高等數(shù)學(xué)A1第1章課后習(xí)題答案

P21練習(xí)1-1

1.設(shè)4=(—8,-5)u(5,+a)),屏[一10,3),寫出XuB/MMW及

小(ZW)的表達式.

解Jufi=(-oo,3)“5,+8),

力cA=[-10,-5),

/\S=(—oo,—10)”5,4-oo),

J\(J\fi)=[-10,-5).

2.設(shè)力、8是任意兩個集合，證明對偶律:區(qū)畫。/。。次.

證明因為

x^(Ar\B)c<^>x^Ar>B

<=>x或x史B

<=>x^Ac或xe"

<=>xeJc2#,

所以(力c8)c=』ci4.

3.設(shè)映射K4zA；BuX.證明

證叨因為

yeJ(A^B)^>3x彳更./(XE

o(因為xe/1或xw8)yq/(/)或y/3)

=y^fiA)/5),

所以//^3)=4/)團3).

(2)伍出44)0/伊).

證明因為

y^flAr^)^>Bx^AryB,彳更./(x)=y

o(因為XGZ1=1.x^B)ye.f{A}\A.y^f{B)

=_yq/(4)Ma

所以HNC5)D(/)C/(5).

4求下列函數(shù)的自然定義域：

(l)y=j3x+2;

解由3x+220得X*,故函數(shù)的定義域為+00).

⑵*占；

解由IT2M得存±1,故函數(shù)的定義域為

￡>=(-oo,-l)U(-l,l)u(l,+oo).

(3)y=--Vl-x2;

X

解由xM且l-x2>0得函數(shù)的定義域Z>=[-1,0)u(0,1].

⑷片號T；

A/4-X2

解由4-產(chǎn)>0得網(wǎng)<2,故函數(shù)的定義域為。=(-2,2).

(5)產(chǎn)sin石;

解由xNO得函數(shù)的定義。=[0,+oo).

(6)y=tan(r+l);

解由x+lw版■+](左=0,±1,±2,…)，得函數(shù)的定義域為

》#左乃+專一1(左=0,±1,±2,??-).

(7)尸arcsin僅一3);

解由g3曰得函數(shù)的定義域義[2,4].

(8)J=73-X+arctan—；

解由3TN0且xM得函數(shù)的定義域0=(-%0)口。3].

(9)片lnk+1);

解由x+l>0得函數(shù)的定義域。=(-1,+8).

1

(10)尸e*.

解由沖0得函數(shù)的定義域D=(-oo,0)u(0,+oo).

5.下列各題中，函數(shù)｛x)和#)是否相同？為什么？

(1)/(x)=lgx2,g(x)=21gx;

解不同.因為定義域不同.

⑵.危)=%，g(x)=E；

解不同.因為對應(yīng)法則不同,X<0時,g(X)=T.

(3)/(x)=Vx4-x3,g(x)=xV二T；

解相同.因為定義域、對應(yīng)法則均相相同.

(4)?x)=l,g(x)=sec~2x—tan2-x.

解不同.因為定義域不同.

7

K-

|sinx|IX3

6設(shè)火x)=?匹求奴4)?dR，4-彳),吠-2),

X△

0L3

并作出函數(shù)尸d》)的圖形.

解旗，)=(sin爸=1,

ooZ

嶗閆sin"坐，

.(-9)*呵-￡)|=乎,

—.

7.試證下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性：

⑴產(chǎn)產(chǎn)-，(—8，1)；

1-X

證明對于任意的Xl,X2W(-8,1),Wl-Xl>0,l-X2>0.

因為當(dāng)X1<X2時,

=』----=與"2<0,

?,力l-x,l-x2(l-x,)(l-x2)

所以函數(shù)尸產(chǎn)在區(qū)間(-8,1)內(nèi)是單調(diào)增加的.

1-X

(2)y=x+\nx,(0,+oo).

證明對于任意的x1,X2e(0,+8),當(dāng)X1<X2時，有

M一%=(X|+In演)一(.巧+Inx2)=(xt-.v2)+In^-<0,

X]

所以函數(shù)尸x+lnx在區(qū)間(0,+8)內(nèi)是單調(diào)增加的.

8.設(shè)兀C)為定義在(-1,/)內(nèi)的奇函數(shù)，若人x)在(0,7)內(nèi)單調(diào)增

加，證明外)在(-/,0)內(nèi)也單調(diào)增加.

