數(shù)學(xué)-專題20 平面直角坐標(biāo)系中的正方形（帶答案）

專題20平面直角坐標(biāo)系中的正方形1．如圖，在正方形OABC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣3，1），點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是4，則B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（）A．（﹣2，4），（1，3） B．（﹣2，4），（2，3）C．（﹣3，4），（1，4） D．（﹣3，4），（1，3）【答案】A【分析】作CD⊥x軸于D，作AE⊥x軸于E，作BF⊥AE于F，由AAS證明△AOE≌△OCD，得出AE=OD，OE=CD，由點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣3，1），得出OE=3，AE=1，∴OD=1，CD=3，得出C（1，3），同理：△AOE≌△BAF，得出AE=BF=1，OE﹣BF=3﹣1=2，得出B（﹣2，4）即可．【詳解】解：如圖所示：作CD⊥x軸于D，作AE⊥x軸于E，作BF⊥AE于F，則∠AEO=∠ODC=∠BFA=90°，∴∠OAE+∠AOE=90°．∵四邊形OABC是正方形，∴OA=CO=BA，∠AOC=90°，∴∠AOE+∠COD=90°，∴∠OAE=∠COD．在△AOE和△OCD中，∵，∴△AOE≌△OCD（AAS），∴AE=OD，OE=CD．∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣3，1），∴OE=3，AE=1，∴OD=1，CD=3，∴C（1，3）．同理：△AOE≌△BAF，∴AE=BF=1，OE﹣BF=3﹣1=2，∴B（﹣2，4）．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

2．如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD如圖擺放，若頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過(guò)D作DM⊥x軸于M，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=AD，∠BAD=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠ABO=∠DAO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DM=OA，AM=OB，于是得到結(jié)論．【詳解】解：如圖所示，過(guò)D作DM⊥x軸于M，四邊形ABCD是正方形，AB=AD，∠BAD=90°，∠AOB=∠AMD=90°，∠BAO+∠DAM=∠ABO+∠BAO=90°，∠ABO=∠DAM，

，DM=OA，AM=OB，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(a，0)，(0，b)，OA=a，OB=b，

DM=a，AM=b，OM=b-a，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(a-b，-a)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、C、F在坐標(biāo)軸上，E是OA的中點(diǎn)，四邊形AOCB是矩形，四邊形BDEF是正方形，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，0)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

）A．(1,3) B．(1，) C．(1，) D．(，)【答案】A【分析】過(guò)D作DH⊥y軸于H，根據(jù)矩形和正方形的性質(zhì)得到AO=BC，DE=EF=BF，∠AOC=∠DEF=∠BFE=∠BCF=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】過(guò)D作DH⊥y軸于H，∵四邊形AOCB是矩形，四邊形BDEF是正方形，∴AO=BC，DE=EF=BF，∠AOC=∠DEF=∠BFE=∠BCF=90°，∴∠OEF+∠EFO=∠BFC+∠EFO=90°，∴∠OEF=∠BFO，∴△EOF≌△FCB（ASA），∴BC=OF，OE=CF，∴AO=OF，∵E是OA的中點(diǎn)，

∴OE=OA=OF=CF，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），∴OC=3，∴OF=OA=2，AE=OE=CF=1，同理△DHE≌△EOF（ASA），∴DH=OE=1，HE=OF=2，∴OH=2，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，3），故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．4．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C位于第一象限，點(diǎn)B位于第四象限，四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，與x軸正半軸的夾角為，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，作軸，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，根據(jù)勾股定理可得，再利用含30度直角三角形的性質(zhì)，求解即可．【詳解】解：連接，作軸，如下圖：

由正方形的性質(zhì)可得，，，則，由題意可得：，∴，∴，∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，勾股定理以及含30度直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)，作出輔助線．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的頂點(diǎn)A在x軸正半軸上，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)M是正方形OABC的對(duì)稱中心，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），將△ABD沿AD折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，連接EM，當(dāng)EM的值最小時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

）A．（4﹣4，8） B．（8﹣8，8） C．（16﹣8，8） D．（4，8）【答案】C【分析】如圖，連接AC．當(dāng)點(diǎn)E落在CM上時(shí)，EM的值最?。C明CE=DE=DB，利用參數(shù)構(gòu)建方程求出CD即可．【詳解】解：如圖，連接AC．，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)E落在CM

