同濟大學高數(shù)第六版基本概念及公式總結

四川建院土木1301

（數(shù)學興趣小組）

目錄

第一章函數(shù)與極限藻...................................................

第一節(jié)函數(shù)...............................................................

第二節(jié)數(shù)列的極限.................................................................

第三節(jié)函數(shù)的極限................................................................

第四節(jié)無窮小與無窮大.............................................................

第五節(jié)極限四則運算法則............................................................

第六節(jié)極限存在準則、兩個重要極限..................................................

第七節(jié)無窮小的比較................................................................

第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點........................................................

第九節(jié)連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性..........................................

第十節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質......................................................

第二章導數(shù)與微分......................................................

第一節(jié)導數(shù)的概念...................................................................

第二節(jié)函數(shù)的求導法則..............................................................

第三節(jié)初等函數(shù)的求導問題...........................................................

雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導數(shù)..........................................................

第四節(jié)高階導數(shù)....................................................................

第五節(jié)隱函數(shù)的導數(shù)、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)相關辯化率......................

第六節(jié)函數(shù)的微分...................................................................

第三章中值定理與導數(shù)的應用...........................................

第一節(jié)中值定理..................................................................

第二節(jié)洛必達法則..................................................................

第三節(jié)泰勒公式....................................................................

第四節(jié)函數(shù)單調性的判定法..........................................................

第五節(jié)函數(shù)的極值與最值............................................................

第六節(jié)曲線的凹凸與拐點............................................................

第七節(jié)曲率.........................................................................

第八節(jié)方程的近似解................................................................

第四章不定積分......................................................

第一節(jié)不定積分的概念及其性質..................................................

第二節(jié)不定積分的換元積分........................................................

第三節(jié)不定積分的分部積分法.......................................................

第四節(jié)幾種特殊類型函數(shù)的積分......................................................

第五章定積分........................................................

第一節(jié)定積分概念與性質..........................................................

第二節(jié)微積分基本定理...........................................................

第三節(jié)定積分換元積分法與分部積分法..........................................

第四節(jié)廣義積分..............................................................

第六章定積分的應用................................................

定積分的元素法..................................................................

功水壓力和引力.................................................................

平均值..........................................................................

第七章空間解析幾何與向量代數(shù)......................................

第一節(jié)空間直角坐標系...........................................................

第二節(jié)向量及其加減法向量與數(shù)的乘法...........................................

第三節(jié)向量的坐標..............................................................

第四節(jié)數(shù)量積向量積混合積....................................................

第五節(jié)曲面及其方程............................................................

第六節(jié)空間曲線及其方程........................................................

第七節(jié)平面及其方程.............................................................

第八節(jié)空間直線及其方程........................................................

第九節(jié)二次曲面................................................................

第八章多元函數(shù)微分法及其應用.....................................

第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念....................................................

第二節(jié)偏導數(shù).................................................................

第三節(jié)全微分.................................................................

第四節(jié)多元復合函數(shù)的求導法則................................................

第五節(jié)隱函數(shù)的求導法則......................................................

第六節(jié)微分法在幾何上的應用...................................................

第七節(jié)方向導數(shù)與梯度.........................................................

第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法..................................................

第九章重積分.....................................................

第一節(jié)二重積分的概念與性質................................................

第二節(jié)二重積分的計算..........................................................

第三節(jié)二重積分的應用..........................................................

第四節(jié)三重積分的概念及其計算法................................................

第五節(jié)利用柱面坐標和球面坐標計算三重積分.....................................

第十章曲線積分與曲面積分.........................................

第一節(jié)對弧長的曲線積分......................................................

第二節(jié)對坐標的曲線積分......................................................

第三節(jié)格林公式及其應用......................................................

第四節(jié)對面積的曲面積分......................................................

第五節(jié)對坐標的曲面積分......................................................

第六節(jié)高斯公式通量與散度..................................................

第七節(jié)斯托克斯公式環(huán)流量與旋度...........................................

第十一章無窮級數(shù)...............................................

第一節(jié)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質...............................................

第二節(jié)常數(shù)項級數(shù)的申斂法....................................................

第三節(jié)募級數(shù).................................................................

第四節(jié)函數(shù)展開成幕級數(shù)......................................................

第五節(jié)函數(shù)的第級數(shù)展開式的應用.............................................

第七節(jié)傅里葉級數(shù).............................................................

第八節(jié)正弦級數(shù)與余弦級數(shù)....................................................

第九節(jié)周期為21的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù).......................................

第十二章微分方程................................................