證明對于D.tl,X2G(-/,0)且X]<X2,W-Xl,-X2€(0,/)Ji-X1>-X?.

因為/(X)在(0,/)內(nèi)單調(diào)增加且為奇函數(shù)，所以

.f[-X2)<f(-X1),-f[X2)<-AV11),

這就證明了對于WX1,X2G(-/*0),有次不)<小2),所以加)在(-1,0)內(nèi)

也單調(diào)增加.

9.設(shè)下面所考慮的函數(shù)都是定義在對稱區(qū)間(-/,/)上的，證明：

(1)兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù)；

證明設(shè)尺0=/)+虱。.如果./)和g(x)都是偶函數(shù)，則

H-x月<-x)+g(T)=ya)+g(x)="x),

所以尸(X)為偶函數(shù)，即兩個偶函數(shù)的和足偶函數(shù).

如果/)和蛉)都是奇函數(shù),則

"-X)=A-x)+g(-x)=-/(x)-g(x)=-F(x),

所以尸(x)為奇函數(shù)，即兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù).

(2)兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，

偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù).

證明設(shè)/如果人X)和其。都是偶函數(shù)，則

所以Rx)為偶函數(shù),即兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù).

如果./(x)和g(x)都是奇函數(shù)，則

尸(TL/(T)g(T)=Mx)]|-四)]三/(刈的)=F(X),

所以尸(X)為偶函數(shù)，即兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù).

如果是偶函數(shù)，而g(x)是奇函數(shù)，則

尸(T>^-x)g(-xA/(x)[-g(x)]=-/U).g(x)=-F(x),

所以尸(X)為奇函數(shù)，即偶函數(shù)與奇函數(shù)的積是奇函數(shù).

10.下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù)，哪些是奇函數(shù)，哪些既非奇函

數(shù)又非偶函數(shù)？

(l)y^r2(l-x2);

解因為所以小)是偶函數(shù).

(2g3x2T3；

解|±|/(_X)=3(-X)2-(-X)3=3X2+X3可見小)既非奇函數(shù)乂非偶函

數(shù).

1-x2.

(3)產(chǎn)

l+x2>

解因為上加島=蕓?、?所以斤)是偶函數(shù)?

(4)y=x(x-l)(x+l);

解因為

犬-X)=(—V)(—V—1)(—V+1)=-x(x+1)(x—1)=—/(,<),

所以Hx)是奇函數(shù).

(5)y=sinx-cosx+l;

解lil,A-<)=sin(-v)-cos(-v)+l=-sin.v-cos.v+1可見.及。既非奇函

數(shù)又非偶函數(shù).

⑹片￡1^2.

解因為/(-勸=貯學(xué)^=安貯=/(x),所以./(X)是偶函數(shù).

11.下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對于周期函數(shù)，指出其

周期：

(l>=cos(x-2);

解是周期函數(shù)，周期為/=2兀

(2)y=cos4x;

解是周期函數(shù)，周期為/=3.

(3)y=14-sin^T；

解是周期函數(shù)，周期為1=2.

(4)y=xcosx;

解不是周期函數(shù).

(5?=sirTx.

解是周期函數(shù)，周期為/=加

12.求下列函數(shù)的反函數(shù)：

(1)片Vx+1;

解由歹=3+1得

『3一1,

所以尸=后？的反函數(shù)為

y=xJ-l.

1-x

(2)片

1+x'

解由「早得

1+x

_1-V

X=l+y,

所以片早的反函數(shù)為

1+x

l-x

v=-——

1+X

⑶^±^3_從工0)；

CX-\rd

解由片空空得

"cx^d

-dy+b

cy-a

所以看小”的反函數(shù)為

■cx+d

-dx+b

v=----------?

cx-a

(4)尸2sin3t;

解由尸2sin3t得sm3x=所以

rJ,1V

3x=arcsin—,即X=±arcsin4,

232

所以尸2sin3丫的反函數(shù)為

歹=garcs嗚.

⑸片1+Ink+2);

解由產(chǎn)l+ln(t+2)得hi(x+2)=y-L所以

x+2=e「即X="L2,

所以尸1+ln(計2)的反函數(shù)為

尸，」-2.

解由歹=瑞得

所以y=嘉的反函數(shù)為

13.設(shè)函數(shù)加)在數(shù)集X上有定義，試證：函數(shù)")在X上有

界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界.

證明先證必要性.

