函數(shù)基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用（單調(diào)性與奇偶性）（重難點(diǎn)突破）（教師用）-秋季高一數(shù)學(xué)上學(xué)期講義（人教A版）

專題03函數(shù)的基本性質(zhì)的靈活運(yùn)用（單調(diào)性與奇偶性）考情分析考點(diǎn)梳理1、函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．2、函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足條件（1）對(duì)于任意的，都有；（2）存在，使得（3）對(duì)于任意的，都有；（4）存在，使得結(jié)論為最大值為最小值注意：（1）函數(shù)的值域一定存在，而函數(shù)的最值不一定存在；（2）若函數(shù)的最值存在，則一定是值域中的元素；若函數(shù)的值域是開(kāi)區(qū)間，則函數(shù)無(wú)最值，若函數(shù)的值域是閉區(qū)間，則閉區(qū)間的端點(diǎn)值就是函數(shù)的最值.3、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論（1）若均為區(qū)間A上的增(減)函數(shù)，則也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù)；（2）若，則與的單調(diào)性相同；若，則與的單調(diào)性相反；（3）函數(shù)在公共定義域內(nèi)與，的單調(diào)性相反；（4）函數(shù)在公共定義域內(nèi)與的單調(diào)性相同；（5）奇函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反；（6）一些重要函數(shù)的單調(diào)性：①的單調(diào)性：在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；②（，）的單調(diào)性：在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減．4、函數(shù)的奇偶性（1）．函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)是偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)是奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱判斷與的關(guān)系時(shí)，也可以使用如下結(jié)論：如果或，則函數(shù)為偶函數(shù)；如果或，則函數(shù)為奇函數(shù)．注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，也在定義域內(nèi)（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）．（2）．函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論（1）奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反．（2），在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)（3）若奇函數(shù)的定義域包括，則．（4）若函數(shù)是偶函數(shù)，則．（5）定義在上的任意函數(shù)都可以唯一表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和．（6）若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)．（7）掌握一些重要類型的奇偶函數(shù)：①函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)．②函數(shù)（且）為奇函數(shù)．③函數(shù)（且）為奇函數(shù)．④函數(shù)（且）為奇函數(shù)．5、函數(shù)的周期性1．周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．2．最小正周期如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做的最小正周期（若不特別說(shuō)明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函數(shù)都有最小正周期.3．函數(shù)周期性的常用結(jié)論設(shè)函數(shù)，.①若，則函數(shù)的周期為；②若，則函數(shù)的周期為；③若，則函數(shù)的周期為；④若，則函數(shù)的周期為；⑤函數(shù)關(guān)于直線與對(duì)稱，那么函數(shù)的周期為；⑥若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的周期是；⑦若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的周期是；⑧若函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則其周期為；⑨若函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則其周期為6．奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性①若是偶函數(shù)，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；②若是偶函數(shù)，則的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱；三、題型突破重難點(diǎn)1判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性1.（單調(diào)性不能混合乘除）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性①增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)；②增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)，減函數(shù)-增函數(shù)=減函數(shù)；③如果是增函數(shù)，那么是減函數(shù)，也是減函數(shù)。2．判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）定義法，步驟為：取值，作差，變形，定號(hào)，判斷．利用此方法證明抽象函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，應(yīng)根據(jù)所給抽象關(guān)系式的特點(diǎn)，對(duì)或進(jìn)行適當(dāng)變形，進(jìn)而比較出與的大?。?）利用復(fù)合函數(shù)關(guān)系，若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相同，則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相反，則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)，簡(jiǎn)稱“同增異減”．（3）圖象法：從左往右看，圖象逐漸上升，則單調(diào)遞增；圖象逐漸下降，則單調(diào)遞減．