2023-2024學(xué)年四川省瀘州市瀘縣重點中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年四川省瀘州市瀘縣重點中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.直線y=?x?A.π6 B.π4 C.π22.若直線ax+(1?a)yA.3 B.1 C.0或?32 D.13.離心率為2的雙曲線x2a2?A.5x±y=0 B.x4.如圖，OABC是四面體，G是△ABC的重心，G2是OGA.OG1=OA+OB+5.“哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學(xué)難題之一，其內(nèi)容是：一個大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個素數(shù)(質(zhì)數(shù))之和，也就是我們所謂的“1+1”問題．它是1742年由數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出的，我國數(shù)學(xué)家潘承洞、王元、陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明中都取得了相當(dāng)好的成績．若將14拆成兩個正整數(shù)的和，則拆成的和式中，加數(shù)全部為素數(shù)的概率為(

)A.313 B.513 C.276.如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截得到的，其中AB=4，BC=2A.22

B.322

7.已知點P(x,y)是直線l：kx?y+4=0(k>0)上的動點，過點P作圓C：x2+y2+A.?2 B.25?2 8.已知數(shù)列{an}的首項a1=1，且滿足an+1?A.(?∞,?12)∪(二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.有一個正四面體玩具，四個面上分別寫有數(shù)字1，2，3，4.其玩法是將這個正四面體拋擲一次，記錄向下的面上的數(shù)字.現(xiàn)將這個玩具隨機拋擲兩次，A表示事件“第一次記錄的數(shù)字為2”，B表示事件“第二次記錄的數(shù)字為4”，C表示事件“兩次記錄的數(shù)字和為3”，D表示事件“兩次記錄的數(shù)字和為5”，則(

)A.A與B互斥 B.C與D互斥 C.A與D相互獨立 D.B與D相互獨立10.已知⊙P：x2+(y+3)2=9，⊙Q：xA.若⊙Q的半徑為1，則m=16

B.若m=13，則⊙P與⊙Q相交弦所在的直線為2x+2y?13=0

C.直線l：11.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1A.A1B1/?/平面ABC1

B.平面A1BC⊥平面ABC1

C.異面直線AC與

12.已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，M(x0,y0A.若|MF|=5，則y0=4

B.過點A與拋物線C有一個公共點的直線有3條

C.|MF三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.兩條直線12x?5y+8=14.已知圓C：x2+y2+2x=0，若直線y=k15.已知數(shù)列{an}的首項a1=35，且an+16.雙曲線C：x2a2?y2b2=1的右焦點為F，雙曲線C的一條漸近線與以O(shè)F為直徑的圓交于點M(異于點O)四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

已知圓N的圓心在直線x?2y+5=0上，且圓N經(jīng)過點A(3,1)與點B(6,18.(本小題12分)

有一批貨物需要用汽車從城市甲運至城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，且通過這兩條公路所用的時間互不影響．據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，通過這兩條公路從城市甲到城市乙的200輛汽車所用時間的頻數(shù)分布如表：所用的時間/10111213通過公路1的頻數(shù)20402020通過公路2的頻數(shù)10404010(1)為進行某項研究，從所用時間為12h的60輛汽車中隨機抽取6輛．

(ⅰ)若用分層隨機抽樣的方法抽取，求從通過公路1和公路2的汽車中各抽取幾輛；

(ⅱ)若從(ⅰ)的條件下抽取的6輛汽車中，再任意抽取2輛汽車，求這2輛汽車至少有1輛通過公路1的概率．

(2)假設(shè)汽車A只能在約定時間的前11h出發(fā)，汽車B只能在約定時間的前1219.(本小題12分)

如圖，在三棱錐P?ABC中，PA⊥PC，AB⊥AC，平面PAC⊥平面ABC，AC=20.(本小題12分)

已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直線l：x+my?1=0過E的右焦點F.當(dāng)m=1時，橢圓的長軸長是下頂點到直線l的距離的2倍．

(Ⅰ)求橢圓E的方程；21.(本小題12分)

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對任意n∈N*，有an>0，且4Sn=an2+2an+22.(本小題12分)

