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./第二章分解因式[知識要點]1.分解因式〔1概念:把一個________化成幾個___________的形式,這種變形叫做把這個多項式分解因式?!?注意:①分解因式的實質(zhì)是一種恒等變形,但并非所有的整式都能因式分解。②分解因式的結(jié)果中,每個因式必須是整式。③分解因式要分解到不能再分解為止。2.分解因式與整式乘法的關(guān)系整式乘法是____________________________________________________;分解因式是____________________________________________________;所以,分解因式和整式乘法為_______關(guān)系。3.提公因式法分解因式〔1公因式:幾個多項式__________的因式?!?步驟:①先確定__________,②后__________________?!?注意:①當多項式的某項和公因式相同時,提公因式后該項變?yōu)?。②當多項式的第一項的系數(shù)是負數(shù)時,通常先提出""號。4.運用公式法分解因式〔1平方差公式:_________________________〔2完全平方公式:_________________________注:分解因式還有諸如十字相乘法、分組分解法等基本方法,做為補充講解內(nèi)容。[考點分析]考點一:利用提公因式法分解因式及其應用[例1]分解因式:〔1〔2〔3〔4解析:〔1題先提一個""號,再提公因式;〔2題的公因式為;〔3題的公因式為;〔4題的公因式為。答案:〔1;〔2;〔3;〔4。[例2]〔1已知,,求的值?!?已知,,求的值。解析:〔1題:,所以考慮整體代入求該代數(shù)式的值;〔2題:,整體代入求值時注意符號。答案:〔1〔2[隨堂練習]1.分解因式:〔1〔2〔3〔42.不解方程組,求的值注:〔1公因式應按"系數(shù)大〔最大公約數(shù),字母同,指數(shù)低"的原則來選取。〔2當多項式的某項和公因式相同時,提公因式后該項變?yōu)?,而不是沒有。〔3當多項式的第一項的系數(shù)是負數(shù)時,通常先提出""號。〔4利用分解因式整體代入往往應用于代數(shù)式的求值問題??键c二:利用平方差公式分解因式及其應用[例3]分解因式:〔1〔2解析:〔1題:原式從整體看符合平方差公式,所以整體套用平方差公式;〔2題:,所以符合平方差公式,此題注意分解完全。答案:〔1;〔2。[例4]計算:〔1;〔2.解析:〔1題:原式中每一個因式符合平方差公式,可以借助分解因式簡化計算?!?題:先化簡,再使用平方差公式。答案:〔1;〔2。[例5]利用因式分解說明:能被整除。解析:對于符號相反的二項式,我們考慮使用平方差公式。此種題型應先將兩項化為底數(shù)相同的情況,再利用提取公因式法和平方差公式進行因式分解,最后湊出除數(shù)。所以能被140整除。[隨堂練習]1.分解因式:〔1〔22.利用分解因式說明:能被60整除.注:〔1平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是:二項式,兩項都是平方項,且兩項符號相反;〔2公式中的可以是具體數(shù),也可以是代數(shù)式;〔3在運用平方差公式的過程中,有時需要變形。考點三:利用完全平方公式分解因式及其應用[例6]〔1分解因式:〔2已知是完全平方式,求的值。〔3計算:.解析:〔1題:原式要先提取公因式,再利用完全平方差公式進行分解?!?題:此種題型考察完全平方公式的特征,中間項是首尾兩項底數(shù)積的2倍〔或其相反數(shù)?!?題:。答案:〔1;〔2;〔3[例7]〔XX·XX已知,那么的值是________。解析:原式的前三項可以進行因式分解,分解為,再將變形為,整體代入求值。答案:1.[隨堂練習]1.〔1分解因式:〔2若多項式能運用完全平方差公式進行因式分解,求的值?!?2.