是逐年攀升，用"燒錢”來形容毫不為過小明對某品牌手機(jī)近5年的

廣告費(fèi)投入（單位：億美元）進(jìn)行了統(tǒng)計，具體數(shù)據(jù)見下表.

年份代號X12345

廣告費(fèi)投入y5.86.67.28.896

并隨機(jī)調(diào)查了300名市民對該品牌手機(jī)的喜愛情況，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)見下表

喜歡不喜歡

50歲以下市民5()

50歲以上市民6040

（1）求廣告費(fèi)投入y與年份代號x之間的線性回歸方程；

（2）是否有99%的把握認(rèn)為市民的年齡與對該品牌手機(jī)的喜愛度具有相關(guān)性？

（3）若以這300名市民的年齡與對該品牌手機(jī)的喜愛度的情況估計整體情況，則從這300名市民中隨機(jī)選

取3人，記選到喜歡該品牌手機(jī)且50歲以上的市民人數(shù)為X.求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.

za-可(/-歹)2

附：①回歸直線中，=鼠+B，b=上―------------，a=y—/x;②％?=-~?叱”)K3

f(x.—可2)(a+Z?)(c+d)(a+c)S+d)

1=1

其中n—a+b+c+d.

k2.7063.8416.63510.828

P(/叫0.1000.050.0100.001

【答案】(1)y=0.98x+4.66；(2)有99%的把握認(rèn)為市民的年齡與對該品牌手機(jī)的喜愛度具有相關(guān)性;

3

(3)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：-

【解析】

【分析】(1)先求出年代號x及廣告投入費(fèi)用)，的平均數(shù)，再利用公求出分和&而得解;

(2)根據(jù)題設(shè)及表格中的信息完善2x2列聯(lián)表，算出72的觀測值并回答得解;

(3)求出隨機(jī)抽取1人，喜歡該品牌手機(jī)且50歲以上市民的概率，再求出隨機(jī)變量X的各個取值的概率

而得解.

【詳解】(1)依題意知元=1x(l+2+3+4+5)=3,y=-(5.8+6.6+7.2+8.8+9.6)=7.6,

5

所以Z(%-元)=4+1+0+1+4=10,

/=1

^.-%)(^.-7)=(-2)-(-1.8)+(-1)-(-1)+0-(-0.4)+1-1.2+2-2=9.8,

于是b=————=辭=。98,

一可一

/=1

所以4=歹一放=7.6—0.98x3=4.66,

故廣告費(fèi)投入y與年份代號X之間的線性回歸方程為y=0.98X+4.66；

(2)補(bǔ)充完整的2x2列聯(lián)表如下:

喜歡不喜歡

50歲以下市民15050200

50歲以上市民6040100

總計21090300

由.2300x(150x40—50x60)2300x3000x3000一一。/

所以力2=------------------------------L.=----------------------------?7.143>6.635,

200x100x210x90200x100x210x90

故有99%的把握認(rèn)為市民的年齡與對該品牌手機(jī)的喜愛度具有相關(guān)性；

（3）依題意知隨機(jī)變量X的可能取值為0，I，2,3.

從這300名市民中隨機(jī)抽取1人，是喜歡該品牌手機(jī)且50歲以上的市民的概率為㈣=」,

3005

所以p（x=o）=1—；）

P(X=1)=C；(\1?148

]-----一~----,

5)5125

P(X=2)=C；.)哈，

Tj1

P(X=3)=C；-Jj-125

故X的分布列如下：

X0123

6448121

P

125125125125

因為X~Bp,(),所以E(X)=3x[=|.

【點(diǎn)睛】判斷隨機(jī)變量是否服從二項分布：一是要看在一次試驗中是否只有兩種試驗結(jié)果，且兩種試驗結(jié)

果發(fā)生的概率分別為。，1-〃；二是看是否為〃次獨(dú)立重復(fù)試驗，且隨機(jī)變量是否為某事件在這〃次獨(dú)立

重復(fù)試驗中發(fā)生的次數(shù).

