2022年山東高考數(shù)學仿真卷十（解析版）

備戰(zhàn)2022年山東高考數(shù)學仿真卷（10）

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）已知A,5均為R的子集，且An?B）=A,則下面選項中一定成立的是（）

A.BGAB.A（j8=RC.始8=。D.A=dRB

【答案】C

【詳解】?.■4。?8）=4,

故選：C.

2.（5分）2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕.某學校社團將舉辦慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年革命歌曲展演.現(xiàn)

從《歌唱祖國》《英雄贊歌》《唱支山歌給黨聽》《毛主席派人來》4首獨唱歌曲和《沒有共產(chǎn)黨就沒有新

中國》《我和我的祖國》2首合唱歌曲中共選出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必須是合唱，則不同

的安排方法共有（）

A.14B.48C.72D.120

【答案】D

【詳解】根據(jù)題意，在2首合唱歌曲中任選1首，安排在最后，有2種安排方法，

在其他5首歌曲中任選3首，作為前3首歌曲，有&=60種安排方法，

則有2x60=120種不同的安排方法，

故選：D.

3.（5分）農(nóng)歷辛丑牛年將至，全國上下都在為春節(jié)的到來做準備.很多同學發(fā)現(xiàn)今年的春節(jié)在2月中旬，

比以往要晚，這便是農(nóng)歷和公歷周期不同而導致的.當農(nóng)歷和公歷之間的時間差接近一整月時，便會出現(xiàn)

“閏月”現(xiàn)象.閏月是一種歷法置閏方式，閏月特指農(nóng)歷每2至3年增加的一個月，以協(xié)調(diào)農(nóng)歷年和回歸

年的矛盾，防止農(nóng)歷年與四季脫節(jié).農(nóng)歷以月球繞地球定歷法，農(nóng)歷以朔望月的長度29.5306日為一個月的

平均值，全年12月，比回歸年的365.2422日少10.88天，積以置閏.所以每三年要閏一個月，每五年閏兩

個月，每十九年閏七個月，閏月加在某月之后，稱為閏某月.已知2012年閏4月、2014年閏9月、2017

年閏6月、2020年閏4月，則下一次出現(xiàn)閏月的年份為（）

A.2021年B.2024年C.2022年D.2023年

【答案】C

【詳解】因為每三年要閏一個月，每五年閏兩個月，每十九年閏七個月，

而2017年閏6月、2020年閏4月，所以2021年沒有閏月，

2018年-2022年這五年閏兩個月，則2022年將有閏月.

故選：C.

4.（5分）己知橢圓C:?+?=l,過點P（l,g）的直線交橢圓C于A、B兩點,若P為43的中點，則直

線43的方程為（）

A.3x-2y-2=0B.3x+2y—4=0C.3x+4y—5=0D.3x-4y-l=0

【答案】B

【詳解】設A（q,x）,B（X2,y2）,

貝I]+4^=12,34+4y；=12,

.,.3（X1+々）（%一*2）+4（x+%）（%—％）=0?

恰為線段43的中點，即有西+三=2,y+%=l,

.,.3（%-x2）+2（yt-y2）=0,

直線AB的斜率為k==匹=

刀-x22

ia

直線AB的方程為?_/=_]（了_1）,

即3x+2y—4=0.

由于尸在橢圓內(nèi)，故成立.

故選：B.

5.（5分）新春將至，在某市的廣場上正展出一件棱長為20〃?的正方體展品以慶祝新春，并在以展品底面

中心為圓心且半徑為20機的圓上設置觀光步道，游客只能在觀光步道上參觀展品.則游客隨意走到觀光步

道的某一位置，能同時看到展品的兩個側(cè)面的概率為（）

1

B.-C.D.-

6543

【答案】D

【詳解】圓周長為24=404，在如圖陰影對應的觀光步道上能同時看到兩個側(cè)面,

因為AD=20,所以ZAOC=30。，

22

同理可得/8OE=30。，則NAQN=3O。，

故弧長AB為30°〃.20=也,

18003

所以陰影部分的總弧長4、也=駟，

33

407r

所以能同時看到展品的兩個側(cè)面的概率為「=」一='.

40乃3

故選：D.

A^-e—~^D

3］上的大致圖象為（）

【答案】B

【詳解】〃-X）=（-*H：（T）=X'COSX

，國=—/(?，

則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，故排除C；

又因為/(1)="＜；，故排除A,D；

故選：B.

