人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下第四講 相似三角形的性質(zhì)與判定復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案

/第四講相似三角形的性質(zhì)與判定一、知識(shí)精講1.比例的性質(zhì)比例的性質(zhì)例如剖析〔1〕根本性質(zhì)：〔2〕反比性質(zhì)：〔3〕更比性質(zhì)：、或〔4〕合比性質(zhì)：〔5〕分比性質(zhì)：〔6〕合分比性質(zhì)：〔7〕等比性質(zhì)：〔其中為正整數(shù),〕①②,當(dāng)時(shí)2.成比例線段及相關(guān)概念概念1．兩條線段的比：選用同一長(zhǎng)度單位量得的兩條線段的長(zhǎng)度的比,叫做這兩條線段的比．2．成比例線段：如果線段和的比等于線段和的比,那么線段,,,叫做成比例線段,記作或．3．比例中項(xiàng)：假設(shè),那么稱是,的比例中項(xiàng)．4．黃金分割點(diǎn)：如圖,點(diǎn)把線段分成兩條線段和〔〕,假設(shè),那么稱線段被點(diǎn)黃金分割,點(diǎn)叫做線段的黃金分割點(diǎn),與的比叫做黃金比,即．注意：線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．3.平行線分線段成比例定理及推論定理：三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．如圖1,所示,如果,那么,,．推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊〔或兩邊的延長(zhǎng)線〕,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．如圖2,所示,假設(shè),那么有,,．如圖3,假設(shè),那么有．圖⑴ 圖⑵ 圖⑶4.相似圖形的相關(guān)知識(shí)定義例如剖析相似圖形：形狀相同的圖形叫做相似圖形．兩個(gè)正方形是相似圖形相似多邊形：我們把形狀相同,大小不同的多邊形,叫做相似多邊形．放大后的圖形和放大前的圖形是相似多邊形．相似三角形：對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形,相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比〔或相似系數(shù)〕相似三角形的性質(zhì)：⑴相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例.相似三角形對(duì)應(yīng)的高線、中線、角平分線的比等于相似比；〔需要證明〕⑵相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比.⑶相似三角形的面積比等于相似比的平方．假設(shè),那么〔為相似比〕,3.相似三角形的判定相似三角形的判定定理：⑴有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；⑵兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；⑶三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.由⑴得到①任何兩個(gè)等邊三角形都相似;②任何頂角相等的兩個(gè)等腰三角形都相似;③三角形的中位線截三角形得到的小三角形與原三角形相似;④一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似．二、典例解析題型一：線段成比例【例1】⑴假設(shè),那么〔〕A． B． C． D．⑵,那么以下等式中不成立的是〔〕A． B． C． (且) D．=3\*GB2⑶,那么．=4\*GB2⑷在比例尺為1︰2019的地圖上測(cè)得AB兩地間的圖上距離為5,那么AB兩地間的實(shí)際距離為m．=5\*GB2⑸b是a、c的比例中項(xiàng),且,,那么_____.⑴D．⑵D．=3\*GB2⑶∵,∴,∴．=4\*GB2⑷100；=5\*GB2⑸.【例2】⑴在中,交于,交于,以下不能成立的比例式是〔〕A．B． C． D．⑵如圖,,那么②假設(shè),那么cm,③假設(shè)的周長(zhǎng)為16cm,那么的周長(zhǎng)為．=3\*GB2⑶如圖,中有菱形,如果,那么的值為．=4\*GB2⑷如圖,,,現(xiàn)得到以下結(jié)論：其中正確比例式的個(gè)數(shù)有〔〕A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)⑴D；⑵；4；24；⑶；⑷B.題型二：相似的相關(guān)計(jì)算【例3】⑴手工制作課上,小紅利用一些花布的邊角料,剪裁后裝飾手工畫,下面四個(gè)圖案是她剪裁出的空心不等邊三角形、等邊三角形、正方形、矩形花邊,其中每個(gè)圖案花邊的寬度都相等,那么,每個(gè)圖案中花邊的內(nèi)外邊緣所圍成的幾何圖形不相似的是〔〕ABCD⑵如圖,中,點(diǎn)在線段上,且,那么以下結(jié)論一定正確的選項(xiàng)是〔〕A． B．