中考數(shù)學(xué)壓軸題之無(wú)刻度直尺作圖技巧分類(lèi)詳解

第第頁(yè)中考數(shù)學(xué)壓軸題之無(wú)刻度直尺作圖、網(wǎng)格點(diǎn)作圖技巧詳解僅用無(wú)刻度直尺作圖和網(wǎng)格點(diǎn)作圖問(wèn)題已成為各地中考熱門(mén)考點(diǎn)，近年來(lái)在江西、武漢、天津等地中考中均以壓軸題出現(xiàn)，其難度一般會(huì)超過(guò)單純的證明題或計(jì)算題。這類(lèi)題型主要考察同學(xué)們對(duì)幾何圖形性質(zhì)的熟悉程度，還有同學(xué)們平時(shí)方法和技巧的掌握。常見(jiàn)的考察點(diǎn)有：特殊點(diǎn)問(wèn)題、特殊角問(wèn)題、垂直問(wèn)題、平行問(wèn)題、角平分線問(wèn)題、與圓有關(guān)的問(wèn)題等。無(wú)刻度直尺的作用只有一個(gè)：將已知的兩點(diǎn)連線。我們要充分利用格點(diǎn)的作用：取點(diǎn)、平行等。下面對(duì)各類(lèi)常見(jiàn)題型的技巧進(jìn)行了分類(lèi)總結(jié)。特殊點(diǎn)問(wèn)題在下面網(wǎng)格圖中用無(wú)刻度直尺作出線段AB的中點(diǎn)。分析與解：利用“8”字型平行線分線段成比例、平行四邊形對(duì)角線互相平分等性質(zhì)，圖中不同顏色的線均可將AB平分。在下面網(wǎng)格圖中用無(wú)刻度直尺作出線段AB的中點(diǎn)，其中A為格點(diǎn)，B為任意點(diǎn)。分析與解：如圖，取格點(diǎn)C，連接CB并延長(zhǎng)交網(wǎng)格線于E,取AC、AE與網(wǎng)線的交點(diǎn)D、F（即中點(diǎn)），連接DF交AB于G，則G即為所求作點(diǎn)。這兒我們利用了中位線和平行線分線段成比例等性質(zhì)。在下面網(wǎng)格圖中，在線段AB上找一點(diǎn)C，使。方法1方法2方法3分析與解：方法1和方法2都利用了網(wǎng)格線平行的性質(zhì)，通過(guò)“8”字型模型，構(gòu)造1：2的相似比例，從而將線段AB分為1：2兩段。方法3利用了重心的性質(zhì)，AB和EF為的兩條中線，所以C為的重心。特殊角問(wèn)題在下面網(wǎng)格圖中找格點(diǎn)C，使。分析與解：利用“12345”模型，即若均為銳角，且，則。如下圖，利用無(wú)刻度直尺在線段上找一點(diǎn)Q，使。分析與解：，典型定弦定角問(wèn)題。注意到，所以點(diǎn)Q在以M為圓心，MA長(zhǎng)為半徑的圓上，故。問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上找一點(diǎn)使,而,利用“8”字相似模型，可將線段分為2：3兩段。具體作法如上右圖。平行問(wèn)題如下圖，利用無(wú)刻度直尺作出過(guò)點(diǎn)且平行于的直線。分析與解：由點(diǎn)到，我們可以看作將點(diǎn)向右平移3個(gè)單位，向上平移一個(gè)單位，對(duì)進(jìn)行同樣的操作將點(diǎn)向右平移3個(gè)單位，向上平移一個(gè)單位得到點(diǎn),直線即為所作。如下圖，在網(wǎng)格圖中均為格點(diǎn)，點(diǎn)是的交點(diǎn)。利用無(wú)刻度直尺作出過(guò)點(diǎn)且平行于的直線。分析與解：由點(diǎn)到，我們可以看作將點(diǎn)向右平移4個(gè)單位，向上平移一個(gè)單位，對(duì)其他點(diǎn)進(jìn)行同樣的操作得到點(diǎn),直線即為所作。垂直問(wèn)題如下圖，在網(wǎng)格圖中均為格點(diǎn)，為網(wǎng)格邊的中點(diǎn)，為格點(diǎn)的中心，利用無(wú)刻度直尺分別過(guò)點(diǎn)作垂直于的直線。分析與解：由點(diǎn)到，我們可以看作將點(diǎn)向右平移5個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位，將向下平移5個(gè)單位，向左平移2個(gè)單位，可得。同理：將向上平移5個(gè)單位，向右平移2個(gè)單位，可得；將向上平移5個(gè)單位，向右平移2個(gè)單位，可得。如下圖，在網(wǎng)格圖中均為格點(diǎn)，點(diǎn)是的交點(diǎn)。利用無(wú)刻度直尺作出過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線。分析與解：由點(diǎn)到，我們可以看作將點(diǎn)向右平移1個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位，故只需將向上平移1個(gè)單位，向右平移3個(gè)單位，可得。