〔1已知:,,求代數(shù)式?!?當時,求代數(shù)式的值。注:〔1完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是:三項式,首尾兩項分別為兩個數(shù)的平方,中間項是兩個底數(shù)積的2倍〔或其相反數(shù);〔2公式中的可以是具體數(shù),也可以是代數(shù)式;考點四:綜合利用各種方法分解因式及其應用[例8]分解因式:〔1〔2解析:〔1、〔2題都應先利用完全平方公式,再利用平方差公式進行因式分解。答案:〔1;〔2。[例9]〔XX·XX給出三個多項式:,請選擇你最喜歡的兩個多項式進行加減運算,使所得整式可以因式分解,并進行因式分解。解析:本題是一道開放題,只要所得整式可以因式分解。本題可任取兩個多項式進行加法運算再因式分解。如:[例10]已知分別是三角形ABC的三邊,試證明解析:已知分別是三角形ABC的三邊,可以想到利用三角形的三邊關(guān)系,再由不等式的左邊是平方差形式,可想到利用平方差公式分解因式。由三角形三邊關(guān)系可知,上式的前三個因式大于0,而最后一個因式小于0,則有:[隨堂練習]1.分解因式:〔1〔22.〔2009,XX在三個整式:中,請你任意選出兩個進行加〔或減法運算,使所得整式可以因式分解,并進行因式分解。注:分解因式的一般步驟可歸納為:"一提、二套、三查"。一提:先看是否有公因式,如果有公因式,應先提取公因式;二套:再考察能否運用公式法分解因式;運用公式法,首先觀察項數(shù),若為二項式,則考慮用平方差公式;若為三項式,則考慮用完全平方公式。三查:分解因式結(jié)束后,要檢查其結(jié)果是否正確,是否分解徹底。[鞏固提高]一、選擇題1.下列從左到右的變形中,是分解因式的有〔①②③④⑥⑦=A、1個B、2個C、3個D、4個2.下列多項式能分解因式的是〔A、B、C、D、3.下列多項式中,不能用完全平方公式分解因式的是〔A、B、C、D、4.是△ABC的三邊,且,那么△ABC的形狀是〔A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、等邊三角形5.如果是一個完全平方式,那么的值是〔A、B、C、D、6.已知多項式分解因式為,則的值為〔 A、B、C、D、7.已知,則的值是〔A、或B、C、D、或8.若,則是〔A、B、C、D、9.已知二次三項式可分解為兩個一次因式的積,下面說法中錯誤的是〔A、若,則同取正號;B、若,則同取負號;C、若,則異號,且負的一個數(shù)的絕對值較大;D、若,則異號,且負的一個數(shù)的絕對值較大。10.已知,,,則多項式的值為〔A、B、C、D、二、填空題11.分解因式:=.12.在括號前面填上"+"或"-"號,使等式成立:13.若是一個完全平方式,則的值是;14.已知:,那么的值為_____________.15.△ABC的三邊滿足,則△ABC的形狀是__________.16.觀察圖形,根據(jù)圖形面積的關(guān)系,不需要連其他的線,便可以得到一個用來分解因式的公式,這個公式是.17.若,則=___________.18.分解因式:________________________.<第16題圖>19.若,則___________,___________.20.若,則___________.三、解答題21.分解因式:〔1〔2〔3〔4〔5〔6〔7〔822.先分解因式,再求值:已知,求的值23.設,,,〔為大于零的自然數(shù)。探究是否為8的倍數(shù),并用文字語言表達你所得到的結(jié)論。24.對于實數(shù),定義一種新運算:,分解因式:25.閱讀下列計算過程:99×99+199=992+2×99+1=〔99+12=1002=104〔1計算:999×999+1999=____________=_____________=____________=_____________;9999×9999+19999=__________=_____________=____________=_____________。.