設(shè)函數(shù)人工)在X上有界，則存在.正數(shù)M使

]A.v)|<M,即一加勺U

這就證明了八丫)在X上有下界-M和上界

再證充分性.

設(shè)函數(shù)4D在X上有下界K和上界K2,即

Kig/UXKz.

取Afemax{K|,因2|},則

-M<K^f[x)<K2<M,即次X)|WM

這就證明了./(x)在X上有界.

14.在下列各題中，求由所給函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，并求這

函數(shù)分別對應(yīng)于給定自變量值X]和X2的函數(shù)值：

2

(l)^=w,w=sinx,X\=%x2=y；

解v=sirfx,M=sin2*=(；)2=",y2=sinq=V)2=]

(2)產(chǎn)sin”,u=2x,X|=-,x2=-;

(3)y=y/u,u=l+x2,xi=l,X2=2;

222

解y=yl\+x,y1=Vl+l=V2,_V2=V1+2=75.

(4)尸e”,w=x2,xi=0,X2=l;

H

解必=e02=],y2=e=e.

(5)"〃2，M=err,xi=l,X2=-l.

解y=e2x,y\=e21=e2,j2=e2(_|.

15.設(shè)〃)的定義域。=[0,1],求下列各函數(shù)的定義域:

⑴/2)；

解由0^v2<l得

的

所以函數(shù)4產(chǎn))的定義域為

[-1,1].

(2)麻血);

解由0<sinx<l得

2〃脛”(2〃+1))(〃=0,±1,±2---),

所以函數(shù)/(sinx)的定義域為

[2〃乃,(2〃+1)乃](〃=0,±1,±2---).

(3)危+a)(a>0);

解由0^v+a<l得

-a<>x<\-a,

所以函數(shù)/(x+a)的定義域為

(4){x+a)t/(x-aXa>0).

解由0卷+。41且0金一。41得：WxW1-。且4WXS1+a,

當(dāng)1-6Z<6/,即a>3時,無解；當(dāng)I-，，'，/,B|0<Q4：時，,a<x<\—a.

因此當(dāng)0<a4；時函數(shù)的定義域為[a,\-a],當(dāng)a>；時函數(shù)無意義.

1田<1

16.設(shè)/(x)=(0ixj=l,g(x)=，，求力^任)]和g[/(x)],并作

—1|x|>l

出這兩個函數(shù)的圖形.

1>A'|<11x<0

解他(初=0|eA'|=l,即_/Ig(x)]=?0x=0

—1|ex|>l-1-v>0

|x|<lIe

豆/⑴=/吟e°|x|=l,即g[/(x)]=<1

|x|>le~]

17.已知水渠的橫斷面為等腰梯形，斜

角方40。(如圖).當(dāng)過水?dāng)嗝?58的面積為

定值So時，求濕周￡(￡=45+5。+。。)與水深h

之間的函數(shù)關(guān)系式，并指明其定義域.

解AB=DC=—^,又從!川8C+(BC+2cot40°/)]=So得

sin402

8C=爭-cot40。/,所以人至+2-c喊〃

hhsin40

自變量〃的取值范圍應(yīng)由不等式組人>0,^-cot40°A>0確定，

所以，定義域為0<A<7S0cot40°.

18.收斂音機每臺售價為90元，成本為60元.廠方為鼓勵銷

售商大量采購，決定凡是訂購量超過100臺以上的，每多訂購1

臺，售價就降低1分，但最低價為每臺75元.

(1)將每臺的實際售價〃表示為訂購量x的函數(shù)；

解當(dāng)04M100時，片90.

令0.0l(xo-100)=90-75,得xo=1600.

因此當(dāng)xN1600時，片75.

當(dāng)100<r<1600時，

p=90-(.v-100)x0.01=91-0,Olx.

綜合上述結(jié)果得到

900<x<100

p=^91-0.01x100<x<1600.

75x>1600

(2)將廠方所獲的利潤P表示成訂購量x的函數(shù);

30x0<x<100

解F=(p-60).v=pi.v-0.01x2100<x<1600.

15xx>1600

(3)某一商行訂購了1000臺，廠方可獲利潤多少?

解P=31x1000-0.01x10002=21000(7D).

P30練習(xí)1-2

1.觀察一般項右如下的數(shù)列｛x〃｝的變化趨勢，寫出它們的極限:

(l)x=—;

解當(dāng)〃-00時，

22

(2)x?=(-iri；

解當(dāng)〃時-，x=(-1)"1_^0,lim(-iy」=0.

n〃一＞8n

⑶修=2+3；

解當(dāng)”-*oo時，X”=2+4-2,lim(2+-!y)=2.

n~n

(4)r=^--

()nn+V

解當(dāng)〃->00時，x?=-^4=l一一^710,lim^|=l.

