數(shù)學(xué)-2.6.1 菱形的性質(zhì)（講解課件）-【】2022-2023學(xué)年八年級下冊初二數(shù)學(xué)同步備課（湘教版）

2.6菱形第2章四邊形2.6.1菱形的性質(zhì)情景引入欣賞下面圖片，圖片中框出的圖形是你熟悉的嗎？欣賞視頻，前面的圖片中出現(xiàn)的圖形是平行四邊形，和視頻中菱形一致，那么什么是菱形呢？這節(jié)課讓我們一起來學(xué)習(xí)吧.點擊視頻

開始播放→平行四邊形矩形前面我們學(xué)習(xí)了平行四邊形和矩形，知道了矩形是由平行四邊形角的變化得到，如果平行四邊形有一個角是直角時，就成為了矩形.有一個角是直角菱形的性質(zhì)思考如果從邊的角度，將平行四邊形特殊化，內(nèi)角大小保持不變僅改變邊的長度讓它有一組鄰邊相等，這個特殊的平行四邊形叫什么呢?

平行四邊形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形.菱形鄰邊相等菱形是特殊的平行四邊形.平行四邊形不一定是菱形.歸納總結(jié)活動1如何利用折紙、剪切的方法，既快又準確地剪出一個菱形的紙片？觀看下面視頻：點擊視頻

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→問題2根據(jù)上面折疊過程，猜想菱形的四邊在數(shù)量

上有什么關(guān)系?菱形的兩條對角線有什么關(guān)系?活動2在自己剪出的菱形上畫出兩條折痕，折疊手中

的圖形(如圖)，并回答以下問題：問題1菱形是軸對稱圖形嗎?如果是，

指出它的對稱軸.

是，兩條對角線所在直線都是它的對稱軸

猜想1菱形的四條邊都相等.

猜想2菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.

求證：(1)AB=BC=CD=AD；

(2)AC⊥BD；∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，

∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.

證明：(1)∵四邊形

ABCD

是平行四邊形，∴AB=CD，AD

=BC

(平行四邊形的對邊相等).又∵AB

=

AD，

∴AB

=

BC

=

CD

=AD.ABCOD證一證已知：如圖，在平行四邊形

ABCD中，

AB=AD，對角線

AC與

BD相交于點

O.

(2)∵AB=AD，

∴△ABD是等腰三角形.又∵四邊形

ABCD是平行四邊形，∴OB=OD(平行四邊形的對角線互相平分).在等腰△ABD中，∵OB=OD，

∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，即

AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.

同理可證∠DCA=∠BCA，

∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.ABCOD

菱形是特殊的平行四邊形，它除具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還有平行四邊形所沒有的特殊性質(zhì).對稱性：是軸對稱圖形.邊：四條邊都相等.對角線：互相垂直，且每條對角線平分一組對角.

角：對角相等.邊：對邊平行且相等.對角線：互相平分.菱形的特殊性質(zhì)平行四邊形的性質(zhì)歸納總結(jié)例1如圖，在菱形

ABCD中，對角線

AC、BD相交于點

O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周長．解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD.∵AC＝6cm，BD＝12cm，∴AO＝3cm，BO＝6cm.在Rt△ABO中，由勾股定理得∴菱形的周長＝4AB＝4×＝(cm)．典例精析例2如圖，在菱形

ABCD中，CE⊥AB于點

E，CF⊥AD于點

F，求證：AE＝AF.證明：連接

AC.∵四邊形

ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD，即∠BAC＝∠DAC.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°.又∵AC＝AC，∴△ACE≌△ACF.∴AE＝AF.

菱形是軸對稱圖形，它的兩條對角線所在的直線都是它的對稱軸，每條對角線平分一組對角．歸納證明：∵四邊形

ABCD為菱形，∴AD∥BC，AD＝BA，

∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB.∴∠DAE＝∠AEB.∵AB＝AE，∴∠ABC＝∠AEB，

∴∠ABC＝∠DAE.

∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.

又∵AD＝BA

，∴△AOD≌△BEA.∴AO＝BE.例3如圖，E為菱形

ABCD邊

BC上一點，且

AB=AE，AE交

BD于

O，且∠DAE=2∠BAE，求證：OA=EB.ABCDOE1.如圖，在菱形

ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，則

△ABD的周長是

(

)A.10B.12C.15D.20C練一練2.如圖，菱形

ABCD

的周長為

48

cm，對角線

AC、BD

相交于

O

點，E

是

AD

的中點，連接

OE，則線段

OE

的長為_______.第1題圖第2題圖6cm思考：菱形是不是中心對稱圖形?如果是，那么對稱中心是什么？菱形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心.由于菱形是平行四邊形，因此O做一做：把圖中的菱形