已知動點M(x,y)與定點F(1,0)的距離和M到定直線l：x=4的距離的比是常數(shù)12．

(1)求動點M的軌跡方程，并說明軌跡即曲線C的形狀．

(2)過A(1,?32)作兩直線與拋物線y=mx2答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．

設(shè)直線y=?x?1的傾斜角為θ，θ∈[0,π)，可得tanθ=?1，解得θ．

【解答】

2.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了兩條直線相互垂直的直線與斜率之間的關(guān)系、分類討論的思想方法，屬于基礎(chǔ)題．

對a分類討論，利用兩條直線相互垂直的直線與斜率之間的關(guān)系即可得出．

【答案】

解：當(dāng)a=1時，兩條直線分別化為：x=3，5y=2，此時兩條直線互相垂直；

當(dāng)a=?32時，兩條直線分別化為：3x?5y+6=0，5x=?4，此時兩條直線不互相垂直；

當(dāng)a≠?32，1時，兩條直線分別化為：y=aa?3.【答案】D

【解析】解：離心率為2的雙曲線x2a2?y2b2=1，可得ca=2，所以b2a2=3，即4.【答案】B

【解析】解：∵OABC是四面體，G是△ABC的重心，G2是OG上一點，且OG=3OG5.【答案】A

【解析】【分析】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．

將14拆成兩個正整數(shù)的和，利用列舉法求出基本事件有13個，拆成的和式中，加數(shù)全部為素數(shù)的基本事件有3個，由此能求出拆成的和式中，加數(shù)全部為素數(shù)的概率．【解答】

解：將14拆成兩個正整數(shù)的和，基本事件有：

1+13，2+12，3+11，4+10，5+9，6+8，7+7，8+6，9+5，10+4，11+3，12+26.【答案】C

【解析】解：以D為原點，分別以DA，DC，DF所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz，

則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,4,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)7.【答案】B

【解析】解：易知，當(dāng)PC與直線l垂直時，切線長|PA|最短，

而圓C：x2+(y+1)2=1，圓心C(0,?1)，半徑R=1，由|PA|=2，

則|PC|=|PA|2+R2=22+12=5．

所以5=|1+4|k2+1(k>0)，解得k=2．

故此時直線l的方程為：2x?y+8.【答案】A

【解析】解：數(shù)列{an}的首項a1=1，且滿足an+1?an=(?12)n(n∈N+)，

可得an=a1+(a2?a1)+(a3?a2)+…+(an?an?1)

=1+(?12)+14+…+(?12)n?1=1?1(?2)n9.【答案】BC【解析】解：因為事件A和事件B可以同時發(fā)生，

所以A與B不互斥，A不正確；

因為事件C和事件D不能同時發(fā)生，

所以C與D互斥，B正確；

用(x,y)表示第一次事件記錄的數(shù)字為x，第二次事件記錄的數(shù)字為y，

則“兩次記錄的數(shù)字和為5”可以是(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，

所以P(A)=14，P(D)=41610.【答案】AC【解析】解：由題意得，⊙P：x2+(y+3)2=9的圓心為P(0,?3)，半徑r1=3，⊙Q：(x+1)2+(y+4)2=17?m，圓心為Q(?1,?4)，

若⊙Q的半徑為1，則17?m=12，解得m=16，故A正確；

若m=13，則⊙Q：x2+2x+y2+8y+13=0，兩圓方程相減，

得⊙P與⊙Q相交弦所在的直線為2x+2y+13=0，故B錯誤；

易得直線l：ax?y?a?2=0過定點(1,?2)，且點(1,?2)在⊙P內(nèi)，

則圓心11.【答案】AB【解析】解：三棱柱中，A1B1/?/AB，AB?平面ABC1，A1B1?平面ABC1，

所以A1B1/?/平面ABC1，所以A選項正確；

在直棱柱中，平面ACC1A1⊥平面ABC，

又因為AC⊥BC，BC?平面ABC，

所以BC⊥平面ACC1A1，所以BC⊥AC1，

因為AC=AA1，所以A1C⊥AC1，

而A1C∩BC=C，

所以AC1⊥平面A1BC，AC1?平面ABC1，

所以平面A1BC⊥平面ABC1，所以12.【答案】BC【解析】【分析】本題考查拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用及直線與拋物線的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．