第一節(jié)微分方程的基本概念...................................................

第二節(jié)可分離變量的微分方程..................................................

第三節(jié)齊次方程............................................................

第四節(jié)一階線性微分方程....................................................

第五節(jié)全微分方程............................................................

第六節(jié)可降階的高階微分方程..................................................

第七節(jié)高階線性微分方程......................................................

第八節(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程........................................

第九節(jié)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程.........................................

第十節(jié)歐拉方程..............................................................

第十一節(jié)微分方程的塞級數(shù)解法................................................

第十二節(jié)常系數(shù)線性微分方程組解法舉例.......................................

第一章函數(shù)與極限

第一節(jié)函數(shù)

教學目的：本節(jié)主要是復習高中階段學過的集合以及函數(shù)的概念、性質；介紹鄰域、

分段函數(shù)、復合函數(shù)、初等函數(shù)的概念。

教學重點：分段函數(shù)、復合函數(shù)；

一、集合、常量與變量

（-）集合

1、集合：集合是具有某種特定性質的事物所組成的全體。通常用大寫字母A、B、C……等來表

示，組成集合的各個事物稱為該集合的元素。若事物a是集合M的一個元素，就記aeM（讀

a屬于M）；若事物a不是集合M的一個元素，就記a￡M或aeM（讀a不屬于M）；集合

有時也簡稱為集。

注意：（1）對于一個給定的集合，要具有確定性的特征，即對于任何一個事物或元素，能夠判斷

它屬于或不屬于給定的集合，二者必居其一.

（2）對于一個給定的集合，其中的元素應是互異的，完全相同的元素，不論數(shù)量多少，

在一個集合里只算作一個元素，就是說，同一個元素在同一個集合里不能重復出現(xiàn).

（3）若一集合只有有限個元素，就稱為有限集；否則稱為無限集

2.集合的表示法

表示集合的方法，常見的有列舉法和描述法兩種.

列舉法：按任意順序列出集合的所有元素，并用花括號｛｝括起來，這種方法稱為列舉法.

3.全體自然數(shù)集記為N,全體整數(shù)的集合記為Z,全體有理數(shù)的集合記為Q,全體實數(shù)的集合記為Ro

以后不特別說明的情況下考慮的集合均為數(shù)集。

4.集合間的基本關系：若集合A的元素都是集合B的元素，即若有xeA,必有xeB,就稱A

為B的子集，記為Au8,或B4（讀B包含A）。

顯然：NuZuQuR.

若4u8,同時Bu4,就稱A、B相等，記為A=B。

5.不含任何元素的集稱為空集,記為①，如：+1=0,xeR｝=O,｛x:2x=-1｝=中，空集是任

何集合的子集，即①uA。

（二）區(qū)間與鄰域

1.區(qū)間

設a和b都是實數(shù)，且a<b,

數(shù)集｛xIavxvb｝稱為開區(qū)間,記作（a,b）,即

(a,b)={xIa<x<b}.

a和b稱為開區(qū)間(a,b)的端點，這里a仁(a,b),b任(a,b).

數(shù)集{xla稱為閉區(qū)間，記作[a,b],即

[a,b]={xla<x<b}.

a和b稱為閉區(qū)間[a,b]的端點，這里ae[a,b],be[a,b].

類似地可以說明：

[a,b)==(xIa<x<b),

(a,b]={xla<x<b},

[a,b)和(a,b]都稱為半開區(qū)間.

以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間.數(shù)b-a稱為這些區(qū)間的長度.從數(shù)軸上看，這些有限區(qū)間是

長度為有限的線段.閉區(qū)間[a,b]與開區(qū)間(a,b)在數(shù)軸上表示出來，分別如圖1-7(a)與(b).此外

還有無限區(qū)間，引進記號+8(讀作正無窮大)及-8(讀作負無窮大)，則可類似地表示下面的

無限區(qū)間：

[a,+8)={xIa<x},

(-8,b)={xIx<b},

全體實數(shù)的集合也可記作(-8,+8),它也是無限區(qū)間.

2.鄰域.

設3是任一正數(shù)，a為某一實數(shù)，把數(shù)集{xllx-al<3}稱為點a的6鄰域，記作

U(a,3),即

U(a,S)={xllx-aI}

點a稱為這鄰域的中心，8稱為這鄰域的半徑.

由于a-3<x<a+8相當于Ix-al<J,因此

U(a,S)={xla-b<x<a+3},也就是開區(qū)間(a-3,a+3)

因為Ix-aI表示點x與點a間的距離，所以U(a,8)表示：與點a距離小于b的一切點x的

全體.