（4）利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性.3．在利用函數(shù)的單調(diào)性寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先應(yīng)注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)是函數(shù)定義域的子集或真子集，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須先確定函數(shù)的定義域；其次需掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)等基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．例1．（1）（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)在上是減函數(shù).則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，得出，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)在上是減函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，則滿足，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用一次函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)問(wèn)題，其中解答中熟記一次函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查運(yùn)算與求解能力.（2）．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出函數(shù)的對(duì)稱軸，再由二次函數(shù)的圖象和條件列出關(guān)于的不等式．【詳解】解：函數(shù)的對(duì)稱軸為：，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，，解得，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（3）．（2021·寧夏賀蘭縣景博中學(xué)高二期末（文））若函數(shù)，是定義在上的減函數(shù)，則的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題根據(jù)減函數(shù)的定義再結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)直接求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的減函數(shù)，所以，解得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查減函數(shù)的定義，一次函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.【變式訓(xùn)練1-1】．（2021·全國(guó)）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出拋物線的對(duì)稱軸，而拋物線的開(kāi)口向下，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，從而可求出的取值范圍【詳解】解：函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸為，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，所以的取值范圍為，故選：D【變式訓(xùn)練1-2】．（2019·黑龍江鶴崗一中高三開(kāi)學(xué)考試（文））若是的增函數(shù),則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函數(shù)是上的增函數(shù)，保證每支都是增函數(shù)，還要使得兩支函數(shù)在分界點(diǎn)處的函數(shù)值大小，即，然后列不等式可解出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】由于函數(shù)是的增函數(shù)，則函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，，即；且有，即，得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性與參數(shù)，在求解分段函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，要注意以下兩點(diǎn)：（1）確保每支函數(shù)的單調(diào)性和原函數(shù)的單調(diào)性一致；（2）結(jié)合圖象確保各支函數(shù)在分界點(diǎn)處函數(shù)值的大小關(guān)系．例2．（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)在R上為增函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)在R上為增函數(shù)，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3.故選C.【變式訓(xùn)練2-1】．．（2020·江西省興國(guó)縣第三中學(xué)高一月考）函數(shù)，則滿足＜的取值范圍是A． B．［，）C．（，） D．［，）【答案】D【詳解】函數(shù)，＜，故答案選D.點(diǎn)睛：這是抽象函數(shù)解不等式問(wèn)題，沒(méi)有表達(dá)式，要解不等式，只能是賦值法；這個(gè)題目，利用函數(shù)單調(diào)性直接比較括號(hào)內(nèi)自變量的大小關(guān)系，列出不等式：注意定義域是，因此還要加上.重難點(diǎn)2判斷或證明函數(shù)的奇偶性1.（奇偶性不能混合加減）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性①奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)；②奇函數(shù)奇函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)偶函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù)；2.判斷函數(shù)奇偶性的常用方法及思路：（1）定義法：（2）圖象法：（3）性質(zhì)法：利用奇函數(shù)和偶函數(shù)的和、差、積、商的奇偶性和復(fù)合函數(shù)的奇偶性來(lái)判斷.注意：①分段函數(shù)奇偶性的判斷，要注意定義域內(nèi)x取值的任意性，應(yīng)分段討論，討論時(shí)可依據(jù)x的范圍相應(yīng)地化簡(jiǎn)解析式，判斷與的關(guān)系，得出結(jié)論，也可以利用圖象作判斷．②性質(zhì)法中的結(jié)論是在兩個(gè)函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成立的．③性質(zhì)法在選擇題和填空題中可直接運(yùn)用，但在解答題中應(yīng)給出性質(zhì)推導(dǎo)的過(guò)程.例3．（1）（2018·湖北高三月考（文））函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出的值.