7.(5分)已知函數(shù)/*)=x+^,若正實數(shù)加、〃滿足了(桃-9)+/(2〃)=2,則4+上的最小值為(

\+exmn

)

QQ

A.8B.4C.-D.-

39

【答案】D

【詳解】函數(shù)/(x)=x+^^,

\+ex

所以f(-x)=-x+-~—，

\+ex

所以/(x)+/(r)=2?

由于函數(shù)〃%)=》+二一在定義域上單調(diào)遞增，

\+ex

故正實數(shù)機、〃滿足/(9)+/(2n)=2,

故9—m=2n,

所以加+2〃=9，

所以2+2=\(〃7+2〃)(2+3=工(4+例+')…Ixa+zax色(當且僅當買旭=2〃時，等號成立).

mn9mn9mn99

故選：

8.(5分)在菱形/IBS中，AB=6,ZA=60°,連結(jié)沿皮)把AABD折起，使得二面角A-3D-C

的大小為60。，連結(jié)AC，則四面體ABC￡)的外接球的表面積為()

A.134B.244C.36萬D.52萬

【答案】D

【詳解】如圖，取比)的中點記為O,連接OC,OA,

分別取ABCD與MBD的外心E與F,

過這兩點分別作平面8QC、平面42的垂線，交于點P，

則P就是外接球的球心，連接OP，CP,

Z4OC為二面角A-8D-C的平面角為60。，

則A40c是等邊三角形，其邊長為6x^=36,

2

OE=-OC=-x3>/3=^，

33

在APOE中，ZPOE=30°,P￡=OE-tan3O0=73x—=1.

3

XCE=|oC=2x/3.PC^R=\/PE2+CE2=sjl2+(273)2=V13,

則四面體ABCD的外接球的表面積為4》x(舊y=521.

故選：D.

多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9.（5分）已知復數(shù)z=G+i（i為虛數(shù)單位），，為z的共規(guī)復數(shù)，若復數(shù)z0=Z,則下列結(jié)論正確的是（）

Z

A.z0在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限

B.匕|=1

C.Z。的實部為:

D.z（）的虛部為--

【答案】ABC

【詳解】

2

■,=I==（73-Z）

,,Z°~Z~y/3+i~（-J3+z）（＞/3-z）

3-2折+尸2-2gi1E.

~（百產(chǎn)+戶一4-22Z'

則z。在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限，故A正確;

Iz0|={(卞？+(-手了=1,故5正確;

z0的實部為g,故C正確；

z。的虛部為-3,故。錯誤.

2

故選：ABC.

10.(5分)已知a>0,Z?>0,a+2b=\,下列結(jié)論正確的是()

A.1+2的最小值為9B.?+/的最小值為正

ab5

C.log2Q+log2〃的最小值為一3D.2"+4〃的最小值為20

【答案】AD

【詳解】因為a>0,b>0,a+2b=\,

匚匚「I1212、/?、「2b2a__12b2a.

所以—I—=(z—I—)(a+2b)=5H-----1..5+2J---------=9,

ababab\ab

當且僅當a=b時取等號，2+2取得最小值9,A正確；

ab

2i

a2+b2=b2+(l-2b)2=5b2-4b+1=5(b-)2+，

71

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當人=士時，上式取得最小值上，4錯誤；

55

因為1=々+勸..26石，當且僅當a=2h=,，即〃=’力=」時取等號，

224

所以ab,，,

8

log2a+log2b=log2ab?-3,即最大值-3，C錯誤;

2"+型2后兩=20,當且僅當a=2b=！，即。=」,。=工時取等號，此時2"+4"取得最小值2虛，。正

224

確.

故選：AD.

11.(5分)已知拋物線丁=2px的準線為/,焦點為F,原點為O,過尸的直線交拋物線于點/、N,M

在第一象限也=3,分別過M、N作準線的垂線于尸、Q,直線的傾斜角為a.則下列說法正確

|NF|

的是()

A.媼=百P

sin2a

C.M、O,。三點共線D.以為直徑的圓與y軸相切

【答案】ACD

【詳解】設M(%,x),N(w，y2),

由題意知，直線MN的方程為y=A(x-^),且攵＞0,

將其與y2=2〃龍聯(lián)立，消去y得，公f一(二p+2p)x+_l22P2二。，

4

Xy+%2=〃+JCD，X]X2=~~

\MF\.