上時(shí)，EM的值最?。逤（0，8），∴OC=8，∵四邊形OABC是正方形，∴∠B=90°，∠DCE=45°，OC=BC，由翻折的性質(zhì)可知∠DEA=∠B=∠DEC=90°，DB=DE，∴EC=DE，設(shè)EC=DE=DB=x，則CD=x，∴x+x=8，∴，∴CD=，∴D（，8）．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，中心對(duì)稱，翻折變換，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問(wèn)題．6．如圖，在中，頂點(diǎn)，，，將與正方形組成的圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】【分析】先求出，再利用正方形的性質(zhì)確定點(diǎn)，由題意可得每4

次一個(gè)循環(huán)，由于，所以第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，相當(dāng)于與正方形組成的圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2次，由此求出點(diǎn)D坐標(biāo)即可．【詳解】解：，，，∵四邊形為正方形，，，∵每次旋轉(zhuǎn)，，∴每旋轉(zhuǎn)4次一個(gè)循環(huán)，，∴第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，相當(dāng)于與正方形組成的圖形再繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2次，每次旋轉(zhuǎn)，∴第1次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，第2次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化??旋轉(zhuǎn)，正方形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是找出D點(diǎn)坐標(biāo)變化的規(guī)律．7．如圖，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，2）．點(diǎn)D、E分別在AB、BC邊上，BD=BE=1．沿直線DE將△BDE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處．則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為_(kāi)____．

【答案】（2，1）．【分析】由四邊形OABC是矩形，BE=BD=1，易得△BED是等腰直角三角形，由折疊的性質(zhì)，易得∠BEB′=∠BDB′=90°，又由點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，2），即可求得點(diǎn)B′的坐標(biāo)．【詳解】解：∵四邊形OABC是矩形，∴∠B=90°，∵BD=BE=1，∴∠BED=∠BDE=45°，∵沿直線DE將△BDE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，∴∠B′ED=∠BED=45°，∠B′DE=∠BDE=45°，B′E=BE=1，B′D=BD=1，∴∠BEB′=∠BDB′=90°，∴四邊形是正方形，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，2），∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（2，1）．故答案為（2，1）．【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)D的直線交x軸、y軸于點(diǎn)M、N，四邊形、、，…均為正方形．（1）正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____；（2）若如此連續(xù)組成正方形，則正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】

10

【分析】（1）過(guò)D作軸于P，軸于Q，由的坐標(biāo)得出與的長(zhǎng)，在正方形中的四個(gè)角為直角，四條邊相等，由“同角的余角相等”得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，且，利用證得，由該全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到，

，求出與的長(zhǎng)，在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，即為正方形的邊長(zhǎng)；（2）由同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，得到與相似，由相似得比例，將各自的值代入求出的長(zhǎng)，即為正方形的邊長(zhǎng)，同理求出的邊長(zhǎng)，以此類推，即可得到正方形的邊長(zhǎng)．【詳解】解：（1）過(guò)D作軸于P，軸于Q，∵，∴，，∵四邊形正方形，∴，，∴，又∵，∴，∵在和中，，∴，∴，，在中，根據(jù)勾股定理得：，∴正方形的邊長(zhǎng)為10；（2）∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，即，又∵，

∴；同理得到，．故答案是：（1）10；（2）．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，鍛煉了學(xué)生歸納總結(jié)的能力．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為1的正方形的兩邊在坐標(biāo)軸上，以它的對(duì)角線為邊做正方形，再以正方形的對(duì)角線為邊做正方形……以此類推，則正方形的邊長(zhǎng)是_____________【答案】【分析】首先先求出的長(zhǎng)度，找出正方形邊長(zhǎng)的變化規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律獲得答案即可．【詳解】解：根據(jù)題意可知，正方形的邊長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為，

正方形的邊長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為，……可知正方形的邊長(zhǎng)為，所以，正方形的邊長(zhǎng)是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及一個(gè)循環(huán)規(guī)律歸納的題目，解答此題的關(guān)鍵是確定每次正方形的邊長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的倍．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，C分別在x軸、y軸上，四邊形ABCO是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)P為OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DP、AP，當(dāng)點(diǎn)P滿足DP+AP的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)__________．【答案】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得點(diǎn)A，C關(guān)于直線對(duì)稱，連接交于P，連接，則此時(shí)，的值最小，求得直線的解析式為，直線的解析式為，聯(lián)立求得．【詳解】∵四邊形是正方形∴點(diǎn)A，C關(guān)于直線對(duì)稱連接交于P，連接，則此時(shí)，的值最小

∵∴∵D為的中點(diǎn)∴∴設(shè)直線的解析式為：∴解得∴直線的解析式為：∵直線的解析式為聯(lián)立得解得∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱求線段和的最小值，正方形的性質(zhì)，一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．11．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，過(guò)點(diǎn)作直線軸于，作直線軸于，點(diǎn)、分別是直線和直線上的點(diǎn)，且．

