復(fù)變函數(shù)與場論簡明教程：復(fù)變函數(shù)的積分

復(fù)變函數(shù)的積分

3.1復(fù)變函數(shù)積分的概念3.2柯西-古薩基本定理3.3復(fù)合閉路定理3.4原函數(shù)與不定積分3.5柯西積分公式3.6解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)3.7調(diào)和函數(shù)3.1復(fù)變函數(shù)積分的概念

1．積分的定義

定義設(shè)函數(shù)f(z)定義在區(qū)域D內(nèi)，C為D內(nèi)起點(diǎn)為A

終點(diǎn)為B的一條光滑有向曲線，把曲線C任意分成n個(gè)弧段，設(shè)分點(diǎn)為

A=z0,z1,z2，…,zk－1,zk，…,zn=B

在每個(gè)弧段(k=1，2，…，n)上任意取一點(diǎn)ζk(見圖3.1)，作和式其中,Δzk=zk－zk－1。記Δsk為弧段的長度，。當(dāng)n→∞，且δ→0時(shí)，若不論對C的分法及ζk的取法如何，Sn有唯一極限，則稱此極限值為函數(shù)f(z)沿曲線C的積分，記作若C為閉曲線，則沿此閉曲線的積分記作顯然，當(dāng)C是x軸上的區(qū)間a≤x≤b，而f(z)=u(x)時(shí)，此積分定義與一元實(shí)變函數(shù)的定積分定義相同。圖3.1

2．積分的計(jì)算

（1）若f(z)在區(qū)間D內(nèi)處處連續(xù)，令f(z)=u(x,y)+

iv(x,y)，其中u(x,y)及v(x,y)均為D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，dz=dx+idy，則容易得到積分計(jì)算公式:也就是說，復(fù)變函數(shù)的積分可以通過兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的線積分來計(jì)算。(3.1.2)（2）設(shè)光滑曲線C由如下參數(shù)方程給出：

z=z(t)=x(t)+iy(t),α≤t≤β

(3.1.3)

參數(shù)t增加的方向?yàn)镃的正方向，

α及β對應(yīng)于C的起點(diǎn)A

及終點(diǎn)B，并且有當(dāng)α<t<β時(shí)，z′(t)≠0。根據(jù)線積分

的計(jì)算方法，有(3.1.4)上式右端可以寫成于是如下計(jì)算積分公式:(3.1.5)若C是由C1,C2,…,Cn等光滑曲線段依次相互連接所組成的按段光滑曲線，則定義(3.1.6)［例1］計(jì)算的值，其中積分路徑如圖3.2所示，分別為：

(1)沿從原點(diǎn)到點(diǎn)z0=1+i的直線段C1；

(2)沿從原點(diǎn)到點(diǎn)z1=1的直線段C2與從z1到z0的直線段

C3所接成的折線。圖3.2解(1)直線段C1的方程可寫作:

C1∶z=t+it,0≤t≤1

在C1上，z=t－it，dz=(1+i)dt。于是

(2)直線段C2，C3的方程分別為

C2∶z=t,

0≤t≤1

C3∶z=1+it,0≤t≤1

所以有［例2］計(jì)算的值，其中積分路徑C同上例。解

(1)沿積分路徑C1：

(2)沿積分路徑C2→C3：［例1］中沿不同路徑積分值不同，而［例2］中積分值與路徑無關(guān)。實(shí)際上，把這兩個(gè)積分按第一種計(jì)算方法寫成二元實(shí)變函數(shù)線積分形式：(3.1.7)(3.1.8)［例3］計(jì)算，其中C為圓周：|z|=2。

解積分路徑的參數(shù)方程為

z=2eiθ,0≤θ≤2π

dz=2ieiθdθ

所以［例4］計(jì)算，其中C為以z0為中心，r為半徑的正向圓周(見圖3.3)，

n為整數(shù)。圖3.3解C的方程可寫作

z=z0+reiθ，0≤θ≤2π

所以(3.1.9)

3．積分的性質(zhì)

從積分的定義可以推得下列與實(shí)變函數(shù)定積分相類似的性質(zhì)：(3.1.10)(3.1.11)(3.1.12)(3.1.13)(4)

3.2柯西-古薩基本定理

設(shè)f(z)=u+iv在單連通域B內(nèi)處處解析，且f′(z)在B內(nèi)連續(xù)，C為B內(nèi)任意一條簡單閉曲線（見圖3.4）。圖3.4根據(jù)式(3.1.2)，有由格林公式與柯西-黎曼方程(路線C取正向)得其中，D是C所圍的區(qū)域。柯西-古薩(Cauchy－Goursat)基本定理若函數(shù)f(z)在單連通域B內(nèi)處處解析，則函數(shù)f(z)沿B內(nèi)的任意一條閉曲線