【詳解】由題得，故答案為：D【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.(2)奇函數(shù)f(-x)=-f(x).（2）．（2021·安徽省亳州市第一中學(xué)高一月考）設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別求出選項(xiàng)的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可.【詳解】由題意可得，對(duì)于A，不是奇函數(shù)；對(duì)于B，是奇函數(shù)；對(duì)于C，，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)；對(duì)于D，，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù).故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查奇函數(shù)定義，考查學(xué)生對(duì)概念的理解，是一道容易題.(3)．（2020·北京市第四十四中學(xué)高一期中）若函數(shù)為偶函數(shù)，則a=A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y＝(x＋1)(x－a)為偶函數(shù)，則f(x)=f(-x),那么可知a=1,則a等于1,選C【變式訓(xùn)練3-1】．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)為奇函數(shù)，則=（）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)取1和-1分別代入，函數(shù)值和為0，即可求得.【詳解】∵為奇函數(shù)，∴，得．

故選：A.【變式訓(xùn)練3-2】．（2020·江西宜春九中高一月考）函數(shù)是奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)，，則不等式的解集為A． B．C． D．【答案】D【分析】易判斷f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性及f（x）圖象所過(guò)特殊點(diǎn)，作出f（x）的草圖，根據(jù)圖象可解不等式．【詳解】∵f（x）在R上是奇函數(shù)，且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函數(shù)，由f（-3）＝0，得f（﹣3）＝﹣f（3）＝0，即f（3）＝0，作出f（x）的草圖，如圖所示：由圖象，得解得0＜x＜3或﹣3＜x＜0，∴xf（x）＜0的解集為：（﹣3，0）∪（0，3），故選D．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，靈活作出函數(shù)的草圖是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3-3】．（2020·天津市南開(kāi)區(qū)南大奧宇培訓(xùn)學(xué)校高二月考）已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足的取值范圍是A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（﹣1，1）【答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性可直接判斷,【詳解】首先函數(shù)定義域是R，再者根據(jù)和偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得，解得，故選B.【點(diǎn)睛】本題是基礎(chǔ)題，考查偶函數(shù)的性質(zhì).【變式訓(xùn)練3-4】．（2020·衡陽(yáng)市第二十六中學(xué)高一期中）奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集是（）．A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)式奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到在上函數(shù)仍是減函數(shù)，再根據(jù)可畫(huà)出函數(shù)在上的圖像，根據(jù)對(duì)稱性畫(huà)出在上的圖像．根據(jù)圖像得到的解集是：．故選A．重難點(diǎn)3利用函數(shù)的單調(diào)性或奇偶性求函數(shù)解析式或參數(shù)例4．（1）（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知，則滿足的的取值范圍為_(kāi)______．【答案】【分析】將f（x）寫(xiě)成分段函數(shù)形式，分析得f（x）為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，利用奇偶性和單調(diào)性解不等式即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，f（x）＝x|x|＝，則f（x）為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，則f（2x﹣1）+f（x）≥0?f（2x﹣1）≥﹣f（x）?f（2x﹣1）≥f（﹣x）?2x﹣1≥﹣x，解可得x≥，即x的取值范圍為[，+∞）；故答案為[，+∞）．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定以及應(yīng)用，注意分析f（x）的奇偶性與單調(diào)性．（2）．（2021·寧夏賀蘭縣景博中學(xué)高二期末（文））函數(shù)在單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，若，則滿足的的取值范圍是．A． B． C． D．【答案】D【詳解】是奇函數(shù)，故；又是增函數(shù)，，即則有，解得，故選D.【點(diǎn)睛】解本題的關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化化歸思想，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，再利用單調(diào)性繼續(xù)轉(zhuǎn)化為，從而求得正解.（3）．（2020·桂林市臨桂區(qū)五通中學(xué)高一期中）設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為A． B．C． D．【答案】D【詳解】由f(x)為奇函數(shù)可知，＝<0.而f(1)＝0，則f(－1)＝－f(1)＝0.當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0＝f(1)；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>0＝f(－1)．又∵f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，∴奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)．所以0<x<1，或－1<x<0.選D點(diǎn)睛：解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時(shí)要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi)重難點(diǎn)4單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用例5．