C． D．⑶如圖,在平行四邊形ABCD中,,,E是AD的中點(diǎn),在AB上取一點(diǎn)F,使,那么BF的長(zhǎng)是〔〕A.5B.8.2C.6.4D.1.8⑷如圖,,點(diǎn)D、E分別在AB、AC上,且∠ABC=∠AED．假設(shè)DE=4,AE=5,BC=8；那么AB的長(zhǎng)為．⑴D.⑵C.⑶D.⑷10．題型三：相似三角形的判定【例4】⑴如圖,點(diǎn)D在△ABC的邊AC上,要判斷△ADB與△ABC相似,添加一個(gè)條件,不正確的選項(xiàng)是〔〕A．∠ABD=∠CB．∠ADB=∠ABCC．D．⑵給出以下條件：①的兩個(gè)角分別是和,的兩個(gè)角分別是和.②的兩邊長(zhǎng)分別為和,夾角為,的兩邊長(zhǎng)分別為和,夾角為.③的邊長(zhǎng)分別是、、,的邊長(zhǎng)分別是、、.④中,,,,中,,,.其中能判定和相似的條件有〔〕A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)⑴或或〔答案不唯一〕；=2\*GB2⑵D.【例5】=1\*GB2⑴如圖,在正方形網(wǎng)格上有6個(gè)斜三角形：①,②,③,④,⑤,⑥,其中②～⑥中,與三角形①相似的是〔〕A．②③④ B．③④⑤ C．④⑤⑥ D．②③⑥=2\*GB2⑵如圖,在已建立直角坐標(biāo)系的4×4正方形方格紙中,是格點(diǎn)三角形〔三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都是小正方形的頂點(diǎn)〕,假設(shè)以格點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似〔全等除外〕,那么格點(diǎn)的坐標(biāo)是．=3\*GB2⑶,,,,那么．=1\*GB2⑴B；=2\*GB2⑵、.=3\*GB2⑶．【例6】如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°．點(diǎn)E為底AD上一點(diǎn),將△ABE沿直線BE折疊,點(diǎn)A落在梯形對(duì)角線BD上的G處,EG的延長(zhǎng)線交直線BC于點(diǎn)F．(1)求證：△ABG∽△BFE；(2)設(shè),,當(dāng)四邊形EFCD為平行四邊形時(shí),求BC的長(zhǎng)度．(1)證明：∵AD∥BC；∴∠AEB=∠EBF；∵由折疊知△EAB≌△EGB,∴∠AEB=∠BEG,∠EBF=∠BEF；∴FE=FB,△FEB為等腰三角形；∵∠ABG+∠GBF=90°,∠GBF+∠EFB=90°；∴∠ABG=∠EFB；在等腰△ABG和△FEB中,∴∠BAG=∠FBE；∴△ABG∽△BFE；(2)∵四邊形EFCD為平行四邊形,EF∥DC；∵由折疊知,∠DAB=∠EGB=90°,∠DAB=∠BDC=90°；又∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC；∴△ABD∽△DCB；∵AD=4,AB=3,∴BD=5；即BC=.【練1】如圖,E是矩形ABCE的邊BC上一點(diǎn),EF⊥AE,EF分別交AC、CD于點(diǎn)M、F,BG⊥AC,垂足為G,BG交AE于點(diǎn)H．(1)求證：△ABE∽△ECF；(2)找出與△ABH相似的三角形,并證明；(3)假設(shè)E是BC中點(diǎn),,,求EM的長(zhǎng)．【解析】(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABE=∠ECF=90°．∵AE⊥EF,∠AEB+∠FEC=90°．∴∠AEB+∠BEA=90°,∴∠BAE=∠CEF,∴△ABE∽△ECF．(2)△ABH∽△ECM．證明：∵BG⊥AC,∴∠ABG+∠BAG=90°,∴∠ABH=∠ECM,由(1)知,∠BAH=∠CEM,∴△ABH∽△ECM．(3)解：作MR⊥BC,垂足為R,∵AB=BE=EC=2,∴AB：BC=MR：RC=2,∠AEB=45°,∴∠MER=45°,CR=2MR,∴,,∴．【練2】如圖,直角梯形中,,,點(diǎn)在上,點(diǎn)在上,．⑴求證：．⑵當(dāng),,點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)時(shí),求直角梯形的面積．⑴在梯形中,又∵是的中點(diǎn),∴∵是的中點(diǎn)∴直角梯形的面積.【練2】類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到,如下是一個(gè)案例,請(qǐng)補(bǔ)充完整．(1)如圖1,在□ABCD中,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn),BF的延長(zhǎng)線交射線CD于點(diǎn)G．