對(duì)整體進(jìn)行同樣的操作得到點(diǎn),直線即為所作。如下圖，在網(wǎng)格圖中利用無(wú)刻度直尺作出過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線。分析與解：由點(diǎn)到，我們可以看作將點(diǎn)向右平移1個(gè)單位，向下平移5個(gè)單位，將點(diǎn)向上平移1個(gè)單位，向右平移5個(gè)單位得到點(diǎn),直線即為所作。角平分線問(wèn)題如下圖，在網(wǎng)格圖中均為格點(diǎn)，點(diǎn)是的交點(diǎn)。利用無(wú)刻度直尺作出的角平分線。分析與解：的角平分線不易直接作出，我們可以利用三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)的性質(zhì)，先作出三角形的另外兩條角平分線。為的角平分線，易知,可通過(guò)“12345”模型作出的角平分線。從而為內(nèi)心，直線即為所作。如下圖，在網(wǎng)格圖中均為格點(diǎn)。利用無(wú)刻度直尺作出的角平分線。分析與解：易知，角平分線不易直接作出，我們可以利用等腰三角形三線合一性質(zhì)，通過(guò)構(gòu)造等腰三角形，找出底邊的中線，從而作出角平分線。如上圖，先取格點(diǎn)，使得,再作出的中點(diǎn)，從而即為所作。對(duì)稱點(diǎn)如下圖，在網(wǎng)格圖中均為格點(diǎn)。利用無(wú)刻度直尺作出點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)。分析與解：將點(diǎn)向下平移5個(gè)單位，向右平移1個(gè)單位得到點(diǎn),直線。再利用中位線的性質(zhì)，找格點(diǎn),使得，且為的中點(diǎn)。與的交點(diǎn)即為所求。與圓有關(guān)的作圖如下圖，在網(wǎng)格圖中圓心與點(diǎn)均為格點(diǎn)，利用無(wú)刻度直尺作出的角平分線。分析與解：取的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交⊙于,連接。即為所求。(2021年天津中考數(shù)學(xué)填空壓軸題）在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1的在網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)均落在格點(diǎn)上，點(diǎn)在網(wǎng)格線。線段的長(zhǎng)等于；以為直徑的半圓的圓心為，在線段上有一點(diǎn)，滿足。請(qǐng)用無(wú)刻度直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫(huà)出點(diǎn)，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)的位置是如何找到的（不要求證明）解：（1）（2）如圖，取與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，與半圓相交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，與相交與點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求。(2022年天津中考數(shù)學(xué)填空壓軸題）在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1的在網(wǎng)格中，圓上的點(diǎn)及的一邊上的點(diǎn)均在格點(diǎn)上。線段的長(zhǎng)等于；若點(diǎn)分別在射線上，滿足且，請(qǐng)用無(wú)刻度直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫(huà)出點(diǎn)，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)的位置是如何找到的解：（1）（2）連接，與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)；取格點(diǎn)，連接與射線相交于點(diǎn)；連接與⊙相交于點(diǎn)；連接并延長(zhǎng)，與⊙相交于點(diǎn)；連接并延長(zhǎng)，與射線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求。如下圖，在網(wǎng)格圖中均為格點(diǎn)，⊙經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，利用無(wú)刻度直尺找出⊙的圓心，并作弦，使得。