有時用到的鄰域需要把鄰域中心去掉.點a的3鄰域去掉中心a后，稱為點a的去心的b鄰

A

域，記作U(a,6),即

A

U(a,8)={x10<lx-al<J}.

這里0<lx-al就表示xWa.

(三)常量與變量

在自然科學中，我們會遇到各種不同的量，然而在觀察這些量時，發(fā)現(xiàn)有著非常不同的狀態(tài)，有

的量在過程中不起變化，保持一定的數(shù)值，此量稱為常量；又有些量有變化，可取各種不同的數(shù)

值，這種量稱為變量。

注1：常量與變量是相對而言的，同一量在不同場合下，可能是常量，也可能是變量，如在一天

或在一年中觀察某小孩的身高；從小范圍和大范圍而言，重力加速度可是常量和變量，然而，

一旦環(huán)境確定了，同一量不能既為常量又為變量，二者必居其一。

2：常量一般用a,b,c……等字母表示，變量用x,y,u,t……等字母表示，常量a為一定值，在數(shù)軸上

可用定點表示，變量X代表該量可能取的任一值，在數(shù)軸上可用動點表示，如：xe(a/)表示x

可代表(。,編中的任一個數(shù)。

二、函數(shù)的概念

定義：設x和y為兩個變量,，。為一個給定的數(shù)集，如果對每一個按照一定的法則/變

量y總有確定的數(shù)值與之對應，就稱y為x的函數(shù)，記為y=/(x).數(shù)集。稱為該函數(shù)的定義域，

x叫做自變量，y叫做因變量。

當x取數(shù)值與€。時，依法則/的對應值稱為函數(shù)y=/(x)在x=/時的函數(shù)值。所有函數(shù)值組

成的集合卬=｛》|)，=/(x),xe。｝稱為函數(shù)》=/*)的值域。

關于函數(shù)定義的幾點說明：

(1)我們這里所講的函數(shù)是指單值函數(shù)，也就是說，對于每一個x值只能對應變量y的??個值.

(2)符號“f”的意義：

符號“f”表示自變量x與函數(shù)y的某種對應關系.例如y=f(x)=5x2+3x-l,它的對應關系'甘

是自變量的平方乘以5加上自變量的3倍減去1,我們不妨簡化為y=f()=5(y+3()-1。如x=3

時，對應的函數(shù)值是

f(3)=5x32+3x3-l.

同樣當x=a時，對應的函數(shù)值是

f(a)=5a2+3a-l.

表示函數(shù)對應法則的符號也常常用“g”、“F”等表示，這時函數(shù)就記作y=g(x)、

y=F(x)等.

(3)確定函數(shù)的兩個要素——定義域和對應法則

函數(shù)概念反映著自變量和因變量之間的依賴關系.它涉及到定義域、對應法則和值域.很明

顯，只要定義域和對應法則確定了，值域也就隨之確定.因此，定義域和對應法則是確定函數(shù)的

兩個要素，只要兩個函數(shù)的定義域和對應法則都相同，那么，這兩個函數(shù)就相同：如果定義域或

對應法則有一個不相同，那么這兩個函數(shù)就不相同.

Y

例如:函數(shù)f(x)=—與g(x)=l,因為f(x)的定義域為(-8,0)U(0,4-00),而g(x)的定義域

X

為(-8,+8),所以f(x)與g(x)是不同的函數(shù).

(4)函數(shù)定義域的求法

對于由實際問題得到的函數(shù)，其定義域應該由問題的具體條件來確定.如例1函數(shù)$=%”

中，自變量r是圓的半徑，故此函數(shù)的定義域就是(0,+8).例2中，自變量Q表示銷售的臺數(shù),

故此函數(shù)的定義域是全體自然數(shù).

若函數(shù)由公式給出時，不考慮函數(shù)的實際意義，這時函數(shù)的定義域就是使式子有意義的

變量的-切實數(shù)值.