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)、分別在線段和線段上時(shí)，求的周長(zhǎng)；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，猜想線段、和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)若，直接寫出的長(zhǎng)．【答案】(1)8(2)，證明見(jiàn)解析(3)或【分析】（1）在線段的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，使，連接．由題意知四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，先證，再證，通過(guò)等量代換可得；（2）在線段上取一點(diǎn)E，使，連接．同（1）可證，，通過(guò)等量代換可得；（3）分點(diǎn)在線段上和在線段的延長(zhǎng)線上兩種情況，利用（1）（2）結(jié)論，通過(guò)勾股定理解即可．【詳解】（1）解：如圖，在線段的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，使，連接．點(diǎn)的坐標(biāo)是，直線軸于，直線軸于，，，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，，在和中，

，，，．，，

，，在和中，，，．，即的周長(zhǎng)是8；（2）解：，理由如下：如圖，在線段上取一點(diǎn)E，使，連接．在和中，，，，．，，，

，在和中，，，．；（3）解：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖：

，，由（1）知的周長(zhǎng)是8，，在中，，，解得，；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖：同（2）可證，，，

，在中，，，解得，，綜上，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，難度較大，解題的關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線構(gòu)造全等三角形．12．從反思中總結(jié)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是一個(gè)重要的學(xué)習(xí)方法．例如，我們?cè)谌葘W(xué)習(xí)中所總結(jié)的“一線三等角、K型全等”這一基本圖形，可以使得我們?cè)谟^察新問(wèn)題的時(shí)候很迅速地聯(lián)想，從而借助已有經(jīng)驗(yàn)，迅速解決問(wèn)題．(1)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是正方形，且，點(diǎn)E是線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，M是線段上一動(dòng)點(diǎn)（不包括點(diǎn)O、B），作，垂足為M，且．設(shè)，請(qǐng)你利用基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；(2)基本經(jīng)驗(yàn)有利有弊，當(dāng)基本經(jīng)驗(yàn)有利于新問(wèn)題解決的時(shí)候，這是基本經(jīng)驗(yàn)的正遷移；當(dāng)基本經(jīng)驗(yàn)所形成的思維定勢(shì)局限了新問(wèn)題的思考，讓新問(wèn)題解決不出來(lái)的時(shí)候，這是基本經(jīng)驗(yàn)的負(fù)遷移．例如，如果（1）的條件去掉“且”，加上“交的平分線于點(diǎn)N”，如圖2，求證：．如何突破這種定勢(shì)，獲得問(wèn)題的解決，請(qǐng)你寫出你的證明過(guò)程．(3)如圖3，請(qǐng)你繼續(xù)探索：連接交于點(diǎn)F，連接，下列兩個(gè)結(jié)論：①的長(zhǎng)度不變；②平分，請(qǐng)你指出正確的結(jié)論，并給出證明．【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析；(3)結(jié)論②平分成立，見(jiàn)解析．

【分析】（1）如圖1，作于G，求出，利用證明，可得，，進(jìn)而可得點(diǎn)N的坐標(biāo)；（2）如圖2，在上取，連接，求出，證明，即可得到，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）結(jié)論②平分成立．如圖3，在延長(zhǎng)線上取，證明，可得，，求出，證明，可得，然后過(guò)M作于P，可得，，根據(jù)，，可得，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖1，作于G，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∵，，∴，，∴，∴點(diǎn)N坐標(biāo)為，

故答案為：；（2）證明：如圖2，在上取，連接，∵，，∴，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（3）結(jié)論②平分成立．證明：如圖3，在延長(zhǎng)線上取，

在和中，，∴，∴，，由（2）知，，，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，過(guò)M作于P，則，∵是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，即平分．（由證明過(guò)程可知，顯然的長(zhǎng)度是變化的，故的長(zhǎng)度是變化的，結(jié)論①錯(cuò)誤）．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，記住一些基本圖形，可以使得我們?cè)谟^察新問(wèn)題的時(shí)候很迅速地聯(lián)想，使解題事半功倍．

13．如圖，正方形的各邊都平行于坐標(biāo)軸，點(diǎn)、分別在直線和軸上，若點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)．(1)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到橫坐標(biāo)時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)求出當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，直線的函數(shù)解析式．(3)若點(diǎn)橫坐標(biāo)為，且滿足時(shí)，請(qǐng)你求出對(duì)角線AC在移動(dòng)時(shí)所掃過(guò)的四邊形的面積．【答案】(1)C（9，0）(2)y＝?x＋3(3)24【分析】（1）把x＝2代入y＝2x求出A的坐標(biāo)，根據(jù)正方形性質(zhì)求出B、C的坐標(biāo)；（2）求出A、C的坐標(biāo)，設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，把A、C的坐標(biāo)代入得出方程組，求出方程組的解即可；（3）根據(jù)圖形得出面積是一個(gè)梯形EFCA的面積，分別求出△OEF和△OAC的面積，相減即可求出答案．【詳解】（1）當(dāng)x＝3時(shí)，y＝2x＝6，則A（3，6）∴B（9，6）∴C（9，0）．（2）當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2x＝2，∴A（1，2），∴B（3，2），∴C（3，0），設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為：y＝kx＋b，∴，

