黑體輻射公式的推導(dǎo)

普朗克和瑞利-金斯黑體輻射公式的推導(dǎo)1引言馬克斯·普朗克于1900年建立了黑體輻射定律的公式，并于1901年發(fā)表。其目的是改進由威廉·維恩提出的維恩近似（至于描述黑體輻射的另一公式：由瑞利勛爵和金斯爵士提出的瑞利-金斯定律，其建立時間要稍晚于普朗克定律。由此可見瑞利-金斯公式所導(dǎo)致的“紫外災(zāi)難”并不是普朗克建立黑體輻射定律的動機）。維恩近似在短波范圍內(nèi)和實驗數(shù)據(jù)相當(dāng)符合，但在長波范圍內(nèi)偏差較大；而瑞利-金斯公式則正好相反。普朗克得到的公式則在全波段范圍內(nèi)都和實驗結(jié)果符合得相當(dāng)好。在推導(dǎo)過程中，普朗克考慮將電磁場的能量按照物質(zhì)中帶電振子的不同振動模式分布。得到普朗克公式的前提假設(shè)是這些振子的能量只能取某些基本能量單位的整數(shù)倍，這些基本能量單位只與電磁波的頻率有關(guān)，并且和頻率成正比。這即是普朗克的能量量子化假說，這一假說的提出比愛因斯坦為解釋光電效應(yīng)而提出的光子概念還要至少早五年。然而普朗克并沒有像愛因斯坦那樣假設(shè)電磁波本身即是具有分立能量的量子化的波束，他認(rèn)為這種量子化只不過是對于處在封閉區(qū)域所形成的腔（也就是構(gòu)成物質(zhì)的原子）內(nèi)的微小振子而言的，用半經(jīng)典的語言來說就是束縛態(tài)必然導(dǎo)出量子化。普朗克沒能為這一量子化假設(shè)給出更多的物理解釋，他只是相信這是一種數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)手段，從而能夠使理論和經(jīng)驗上的實驗數(shù)據(jù)在全波段范圍內(nèi)符合。不過最終普朗克的量子化假說和愛因斯坦的光子假說都成為了量子力學(xué)的基石。2公式推導(dǎo)2.1普朗克公式和瑞利-金斯公式的推導(dǎo)黑體是指在任何溫度下,對于各種波長的電磁輻射的吸收系數(shù)恒等于1的物體。黑體輻射的能量是由電磁場的本征振動引起的，為簡化推導(dǎo)過程，在此將黑體簡化為邊長為L的正方形諧振腔。則腔內(nèi)的電磁場滿足亥姆霍茲方程：（1）用分離變量法，令則（1）式可分解為三個方程：其中得（1）式的駐波解為：由在x=0,x=L,y=0,y=L,z=0,z=L上的邊界條件及可得：，，（其中,,滿足關(guān)系）則（j表示第j個本征態(tài)）的絕對值為：換成第j個本征態(tài)的頻率得：當(dāng)時，和可視為連續(xù)變化，不必取分立值，即有：（2）（2）式表明在整數(shù)n空間一組整數(shù)即對應(yīng)一個本征模的頻率。因此，頻率區(qū)間內(nèi)的本征模數(shù)，在數(shù)值上等于整數(shù)n空間內(nèi)數(shù)值半徑由范圍內(nèi)球殼體積的八分之一（這是因為矢量有三個分量，每一個分量都為正數(shù)時的概率為1/8）。，即：（V為腔的體積）又因為每一個頻率為的單色平面波還存在著兩個獨立的相互垂直的偏振態(tài)，則頻率間隔內(nèi)的本征模數(shù)為：設(shè)表示溫度為T，頻率為的本征振動的平均能量，為相應(yīng)的能量密度，則振動頻率在到之間的能量為：（3）本征振動是簡諧振動，由三維諧振子的能量本征值：（n=0，1，2…）系統(tǒng)處于熱平衡狀態(tài)時，處于各本征能量的諧振子分布遵從麥克斯韋-波爾茲曼分布律：即：所以：（4）若令，則（4）式可改寫為：由所以：代入（3）式得：此即為普朗克黑體輻射公式。若按經(jīng)典理論，由熱力學(xué)與統(tǒng)計物理的能量均分定理可知平均能量為：則:此即為瑞利-金斯黑體輻射公式。2.2仿真曲線兩公式關(guān)系如下圖，藍(lán)色線為普朗克公式曲線，紅色為瑞利-金斯公式曲線，從高到低分別為5000K、4500K、4000K、3500K、3000K時的曲線。容易觀察到