注1：函數(shù)通常還可用＞=8(幻4=尸(外,5=〃。)等表示。

2：約定：函數(shù)的定義域就是自變量所能取的，使算式有意義的一切實數(shù)值的全體。

3、若對每一個xe。，只有唯一的一個y與之對應，就稱函數(shù)y=/(x)為單值函數(shù)；若有不

止一個y與之對應，就稱為多值函數(shù)。如：/+y2=],x2—y2=i等。以后若不特別聲明，

只討論單值函數(shù)。

4、函數(shù)的表示法有三種：解析法、圖象法、列表法。其中解析法較普遍，它是借助于數(shù)學式

子來表示對應法則，上例均為解析法，注意例3的法則是：當自變量X在(0,1］上取值，其函數(shù)

值為一；當X取。時，/(x)=-；當x在［—1,0)上取值時，其函數(shù)值為1一%。(這種函數(shù)稱為

分段函數(shù)，在以后經常遇見，希望注意！)盡管有幾個不同的算式，但它們合起來只表示一個函

數(shù)！

5、對。中任一固定的X,依照法則有一個數(shù)y與之對應，以x為橫坐標，y為縱坐標在坐標平

面上就確定了一個點。當X取遍。中的每一數(shù)時，便得到?個點集

C=^x,y^y=f(x),x&D］,我們稱之為函數(shù)y=/(x)的圖形。換言之，當x在。中變動時,

點(x,y)的軌跡就是y=/(x)的圖形。

三、函數(shù)的幾種特性

1函數(shù)的有界性：設y=/(x)在。上有定義，若對VXCDJMAO,使得：就

稱/(x)在。上有界，否則稱為無界。

注：1、若對Wxe。，3M,使得就稱/(x)在。上有上(下)界。f(x)

在。上有界Q/3)在。上同時有上界和下界。

2、/(x)在。上無界也可這樣說：對WMAO,總三項遂。，使得|/(X0)|AM。

2、函數(shù)的單調性：設函數(shù)/(x)在區(qū)間/上有定義，若對Vxpx2&I,當MY/時總有：

(1)/(%,)</(^2),就稱/(x)在/上單調遞增，特別當嚴格不等式/(XJY/(X2)成立時，就

稱/(x)在/上嚴格單調遞增。

(2)/(/)2/(々)，就稱在/上單調遞減，特別當嚴格不等式/(F)8/(乙)成立時，就

稱/(x)在/上嚴格單調遞減。

注：1、此處的定義與書上有區(qū)別，希望注意！

2、這樣的函數(shù)分別稱為單調函數(shù)和嚴格單調函數(shù)。

3、調遞增有時簡稱單增、遞增或不減，其它也一樣。

3、函數(shù)的奇偶性：設函數(shù)/*)的定義域。為對稱于原點的數(shù)集，即若尤e。，有-xe。，

(1)若對Vxe。，有/(—x)=/(x)恒成立，就稱/(x)為偶函數(shù)。

(2)若對WxeD,有/(-x)=—/3)恒成立，就稱/(x)為奇函數(shù)。

注：1、偶函數(shù)的圖形是關于y軸對稱的，奇函數(shù)的圖形是關于原點對稱的。

2、若/")是奇函數(shù)，且Oe。，則必有/(0)=0。

3、兩偶函數(shù)和為偶函數(shù)；兩奇函數(shù)和為奇函數(shù)；兩偶函數(shù)的積為偶函數(shù)；兩奇函數(shù)的積也為

偶函數(shù)；一奇一偶的積為奇函數(shù)。

4、周期性：設函數(shù)/(x)的定義域為。，如果使得對Wxe。，有x±/e。，且

/（x+/）=/（x）恒成立，就稱/（X）為周期函數(shù)，/稱為/（X）的周期。

注1：若/為/（X）的周期，由定義知2/,3/,4/……也都是/（x）的周期，故周期函數(shù)有無窮多個

周期，通常說的周期是指最小正周期（基本周期），然而最小正周期未必都存在（為什么？）

2:周期函數(shù)在一每個周期（4+8,4+（左+1）/）為任意數(shù)，左為任意常數(shù)）上，有相同的形

狀。

四、反函數(shù)

定義：設/（X）的定義域為。，值域為W,因此，對VyeW,必玉e。，使得/（x）=y,這樣

的無可能不止一個，若將y當作自變量，x當作因變量，按函數(shù)的概念，就得到一新函數(shù)x=g（y）,

稱之為函數(shù)y=/（x）的反函數(shù)，而/（x）叫做直接函數(shù)。

注1：反函數(shù)x=0（y）的定義域為W,值域為。：

2：山上討論知，即使y=/（x）為單值函數(shù)，其反函數(shù)卻未必是單值函數(shù)，以后對此問題還作

研究；

3：在習慣上往往用x表示自變量，y表示因變量，因此將x=Q（y）中的x與y對換一下，

y-7（x）的反函數(shù)就變成y=9（x）,事實上函數(shù)y=p（x）與x=0（y）是表示同一函數(shù)的，

因為，表示函數(shù)關系的字母"9"沒變，僅自變量與因變量的字母變了，這沒什么關系。所以

說：若y=/（x）的反函數(shù)為x=9（y），那么y=9（x）也是y=/（x）的反函數(shù)，且后者較常

用；

4：反函數(shù)y=夕（x）的圖形與直接函數(shù)y=f（x）的圖形是對稱于y=x

五、初等函數(shù)