20.如圖，在四棱錐P—A6CD中，24,平面ABC。，AD//BC,BC=2AD,

AP=AB=AD=CD=2.

（1）求證：平面PAC_L平面Q4B；

（2）若E為棱PB上一點(diǎn)（不與P，3重合），二面角E—CD—P的余弦值為區(qū)，求生的值.

14PB

【答案】（1）證明見解析；（2）

3

【解析】

【分析】（1）通過線面垂直證明面面垂直；

（2）先設(shè)方=幾方，然后兩個平面的法向量用；I表示，由二面角的余弦值建立方程，然后通過換元計算

可得.

【詳解】（1）證明：取BC的中點(diǎn)/，連接AM.

因為AD/ABC,BC=2AD，

所以AO//MC,AD=MC,

從而四邊形AMC。為平行四邊形,

所以AM=OC=2,

于是所以AB1AC.

2

因為R4J_平面ABC。，ACu平面ABC。，所以P4_LAC.

又AB，Q4u平面Q46，ABr>PA=A，所以AC,平面。鉆.

又ACu平面PAC,所以平面H4C_L平面RW.

(2)由(1)知AB，AC,A尸兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

所以8(2,0,0),。(0,26,0),D(-l,V3,0),尸(0,0,2).

設(shè)屋=2萬，0<A<1,則成=(1,6,0)，PC=(0,273,-2),厘=4方=(22,0,-2%),

于是比=定—而=(一2%2月2+24).

令弘=1,得］=（一G,1,6）.

設(shè)平面ECD的一個法向量為々=(x,,y2,z2)

n^DC=0x2+6y2=0，

則即《

%?EC-0-22x,+2^\/3y2+（2丸-2）z?=0.

令必=1，得〃2=(一6，1，6?三5)

.1+4.

令1=------,則，＞1.

1-2

因為二面角E—CD—P的余弦值為受互

14

|4+3/|5s

所以cos(〃|,〃2

幣."+3/

化簡得13f2—32f+12=0,即。-2)(13/-6)=0,

解得，=2或/=?(舍去)，

解得力=一，因此——PE值為上|.

3PB3

21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓￡+《=l（a＞。＞0）的離心率為且，兩條準(zhǔn)線之間的距離為

a~b~2

8百

"V

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)橢圓。的上頂點(diǎn)為8,過點(diǎn)的直線/與橢圓。相交于"，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M,N分別位于第

一、第三象限），若直線與BN的斜率分別為勺，k2,求仁山2的取值范圍.

【答案】（1）—+y2=1：（2）f——,0.

4-I4J

【解析】

【分析】（1）根據(jù)離心率及準(zhǔn)線距離求得參數(shù)。，4c,從而寫出橢圓方程.

（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，得到韋達(dá)定理，用交點(diǎn)坐標(biāo)表示出匕?七，代入韋達(dá)定理，可以求得關(guān)于左

的表達(dá)式，根據(jù)單調(diào)性判斷范圍即可.

【詳解】（1）設(shè)橢圓。的焦距為2c.

由題意得￡=走，竺=述，解得。=2,c=5所以匕=1，

a2c3

2

因此橢圓C的方程為r二+/=1.

（2）設(shè)N（x2,y2）,直線/的方程為y+1=?x+l）,即丁="+人一1,

將它代入橢圓C的方程，整理得f+4(日+女—1)2-4=0,

即（1+4&2）/+（842—8左）*+422—8左=0,

8k-8k2止-8k

所以王+々=

1+4公1+4公?

因為點(diǎn)M，N分別位于第一、第三象限，由圖易知，該直線的邊界點(diǎn)應(yīng)取到上頂點(diǎn)(0/)及右頂點(diǎn)(2,0),

易求得，＜女＜2,所以之一2/0,

3

于是jT%T_M》+1)2MV+1)-2

k~XyX-,+k（k—2）（X]+/）+（左一2）~

%尤2

,4k2-8k..c、Sk-Sk2.c、

k2-------丁+k（zk-2）------丁+（z%-2）

1+4公1