〃+1n+\"->8〃+l

(5)x〃=〃(-1)”.

解當(dāng)〃-00時，必=〃(-1)"沒有極限.

cos等

2.設(shè)數(shù)歹支與｝的-一般項x產(chǎn)一2_.問limx”=?求出N,使

〃/1T8

當(dāng)〃>%時,必與其極限之差的絕對值小于正數(shù)￡,當(dāng)￡=0.001時,

求出數(shù)N.

解limx=0.

/?TR

|cos^-||

因為|x一0卜——所以\/￡?〉0,要使|%〃一0|〈￡,只要

nn

[<￡,也就是〃〉

n￡

因此取N=["則V〃>N,有|XLO|<￡?

￡

當(dāng)￡=0.001時，7V=[-]=1000.

￡

3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：

(l)lim^-=0;

〃T8

分析要使

」-0|=4<￡，

相〃一

只須〃2>[即”><=?

證明,當(dāng)〃〉NHt,有

&-。心

1

所以lim=0.

〃一＞30〃,2

3〃+1_3.

(2)lim

＞002n+\~2'

分析要使

|汕-3卜_^3￡

'2H+122(2〃+1)4〃'

只須［＜￡,即〃＞；.

4/74￡

證明因為VG0TN=[j],當(dāng)〃>N時，有

%

^±1_九￡

2/7+1215

所以lim3/7+13

"TOO2/7+12

(3)lim起運=1;

W-H?n

分析要使

＜叱＜"

nnn

只須〃>「.

7

證明因為M>O,mN=["],“'|V〃〉N時，有

￡

n

所以lim近運=1.

/!-?Xn

(4)lim0.999--9=1.

n-^o

分析要使

099…9-1|=志<￡，

只須?！?lt;￡，即〃>1+他］.

1\7匕

證明因為VQ0「N=［l+lg：］,當(dāng)\/〃>N時；有

|0,99...9-1|<f,

所以limO.999…9=1.

//—>x'，'

〃個

4.limw?=a,證明lim|%目a|.并舉例說明:如果數(shù)列｛同｝

〃一>8/I—>00

有極限，但數(shù)列｛X”｝未必有極限.

證明因為limu產(chǎn)a,所以VQ(UNeN,當(dāng)〃〉N時，有

71—>00

1"“一水看，

從而

這就證明了lim|%|=|a|.

〃一>8

數(shù)列｛除|｝有極限，但數(shù)列｛X”｝未必有極限.

例如,lim|(-1尸河，但lim(7)”不存在.

〃一>8Z1T8

5.設(shè)數(shù)列任“｝有界，又limy〃=0,證明：limx?y?=0.

8n—>oo

證明因為數(shù)列X，｝有界，所以存在M使W〃eZ,有M區(qū)M

又lim4=0,所以當(dāng)〃〉M時，有|歹,上名.從而

〃一>00M

當(dāng)〃>"時，有

區(qū)以一01=區(qū)M區(qū)My”|<M?%=￡,

所以limA-v_=0.

00

6.對于數(shù)列｛x〃｝,若X2*_i~4a(左->oo),X2*->a(左->8),

證明:xzl->a(w->oo).

證明因為.丫2斤-1->。（上一>00）,X2kTa（kTOO）,所以VQO,

mKi,當(dāng)”一1>2&-1時,有|觸1-水￡；

"2,當(dāng)2左>2任時，有|X2id<￡.

WN=max（/L1,2K2},只要〃〉N,就有匕一水心

因此X”->a（〃-^8）.

P38練習(xí)1-3

4.求/（》）=工，0（x）=因當(dāng)x70時的左、右極限，并說明它們

XX

在xf0時的極限是否存在.

證明因為

limf(x)=lim—=lim1=1,

XT。-'X-?0_XXT。-

limf(x)=lim-=lim1=1,

10+XT0+X10+

limf(x)=lim/(x),

X->0-A->0+

所以極限lim/(.v)存在.