第三章分式[知識要點]1.分式的概念及特征:、表示兩個整式,÷就可以表示成的形式,如果中含有字母,式子就叫做分式。2.分式有意義、無意義的條件:因為不能做除數(shù),所以在分式中,有:則有意義;則無意義。3.分式值為零的條件:分式的值為零要同時滿足:分母的值不為零,分式的值為零這兩個條件。即則有且。4.分式的符號法則:===5.分式的運算〔1同分母分式相加減,分母不變,只把分式相加減,即=〔2異分母分式相加減,先通分,變?yōu)橥帜傅姆质?然后再加減,即==注:1.無論是探求分式有意義、無意義的條件,還是分式值等于零的條件,都將轉(zhuǎn)化成解方程或不等式的問題。2.分式約分步驟:〔1找出分式的分子與分母的公因式,當分子分母是多項式時,要先把分式的分子和分母分解因式?!?約去分子與分母的公因式。3.最簡公分母的確定:〔1當幾個分式的分母是單項式時,各分式的最簡公分母是系數(shù)的最小公倍數(shù)、相同字母的最高次冪、所有不同字母的積;〔2如果各分母都是多項式,應先把各個分母按某一字母降冪或升冪排列,再分解因式,找出最簡公分母。[考點分析]考點一:分式有意義、無意義、值等于零的條件〔重點[例1]〔2009,天津若分式的值為零,則的值等于。答案:評析:由于可得,解得或。又因為時,;時,。所以要使分式的值為零,的值只能等于。[隨堂練習]1.若分式的值為0,則x的值等于。2.若分式的值為零,則x的值等于??键c二:分式的約分[例2]〔2009,XX化簡的結(jié)果是〔A.B.C.D.答案:D評析:觀察題中所給分式,分子、分母都為多項式,且都能分解,因此應先將分子分母分解因式,再約去公因式。如注:1.在應用分式的基本性質(zhì)時要充分理解"都"和"同"這兩字的含義。2.約分的結(jié)果是最簡分式或整式。[隨堂練習]1.〔2008,XX化簡的結(jié)果是〔A.B.C.D.2.化簡>的結(jié)果是〔A.B.C.D.考點三:分式的加減運算〔重點[例3]〔2009,XX分式的計算結(jié)果是〔A.B.C.D.答案:C評析:先通分化為同分母分式,再進行加法運算。+=+==注:1.同分母分式加減運算中的"把分子相加減"是指把各個分式的"分子的繁體相加減,故當分子是多項式時,應加括號。2.通分和約分是兩種截然不同的變形,約分是針對一個分式而言,通分是針對多個分式而言;約分是將一個分式簡化,通分是將一個分式化繁。[隨堂練習]〔2008,XX化簡的結(jié)果是〔A.B.C.D.考點四:分式的乘除運算[例4]〔2009,XX已知,計算評析:因為,所以且,即原式==,當時,原式=注:先化簡再求值,運算更簡便,分式的乘除運算要進行到分式和分母不再有公因式為止。[隨堂練習]化簡1.2..考點五:分式的混合運算[例5]〔2010,XX化簡:評析:原式==注:1.正確運用運算法則;2.靈活運用運算規(guī)律;3.運算結(jié)果要最簡化[隨堂練習]〔2010,XX化簡:考點六:條件分式求值的常用技巧〔難點[例6]已知,則分式的值為答案:評析:由已知條件不能直接求出的值,所以考慮將已知條件向著所求代數(shù)式的方向進行變形轉(zhuǎn)化,通過整體代換解決問題。由,可得,所以,所以原式===注:條件分式求值主要方法有:1.參數(shù)法:當已知條件形如所要求值的代數(shù)式是一個含而又不易化簡的分式時,常設〔就是我們所說的參數(shù),然后將其變形為的形式,再代入所求代數(shù)式,約分即可。2.整體代換法:若由已知條件不能直接求分式中字母的值,可考慮把已知條件和所求代數(shù)式進行適當?shù)淖冃?然后整體代換,可使問題得到解決.[隨堂練習]已知,求代數(shù)式的值若,則的值[鞏固提高]一、選擇題1.〔2009,XX計算:的結(jié)果是〔A.B.C.D.2.〔2009,威?;?gt;的結(jié)果是〔A.B.C.D.3.