ABCD沿直線

DB對折，點

A的對應(yīng)點是______，點

C的對應(yīng)點是_____，點

D的對應(yīng)點是_____，點

B的對應(yīng)點是_____，邊

AD的對應(yīng)邊

是

，邊

CD的對應(yīng)邊是

，邊

AB的對應(yīng)邊是

，邊

CB的對應(yīng)邊是

.點

C點

A邊

CD點

B點

D邊

AD邊

CB邊

AB想一想：你能得到什么結(jié)論？菱形是軸對稱圖形，兩條對角線所在直線都是它的對稱軸.菱形的面積問題1

菱形是特殊的平行四邊形，那么能否利用平行四邊形的面積公式計算菱形

ABCD的面積呢?ABCD思考

前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了菱形的對角線互相垂直，那么能否利用對角線來計算菱形

ABCD的面積呢?能.過點

A作

AE⊥BC于點

E，則

S菱形ABCD=底×高

=BC·AE.E問題2

如圖，四邊形

ABCD是菱形，對角線

AC，BD交于點

O，試用對角線表示出菱形

ABCD的面積.ABCDO解：∵四邊形

ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴S菱形ABCD=S△ABC

+S△ADC=AC·BO+AC·DO=AC(BO+DO)=AC·BD.你有什么發(fā)現(xiàn)？

菱形的面積=

底×高=

對角線乘積的一半例4如圖，在菱形

ABCD中，點

O為對角線

AC與

BD的交點，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形

ABCD兩對邊的距離

h.解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，∴S△AOB＝OA·OB＝×5×12＝30.∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.又∵菱形兩組對邊的距離相等，∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h.∴13h＝120，得

h＝.

菱形的面積計算有如下方法：(1)

一邊長與對邊的距離(即菱形的高)的積；(2)

四個小直角三角形的面積之和(或一個小直角三角形面積的

4

倍)；(3)

兩條對角線長度乘積的一半．歸納例5如圖，菱形花壇

ABCD的邊長為20m，∠ABC＝60°，沿著菱形的對角線修建了兩條小路

AC和

BD，求兩條小路的長和花壇的面積(結(jié)果分別精確到0.01m和0.1m2).A

B

C

D

O

解：∵花壇

ABCD是菱形，【變式題】

如圖，在菱形

ABCD

中，∠ABC

與∠BAD的度數(shù)比為

1∶2，周長是

8

cm．求：(1)兩條對角線的長度；(2)菱形的面積．解：(1)∵四邊形

ABCD

是菱形，∴AB

=

BC，AC⊥BD，AD∥BC.∴∠ABC

+∠BAD

=

180°.∵∠ABC

與∠BAD

的度數(shù)比為

1∶2，∴∠ABC

=×180°

=60°.∴∠ABO

=×∠ABC

=30°，△ABC是等邊三角形.∵菱形

ABCD

的周長是

8

cm．∴

AB

=

2

cm.∴OA

=AB

=

1

cm，AC

=

AB

=

2

cm.

∴BD

=

2OB

=

cm.=×2×=

(cm2)．

菱形中的相關(guān)計算通常轉(zhuǎn)化為直角三角形或等腰三角形，當菱形中有一個角是60°

時，菱形被分為以60°

為頂角的兩個等邊三角形.歸納(2)S菱形ABCD

=AC?BD練一練如圖，已知菱形的兩條對角線長分別為

6

cm

和

8

cm，則這個菱形的高

DE

為（）A.2.4

cm

B.4.8

cm

C.5

cm

D.9.6

cmB1.菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）

A.對角相等B.對邊相等C.對角線互相垂直D.對角線相等C2.如圖，在菱形

ABCD

中，AC

=

8，BD

=

6，則

△ABD的周長等于（）A.18

B.16C.15D.14B3.根據(jù)下圖填一填：（1）已知菱形ABCD的周長是12cm，那么它的邊長是______.（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，則∠BAC＝_______.（3）菱形ABCD的兩條對角線長分別為6cm和8cm，則菱形的邊長是_______.3cm30°ABCOD5cm(4)菱形的一個內(nèi)角為120°，平分這個內(nèi)角的對角線長為11cm，菱形的周長為_

_____.44cm(5)菱形的面積為64cm2，兩條對角線的比為1∶2，

那么菱形最短的那條對角線長為_______.8cmABCOD4.如圖，四邊形

ABCD是邊長為13cm的菱形，其中對角線

BD長10cm.求：(1)對角線

AC的長度；(2)菱形

ABCD的面積.解：(1)∵四邊形

ABCD是菱形，∴∠AED=90°，(2)菱形ABCD的面積∴AC=2AE=2×12=24(cm).DBCAE5.如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點，DF交AC于E．求證：∠AFD=∠CBE．

證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴CB=CD，CA平分∠BCD．∴∠BCE=∠DCE．又CE=CE，∴△BCE≌△DCE（SAS）．∴∠CBE=∠CDE．∵在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD=∠EDC.∴∠AFD=∠CBE．ADCBFE6.如圖，O是菱形

ABCD對角線

AC與