XTO

因為

lim歡x)=lim—=lim—=-l,

A->O_x->o_xio-x

lim(p(x)=lim—=lim-=1,

kto+戈->o+XXT0+x

lim奴x)聲lim(p{x},

x->0_xfo+

所以極限lim(p(x)不存在.

x->0

5.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明：

(l)lim(3x-l)=8;

XT3

分析因為

|(3x-l)-8|=|3x-9|=3^-3|,

所以要使|(3x—1)-8|<￡,只須|x-3K3.

證明因為V￡>O「S=+,當(dāng)0小一3|<3時，有

|(3x-1)-8|<￡,

所以lim(3x-1)=8.

X—>3

(2)lim(5x+2)=12;

XT2

分析因為

|(5.v+2)-12|=|5x-10|=5|x-2|,

所以要使|(5X+2)-12|<￡,只須|X-2|<；￡.

證明因為\/￡>035=$,當(dāng)0<恒-2|<5時，有

|(5.V+2)-12|<￡,

所以H(5x+2)=12.

⑶如2三一;

分析因為

IX2-4

~(-4)|=||本+2|平-(-2)|,

x+2飛歲

所以要使I弓-(T)|<￡,只須|X-(-2)|<￡.

證明因為V￡>O,m^￡,W|O<|x—(-2)|<5時，有

X2-4

-(-4)\<E,

x+2

所以加

=2.

2

分析因為

|需一2印一2-21=2|1—%，

所以要使|4年-2|<￡,只須|x—

12x4-1122

證明因為V￡>0,娟=?，'"|0<|x-(-時，有

1-4.?-2|<￡

2x+\

所以瞿嘉

=2.

6.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:

l+x3_1

(l)lim

x->cc

分析因為

I1+x31l+Jf3-x3|_1

3-35

2x322xl2|x|

3

所以要使|1+x1|<￡,只須木但即心蠹.

2.x32

證明因為VQOTX=，=,當(dāng)網(wǎng)>萬時，有

V2c

1+x3

2x32\<￡,

1+x31

所以lim

—2x32

⑵如L哭肛

分析因為

sinx

/一°n

所以要使

證明因為yh節(jié)當(dāng)x〉X時,有

所以㈣號町

7.當(dāng)x->2時,片-一丈問5等于多少，使當(dāng)|x-2|<5時，

[y-4|<0.001?

解由于當(dāng)12時,卜-2|-0,故可設(shè)即l<r<3.

要使

2

|X_4|=|X+2|^-2|<5^-2|<0,001,

只要|x-2|<^^=0.0002.

取應(yīng)0.0002,則當(dāng)0<|x-2|<b時,就有/_4|<0.001.

8.當(dāng)XTOO時，丁=壽1-1,問X等于多少，使當(dāng)|x|>X時,

ly-l|<0.01?

解要使|宰|-1卜工<0.01,只要沖3=廝.

1JT+31JC+3v0.01

因此可取丫=^/^7.

9.證明函數(shù)"AIM當(dāng)x->0時極限為零.

分析因為

Kv)-O|=|ix|-O|=M=^-O|,

所以要使反卜0|<￡,只須x|<￡

證明因為對X/GOV應(yīng)與便當(dāng)0<|x—0|<我時有

|Ax)-O|=||x|-O|<f,

所以lim|x|=O,

10.證明：若Xf+8及XT-00時，函數(shù)人外的極限都存在且都等

于A,則limf(x)=A.

證明因為limf(x)=A,lim/(x)=4,所以X/￡>0,

X—>-00x—>+8

mx>o,使當(dāng)x<—x時，有心)_川<￡；

封2>0,使當(dāng)x>X2時，有]AX)-4|<￡,

取Kmax%,上},則、"||x|>X時，有?i|<￡,即1im/(x)=4

11根據(jù)極限的定義證明：函數(shù)/)當(dāng)XTM時極限存在的充分

必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等.

證明先證明必要性.設(shè)./(x)f4(xfxo),則V。。，3^0,使當(dāng)

04-xo|<3時，有

\f{x}-A\<￡.

因此當(dāng)xo-&t<Mo和xo<r<xo+(y時都有

\f\x)-A\<e.

這說明Hx)當(dāng)xfxo時左右極限都存在并且都等于A.

再證明充分性.設(shè),危o-)如o+)=a則VQO,

34JI>0,使當(dāng)xo-5<roo時，有|/(x)-/<￡；

3&>0,使當(dāng)xo<x<xo+應(yīng)時，有

取了min揚，而},則當(dāng)O<|x-xo|<^時，有xo-3i<x<xo及xo<x<xo+歷,

從而有

即麻).4(x->xo).