若,則等于〔A.B.C.D.4.〔2010,XX化簡的結(jié)果是〔A.B.C.D.5.〔2009,XX化簡的結(jié)果是〔A.B.C.D.二、填空題6.計算:7.〔2009,XX若分式無意義,則實數(shù)8.〔2010,黃岡當x=2010時,代數(shù)式的值為9.在下列三個不為零的式子:中,任選兩個組成一個分式是把這個分式化簡所得結(jié)果是三、解答題10.<2010,XX>先化簡,再求值:,其中11.<2010,XX>先化簡:,當時,再從的范圍選取一個合適的整數(shù)代入求值。12.〔表格信息題按下圖的程序計算,把答案寫在表格內(nèi):→平方→〔→→〔→答案〔1填寫表格輸入輸出答案〔2請將題中的計算程序用代數(shù)式表達出來,并化簡。13.〔條件開放題請從下列三個代數(shù)式中任選兩個構(gòu)造一個分式,并化簡該分式:.第四章相似三角形[知識要點]1.相似三角形對應角相等,對應邊成比例的三角形叫做相似三角形。注:〔1兩個全等三角形一定相似〔2兩個直角三角形不一定相似。兩個等腰直角三角形一定相似。〔3兩個等腰三角形不一定相似。兩個等邊三角形一定相似。2.相似比〔1相似三角形對應邊的比叫做相似比?!?面積比等于相似比的平方。注:相似比要注意順序:如△ABC∽△A'B'C'的相似比,而∽△ABC的相似比,這時。3.相似三角形的識別〔1如果一個三角形的兩角分別與另一個三角形的兩角對應相等,那么這兩個三角形相似?!?如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比例,并且夾角相等,那么這兩個三角形相似?!?如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成比例,那么這兩個三角形相似。[考點分析]考點一:相似三角形的判定[例1]如圖,∠1=∠2=∠3,圖中相似三角形有〔對。解析:由平行線的性質(zhì),,可知∥,,,再由相似三角形判定定理一,可得有四組三角形相似。答:4對。[隨堂練習]1.如圖,已知:△ABC、△DEF,其中∠A=50°,∠B=60°∠C=70°,∠D=40°,∠E=60°,∠F=80°,能否分別將兩個三角形分割成兩個小三角形,使△ABC所分成的每個三角形與△DEF所分成的每個三角形,分別對應相似?如果可能,請設計一種分割方案;若不能,說明理由??键c二:相似三角形的識別、特征在解題中的應用[例2]〔2008·XX省如圖所示,四邊形ABCD是平行四邊形,點F在BA的延長線上,連結(jié)CF交AD于點E?!?求證:△CDE∽△FAE;〔2當E是AD的中點,且BC=2CD時,求證:∠F=∠BCF。解析:由AB∥DC得:∠F=∠DCE,∠EAF=∠D∴△CDE∽△FAE,又E為AD中點∴DE=AE,從而CD=FA,結(jié)合已知條件,易證BF=BC,∠F=∠BCF〔1∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB∥CD∴∠F=∠DCE,∠EAF=∠D∴△CDE∽△FAE〔2∵E是AD中點,∴DE=AE由〔1得:∴CD=AF∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD∴AB=CD=AF∴BF=2CD,又BC=2CD∴BC=BF∴∠F=∠BCF注:平行往往是證兩個三角形相似的重要條件,利用比例線段也可證明兩線段相等。[隨堂練習]1.已知:如圖<a>,在梯形ABCD中,AD∥BC,對角線交于O點,過O作EF∥BC分別交AB,DC于E,F。求證:<1>OE=OF;<2>;<3>若MN為梯形中位線,求證AF∥MC??键c三:未知數(shù)的設定應用[例3]在梯形ABCD中,∠A=90°,AD∥BC,點P在線段AB上從A向B運動,〔1是否存在一個時刻使△ADP∽△BCP;〔2若AD=4,BC=6,AB=10,使△ADP∽△BCP,則AP的長度為多少?