（-）累函數(shù)

形如y=x"（//為常數(shù)）的函數(shù)叫做暴函數(shù)。

其定義域較為復雜，下作一些簡單的討論：

（-）當〃為非負整數(shù)時，定義域為（一8,+8）;

（1）當〃為負整數(shù)時，定義域為（一8,0）2（0,+8）；

（2）當〃為其它有理數(shù)時，要視情況而定。

（3）當〃為無理數(shù)時，規(guī)定其定義域為（0,+8）,其圖形也很復雜，但不論〃取何值，圖形

總過（1,1）點，當〃＞0時，還過（0,0）點。

（-）指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

1.指數(shù)函數(shù)：形如曠=優(yōu)（。＞0,。。1）的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)，其定義域為（—,+8）,其圖形總在X

軸上方，且過（0,1）點，

（1）當。＞1時，y=a”是單調增加的；

（2）當0＜。＜1時，y="是單調減少的;

以后我們經常遇到這樣一個指數(shù)函數(shù)y=",e的意義以后講，其圖形大致如下圖所示，特別地,

y=a*與y=a~x關于y軸對稱。

2、對數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)），=a*的反函數(shù)，記為y=log。x（。為常數(shù)，“＞0,aH1）,稱為對數(shù)函

數(shù)，其定義域為（0,+8）,山前面反函數(shù)的概念知：＞=。*的圖形和丁=1。8“工的圖形是關于

y=x對稱的，從此，不難得y=log?x的圖形，

y=log"x的圖形總在y軸右方，且過（1,0）點

（1）當a＞l時，y=log“x單調遞增，且在（0,1）為負，（1,+8）上為正；

（2）當0＜。＜1時，y=log“x單調遞減，且在（0,1）為正，（1,+8）上為負；

特別當。取e時，函數(shù)記為y=lnx,稱為自然對數(shù)函數(shù)。

（三）三角函數(shù)與反三角函數(shù)

三角函數(shù)

三角函數(shù)主要是：

正弦函數(shù)：y=sinxXG(-8,+8)

OOOO

余弦函數(shù)：y=cosxXG(-9H-)

71

正切函數(shù)：y=tan工xWnTTT——n—0,±l,±2,?

2

余切函數(shù)：y=cotxx^njrn=0,±l,±2,.......

正弦函數(shù)和余弦函數(shù)均為周期為2萬的周期函數(shù)，正切函數(shù)和余切函數(shù)均為周期為%的周期函數(shù)。

正弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)都是奇函數(shù)，余弦函數(shù)為偶函數(shù)；另外還有兩個：正割

y=secx=——和余割y=cscx=—-—，其圖形在此不做討論了。

cosxsinx

反三角函數(shù)：

反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù)，它們分別為：

反正弦函數(shù)：y=Arcsinxxe[-l,l]

反余弦函數(shù)：y=Arccosxxe[-l,l]

反正切函數(shù)：y=ArctanxXG(—8,+8)

反余切函數(shù)：y=ArccotxXG(-8,+8)

顯然反三角函數(shù)都是多值函數(shù)，單我們可選取其一個單值分支，叫做主值，選法如下:

將y=Arcsinx限制在［-標,自上，得一單值函數(shù)，記為y=arcsinx,它就是所取主值函數(shù)，

［―萬,彳］叫做主值區(qū)間，顯然——<arcsinx<—,

同理：將寸=Arccosx限制在［0,加|上,y=arccosx

將y=Arctanx限制在［-?,(■］上，得卜=arctanx

將y=Arccotx限制在［0,萬］上，得？=arccotx

從圖中不難看出arcsinx和arctanx是單調遞增的，arccosx和arccotx是單調遞減的。

六復合函數(shù)和初等函數(shù)

1.定義：設y=/(“)，定義域為。-〃=9(x),定義域為。2,值域為必，且印這樣對

于Wxw%由〃=夕(幻可算出函數(shù)值MC%所以MW2，由y=/(〃)又可算出其函數(shù)