C的積分為零，即

(3.2.2)

這個(gè)定理又稱為柯西積分定理。3.3復(fù)合閉路定理

設(shè)函數(shù)f(z)在多連通域D內(nèi)解析，C為D內(nèi)的任意一條簡單閉曲線，若C的內(nèi)部完全包含于D，則f(z)在C上及其內(nèi)部解析，容易得到

現(xiàn)在我們假設(shè)C及C１為多連通域D內(nèi)的任意兩條(正向?yàn)槟鏁r(shí)針方向)簡單閉曲線，C１在C的內(nèi)部，以C及C１為邊界的區(qū)域D1全包含于D。作兩條不相交的弧段，它們依次連接C上某一點(diǎn)A到C１上的某一點(diǎn)A′以及C１上某一點(diǎn)B′(不同于A′)到C上的一點(diǎn)B，而且此兩弧段除去它們的端點(diǎn)外全包含于D1(見圖3.5)。圖3.5由圖3.5可見，AEBB′E′A′A及AA′F′B′BFA形成兩條位于多連通域D內(nèi)的簡單閉曲線，它們的內(nèi)部全含于D。于是有將上面兩式相加，得即(3.3.1)由式(3.3.1)可得或者(3.3.2)上式說明了一個(gè)很重要的閉路變形原理：在區(qū)域內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分,不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值，只要在變形過程中曲線不經(jīng)過函數(shù)f(z)不解析的點(diǎn)。

復(fù)合閉路定理設(shè)C為多連通域D內(nèi)的一條簡單閉曲線，C1,C2,…,Cn是在C內(nèi)部的簡單閉曲線，它們互不包含也互不相交，并且以C,C1,C2,…,Cn為邊界的區(qū)域全含于D(見圖3.6)。若f(z)在D內(nèi)解析，則成的復(fù)合閉路(其方向是：C按逆時(shí)針進(jìn)行，

Ck按順時(shí)針進(jìn)行)。圖3.6［例1］計(jì)算，其中Γ為包含

a的任一簡單閉路，n為整數(shù)。

解因?yàn)閍在閉合曲線Γ內(nèi)部，故可取很小的整數(shù)ρ，使Γ1：|z－a|=ρ在Γ內(nèi)部(見圖3.7)。圖3.7為邊界的復(fù)連通域內(nèi)解析，由復(fù)合閉路定理有再結(jié)合本章3.1節(jié)的［例4］的結(jié)論可得［例2］計(jì)算的值，其中Γ為包含圓周|z|=1在內(nèi)的任何正向簡單閉曲線。解函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除z=0和z=1兩個(gè)奇點(diǎn)外處處解析。由題意知道，Γ包含這兩個(gè)奇點(diǎn)。在Γ內(nèi)作兩個(gè)互不包含也互不相交的正向圓周C1與C2，

C1只包含奇點(diǎn)z=0，C2只包含奇點(diǎn)z=1(見圖3.8)。圖3.8根據(jù)復(fù)合閉路定理，得

3.4原函數(shù)與不定積分

定理一若函數(shù)f(z)在單連通域B內(nèi)處處解析，則積分

與連接起點(diǎn)及終點(diǎn)的路徑C無關(guān)。

由此定理可知，解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)z0及終點(diǎn)z1有關(guān)。如圖3.9所示，有

圖3.9如果固定z0，讓z1在B內(nèi)變動，并令z1=z，那么積分

在B內(nèi)確定了一個(gè)單值函數(shù)F(z)，即對這個(gè)函數(shù)，我們有下述定理。定理二若f(z)在單連通域B內(nèi)處處解析，則函數(shù)F(z)

必為B內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)，并且F′(z)=f(z)。

這個(gè)定理跟微積分學(xué)中對變上限積分的求導(dǎo)定理完全類似。同樣，我們可以得出類似于微積分學(xué)中的基本定理和牛頓-萊布尼茲公式。

定義若函數(shù)j(z)在區(qū)域B內(nèi)的導(dǎo)數(shù)等于f(z)，即j′(z)=f(z)，則稱j(z)為f(z)在區(qū)域B內(nèi)的原函數(shù)。

定理二表明是f(z)的一個(gè)原函數(shù)。

容易證明，f(z)的任意兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)。

設(shè)G(z)和H(z)是f(z)的任意兩個(gè)原函數(shù)，則

［G(z)－H(z)］′=G′(z)－H′(z)=f(z)－f(z)≡0

所以G(z)－H(z)=c，其中c為任意常數(shù)。

定義

f(z)的原函數(shù)的一般表達(dá)式F(z)+c(其中c為任意常數(shù))稱為f(z)的不定積分，記作

(3.4.2)