解得：，∴y＝?x＋3，即AC的函數(shù)表達(dá)式為：y＝?x＋3．（3）如圖，對(duì)角線AC掃過(guò)的四邊形的形狀為梯形為梯形EFCA，當(dāng)1≤m≤3時(shí)，由（2）得m＝1∴A（1，2），即E（1，2），此時(shí)C（3，0），即F（3，0），又由（1）知：m＝3時(shí)，A（3，6），C（9，0）△AOC的面積＝×9×6＝27，△OEF的面積＝×3×2＝3掃過(guò)的面積S梯形EFCA＝27?3＝24，答：對(duì)角線AC在移動(dòng)時(shí)所掃過(guò)的四邊形的面積是24．【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，點(diǎn)的坐標(biāo)，正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，對(duì)學(xué)生提出較高的要求．14．如圖1，已知正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B分別在y軸和x軸上，邊CD交x軸的正半軸于點(diǎn)E．

（1）若A（0，a），且，求A點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，若3AO=4EO，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，連接AC交x軸于點(diǎn)F，點(diǎn)H是A點(diǎn)上方y(tǒng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AF、AH為邊作平行四邊形AFGH，使G點(diǎn)恰好落在AD邊上，試探討B(tài)F，HG與DG的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）A（0，4）或（0，）；（2）D（4，2）或（4，）；（3）2HG2＋DG2＝4BF2，詳見(jiàn)解析【分析】（1）由，得出a=±4，即可得出結(jié)果；（2）當(dāng)A（0,4）時(shí)，作DN⊥OE于N，作AM⊥DN于M，連AE，由AAS證得△AOB≌△AMD，得出AM＝AO＝4，求出EO＝3，在Rt△AOE中，AE2＝AO2＋EO2＝25，在Rt△ADE中，AD2＋DE2＝AE2，設(shè)D（4，m），代入求出m＝2，即可得出結(jié)果；同理當(dāng)A（0,-4）時(shí)，可求出D點(diǎn)坐標(biāo)；（3）作FP⊥AD于P，連DF，在Rt△AFP中，得到HG＝AF＝PF，證明BF＝DF與BF＝GF，得出點(diǎn)P是DG的中點(diǎn)，在Rt△PDF中，PF2＋DP2＝DF2，即（）2＋（）2＝BF2，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：∵,∴a=±4，∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4）或（0，-4）；（2）當(dāng)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4）時(shí)作DN⊥OE于N，作AM⊥DN于M，連AE，如圖1所示：

則∠BAD＝∠OAM＝90°，即∠BAO＋∠OAD＝∠OAD＋∠DAM，∴∠BAO＝∠DAM，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ADE＝90°，在△AOB與△AMD中，，∴△AOB≌△AMD（AAS），∴AM＝AO＝4，∴四邊形AONM是正方形，∴MN＝ON＝4，∵3AO＝4EO，∴EO＝3，在Rt△AOE中，AE2＝AO2＋EO2＝42＋32＝25，在Rt△AMD中，AD2＝AM2＋DM2，在Rt△DNE中，ED2＝EN2＋DN2，在Rt△ADE中，AD2＋DE2＝AE2，∴AM2＋DM2＋EN2＋DN2＝25，設(shè)D（4，m），則DM＝4?m，EN＝4?3＝1，DN＝m，∴42＋（4?m）2＋12＋m2＝25，∴m＝2，

∴D（4，2）當(dāng)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-4）時(shí)，同理可得D（4，-2）（3）解：2HG2＋DG2＝4BF2，理由如下：過(guò)點(diǎn)F作FP⊥AD于P，連DF，如圖2所示：∵四邊形AFGH是平行四邊形，∴HG＝AF，AH∥GF，∴∠FGA＝∠GAH，∴∠FGD＝∠OAG，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠CAD＝∠BCF＝∠DCF＝45°，∠BAD＝∠CDA＝∠ABC＝90°，∴△APF是等腰直角三角形，∴PF=AP,∴∴AF＝PF，∴HG＝AF＝PF，故PF＝，在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS），