值y,因此對于Me。？，有確定的值y與之對應，從而得一個以x為自變量，y為因變量的函數(shù),

我們稱之為以y=/(〃)為外函數(shù)，“=夕(處為內函數(shù)復合成的復合函數(shù)，記為y=/(0")),其

中〃為中間變量。

注1：并非任何兩函數(shù)都可以復合的，

2：復合可推廣到三個或更多的函數(shù)上去，

3：在函數(shù)復合中，未必都有y=/(〃)、"=*(x)的形式，-般為y=/(x)和y=g(x),這時

候就要注意哪個為外函數(shù)，哪個為內函數(shù)，從而復合后有y=/(x)和y=g(x)之分。

2、初等函數(shù)

我們把幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。由常數(shù)和基本

初等函數(shù)經過有限次四則運算和有限次復合后所得到的能用?個解析式子表示的函數(shù)，稱為初等函

數(shù)。

七分段函數(shù)舉例

第二節(jié)數(shù)列的極限

教學目的：使學生理解數(shù)列極限的定義及性質，并能用定義證明一些簡單數(shù)列的極

限。

教學重點：數(shù)列極限的定義及性質。

一、數(shù)列的定義：

定義：數(shù)列是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，記為x,,=/(〃)，n=1,2,3……，由于全體自然數(shù)可

以從小到大排成一列，因此數(shù)列的對應值也可以排成一列：x,,x2,,這就是最常見

的數(shù)列表現(xiàn)形式了，有時也簡記為｛乙｝或數(shù)列X,。數(shù)列中的每一數(shù)稱為數(shù)列的項，第〃項互稱

為一般項或通項。

注：在數(shù)軸上，數(shù)列的每項都相應有點對應它。如果將依次在數(shù)軸上描出點的位置，限我們

能否發(fā)現(xiàn)點的位置的變化趨勢呢？顯然，｛（>,｛/｝是無限接近于0的；｛2〃｝是無增大的；

的項是在1與-1兩點跳動的，不接近于某一常數(shù)；｛儀里｝無限接近常數(shù)1。

對于數(shù)列來說，最重要的是研究其在變化過程中無限接近某一常數(shù)的那種漸趨穩(wěn)定的狀態(tài)，這

就是常說的數(shù)列的極限問題。

二、數(shù)列的極限

定義：若對V￡>0（不論￡多么?。側匀粩?shù)N>0,使得當">N時都有,“一4<￡成立,

這是就稱常數(shù)。是數(shù)列X”的極限，或稱數(shù)列x“收斂于a,記為limx“=a,或

〃一>8

（〃78）。如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列是發(fā)散的。

注1：￡是衡量X“與。的接近程度的，除要求為正以外，無任何限制。然而，盡管￡具有任意性,

但一經給出，就應視為不變。（另外，￡具有任意性，那么三,2￡,一等也具有任意性，它們也可

2

代替￡）

2：N是隨￡的變小而變大的，是￡的函數(shù)，即N是依賴于￡的。在解題中，N等于多少關

系不大，重要的是它的存在性，只要存在一個N,使得當〃>N時，有氏-。|<￡就行了，

而不必求最小的N。

3：有時找N比較困難，這時我們可把氏-4適當?shù)刈冃?、放大（千萬不可縮小?。舴糯蠛?/p>

小于￡,那么必有上“一《<￡。

收斂數(shù)列的有關性質：

定理1:（唯一性）數(shù)列X,,不能收斂于兩個不同的極限。

定理2：（有界性）若數(shù)列收斂，那么它一定有界，即：對于數(shù)列X0,若三正數(shù)M，對一切

n,有|x“KM。

注：本定理的逆定理不成立，即有界未必收斂。例如數(shù)列x“=（-1）的是有界的但數(shù)