解析:〔1存在〔2若△ADP∽△BCP,則設或或或∴AP長度為4或6[隨堂練習]1.如圖,有一批形狀大小相同的不銹鋼片,呈直角三角形,已知∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,試設計一種方案,用這批不銹鋼片裁出面積達最大的正方形不銹鋼片,并求出這種正方形不銹鋼片的邊長??键c四:直角三角形相似的比例關(guān)系[例4]已知:如圖,RtΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,DE⊥AC于E,DF⊥BC于F。求證:<1>;<2>;<3>解析:〔1掌握基本圖形"RtΔABC,∠C=90°,CD⊥AB于D"中的常用結(jié)論。①勾股定理:②面積公式:AC·BC=AB·CD③三個比例中項:,,④⑤〔2靈活運用以上結(jié)論,并掌握恒等變形的各種方法,是解決此類問題的基本途徑,如等式兩邊都乘或除以某項,都平方、立方,或兩等式相乘等?!?學習三類問題的常見的思考方法,并熟悉常用的恒等變形方法,以及中間等量代換。第〔1題:證法一∵∴證法二∵,∴第〔2題:證法一∵,利用ΔBDF∽ΔDAE,證得,命題得證。證法二由得證法三∵∽,∴<相似三角形對應高的比等于對應邊的比>∵DE∥BC,∴∴第〔4題:證法一∵,∴,∴證法二:∵ΔADC∽ΔCDB,∴∴·證法三:∵,∴[隨堂練習]1.如圖,已知直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,設,,作DE⊥DC,DE交AB于點E,連結(jié)EC?!?試判斷△DCE與△ADE、△DCE與△BCE是否分別一定相似?若相似,請加以證明?!?如果不一定相似,請指出a、b滿足什么關(guān)系時,它們就能相似?FADEBC[鞏固提高]1.如圖,已知DE∥BC,CD和BE相交于O,若,則AD:DB=____________。2.如圖,△ABC中,CE:EB=1:2,DE∥AC,若△ABC的面積為S,則△ADE的面積為____________。3.若正方形的4個頂點分別在直角三角形的3條邊上,直角三角形的兩直角邊的長分別為3cm和4cm,則此正方形的邊長為____________?!?0XXXX市中考題4.閱讀下面的短文,并解答下列問題:我們把相似形的概念推廣到空間:如果兩個幾何體大小不一定相等,但形狀完全相同,就把它們叫做相似體。如圖,甲、乙是兩個不同的正方體,正方體都是相似體,它們的一切對應線段之比都等于相似比:,設分別表示這兩個正方體的表面積,則,又設分別表示這兩個正方體的體積,則?!?下列幾何體中,一定屬于相似體的是〔A.兩個球體 B.兩個圓錐體C.兩個圓柱體D.兩個長方體〔2請歸納出相似體的3條主要性質(zhì):①相似體的一切對應線段〔或弧長的比等于____________;②相似體表面積的比等于____________;③相似體體積的比等于____________?!?0XXXX省XX市中考題5.如圖,鐵道口的欄桿短臂長1m,長臂長16m,當短臂端點下降0.5m時,長臂端點升高〔A.11.25m B.6.6m C.8m6.如圖,D為△ABC的邊AC上的一點,∠DBC=∠A,已知,△BCD與△ABC的面積的比是2:3,則CD的長是〔A. B. C. D.7.如圖,在正三角形ABC中,D、E分別在AC、AB上,且,AE=BE,則有〔A.△AED∽△BED B.△AED∽△CBDC.△AED∽△ABD D.△BAD∽△BCD〔20XXXX市中考題8.如圖,已知△ABC中,DE∥FG∥BC,且AD:FD:FB=1:2:3,則等于〔A.1:9:36 B.1:4:9C.1:8:27 D.1:8:369.如圖,已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ACD=∠B,求證:10.如圖,△ABC中,D是BC邊上
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