12試給lllxrs時函數(shù)極限的局部仃界件定理，并加以證明。

解Xf8時函數(shù)極限的局部有界性的定理：如果/(X”ixf8時

的極限存在，則存在X〉0及M〉0,使當(dāng)M>X時,]

證明設(shè).危)f4(x-8),則對于》l,mX>0,當(dāng)時，有

依)-4|<￡=1.

所以

火加歐)一4+北次x)-4|+MI<1+|4

這就是說存在X〉0及M>0,使當(dāng)田>>時,師)|<例，其中用=1+01.

P42練習(xí)1-4

1.兩個無窮小的商是否一定是無窮?。颗e例說明之.

解不一定.

例如，當(dāng)XTO時,o(x)=2x,3:)=3x都是無窮小，但

..a(x)2

!受麗而，

箭不是無窮小?

2.根據(jù)定義證明：

(1)?=立=當(dāng)X.3時為無窮小;

x+3

證明當(dāng)沖3時3=|噌/卜》一3|.

因為也>0,三辰￡，當(dāng)0<卜-3|<6時,有

“^^^1中一3苒=￡'

所以當(dāng)X-3時為無窮小.

x+3

(2)j；=xsin-當(dāng)x->0時為無窮小.

x

證明”'lx=O時|y|=|xUsinL國x-O|.

I大I為DqO「應(yīng)￡,當(dāng)0<?—0]<5時，有

|ygx|sin4sx-0|<6=￡,

X

所以"1x->0時j?=.vsin—為無窮小.

x

3.根據(jù)定義證明：函數(shù)丁=9為當(dāng)xfO時的無窮大.問x

x

應(yīng)滿足什么條件，能使帆Al。'？

證明分析

?|=|1±2￡|=|2+1|>1-2,

1X11X1|x|

要使『|〉M只須3—2>M,BP|.v|<-^.

|x|A/+2

證明因為V必0,36=需'，使當(dāng)°<歸一°1<方時，有

|亨卜以

所以當(dāng)x-0時，函數(shù)丁=土區(qū)是無窮大.

X

取M=1O\則》=、_.當(dāng)0小_0|<「1_時，陰〉104

104+2104+2

4.求下列極限并說明理由：

〃一HCX

解因為2=2+L而當(dāng)xfg時,是無窮小，

XXX

所以1加處1=2.

X

(2)H叫了.

x->01-X

解因為'工=1+》(.芹1),而當(dāng)XTO時x為無窮小，

1-X

所以limF=1.

XT。1-X

6.函數(shù)尸85”在(-00,+00)內(nèi)是否有界？這個函數(shù)是否為當(dāng)

Xf+oo時的無窮大？為什么？

解函數(shù)y=xcosx在(-%+⑹內(nèi)無界.

因為VM〉1,Bx0=2HM]G(-00,4-00),1y(x0)|=>M.

當(dāng)％f+oo時，y=xcosx不是無窮大。因為

取%〃=2〃肛當(dāng)〃-oo時，xn—>+co,Iimy(x“)=+8；

n—>oo

取%J=2〃〃+一,當(dāng)〃-oo時，+oo,limy(x')=00

2〃T8n

7.證明：函數(shù)y=Lsin^在區(qū)間（0,1］上無界，但這函數(shù)不是當(dāng)

XX

Xf0,時的無窮大.

1.1

解函數(shù)y=-sm—在(0,1]內(nèi)無界.

XJC

]jr

因為VM＞0,3x0=---------------e(0,1],|X^o)1=2加M]+—＞M

2TT[M]+^2

1.1

當(dāng)Xf+00時，y=-sm—不是無窮大。因為

XX

取%”=------，當(dāng)〃一＞8時，％“一＞()+,limy(%“)=+8；

A71〃一＞8

2Md——

2

?。ァ?=」一，當(dāng)"foe時，％"’一＞()+,limy(xn,)=0o

"T8

8.求函數(shù)的圖形的漸近線。

4

解因為理中=0.所以y=0為曲線的水平漸近線;

因為上先占=如所以％=±亞為曲線的鉛直漸近線;

P49練習(xí)1-5

1.計算下列極限:

⑴lim頭；

x—2X-3

Q）幼需;

解上噱凈喘親“

⑶物嚀筌

=lim5

解lim立*1

Xflx2-lXfl(x-l)(x+l)則會H=°

工

(4)lim43-2/+

x->03X2+2X

32

lim4x-2.v+.v=lim4.v^-2.v+l_

io3X~+2XIO3X4-22

人TOh

22

oX

I-工處主忙工

解iAmATim±2=lim(2x+/;)=2.v.

wA-?oh

⑹螞*+5

解lim(2---+-^-)=2-lim-4-lim[=2.