求出拋物線焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，再根據(jù)拋物線定義即可判斷A；由A在拋物線外，可得過A有兩條切線和一條與對稱軸平行的直線與拋物線有一個公共點，可判斷B；由三點共線可得線段之和最小，可判斷C；由點到直線的距離公式求出M到直線的距離d的表達式，由縱坐標(biāo)的范圍求出最小值，可判斷D．【解答】

解：由拋物線C：y2=4x的方程可得焦點F(1,0)，準(zhǔn)線方程x=?1，

A中，由拋物線的性質(zhì)|MF|=x0+1=5，

則x0=4，代入拋物線的方程可得y0=±4，所以A不正確；

B中，將A點的坐標(biāo)代入：22>4×0，可得A點在拋物線的外面，

所以過A有兩條直線與拋物線相切，還有一條平行于x軸的直線與拋物線有一個公共點，

所以有3條直線與拋物線有一個公共點，B正確；

C中，|MF13.【答案】3213【解析】解：由平行線間的距離公式可得它們的距離d=|?24?8|1214.【答案】±【解析】解：將x2+y2+2x=0化為標(biāo)準(zhǔn)式得(x+1)2+y2=1，故半徑為1；

圓心(?1,0)到直線15.【答案】2023

【解析】解：首項a1=35，且an+1=3an2an+1，

可得1an+1=13an+23，

即有得1an+1?1=13(1an?116.【答案】5【解析】【分析】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題．

根據(jù)題意，利用直角三角形，漸近線的斜率，三角形的面積關(guān)系可得關(guān)于a，b，c的方程，化簡即可得出雙曲線的離心率．【解答】

解：不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y=bax，

由題意知OM⊥FM，又|OF|=c，c2=a2+b2，tan∠NOF=ba，所以|OM|=a，

若S△17.【答案】解：(1)設(shè)

線段AB的中點為C(92,52)，∵kAB=1，

∴線段AB的垂直平分線為x+y?7=0，與x?2y+5=0聯(lián)立得交點N(3,4)，

∴|AN|【解析】(1)求出直線AB的中垂線方程，然后求解圓的圓心坐標(biāo)，求出半徑，即可求解圓的方程．

(18.【答案】解：(1)(i)從通過公路1的汽車中抽取2020+40×6=2輛，從通過公路2的汽車中抽取4020+40×6=4輛；

(ii)這2輛汽車都不通過公路1的概率為P1=C42C62=615=25，所以這2輛汽車至少有1輛通過公路1的概率為P=【解析】(1)(i)利用分層抽樣的比例關(guān)系列式求解；(ii)先求2輛汽車都不通過公路1的概率，再求至少有1輛通過公路1的概率；

19.【答案】(1)證明：因為平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，平面PAC∩平面ABC=AC，AB?平面ABC，

所以AB⊥平面PAC，

因為PC?平面PAC，所以AB⊥PC，

又因為PC⊥PA，PA∩AB=A，所以PC⊥平面PAB，

因為PB?平面PAB，所以PB⊥PC；

(2)解：過點P在平面PAC內(nèi)作PD⊥AC交AC于D，

因為平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PD⊥AC，PD?平面PAC，

所以PD⊥平面AB【解析】(1)由面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理即可證明；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面AB20.【答案】解：(Ⅰ)設(shè)橢圓的焦距為2c，直線l恒過定點(1,0)，所以c=1，

當(dāng)m=1時，直線l：x+y?1=0，橢圓的下頂點(0,?b)到直線l的距離d=1+b2，

由題意可得a=b+12a2=b2+1，解得a=2，b=1，所以橢圓的方程為x22+y2=1；

(Ⅱ)當(dāng)【解析】(Ⅰ)由題意可得c=1，運用點到直線的距離公式和a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進而得到橢圓的方程；

(Ⅱ)討論m=0，顯然存在；當(dāng)m≠21.【答案】解：(1)由題意得，4Sn=an2+2an+1，①n=1時，4a1=a12+2a1+1，得到a1=1.n≥2時，4Sn?1=an?12+2an?1+1，②

①?②，得到4an=an2?an?12+2an?2an?1，整理得(an?an?1?2)(an+an?1)=0，

∵an>0，所以an+an?1>0，即an?【解析】(1)直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項公式；

(222.【答案】解：(1)易知|MF|=(x?1)2+y2，點M(x,y)到定直線l：x=4的距離為|x?4|