假設(shè),求的值．(2)拓展遷移：如圖2,梯形ABCD中,DC//AB,點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),AE和BD相交于點(diǎn)F．假設(shè),,那么的值是__________(用含a,b的代數(shù)式表示)． (1)作EH∥AB交BG于點(diǎn)H,那么∽∵AB=CD,∴EH∥AB∥CD,∴∽∴,∴CG=2EH(2),過點(diǎn)E作EH∥AB交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．【練3】⑴如下圖,是的中線,點(diǎn)在上,是的延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)．①如果是的中點(diǎn),求證：；②由①知,當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí),成立,假設(shè)是上任意一點(diǎn)〔如下圖,與、不重合〕,上述結(jié)論是否成立？假設(shè)成立,請(qǐng)寫出證明；假設(shè)不成立,請(qǐng)說明理由．⑵如下圖,在中,是的中點(diǎn),是上一點(diǎn),且,連接并延長(zhǎng),交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),求的值．⑴過點(diǎn)、、作平行線均可構(gòu)造出平行線的根本圖形,然后利用這些根本圖形的性質(zhì)來解題．①如下圖,過點(diǎn)作的平行線,交于點(diǎn)．由可得,由可得,那么；②結(jié)論依然成立,解法同上．⑵如下圖,過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)．因?yàn)?,那么．而,故．又因?yàn)?那么.三、課堂檢測(cè)1.如圖,在中,,延長(zhǎng)到,在上取,連結(jié)與交于,求證：．過作交于．在中,有,,∴①．在中,∵,∴②．由①②得．2.如圖,在長(zhǎng)為、寬為的矩形中,截去一個(gè)矩形,使得留下的矩形〔圖中陰影局部〕與原矩形相似,那么留下矩形面積是〔〕A． B． C． D．C．3.如圖,、是的邊、上的點(diǎn),且,求證：.4.梯形中,,,、分別為AB與BC中點(diǎn)．求證：⑴；⑵,求的長(zhǎng)．⑴∵為的中點(diǎn),且又∵∴四邊形是平行四邊形又∵⑵由⑴知由∵5.以下四個(gè)三角形,與左圖中的三角形相似的是〔〕DDB．四、課后練習(xí)1.：,那么=；⑵=.2.如圖,平行四邊形中,E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接DE,交BC于F,交于,那么圖中相似三角形〔不含全等三角形〕共有〔〕對(duì).A.6 B.5 C.4 D.3B.3.如圖,在平行四邊形中,過點(diǎn)作,垂足為,連接,為線段上一點(diǎn),且．⑴求證：．⑵假設(shè),,,求的長(zhǎng)．⑴∵四邊形是平行四邊形⑵∵四邊形是平行四邊形又∵在中,

第04講精講：作平行線構(gòu)造相似三角形方法探究引入新的概念：線段的分點(diǎn)與公共分點(diǎn)；線段的分點(diǎn)：線段AB,在直線AB上有一點(diǎn)C,假設(shè)AC與BC之間具有特殊的比例關(guān)系,那么將點(diǎn)A、B、C稱為線段AB的三個(gè)不同的分點(diǎn)；公共分點(diǎn)：不在同一條直線上的具有特殊比例關(guān)系的兩條線段的共同的分點(diǎn)；過公共分點(diǎn)作平行線,構(gòu)造根本相似模型,來溝通題設(shè)所給的兩個(gè)特殊比例關(guān)系是常見的相似解題方法；根本相似模型為“A字型〞和“8字型〞.【探究1】如圖,一條直線與△ABC的邊AB、AC及BC的延長(zhǎng)線交于D、E、F三點(diǎn).假設(shè),試說明：D是AB的中點(diǎn).【分析】結(jié)論AD=BD,我們可視A、B、D為線段AB的三個(gè)不同的分點(diǎn)；條件,我們可視A、E、C為線段AC的三個(gè)不同的分點(diǎn).兩者結(jié)合可得：A為公共分點(diǎn),過A作BF的平行線交FD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.圖中就可以出現(xiàn)與條件和結(jié)論都有密切聯(lián)系的兩個(gè)“8字型〞的根本構(gòu)圖,如以下圖所示；類似地：過點(diǎn)A作DF的平行線交BF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,我們可以得到兩個(gè)“A字型〞的根本構(gòu)圖,如以下圖所示；

【探究2】：如圖,在△ABC中,,E為CD的中點(diǎn),AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F.求.【分析】由可知：A、D、B為線段AB