第20屆華杯賽小高決賽B卷-解析

讓學(xué)習(xí)更有效第二十屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題B（小學(xué)高年級(jí)組）一、填空題（每小題10份，共80分）1.計(jì)算：________．【難度】★【考點(diǎn)】計(jì)算：提取公因數(shù)【答案】【解析】2.甲、乙、丙、丁四人共植樹(shù)60棵．已知，甲植樹(shù)的棵數(shù)是其余三人的二分之一，乙植樹(shù)的棵數(shù)是其余三人的三分之一，丙植樹(shù)的棵數(shù)是其余三人的四分之一，那么丁植樹(shù)________棵．【難度】★★【考點(diǎn)】應(yīng)用題：分?jǐn)?shù)應(yīng)用題【答案】13【解析】甲=總數(shù)的三分之一=20，乙=總數(shù)的四分之一=15，丙=總數(shù)的五分之一=12，所以?。茫?.當(dāng)時(shí)間為5點(diǎn)8分時(shí)，鐘表面上的時(shí)針與分針成________度的角．【難度】★★【考點(diǎn)】行程：時(shí)鐘問(wèn)題【答案】106【解析】5點(diǎn)時(shí)，時(shí)針?lè)轴槉A角150度，每分鐘追趕度，所以8分鐘追趕度，所以成度4.某個(gè)三位數(shù)是2的倍數(shù)，加1是3的倍數(shù)，加2是4的倍數(shù)，加3是5的倍數(shù)，加4是6的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)最小為_(kāi)_______．【難度】★★【考點(diǎn)】數(shù)論：余數(shù)、最小公倍數(shù)【答案】122【解析】這個(gè)三位數(shù)減去2得到3、4、5、6的公倍數(shù)，取三位數(shù)120，所以最小值為122．5.貝塔星球有七個(gè)國(guó)家，每個(gè)國(guó)家恰有四個(gè)友國(guó)和兩個(gè)敵國(guó)，沒(méi)有三個(gè)國(guó)家兩兩都是敵國(guó)．對(duì)于一種這樣的星球局勢(shì)，共可以組成________個(gè)兩兩都是友國(guó)的三國(guó)聯(lián)盟．【難度】★★★★【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)：組合計(jì)數(shù)【答案】7【解析】用這7個(gè)點(diǎn)代表七個(gè)國(guó)家，用虛線連接表示敵國(guó)關(guān)系，用實(shí)線連接表示友國(guó)關(guān)系．則每個(gè)國(guó)家連出2條虛線，4條實(shí)線．共條虛線，其余為實(shí)線．首先說(shuō)明這7個(gè)點(diǎn)必然由7條虛線依次連接為一個(gè)閉合回路．必與兩個(gè)點(diǎn)連接虛線，不妨記為，而必然再與一個(gè)點(diǎn)連接虛線，記為；虛線連接，否則剩下3個(gè)點(diǎn)互為敵國(guó)關(guān)系；虛線連接，否則剩下兩個(gè)點(diǎn)無(wú)法由2條虛線連接；虛線連接，最后只能虛線連接．最終連線圖如下．只要選出的三個(gè)點(diǎn)沒(méi)有任何兩個(gè)相鄰則滿足條件．有135，136，146，246，247，257，357，這7種．（為了直觀我們用分別代表）6.由四個(gè)互不相同的非零數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的所有四位數(shù)之和為106656，則這些四位數(shù)中最大的是________，最小的是________．【難度】★★★【考點(diǎn)】數(shù)論:位值原理【答案】9421，1249【解析】設(shè)其中最小的四位數(shù)為，一共可組成個(gè)不同的四位數(shù)，由于每個(gè)數(shù)字在每位上均出現(xiàn)6次，則24個(gè)數(shù)和為，則四個(gè)數(shù)字之和為16，所以最大和最小的可能為，9421和1249、8521和1258、8431和1348、7621和1267、7531和1357、7432和2347、6541和1456、6532和2356．7.見(jiàn)右圖，三角形的面積為1，，，則三角形的面積為_(kāi)_______．【難度】★★★★【考點(diǎn)】幾何：等積變形【答案】【解析】設(shè)三角形的面積為，由比例關(guān)系不難得出圖中另三塊的面積分別為，再設(shè)三角形的面積為，則有，得，則三角形的面積為．8.三個(gè)大于1000的正整數(shù)滿足：其中任意兩個(gè)數(shù)之和的個(gè)位數(shù)字都等于第三個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字，那么這3個(gè)數(shù)之積的末尾3位數(shù)字有________種可能數(shù)值．