???-------=3,

\NF\

3(X+-^),即xp③,

/.Xj+-^=2]-3X2=

_3i

由②③解得，Xj=—/?,工2=—P，

26

代入①得，-p+-p=p+^-,解得％2=3,

26H

???k＞。，：.k=6，即選項A正確；

把Xi=3〃，/=,〃分別代入)p=2px中，可得M(3〃，Gp),N(Lp,--p)y

2~6263

.A,8、4百

,?y-%=?3p-(--^p，

.c一1SG,、_lp462

??SAMOV=耳|0歹＞(乂一%)=5乂5、一〃二7〃，

G

由選項A可知，左=G=tan&,/.sina=-^,

2

￡

p他

-=￥32

33即選項5錯誤;

-

4

?.?"。_1準線/于。，，。（一；〃，--楙.），

.,_2V|2A/3

-KOM_，KOQ-，

：.M,。、。三點共線，即選項C正確；

，6p），尸（；〃，0）,

.-JMF\=2p,線段MF的中點坐標為（p,等p）,

?.?線段的中點橫坐標恰為|MF|的一半，

.?.以為直徑的圓與y軸相切，即選項O正確.

故選：ACD.

0

12.（5分）如圖，直四棱柱ABCD-AMGR中，底面ABCD為平行四邊形，AB=AA,=1A￡>=1,ZR4D=60,

點P是半圓弧AA上的動點(不包括端點)，點Q是半圓弧BC上的動點(不包括端點)，則下列說法正

A.四面體P8CQ的體積是定值

B.?萬用的取值范圍是(0,4)

C.若GQ與平面A38所成的角為〃，則tane>(

D.若三棱錐尸-BCQ的外接球表面積為S,貝USe[4不，13萬)

【答案】BCD

【詳解】對A：在四棱柱ABCO-A4GR中，點P到面ABCZ)的距離為1,

則Vp-*m=；dxgBCxh=；h,

由于“不為定值，故/_此2不為定值，故A錯誤；

對3：在次△APR中，cos/"AP=f,

所以而?“=福?麗=|￡>,I-|AP|cosZD,A,P=4cos2ZD(/I,P,

因為NAAPe(0,1),所以cosNAAPeQl),

所以A￡i-A下的取值范圍是(0,4),故B正確；

對C：由于CC,±面ABCD,所以C?與面ABCD所成的角為NC、QC,

所以tane=9&=—L,因為CQe(0,2),所以tan?！?，故C正確；

CQCQ2

對。：以O為坐標原點，DB、DC,0A所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示坐標系,

貝0,0),C(0,1,0),4(百，-1,1),R(0,0,1),

線段8c的中點g，0)，線段A2的中點N(手，,1),

設球心0(苧，g,點P(x,y,1),

則(x--^-)2+(y+~)2=1,

__c1

由|。戶|二|08|,可得2L_)2+(y+—)2+(l—，)2=1+，2，

2*2

整理可得2/=(工一等)2+(y-；)2=1一(y+g)2+(y一g)2=l-2y,

則I=』-y,

2

因為一1<%g,貝h=g-ye[O,|),|OB|=V1+?2efl,孚)

所以S=4乃|0聞2e[4;r,13%)，故。正確；

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）設X是一個離散型隨機變量，其分布列為:

X123

1一夕2

Pq-q

2

則X的數(shù)學期望為.

【答案】1+—

2

【詳解】g+j+q_/=l,解得q=

所以EX=lx：+2x（l-亭+3x（1-g）=l+g.

故答案為：1+立.

2

14.（5分）二項式（3X+』）6（〃GN*）的展開式中了?的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

【答案】4860

【詳解】二項式(3x+2)6的展開式的通項公式為7；M=c；.(3x)6，(2)'=a-36-J2”6-2r,廠=0,…6,

XX

令6-2r=2,求得r=2,故開式中含V項系數(shù)為C：-S*=4860,

故答案為：4860.

22

15.(5分)在雙曲線「―5=1(a>0力>0)中，O為原點，耳，F(xiàn),分別為雙曲線的左、右焦點，A為雙

a-b'

曲線的左頂點.在過一、三象限的漸近線上取一點M,使得18Ml=6,延長入〃交另一漸近線于點N,

連接HN.若點A、O、M.N四點共圓，且此圓經(jīng)過AN的中點，則雙曲線的離心率為.

