中考數(shù)學(xué)壓軸題之無刻度直尺作圖技巧分類詳解

第第頁中考數(shù)學(xué)壓軸題之無刻度直尺作圖、網(wǎng)格點作圖技巧詳解僅用無刻度直尺作圖和網(wǎng)格點作圖問題已成為各地中考熱門考點，近年來在江西、武漢、天津等地中考中均以壓軸題出現(xiàn)，其難度一般會超過單純的證明題或計算題。這類題型主要考察同學(xué)們對幾何圖形性質(zhì)的熟悉程度，還有同學(xué)們平時方法和技巧的掌握。常見的考察點有：特殊點問題、特殊角問題、垂直問題、平行問題、角平分線問題、與圓有關(guān)的問題等。無刻度直尺的作用只有一個：將已知的兩點連線。我們要充分利用格點的作用：取點、平行等。下面對各類常見題型的技巧進(jìn)行了分類總結(jié)。特殊點問題在下面網(wǎng)格圖中用無刻度直尺作出線段AB的中點。分析與解：利用“8”字型平行線分線段成比例、平行四邊形對角線互相平分等性質(zhì)，圖中不同顏色的線均可將AB平分。在下面網(wǎng)格圖中用無刻度直尺作出線段AB的中點，其中A為格點，B為任意點。分析與解：如圖，取格點C，連接CB并延長交網(wǎng)格線于E,取AC、AE與網(wǎng)線的交點D、F（即中點），連接DF交AB于G，則G即為所求作點。這兒我們利用了中位線和平行線分線段成比例等性質(zhì)。在下面網(wǎng)格圖中，在線段AB上找一點C，使。方法1方法2方法3分析與解：方法1和方法2都利用了網(wǎng)格線平行的性質(zhì)，通過“8”字型模型，構(gòu)造1：2的相似比例，從而將線段AB分為1：2兩段。方法3利用了重心的性質(zhì)，AB和EF為的兩條中線，所以C為的重心。特殊角問題在下面網(wǎng)格圖中找格點C，使。分析與解：利用“12345”模型，即若均為銳角，且，則。如下圖，利用無刻度直尺在線段上找一點Q，使。分析與解：，典型定弦定角問題。注意到，所以點Q在以M為圓心，MA長為半徑的圓上，故。問題轉(zhuǎn)化為在上找一點使,而,利用“8”字相似模型，可將線段分為2：3兩段。具體作法如上右圖。平行問題如下圖，利用無刻度直尺作出過點且平行于的直線。分析與解：由點到，我們可以看作將點向右平移3個單位，向上平移一個單位，對進(jìn)行同樣的操作將點向右平移3個單位，向上平移一個單位得到點,直線即為所作。如下圖，在網(wǎng)格圖中均為格點，點是的交點。利用無刻度直尺作出過點且平行于的直線。分析與解：由點到，我們可以看作將點向右平移4個單位，向上平移一個單位，對其他點進(jìn)行同樣的操作得到點,直線即為所作。垂直問題如下圖，在網(wǎng)格圖中均為格點，為網(wǎng)格邊的中點，為格點的中心，利用無刻度直尺分別過點作垂直于的直線。分析與解：由點到，我們可以看作將點向右平移5個單位，向下平移2個單位，將向下平移5個單位，向左平移2個單位，可得。同理：將向上平移5個單位，向右平移2個單位，可得；將向上平移5個單位，向右平移2個單位，可得。如下圖，在網(wǎng)格圖中均為格點，點是的交點。利用無刻度直尺作出過點且垂直于的直線。分析與解：由點到，我們可以看作將點向右平移1個單位，向下平移3個單位，故只需將向上平移1個單位，向右平移3個單位，可得。對整體進(jìn)行同樣的操作得到點,直線即為所作。如下圖，在網(wǎng)格圖中利用無刻度直尺作出過點且垂直于的直線。分析與解：由點到，我們可以看作將點向右平移1個單位，向下平移5個單位，將點向上平移1個單位，向右平移5個單位得到點,直線即為所作。角平分線問題如下圖，在網(wǎng)格圖中均為格點，點是的交點。利用無刻度直尺作出的角平分線。分析與解：的角平分線不易直接作出，我們可以利用三角形的三條角平分線交于一點的性質(zhì)，先作出三角形的另外兩條角平分線。為的角平分線，易知,可通過“12345”模型作出的角平分線。從而為內(nèi)心，直線即為所作。如下圖，在網(wǎng)格圖中均為格點。利用無刻度直尺作出的角平分線。分析與解：易知，角平分線不易直接作出，我們可以利用等腰三角形三線合一性質(zhì)，通過構(gòu)造等腰三角形，找出底邊的中線，從而作出角平分線。如上圖，先取格點，使得,再作出的中點，從而即為所作。對稱點如下圖，在網(wǎng)格圖中均為格點。利用無刻度直尺作出點關(guān)于的對稱點。分析與解：將點向下平移5個單位，向右平移1個單位得到點,直線。再利用中位線的性質(zhì)，找格點,使得，且為的中點。與的交點即為所求。與圓有關(guān)的作圖如下圖，在網(wǎng)格圖中圓心與點均為格點，利用無刻度直尺作出的角平分線。分析與解：取的中點，連接并延長交⊙于,連接。即為所求。(2021年天津中考數(shù)學(xué)填空壓軸題）在每個小正方形邊長為1的在網(wǎng)格中，的頂點均落在格點上，點在網(wǎng)格線。線段的長等于；以為直徑的半圓的圓心為，在線段上有一點，滿足。請用無刻度直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點，并簡要說明點的位置是如何找到的（不要求證明）解：（1）（2）如圖，取與網(wǎng)格線的交點，連接并延長，與半圓相交于點，連接并延長，與的延長線相交于點，連接交于點，連接并延長，與相交與點，則點即為所求。(2022年天津中考數(shù)學(xué)填空壓軸題）在每個小正方形邊長為1的在網(wǎng)格中，圓上的點及的一邊上的點均在格點上。線段的長等于；若點分別在射線上，滿足且，請用無刻度直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點，并簡要說明點的位置是如何找到的解：（1）（2）連接，與網(wǎng)格線相交于點；取格點，連接與射線相交于點；連接與⊙相交于點；連接并延長，與⊙相交于點；連接并延長，與射線相交于點，則點即為所求。如下圖，在網(wǎng)格圖中均為格點，⊙經(jīng)過三點，利用無刻度直尺找出⊙的圓心，并作弦，使得。