列不收斂。

第三節(jié)函數(shù)的極限

教學目的：使學生理解函數(shù)極限的概念；理解函數(shù)左右極限的概念，以及函數(shù)極限

存在與左、右極限之間的關系。理解函數(shù)極限的性質。

教學重點：函數(shù)極限的概念。

一、復習數(shù)列極限的定義及性質

二、導入新課：

由上節(jié)知，數(shù)列是自變量取自然數(shù)時的函數(shù)，%=/（〃），因此，數(shù)列是函數(shù)的一種特殊

情況。對于函數(shù)，自變量的變化主要表現(xiàn)在兩個方面：

一、自變量X任意接近于有限值X。，記為XTXo,相應的函數(shù)值/（X）的變化情況。

二、當自變量X的絕對值國無限增大，記X78,相應的函數(shù)值/（X）的變化情況。

三、講授新課：

（-）自變量趨向有限值X。時函數(shù)的極限

與數(shù)列極限的意義相仿，自變量趨于有限值X。時的函數(shù)極限可理解為：當X7X（）時，

（A為某常數(shù)），即當XTX。時，/3）與A無限地接近，或說|/（x）—川可任意小，亦即對于

預先任意給定的正整數(shù)￡（不論多么小），當尤與與充分接近時，可使得|/（x）-A|小于￡。用

數(shù)學的語言說，即

定義1：如果對V￡>o（不論它多么?。?，總mb>0,使得對于適合不等式0<,一/|<6

的一切X所對應的函數(shù)值/（X）滿足：|/。）一4卜￡,就稱常數(shù)A為函數(shù)/（X）當X7/時

的極限，記為

lim/（x）=A,或/（x）7A（當x—時）

注1：“X與X。充分接近”在定義中表現(xiàn)為：皿>0,有0<卜-即<6,即xeU（Xo,6）。

顯然b越小，x與x0接近就越好，此6與數(shù)列極限中的N所起的作用是一樣的，它也依

賴于一般地，￡越小，b相應地也小--些。

2：定義中0<,一元()|表示x，Xo,這說明當X7X。時、/(x)有無限與/(與)在/點(是

否有)的定義無關(可以無定義，即使有定義，與/(X。)值也無關)。

3：幾何解釋：對V￡>0,作兩條平行直線^=A+￡,y=A—￡。由定義，對此￡J6>0,

當與一3<%<項)+3,且xHx()時，有4-￡</(X)<A+￡。即函數(shù)y=/(x)的圖形夾在直

線了=A+￡,y=A—￡之間(/(%)可能除外)。換言之：當xwU(￡,b)時，”X)WU(A,￡)。

從圖中也可見3不唯一！

(二)左、右極限

在函數(shù)極限的定義中，x是既從而的左邊(即從小于與的方向)趨于與，也從與的右邊(即從

大于x0的方向)趨于X。。但有時只能或需要x從X。的某一側趨于X。的極限。如分段函數(shù)及在區(qū)

間的端點處等等。這樣，就有必要引進單側極限的定義：

定義2:對>0,>0>當X。-6<X<X。時，［當X。<X<X。+b時］,有|/(尤)_川<￡.

這時就稱A為/(X)當X7X。時的左［右］極限，記為

lim/(x)=A或/(x-0)=A。

XTX0-O

［lim/(尤)=A或+0)=A］。

A-?Xo+O

定理：limf(x)=A<=>limf(x)=limf(x)=A(>

X—>XQA—>Ay-0X-?A0+0

(三)自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限

定義3：設/(x)當兇>“3>0)時是有定義的，若對\/￡>OJX(>a),當岡〉X忖，有

l/(x)—A|<￡，就稱A為/(x)當x78時的極限，記為lim/(x)=A或/(x)T4

11.r—>8

(當XT8時)。

注1：設/(x)在［。,+8),((-8,封)上有定義，若對X/￡>0JX>0,當W>X(x<-X)時，

有|/(x)-川<￡，就稱A為/(x)當x->+8(x--oo)時的極限，記為Ijm/(x)=A,

或/(x)7A(當x—>+8)(lim/(x)=4,或/(x)rA(當x718))。

X—>—oo

2：lim/(x)=A=lira/(x)=lim/(x)=A。

XT8XT+ooXT-oo

3：若lim/(x)=A,就稱y=A為y=/(x)的圖形的水平漸近線(若1m1/0)=4或

X->8X—>4-00

lim/(x)=A,有類似的漸近線)。

r—>-o0

(四)函數(shù)極限的性質

定理(保號性)：設lim/(x)=A,

(i)若A>0(A<0),則三3>0,當xeU(￡?)時，/(x)>0(/(x)<0)?

(ii)^/(x)>0(/(x)<0),必有ANO(AWO)。

第四節(jié)無窮小與無窮大

教學目的：L使學生理解無窮小的概念及性質；

2.使學生理解無窮大的概念，無窮大與無窮小的關系；

3.掌握無窮小的比較方法.

(-)無窮小

若/(X)當X7X。或X->+8時的極限為零，就稱/(X)為當X->X?；騒-?+8時的無窮

小，即有

定義1：對We>0,若>0(X>0),使得當0<|x-Xo|<b(|x[<X)時，有成立，

就稱f(x)為當無一>x()(xT+8)時的無窮小,記為limf(x)=O(Hm/(x)=0)?

XT.%A—>+<?