【難度】★★★★★【考點(diǎn)】組合：分類討論數(shù)論綜合【答案】4【解析】設(shè)三個(gè)數(shù)的個(gè)位分別為如果都相等，則只能都為0；如果中有兩個(gè)相等，①且，必有，則，與為數(shù)字矛盾；②且，則有，則；如果都不相等，設(shè)，則，則，與為數(shù)字矛盾；綜上三個(gè)數(shù)的個(gè)位分別為0，0，0或0，5，5；⑴如果都為0，則乘積末尾3位為000；⑵如果為0，5，5①如果個(gè)位為0的數(shù)，末尾3位都為0，則乘積末尾3位為000；②如果個(gè)位為0的數(shù)，末尾2位都為0，則乘積末尾3位為500或000；③如果個(gè)位為0的數(shù)，末尾1位為0設(shè)末尾兩位為，設(shè)另外兩個(gè)末尾2位為，則，若為奇數(shù)，則乘積末尾3位為75；若為偶數(shù)則乘積為25，在乘上,無(wú)論為多少，末尾三位只有000，250，500，750這4種．綜上，積的末尾3位有000，500，250，750這4種可能．二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡(jiǎn)要過(guò)程）9.將1234567891011的某兩位數(shù)字交換能否得到一個(gè)完全平方數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由．【難度】★★★★【考點(diǎn)】數(shù)論：完全平方數(shù)【答案】不能【解析】原數(shù)的數(shù)字和為，為3的倍數(shù)，而交換數(shù)字位置不會(huì)改變數(shù)字和，所以無(wú)論怎么調(diào)整得到的數(shù)一定為3的倍數(shù)；而一個(gè)平方數(shù)如果為3的倍數(shù)，則一定為9的倍數(shù)，而48不是9的倍數(shù)，所以無(wú)法通過(guò)交換數(shù)字位置得到一個(gè)完全平方數(shù)．10.如右圖所示，從長(zhǎng)、寬、高為15，5，4的長(zhǎng)方體中切走一塊長(zhǎng)、寬、高為的長(zhǎng)方體（為整數(shù)），余下部分的體積為120，求和．【難度】★★★【考點(diǎn)】幾何：長(zhǎng)方體正方體【答案】【解析】解得；，因?yàn)闉檎麛?shù)，且，所以．11.圓形跑道上等距插著2015面旗子，甲與乙同時(shí)同向從某個(gè)旗子出發(fā)，當(dāng)甲與乙再次同時(shí)回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，甲跑了23圈，乙跑了13圈．不算起始點(diǎn)旗子位置，則甲正好在旗子位置追上乙多少次？【難度】★★★★【考點(diǎn)】行程問(wèn)題：環(huán)形跑道【答案】5次【解析】設(shè)每?jī)擅嫫熳娱g距離為1，即跑道周長(zhǎng)為．因?yàn)?，設(shè)，，甲要追上乙則需比乙多跑圈，，，即甲追上乙時(shí)所花時(shí)間，則甲追上乙時(shí)，所走路程為；要恰好在旗子位置追上，則所走路程一定為整數(shù)，即為偶數(shù)，所以（最多多跑10圈）；綜上所述，甲正好在旗子位置追上乙5次．12.兩人進(jìn)行乒乓球比賽，三局兩勝制，每局比賽中，先得11分且對(duì)方少于10分者勝，10平后多得2分者勝．兩人的得分總和都是31分，一人贏了第一局并且贏得了比賽，那么第二局的比分共有多少種可能？【難度】★★★★【考點(diǎn)】組合：體育比賽【答案】8【解析】設(shè)贏的為甲，輸?shù)臑橐遥椎谝痪肢@勝，如果第二局又勝則直接獲勝總分一定比乙多不符合題意，所以甲第二局輸?shù)谌众A．甲第一、三局都贏，則一、三局至少會(huì)比乙多得4分，所以乙第二局至少贏甲4分及以上，所以只能以11分取勝．所以第二局的比分可以為：，共8種．（乙在第二局贏了多少分，甲都可以通過(guò)一、三局贏回多少分使兩人總分相同，所以甲在第二局得分從0~7都可能；例如三局比分分別為20:18、0:11、11:2）三、解答下列各題（每小題15分，共30分，要求寫出詳細(xì)過(guò)程）13.如右圖所示，點(diǎn)M是平行四邊形ABCD的邊CD上的一點(diǎn)，且，四邊形EBFC為平行四邊形，F(xiàn)M與BC交于點(diǎn)G．若三角形FCG的面積與三角形MED的面積之差為cm2，求平行四邊形ABCD的面積．【難度】★★★★【考點(diǎn)】幾何：蝴蝶模型【答案】60【解析】連接BD令則14.設(shè)“一家之言”、“言揚(yáng)行舉”、“舉世皆知”、“知行合一”四個(gè)成語(yǔ)中的每個(gè)漢字代表11個(gè)連續(xù)的非零自然數(shù)中的一個(gè)，相同的漢字代表相同的數(shù)，不同的漢字代表不同的數(shù)．如果每個(gè)成語(yǔ)中四個(gè)漢字所代表的數(shù)之和都是21，則“行”可以代表的數(shù)最大是多少?【難度】★★★★★【考點(diǎn)】組合：最值構(gòu)造【答案】8【解析】經(jīng)觀察不難發(fā)現(xiàn)其中“一”，“言”，“舉”，“知”，“行”，各出現(xiàn)兩次，其它漢字只有