利用任意兩個(gè)原函數(shù)之差為一常數(shù)這一性質(zhì)，可以推得與牛頓-萊布尼茲公式類似的解析函數(shù)的積分計(jì)算公式

定理三若f(z)在單連通域B內(nèi)處處解析，F(xiàn)(z)為f(z)的一個(gè)原函數(shù)，則

其中z0，

z1為B內(nèi)的兩點(diǎn)。(3.4.3)

證明因?yàn)橐彩莊(z)的原函數(shù)，所以

當(dāng)z=z0時(shí)，根據(jù)柯西－古薩基本定理，得c=－F(z0)，因此

或［例1］求積分的值。

解這里使用了微積分學(xué)中的“湊微分”法。［例2］沿區(qū)域Im(z)≥0,Re(z)≥0的圓弧|z|=1，計(jì)算積分的值。

解函數(shù)在所設(shè)區(qū)域內(nèi)解析，它的一個(gè)原函數(shù)為，所以

3.5柯西積分公式

定理若f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處解析，C為D內(nèi)任意一條正向簡單閉曲線，它的內(nèi)部完全含于D，z0為C內(nèi)的任一點(diǎn)，則有如下柯西積分公式:(3.5.1)

證明

f(z)在z0連續(xù)，則任意給定ε>0，存在一個(gè)δ(ε)>0，當(dāng)|z－z0|<δ時(shí)，|f(z)－f(z0)|<ε。設(shè)以z0為中心、R為半徑的圓周K∶|z=z0|=R全部在C的內(nèi)部，且R<δ(見圖3.10)，那么(3.5.2)由積分估值不等式(3.1.13)，有上式表明不等式左端積分的?？梢匀我庑?，只要R足夠小。根據(jù)閉路變形原理，該積分的值與R無關(guān)，所以對所有的R，該積分值都必須為零。因此，由式(3.5.2)即得所要證的柯西積分公式(3.5.1)。圖3.10顯然，若f(z)在簡單曲線C所圍成的區(qū)域內(nèi)及C上解析，則柯西積分公式仍然成立。

柯西積分公式表明，可以把一個(gè)函數(shù)在C內(nèi)部任一點(diǎn)的值用它在邊界上的值來表示。也就是說，若f(z)在區(qū)域邊界上的值一經(jīng)確定，則它在區(qū)域內(nèi)部任一點(diǎn)處的值也就確定了。這是解析函數(shù)的又一特征。例如，C是圓周z=z0+Reiθ，那么式(3.5.1)成為這表明，一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值。［例］求下列積分(沿圓周正向)的值。解由式(3.5.1)得

3.6解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)

定理解析函數(shù)f(z)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，它的n階導(dǎo)數(shù)為其中C為函數(shù)f(z)的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z0的任意一條正向簡單閉曲線，且其內(nèi)部全包含于D。

證明設(shè)z0為D內(nèi)任意一點(diǎn)，先討論n=1的情況，即根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義由柯西積分公式得從而有上式中最后一個(gè)積分的模f(z)在C上解析，故在C上連續(xù)，由第一章復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性質(zhì)知道，f(z)在C上有界。即必存在一個(gè)正數(shù)M，使得在C上有|f(z)|≤M。設(shè)d為從z0到曲線C上各點(diǎn)的最短距離(見圖3.11)，適當(dāng)選取Δz，使其滿足，則有所以由積分估值不等式可得其中,L為C的長度。若Δz→0，則上式趨于零，所以上式可以進(jìn)一步寫成圖3.11我們再利用式(3.6.2)以及推出式(3.6.2)的方法去求極限：便可得到依此類推，用數(shù)學(xué)歸納法可以證明：［例1］求積分。

解函數(shù)f(z)=z3+1在復(fù)平面內(nèi)解析，z0=－1在|z|≤2內(nèi)，n=3，根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)公式有

［例2］求積分，其中C為正向圓周：|z|=r>1。

解函數(shù)

在z=±i處不解析，且不解析點(diǎn)在C內(nèi)。在C內(nèi)分別以z=±i為中心作正向圓周C1，C2

(見圖3.12)。圖3.12

f(z)在由C，C1和C2所圍成的區(qū)域內(nèi)是解析的。由復(fù)合閉路定理，有由高階導(dǎo)數(shù)公式可得同樣可得所以

3.7調(diào)和函數(shù)