XT”Xx*'XT8Xx—>CCX2

⑺螞事;

2

(8)limx+x

42

X—>00X-3X-1

2.

解limJ：；=0(分子次數(shù)低于分母次數(shù),極限為零).

XT?X^-3XZ-1

X+X

或lim./+：—=lim-二>：=0.

XUX4-3X2—1XT8.21

x

⑼螞至f鬻

lim率6x+8=Hm…住-？=而冬善界.

解2

,v->4X-5X+4.V->4(X-1)(X-4)X->4X-14-13

(10)lim(l+i)(2-4)；

X-HOxX

解lim(l+-)(2-4-)=lim(l+-)-lim(2-4-)=lx2=2.

(11燭嗚+&…+導(dǎo)

(12)liml+2+3+；+(〃T)；

n->oo

(〃一1)〃

解1+2+3+^+(H-1)

lim=Hm_2_=1lim=1

〃一>8〃幺〃fx)九一2n->oo〃2

(13)lim(〃+l)(〃+?(〃+3);

"Too5"

解Hm(〃+l)(〃+2)(〃+3)=1(分子與分母的次數(shù)相同，極限為

最高次項系數(shù)之比).

或(/7+1)(H+2)(H+3)|l23l

LIM=1im(1+)(]+)(1+)=

5〃一＞8nnn5

13

(14)W1-X1-X3);

=-lim(1-v)(-v+2\

解lim(p---3

XTl(l-.v)(l+x+x2)

=—lim—x+2,=—1

?I1+x+x2

2.計算下列極限:

⑴!■等

解因為則照=4=°'所以理/市2.

x2

(2)lim

XT82r+l

解lim1T=8(因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)).

2x4-1

(3)lim(2x3-x+l).

X—>00

解Iim(2x3—x+l)=8(因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)).

XT8

3.計算下列極限：

(l)limx2sin—;

XTOx

解lim.PsinLo(當(dāng)x->0時:工2是無窮小，而sin，是有界變量).

工一>0xx

(2)limarctanx

KT8X

解limarctan-=lim—?arctan.v=0('1l是無窮小，

xf8Xxx

而arctanx是有界變量).

6若lim/(x)=A/img(x)=3,證明：lim"(x)g(%)]=A3

證明：因為lim/(x)=A,limg(%)=B,所以

/(x)=A+a,\ima=0,g(x)=B+=0,則

/(x)g(x)=(A+a)(3+夕)=A3+(A/3+Ba+a/3},且lim(A,+Ba+a(3)=0

由函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系，得

lim[/U)g(%)]=ABo

P56練習(xí)1-6

1.計算下列極限：

⑴lim.；

XTOX

解]而地處=olim典”=0.

XTOXx->0COX

⑵lim也如；

XTOX

解|而咽至=3lim噢=3.

XTOXXTO3XCOS3X

⑶lim嗎e

XTOsin5x

解lim嗯』im畢.冬

x-?osm5.vXTO2Xsin5x55

(4)limxcotx；

XTO

解limxcotx=lim^-cosmlimf-limcosx=l.

x-?ox->osinxxfosinxXTO

⑸lim上空盤;

x->oxsmx

解.上空也=|而上萼立=lim笈牛=2lim(蚓戶=2.

z2

XTOxsinxzOxktOXA->0X

或lim上幺西=lim納上=2lim?=2.

ioxsinxioxsmxx->ox

⑹曾如哮。為不等于零的常數(shù)).

?X

sin—

解lim2z/sin—=lim-----x=x.

〃T82〃X

F

2.計算下列極限：

(l)lim(l-x)^;

x->0

1.—(-I).—

x(x)

解lim(l-x)=lim[l-i-(-x)]-={lim[l+(_x)](f)}T=?T.

x->0A->0XTO

(2啊(1+2,；

1J_.±

解lim(14-2.v)A=lim(l+2x)2v2=[lim(14-2x)2A]2=e2.

XTOJV->0XTO

(3)lim(l±￡)2A-;

X-X?X

解三戶=[lim(l+—)A]2=e2.

XTOOx.r->ooX

(4)lim?！?產(chǎn)伏為正整數(shù)).