（2020·合肥一六八中學(xué)高一期末）已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.（1）求函數(shù)在上的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性可得且；當(dāng)時(shí)，，根據(jù)可求得，又滿足，可得分段函數(shù)解析式；（2）由解析式可得函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象可得不等式，解不等式求得取值范圍.【詳解】（1）是定義在上的奇函數(shù)且當(dāng)時(shí)，又滿足（2）由（1）可得圖象如下圖所示：在區(qū)間上單調(diào)遞增，解得：的取值范圍為：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性求解分段函數(shù)解析式、根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍的問(wèn)題，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)之間的大小關(guān)系，造成取值范圍缺少下限.例6．（2019·北京北師大二附中高一期中）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）計(jì)算，；（2）當(dāng)時(shí)，求的解析式．【答案】(1)f(0)=0,f(-1)=-1；（2）【分析】（1）根據(jù)已知條件，得到f(-x)=-f(x),進(jìn)而得到f(0)，同時(shí)利用對(duì)稱性得到f(-1)的值．（2）令則則，結(jié)合性質(zhì)得到結(jié)論．【詳解】（1），（2）令則則，又函數(shù)f(x)是奇函數(shù)所以【點(diǎn)睛】本題主要是考查函數(shù)奇偶性和函數(shù)的解析式的運(yùn)用．解決該試題的關(guān)鍵是利用奇函數(shù)的對(duì)稱性得到x<0的解析式，進(jìn)而分析得到特殊的函數(shù)值．屬于基礎(chǔ)題．例7．（2019·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三月考）已知函數(shù)是定義域?yàn)樯系钠婧瘮?shù)，且(1）求的解析式.(2)用定義證明：在上是增函數(shù).（3）若實(shí)數(shù)滿足，求實(shí)數(shù)的范圍.【答案】(1)；(2)見(jiàn)證明；(3).【分析】(1)首先根據(jù)函數(shù)是定義域在上的奇函數(shù)可計(jì)算出的值，然后根據(jù)可計(jì)算出的值，即可得出結(jié)果；(2)可根據(jù)增函數(shù)的定義，通過(guò)設(shè)并計(jì)算的值得出結(jié)果；(3)可通過(guò)奇函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為，然后列出算式即可得出結(jié)果．【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)是定義域在上的奇函數(shù),所以，，因?yàn)?，所以，?2)在任取，設(shè)，即，則，因?yàn)?，所以，，即?dāng)時(shí)，，在是增函數(shù)．(3)由題意可知，所以，即，解得．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查奇函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)以及增函數(shù)的證明，奇函數(shù)有，可以通過(guò)增函數(shù)的定義來(lái)證明函數(shù)是增函數(shù)，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查計(jì)算能力，是中檔題．重難點(diǎn)5抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性例8．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）設(shè)是定義在上的函數(shù)，且對(duì)任意，恒有.（1）求的值；（2）求證：為奇函數(shù)；（3）若函數(shù)是上的增函數(shù)，已知,且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)詳解；（3）【分析】（1）通過(guò)令，即可得到的值；（2）先判斷定義域，然后考慮令，根據(jù)題設(shè)條件得到，即可完成證明；（3）利用條件將變形為兩個(gè)函數(shù)值之間的大小關(guān)系，利用函數(shù)的單調(diào)性列出不等式求解出實(shí)數(shù)的范圍.【詳解】（1）令，所以，所以；（2）因?yàn)榈亩x域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令，所以，所以，所以是奇函數(shù)；（3）令，所以，又因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以，所以，即.【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的求值、奇偶性證明以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，難度一般.抽象函數(shù)在求值或者證明時(shí)，一般選用“令值”的方式，將抽象的等式關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)榇蟮闹祷蛘叽C明的問(wèn)題.例9．（2019·遼寧高三月考（理））已知定義域?yàn)?，?duì)任意都有，當(dāng)時(shí)，，.（1）求和的值；（2）試判斷在上的單調(diào)性，并證明；（3）解不等式：.【答案】（1），；（2）見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）令代入，即可求出；令代入，即可求出；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合題中條件，即可判斷出結(jié)果；（3）根據(jù)題意，將原不等式化為，再由（2）的結(jié)果，即可求出不等式的解集.【詳解】（1）因?yàn)閷?duì)任意都有，所以，令，則，所以；令，則，因?yàn)?，所以；?）任取，則，，當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減；（3）因?yàn)椋栽坏仁娇苫癁?；即，由?）可得，解得或；即原不等式的解集為.【點(diǎn)睛】本題主要考查賦值法求函數(shù)值，抽象函數(shù)單調(diào)性的判定，以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式等問(wèn)題，熟記函數(shù)單調(diào)性的定義即可，屬于常考題型.【變式訓(xùn)練9-1】．（2019·安慶市第二中學(xué)）f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且對(duì)一切x>0，y>0都有f＝f(x)－f(y)，當(dāng)x>1時(shí)，有f(x)>0．(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的單調(diào)性并證明；(3)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f<2；(4)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域．