7.2 正弦、余弦 蘇科版數(shù)學(xué)九年級下冊素養(yǎng)提升卷(含解析)

第7章銳角三角函數(shù)7.2正弦、余弦基礎(chǔ)過關(guān)全練 知識點1正弦、余弦的概念1.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,AC=3,CD⊥AB于D,設(shè)∠ACD=α,則cosα的值為()A.42.【教材變式·P102例3】(2022浙江湖州中考)如圖,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3.求AC的長和sinA的值.知識點2三角函數(shù)的定義3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,則下列等式正確的是()A.sinA=3C.tanA=34.【新獨家原創(chuàng)】【跨學(xué)科·體育】在羽毛球比賽中,某運(yùn)動員躍起擊球,如果躍起時擊球點和運(yùn)動員躍起高度的差是2.7米,擊球點和羽毛球落地點的距離是12.5米,羽毛球經(jīng)過的直線與地面所夾銳角為α,且cosα=24255.設(shè)θ為直角三角形的一個銳角,給出θ角三角函數(shù)的兩條基本性質(zhì):①tanθ=sinθcosθ;②cos2θ+sin2已知cosθ+sinθ=62(1)tanθ+1tan(2)|cosθ-sinθ|.知識點3用計算器求正弦、余弦的值6.【實踐探究題】用計算器通過計算,比較下列各對數(shù)的大小,并提出你的猜想(填“<”“>”或“=”).①sin30°2sin15°cos15°;

②sin36°2sin18°cos18°;

③sin45°2sin22.5°cos22.5°;

④sin60°2sin30°cos30°;

⑤sin80°2sin40°cos40°.

能力提升全練7.(2020廣東廣州中考,7,★☆☆)如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,cosA=45,以點B為圓心,r為半徑作☉B(tài),當(dāng)r=3時,☉B(tài)與AC的位置關(guān)系是()A.相離B.相切C.相交D.無法確定8.(2022江蘇揚(yáng)州中考,18,★★☆)在△ABC中,∠C=90°,a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊,若b2=ac,則sinA的值為.

9.(2021江蘇常州中考,17,★★☆)如圖,在△ABC中,AC=3,BC=4,點D、E分別在CA、CB上,點F在△ABC內(nèi).若四邊形CDFE是邊長為1的正方形,則sin∠FBA=.

10.【一題多解】(2018北京中考,9,★★☆)如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格,則∠BAC∠DAE.(填“>”“=”或“<”)

11.【尺規(guī)作圖】(2021江蘇無錫中考,24,★★☆)如圖,已知銳角△ABC中,AC=BC.(1)請在圖①中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖:作∠ACB的平分線CD;作△ABC的外接圓☉O;(不寫作法,保留作圖痕跡)(2)在(1)的條件下,若AB=485,☉O的半徑為5,則sinB=.(如需畫草圖,請使用圖②)素養(yǎng)探究全練12.【模型觀念】學(xué)習(xí)過三角函數(shù),我們知道在直角三角形中,一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定,因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化.類似地,可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系,我們定義:等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(sad).如圖,在△ABC中,AB=AC,頂角A的正對記作sadA,這時sadA=底邊腰=BC根據(jù)上述對角的正對定義,解下列問題:(1)sad60°的值為;

A.12(2)對于0°<∠A<180°,∠A的正對值sadA的取值范圍是;

(3)已知sinα=35,其中α為銳角,試求sadα的值

答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.A在Rt△ABC中,AB=AC2+BC2=32+42=5.∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠ACD+∠BCD=90°,∠B+∠BCD=90°,∴∠ACD=2.解析∵∠C=90°,AB=5,BC=3,∴AC=AB2-BC故AC的長為4,sinA的值為353.B∵∠C=90°,AB=10,AC=6,∴BC=8,∴sinA=45,故A錯誤;cosA=35,故B正確,D錯誤;tanA=434.解析如圖所示,設(shè)擊球點到地面的垂直距離為線段AC的長,羽毛球的落地點為點B,易知∠C=90°,∴cosB=cosα=2425,∵cosB=BCAB,AB=12.5米,∴BC12.5=2425,∴BC=12米,在Rt△ABC中,AC2=AB2-BC2=12.52-122=12.25,∴AC=3.5米,3.答:運(yùn)動員躍起的高度是0.8米.5.解析∵cosθ+sinθ=62,∴(cosθ+sinθ)2=622,∴cos2θ+2cosθ·sinθ+sin2θ=32,∴cosθ·sin(1)tanθ+1tanθ(2)∵(cosθ-sinθ)2=cos2θ-2cosθ·sinθ+sin2θ=1-2×14=12,∴cosθ-sinθ=±22,∴|cosθ6.解析通過計算器計算可得:①sin30°=2sin15°cos15°;②sin36°=2sin18°cos18°;③sin45°=2sin22.5°cos22.5°;④sin60°=2sin30°cos30°;⑤sin80°=2sin40°cos40°.猜想:若0°<α<90°,則sinα=2sinα2能力提升全練7.B∵∠C=90°,AB=5,cosA=ACAB=45,∴AC=AB·cosA=5×45=4,∴BC=AB2-AC2=528.解析在△ABC中,∠C=90°,∴c2=a2+b2,∵b2=ac,∴c2=a2+ac,等式兩邊同時除以ac得ca令ac=x,則有1x=x+1,∴x2+x-1=0,解得x1=5-12,x2=-1-52(舍去),當(dāng)x=5-12時,x≠0,∴x=9.答案解析連接AF、CF,過點F作FM⊥AB于M,∵四邊形CDFE是邊長為1的正方形,∴∠ACB=∠ADF=∠BEF=90°,∴AB=32∵S△ABC=S△ACF+S△BCF+S△ABF,∴12×3×4=12×3×1+12×4×1+12×5FM,∴FM=1,在Rt△BEF中,BF10.答案解析解法一:在AD上取一點G,在網(wǎng)格中取點F,構(gòu)建△AFG為等腰直角三角形,則∠FAG=∠BAC=45°,∴∠BAC>∠EAD.解法二:連接NH,BC,過N作NP⊥AD于P,設(shè)網(wǎng)格中的小正方形邊長均為1,則S△ANH=2×2-12×1×2×2-12×1×1=12AH·NP,即32=52PN,∴PN=35,在Rt△ANP中,sin∠NAP=PNAN∵銳角的正弦值隨著角度的增大而增大,∴∠BAC>∠DAE.故答案為>.11.解析(1)如圖所示.(2)45.提示:如圖,連接OA,∵AC=BC,CD平分∠ACB,∴AD=BD=12AB=12×485=245,CD⊥AB,∵☉O的半徑為5,∴OD=OA2-AD2=52素養(yǎng)探究全練12.解析(1)當(dāng)頂角為60°時,等腰三角形底角為60°,則三角形為等邊三角形,根據(jù)正對定義,可知sad60°=11=1.(2)當(dāng)∠A接近0°時,sadA接近0,當(dāng)∠A接近180°時,等腰三角形的底接近腰的二倍,故sadA接近2.于是sadA的取值范圍是0<sadA<2.故答案為0<sadA<2.(3)如圖,在△ABC中