XT8X

解lim(l=lim(l=e-k.

XT8XXf8-X

3.根據(jù)函數(shù)極限的定義，證明極限存在的準(zhǔn)則K

證明僅對xfxo的情形加以證明.

因為limg(x)=A,limh(x)=A,

x->xoXTXQ

所以對任一給定的QO,存在蘇0,使得當(dāng)04-xo|<H寸，恒有

\g(x)-A|<￡及\h(x)-A\<e,

即A-e<g(x)<A+￡&A-￡<h(x)<A+c.

又因為g(x)^f(x)^h(x),所以A-e<f(x)<A+￡,

即\f\x)-A\<￡,因此lim/(x)=4.

4.利用極限存在準(zhǔn)則證明:

(l)limJl+-=1

n

證明因為1<J1+1<1+，,

Vnn

而lim1=1M)=1,

“foo“TOOn

由極限存在準(zhǔn)則I,lim、Q=l.

“TOOvn

⑵㈣（含+出+.?.+磊）=】；

證明因為

_^<H(1+

〃^+“乃〃'+不〃」+2乃〃乃，廠+4

22

而lim----=1,lim———=1,

所以limn(—^—----?…------)=1?

〃->8〃幺+乃〃'+2乃〃~+〃乃

(3)數(shù)列V2,^2+>/2,^2+V2+V2，.…的極限存在;

證明再=&,xn+1=72+x?(M=1,2,3,???).

先證明數(shù)列｛公｝有界.

當(dāng)“=1時a=0<2,假定〃乂時XK2,貝I」當(dāng)〃=左+1時,

x?+i=j2+x&<7^71=2,

所以x〃<2(〃=l,2,3,…)，即數(shù)列｛與｝有界.

再證明數(shù)列單調(diào)增.因為

2+A;,--(x?-2)(x?+1)

Xw+1-xn=yl2+xn-xn

j2+x〃+Xn-y/2+xn+xn

而x〃-2<0,X〃+1〉O,所以X〃+1-X">O,即數(shù)列｛x“｝單調(diào)增.

因為數(shù)列｛?,｝單調(diào)增加有上界，所以此數(shù)列是有極限的.

(4)lim(l+x=l;

x->0

證明當(dāng)陽41時，則有

l+r<l+|x|<(l+lx|)n,

l+x>l-M>(l-|x|)w,

從而有l(wèi)-|x|<Vi+X<l+|x|.

因為lim(l-|x|)=lim(l+|x|)=l,

XT。XT。

根據(jù)夾逼準(zhǔn)則，有

limVi+x=l.

xf0

(5)limA[—]=1.

io.x

證明因為工-1<山叁，所以1_.”.比1閆.

XXXX

又因為lim(l-x)=lim1=1,根據(jù)夾逼準(zhǔn)則,有

10+>->0+.D+X

P59練習(xí)1-7

1.當(dāng)XT0時,2XT：2與產(chǎn)―1相比，哪一個是高階無窮?。?/p>

解因為

西為?=!夕全點=°，

所以當(dāng)Xf0時,工2一工3是高階無窮小，即X2-X3=O(2X-X2).

2.當(dāng)x->l時，，無窮小1-X和7(x)是否同階？是否等價？其中

(l)/(x)=l-x3;

解困為

l-x31-(l-x)(l+x+x2)八..2、,

rlim------=lim-------9------------=lim(l+x+x2)=3,

x->11-Xx->l1—xx->1

所以當(dāng)Xf1時，l_x和1-1是同階的無窮小，但不是等價無窮小.

(2)/(x)=|(l-x2).

解因為

J。3)1

lim----------=^lim(l+x)=l,

x->i1-x2H

所以當(dāng)Xf1時，IT和g(l2)是同階無窮小，而且是等價無窮小.

3.證明：當(dāng)x->0時，有：

(1)arctanx?x;

證明因為

limarctanx=Hm^=1

-v->oxy->otany

所以當(dāng)XTO時,arctam?x(提示：令尸arctanx,則XTO時,y->0).

(2)sccx-l-r—.

2

證明因為

..2sin2^2sin4

limsecxzl=21imb3cosx=lim__2=lim(—1)2”

2

XTO1￡->OX-COSX10X10X

~XX——

222

2

所以當(dāng)XfO時，sccx-l~^.

4.利用等價無窮小的性質(zhì)，求下列極限:

(l)lim哽；

tan3工

解