【答案】2

【詳解】由雙曲線的方程可得漸近線方程為：y=±-x,且居(c,0),A(-a,0),

a

設過第一，三象限的漸近線方程為4：y=gx,

b

-c

因為I居M|=b,口.點F、到直線4的距離為d=；—==b，

所以寫則直線gM的斜率為氏=-2

.2

所以直線的方程為：y=-q(x-c)與直線y=-聯(lián)立解得/，

baa"-b'

又A,O,M,N四點共圓，由則N4_Lx軸，

所以赤=-a=Wr，化簡可得c2-2/-ac=0,

a-b

即e?-e-2=0,解得e=2或—1(舍去)，

所以雙曲線的離心率為2,

故答案為：2.

16.(5分)已知一張紙上畫有半徑為2的圓O,在圓。內(nèi)有一個定點A,且。4=1,折疊紙片，使圓上某

一點A'剛好與A點重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕，當A取遍圓上所有點時，所有折痕與

04'的交點形成的曲線記為C,則曲線C上的點到圓O上的點的最大距離為.

【答案】-

2

【詳解】以。4中點為G坐標原點，0A所在直線為x軸建立平面直角坐標系.

可知O(-Lo)，A(-.O),設折痕與or和AA分別交于M,N兩點，

22

則MN垂直平分AA,AM，H似41,

又v|A'O|=|MO|+|A'M|,:\MO\+\MA\=2,

.?.M的軌跡是以O,A為焦點，2為長軸的橢圓.

的軌跡方程C為丁+」-=1,

3

曲線C上的點到點O距離的最大值為d=\+-=~,

22

曲線。上的點到圓O上的點的最大距離為d+r=Z.

2

故答案為：--

四.解答題(共6小題，滿分7()分)

17.(10分)在①asin(A+C)=6cos(A-馬，②l+2cosCcos8=cos(C-3)-cos(C+8),③

2tang=--這三個條件中任選一個，補充到下面的橫線上并作答.

tanA+tan8c

問題：在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，b,c,且匕+°=26，a=瓜，—.求AABC的

面積.

【答案】見解析

【詳解】選①asin(A+C)=/2COs(A-匹)，

TT

由正弦定理得sinAsin3=sinBcos(A----),

因為0v3<%,

所以sin8>0,

.I

月f以sinA=cos(A--)=-^cosA+—sinA,

62

jr

即cos(A+—)=0，

因為OvAv%，

所以A，,

3

a2=b2+c2—bcib+c=2G,a=瓜,

所以be=2,

所以=；0csinA=gx2xsin(=等.

選②因為1+2cosCeosB=cos(C-B)-cos(C+B),

所以1+2COSCCOS3-COS(C-8)+COS(C+8)=0,

整理得cosA=」,

2

因為0vAv乃，

所以A=^

3

因為。2=人2+/—力。，匕+c=2G，a=\f6，

所以be=2,

所以心8c

2232

2tanBb

選③

tanA+tanBc

2tanBsinB

由正弦定理得,--?

tanA+tanBsinC

2sin5

sinB

所以cos8

sinAsinBsinC

-----------1-----------

cosAcosB

2sinBcosAsin3

所rr以----------=-----，

sinCsinC

因為sin5wO,sinCVO,

所以cosA=—,

2

因為AG(0,T),所以A=工，

3

因為/=/+，一，/?+c=2\[3,a=V6,

所以be=2,

所以%配-Z?csinA=-x2xsin-=—

2232

18.(12分)已知等差數(shù)列的首項為2,前〃項和為S〃，正項等比數(shù)列｛2｝的首項為1,且滿足%=2%,

S$=4+04.

(1)求數(shù)列｛4｝，｛2｝的通項公式;

(2)設g=(—l)"log3sz,+10g3〃，求數(shù)列｛%｝的前26項和.

,,_|

【答案】(1)a?=2+2(n-l)=2n,bn=l-3"-'=3；(2)328

【詳解】(1)設等差數(shù)列｛4｝的公差為d,等比數(shù)列｛〃｝的公比為q,

4+2d=2bq

%=2b]

所以2=><.5x4，又q=2，4=1,

Ss=a+A5“+—-—ci=b、q+b、q

所以/-%=0,

因為數(shù)列也｝是正項等比數(shù)列，所以q=3,則d=2,

所以a,,=2+2(〃-1)=2",bn=L3"T=3"T.

gc_?(2+2n)_

(2)Sn------------=+1),

n

則c?=(-1)"log,Sn+log,bn=(-1)"log3[n(n+1)]+log,3~'=[(-1)"log3n+(-1)"log3(n+l)]+n-l,

所以數(shù)列｛g｝的前26項和：

石6=(-log31-log,2+0)+(log,2+log33+1)+(-log33-log3+2)+...+(-log525-log326+24)+(log326+log327+25)

=-log,1+log327+26(°；25)=3+325=328.