∴BF＝DF，∠CBF＝∠CDF，∵∠FDG＝90°?∠CDF，∠ABO＝90°?∠CBF，∴∠FDG＝∠ABO，∵∠OAG＋∠OAB＝90°，∠ABO＋∠OAB＝90°，∴∠OAG＝∠ABO，∴∠FGD＝∠FDG，∴GF＝DF＝BF，∴點(diǎn)P是DG的中點(diǎn)，∴DP＝，在Rt△PDF中，PF2＋DP2＝DF2，即（）2＋（）2＝BF2，∴2HG2＋DG2＝4BF2．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握正方形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．15．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，以為邊在右側(cè)作正方形（1）當(dāng)點(diǎn)在軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)（用表示）；（2）當(dāng)時(shí)，如圖2，為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，，連交于點(diǎn)，求的值；（3）如圖3，在第（2）問(wèn)的條件下，、分別為、上的點(diǎn)，作軸交于，作軸交于，是與的交點(diǎn)，若，試確定的大小，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）C（m+4，m）；（2）4；（3）45°，證明見(jiàn)解析【分析】（1）如圖1中，作CE⊥x軸于E．利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（2）如圖2中，作ME⊥y軸于E，作MF∥OA交OD于F

．構(gòu)造平行四邊形，全等三角形解決問(wèn)題即可；（3）如圖3中，延長(zhǎng)CO到M，使得OM=DE．則△AOM≌△ADE．設(shè)AG=a，AH=b，由題意DE=a，OF=b，EK=DH=4-b，EC=OG=4-a，利用勾股定理想辦法證明EF=OF+DE=FM，再證明△AFM≌△AFE，可得∠FAM=即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）如圖1中，作CE⊥x軸于E．∵∠AOB=∠ABC=∠CEB=90°，∴∠ABO+∠OAB=90°，∠ABO+∠CBE=90°，∴∠OAB=∠CBE，∵AB=BC，∴△ABO≌△BCE，∴CE=OB=m，BE=OA=4，∴C（m+4，m）．（2）如圖2中，作ME⊥y軸于E，作MF∥OA交OD于F．∵∠MEP=∠MPC=∠COP=90°，∴∠MPE+∠PME=90°，∠MAE+∠CPO=90°，∴∠PME=∠CPO，∵PM=PC，∴△MEP≌△OPC，∴PE=OC=AO，EM=OP，∴OP=AE=EM，∴∠EAM=45°，∵∠AOD=45°，∴∠EAM=∠AOD，

∴AM∥ON，∵OA∥MF，∴四邊形AMFO是平行四邊形，∴FM=OA=CD，MF∥CD，AM=OF，∴∠NDC=∠NFM，∵∠MNF=∠CND，∴△CDN≌△MFN，∴FN=DN，∴AM+2DN=OF+DF=OD=4．（3）如圖3中，延長(zhǎng)CO到M，使得OM=DE．則△AOM≌△ADE．設(shè)AG=a，AH=b，由題意DE=a，OF=b，EK=DH=4-b，EC=OG=4-a，∵S四邊形KFCE=2S四邊形AGKH，∴（4-a）（4-b）=2ab，∴16-4（a+b）+ab=2ab，∴ab=16-4（a+b），∴2ab=32-8（a+b），在Rt△EFC中，EF=∴EF=OF+DE=OF+OM=FM，∵AF=AF，AM=AE，∴△AFM≌△AFE，∴∠FAM=∠FAE，∵∠DAE=∠OAM，∴∠EAM=∠DAO=90°，∴∠EAF=45°．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或特殊四邊形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)C為邊AB的中點(diǎn)，正方形OBDE的頂點(diǎn)E在x軸的正半軸上，連接CO，CD，CE．(1)線段OC的長(zhǎng)為_(kāi)____；(2)求證：△CBD≌△COE；(3)將正方形OBDE沿x軸正方向平移得到正方形O1B1D1E1，其中點(diǎn)O，B，D，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)O1，B1，D1，E1，連接CD，CE，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（a，0），其中a≠2，△CD1E1的面積為S．①當(dāng)1＜a＜2時(shí)，請(qǐng)直接寫出S與a之間的函數(shù)表達(dá)式；②在平移過(guò)程中，當(dāng)S=時(shí)，請(qǐng)直接寫出a的值．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)①S=﹣a+1；②當(dāng)S=時(shí)，a=或【分析】（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1），根據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng)，再由點(diǎn)C為邊AB的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，即可求得線段OC的長(zhǎng)；（2）由四邊形OBDE是正方形，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，易得BD=OE，BC=OC，∠CBD=∠COE，即可證得：△CBD≌△