【答案】(1)0,(2)見(jiàn)解析(3)(4)【分析】（1）利用賦值法令x=y，進(jìn)行求解即可．（2）利用抽象函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可．（3）利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．（4）根據(jù)（2）的結(jié)論，將值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最值，根據(jù)f（4）=2，結(jié)合f（）=f（x）﹣f（y），賦值x=16，y=4，代入即可求得f（16），從而求得f（x）在[1，16]上的值域【詳解】（1）令x=y，f（1）=f（）=f（x）﹣f（x）=0，x＞0（2）設(shè)0＜x1＜x2，則由f（）=f（x）﹣f（y），得f（x2）﹣f（x1）=f（），∵＞1，∴f（）＞0．∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)（3）∵f（6）=f（）=f（36）﹣f（6），∴f（36）=2，原不等式化為f（x2+3x）＜f（36），∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴解得0＜x＜．故原不等式的解集為（0，）（4）由（2）知f（x）在[1，16]上是增函數(shù)．∴f（x）min=f（1）=0，f（x）max=f（16）．∵f（4）=2，由f（）=f（x）﹣f（y），知f（）=f（16）﹣f（4），∴f（16）=2f（4）=4，∴f（x）在[1，16]上的值域?yàn)閇0，4]【點(diǎn)睛】本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法以及結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．【變式訓(xùn)練9-2】．（2019·河北正中實(shí)驗(yàn)中學(xué)）設(shè)是定義在上的函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，．（）求的值，試證明是偶函數(shù)．（）證明在上單調(diào)遞減．（）若，，求的取值范圍．【答案】(1)；證明見(jiàn)解析.(2)證明見(jiàn)解析.(3).【解析】分析：（1）先求得，再求得，令，則，從而可得結(jié)論；（2）設(shè)，，，，∵，則，即，從而可得結(jié)果；(3)求得，可得，化為，從而可得結(jié)果.詳解：（）∵令得∴．令，，，，令，則．即是定義在上的偶函數(shù)．（）∵，∴，設(shè)，，，，∵，則，即，即在上單調(diào)遞減．（）∵，∴，∴，∵為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，∴，綜上，的取值范圍為．點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題.利用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟是：（1）在已知區(qū)間上任?。唬?）作差；（3）判斷的符號(hào)（往往先分解因式，再判斷各因式的符號(hào)），可得在已知區(qū)間上是增函數(shù)，可得在已知區(qū)間上是減函數(shù).四、定時(shí)訓(xùn)練（30分鐘）1．（2020·陜西高一期末）下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是A． B． C． D．【答案】D【分析】利用奇函數(shù)偶函數(shù)的判定方法逐一判斷得解.【詳解】A.函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，,所以函數(shù)是偶函數(shù)；B.函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.,所以函數(shù)是奇函數(shù)；C.函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，,所以函數(shù)是偶函數(shù)；D.函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，，所以函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.2．（2020·定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校高一月考（理））已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則A．9 B．-9 C．45 D．-45【答案】C【分析】函數(shù)為奇函數(shù)，有，再把代入已知條件得到的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以.【點(diǎn)睛】本題考查利用奇函數(shù)的定義求函數(shù)值，即，考查基本運(yùn)算能力.3．（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的增區(qū)間是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義直接得到答案【詳解】由圖可知，自左向右看圖象是上升的是增函數(shù)，則函數(shù)的增區(qū)間是故選：C【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)圖象求函數(shù)單調(diào)區(qū)間.屬于基礎(chǔ)題4．（2021·全國(guó)高一課前預(yù)習(xí)）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：由偶函數(shù)定義知，僅A,C為偶函數(shù)，C.在區(qū)間上單調(diào)遞增函數(shù)，故選A．考點(diǎn)：本題主要考查奇函數(shù)的概念、函數(shù)單調(diào)性、冪函數(shù)的性質(zhì)．點(diǎn)評(píng)：函數(shù)奇偶性判定問(wèn)題，應(yīng)首先考慮函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．5．（2021·全國(guó)）函數(shù)在單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接由拋物線的對(duì)稱軸和區(qū)間端點(diǎn)比較大小即可.【詳解】函數(shù)為開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸為函數(shù)在單調(diào)遞增，則，解得.故選：A.6．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)（文））若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，得到函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，再根據(jù)兩個(gè)數(shù)的乘積大于等于零，分類轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)自變量不等式，最后求并集得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槎x