19.(12分)如圖，四邊形回防是矩形,平面轉(zhuǎn)。1.平面他所，。為8C中點，ZCAB=12O°,AB=AC=4,

AF=>/6.

(1)證明：平面4)廣，平面BCF;

(2)求二面角尸的余弦值.

【答案】（D見解析；（2）—

3

【詳解】（1）證明：?.,AB=AC,。為BC中點，.?.ADJ.BC，

???A3￡戶是矩形，F(xiàn)A^AB,

?.?平面ABCJ_平面AfiE戶，平面ABCC平面AB所=他，

AFu平面平面ABC，

???BCu平面ABC,/.AFA.BC,

.BC±AF,AOu平面A￡>F,AF^\AD=A,，8C_L平面A￡>廠,

又3Cu平面BCF,平面ADF，平面BCF.

（2）由（I）知AF_L平面ABC,

.?.以A為原點，在平面ABC中過A作4?的垂線為x軸，為y軸，AF為z軸，建立空間直角坐標系,

則A（0,0,0）,F（0,0,屈）,8（0,4,0）,C（26，-2,0）,E（0,4,遙），

:.D(g,1,0),而=(G1.0),而=(0,0,V6),BC=(2^,-6,0),

由（1）知覺=（26,-6,0）是平面45尸的一個法向量,

設平面ADE的一個法向量為=（x,y,z）,

n-AD=>J3x+y=0r-廠、

則l，取x=l,得/I=1萬=(1,—>J3，2V2),

n?AE=4y+V6z=0

??.cos<%而>=".吟=浮尸=2

|n|-|BC|2V3-4V33

?.?二面角尸-AD-E是平面角是銳角,

.??二面角尸-AD-E的余弦值為史.

3

20.（12分）為更好的選拔實用性、全面性人才，2020年山東省進行新高考改革.至此，文科生、理科生

的分類方法退出了歷史舞臺.山東省新高考由普通高等學校招生統(tǒng)一考試（語文、數(shù)學和外語）和山東省

普通高中學業(yè)水平等級考試（3門選考科目）組成.其中，普通高等學校招生統(tǒng)一考試按原始分每科總分150

分和山東省普通高中學業(yè)水平等級考試按等級分每科總分100分計入總成績，總分750分.山東省新高考

改革后，試題難度有所上升.今日山東創(chuàng)新聯(lián)盟數(shù)學調(diào)查小組對某市5萬高考應屆生關于“新高考數(shù)學和

新高考語文哪一個更難”問題進行了調(diào)查，調(diào)查部分結(jié)果如表.已知女生認為“新高考數(shù)學比新高考語文

難”的人數(shù)是男生的L75倍.

調(diào)查表新高考數(shù)學比新高考語文難新高考語文比新高考數(shù)學難總計

女生0.75萬

男生2.5萬

總計2.25萬5萬

(1)完成上述調(diào)查表.

(2)將頻率視為概率.按分層抽樣的方法在該市某中學某班中抽取10名女生和10名男生作為樣本，再從

這20人中隨機抽取4人.設P(X)為4人中認為“新高考語文比新高考數(shù)學難”的女生人數(shù)有X人的概率,

求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.

【答案】見解析

【詳解】(1)由題意可得

調(diào)查表新高考數(shù)學比新高考語文難新高考語文比新高考數(shù)學難總計

女生1.75萬0.75萬2.5萬

男生1萬1.5萬2.5萬

總計2.75萬2.25萬5萬

(2)由題意，抽取的10名女生中，認為“新高考語文比新高考數(shù)學難”有10x吆=3名,

2.5

所以隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,

Cp28

p（X=0）=

^=57

3

尸（x=l）=罟c'c^8

。2019

C?:8

p（X=2）=

495

P（X=3）=野■1

285

所以隨機變量X的分布列為:

X0123

P28881

571995285

數(shù)學期望E（X）=0x空+1X§+2X§+3X-L=3

5719952855

21.(12分)已知一個半徑為3的圓的圓心在拋物線Uy2=2px(p>0)上，該圓經(jīng)過坐標原點且與C的準

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線/相切.過拋物線。的焦點廠的直線交。于4,B兩點，過弦43的中點M作平行于x軸的直線與直

線。4,03,/分別相交于P,Q,