注1:除上兩種之外，還有X—?-oo,X—>+8,x—>X。-0,X—>X。+0的情形。

2：無窮小不是一個數(shù)，而是一個特殊的函數(shù)(極限為0),不要將其與非常小的數(shù)混淆，因為

任一常數(shù)不可能任意地小，除非是0函數(shù)，由此得：0是唯一可作為無窮小的常數(shù)。

定理：當自變量在同一變化過程XT/(或XT8)中時：

(i)具有極限的函數(shù)等于其極限與一個無窮小之和，即：A為/(X)的極限=/(x)-A為無窮

小。

(ii)若一函數(shù)可表示為一常數(shù)與無窮小之和，那么該常數(shù)就是其極限。

定理：有限個無窮小的和仍為無窮小，即設lima=0,lim夕=0nlim(a+尸)=0。

定理：有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小，即設a有界，lima=Onlim〃a=O。

注1："與a都表示函數(shù)“(X)與a(x),而不是常數(shù)。

2：“l(fā)im”下放沒標自變量的變化過程，這說明對無7X。及X78均成立，但須同一過程

推論1：常數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小，即若人為常數(shù)，lima=OnlimAa=O。

推論2：有限個無窮小的乘積仍為無窮小，設

lima,=lima,=.......=lima,,=0nlimCa.a,........an)=0。

二、無窮大

若當X7X()或X->8時/(X)78,就稱/(X)為當或X->8時的無窮大。

定義2：若對VM>0,9>0(X>0),使得當0<k-%|<訓x|>X)忖，有就

稱/(x)當x7x0(xT8)時的無窮大，記作：lim/(x)=8(lim/(x)=8)。

X-XT8

注1：同理還有/(%)7-8,/0)7+8時的定義。

2：無窮大也不是一個數(shù)，不要將其與非常大的數(shù)混淆。

3：若lim/(x)=8或lim/(x)=8,按通常意義將，/(x)的極限不存在.

X—>而X—

定理：當自變量在同一變化過程中時，

(i)若/(X)為無窮大，則一1—為無窮小。

/(X)

(ii)若/(x)為無窮小，且/(x)WO,則」一為無窮大。

/(%)

第五節(jié)極限四則運算法則

教學目的：使學生掌握極限的四則運算法則，并會利用它們求極限；

教學重點：有理函數(shù)極限的計算；

極限四則運算法則

由極限定義來求極限是不可取的，也是不行的，因此需尋求一些方法來求極限。

定理1：若lim/(x)=A,limg(x)=6,則lim"(x)±g(x)]存在，且

lim[/(x)±g(x)]=A+B=lim/(x)±limg(x)。

注：本定理可推廣到有限個函數(shù)的情形。

定理2若limf(x)=A,limg(x)=3,則limf(x)?g(x)存在，且

lim/(x)g(x)=AB-lim/(x)?limg(x)。

推論1：lim[<y(x)]=clim/(x)(c為常數(shù))。

推論2：=[lim/(x)r(〃為正整數(shù))。

定理3：設lim/(x)=A,limg(x)=8H0,則lim&^=4=。

g(x)Blimg(x)

注：以上定理對數(shù)列亦成立。

定理4：如果夕(x)i必x),且limQ(x)=a,lim"(x)=6,則a>4。

推論1：設/(x)=a()x"+%x"T+.......+a“_|X+a”為一多項式，當

n1

lim/(x)=劭域+?,xo+......+a?_lx0+a?=/(x0)=

IX0

推論2：設尸(x),Q(x)均為多項式，且。(Xo)HO,則lim四■=-2。

f°Q(x)0(xo)

注：若。(4)=0,則不能用推論2來求極限，需采用其它手段。

第六節(jié)極限存在準則、兩個重要極限

教學目的：1使學生掌握極限存在的兩個準則；并會利用它們求極限;

2使學生掌握利用兩個重要極限求極限的方法；

教學重點：利用兩個重要極限求極限

準則I：如果數(shù)列x?,%,z,滿足下列條件:

⑴對<xn<；

(ii)limy=limz〃=a

〃一>8n〃一>8

那么，數(shù)列x“的極限存在，且limxn=a.

準則I'：如果函數(shù)/如),g(x)/(x)滿足下列條件:

(i)當xeU(x(,,r)(k|>M)時，有g(x)</(x)<〃(x)。

(ii)當x—>x()(x—>8)時，有g*)-A,〃(x)—>A。

那么當x-?Xo(x-?8)時，/*)的極限存在，且等于A。

第一個重要極限：=l

3。X