2023~2024學(xué)年廣東省廣州市各區(qū)九年級(jí)上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題匯編：二次函數(shù)（含解析）

~2024學(xué)年廣東省廣州市各區(qū)九年級(jí)上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題匯編：二次函數(shù)一、二次函數(shù)的性質(zhì)1.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市海珠區(qū)）關(guān)于二次函數(shù)下列說法正確的是（）A.開口向上 B.對(duì)稱軸是軸C.有最小值 D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)隨的增大而減小2.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.3.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市南沙區(qū)）二次函數(shù)的對(duì)稱軸是（）A.直線 B.直線 C.直線 D.直線4.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市天河區(qū)）如圖是二次函數(shù)的圖象，則不等式的解集是（）A. B.或C. D.或5.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市花都區(qū)）如圖，拋物線與直線交于A、B兩點(diǎn)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，先到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上的某點(diǎn)E，再到達(dá)x軸上的某點(diǎn)F，最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)若使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑的長為A.B.C.D.6.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市荔灣區(qū)）二次函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)，，則此拋物線的對(duì)稱軸是直線______．7.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市花都區(qū)）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是________．8.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市天河區(qū)）已知點(diǎn)在二次函數(shù)（a為常數(shù)）的圖像上．若，則m______n．（填“”、“”或“”）．二、二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系1.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市增城區(qū)）如圖，拋物線經(jīng)過等腰直角三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B，點(diǎn)A在y軸上，則的值為()A. B. C. D.2.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市天河區(qū)）已知點(diǎn)，都在一次函數(shù)（，是常數(shù)，）的圖象上，（）A.若有最大值4，則的值為 B.若有最小值4，則的值為C.若有最大值，則的值為4 D.若有最小值，則的值為43.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)）如圖，拋物線交軸于兩點(diǎn)，交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為.下列結(jié)論：①；②；③若為該拋物線上兩點(diǎn)且，則；④若是等腰直角三角形，則；⑤若是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，則.其中正確的是（）.A.①②③ B.③④⑤ C.①④⑤ D.①③④4.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市南沙區(qū)）二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的坐標(biāo)滿足下表∶x…01234…y…830m3…下列說法中：①該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線；②；③不等式的解集為；④方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，正確的個(gè)數(shù)有（）個(gè)．A.1 B.2 C.3 D.45.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市黃埔區(qū)）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），與y軸的交點(diǎn)B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間（不包括這兩點(diǎn)），對(duì)稱軸為直線x=1．下列結(jié)論：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正確結(jié)論的選項(xiàng)是（）A.①③ B.①③④ C.②④⑤ D.①③④⑤6.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市番禺區(qū)）拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，，三點(diǎn)，且．在下列四個(gè)結(jié)論中：①；②；③當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)在該拋物線上，則；④若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則；其正確結(jié)論的序號(hào)是（）．A.②③④ B.①②④ C.①②③ D.①③④7.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市荔灣區(qū)）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)在和之間（不包括這兩點(diǎn)），對(duì)稱軸為直線，則下列結(jié)論：①時(shí)，；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)8.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)）已知二次函數(shù)的函數(shù)值和自變量的部分對(duì)應(yīng)取值如下表所示：…0123……11…若在這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，則的取值范圍是__________.9.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市白云區(qū)）如圖，拋物線的開口向上，經(jīng)過點(diǎn)和且與y軸交于負(fù)半軸．則下列結(jié)論：①，②；③；④；其中正確的結(jié)論是________．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）三、二次函數(shù)的圖像的平移1.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市番禺區(qū)）將拋物線y=3x2向上平移2個(gè)單位，得到拋物線的解析式是（）A.y=3x2﹣2 B.y=3x2 C.y=3（x+2）2 D.y=3x2+22.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市黃埔區(qū)）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=3x2先向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到的拋物線的解析式是（）A.y=3（x+1）2+2 B.y=3（x+1）2﹣2C.y=3（x﹣1）2+2 D.y=3（x﹣1）2﹣23.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市荔灣區(qū)）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，得到的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）．A. B. C. D.4.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市南沙區(qū)）把拋物線向上平移4個(gè)單位，所得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為__________．5.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市天河區(qū)）把二次函數(shù)的圖象向上平移4個(gè)單位，則得到的拋物線解析式為_______．四、二次函數(shù)的應(yīng)用1.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市番禺區(qū)）如圖是拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂離水面時(shí)，水面寬，若水面下降，則水面寬度增加________．（結(jié)果可保留根號(hào)）2.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市增城區(qū)）如圖，從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度（單位：）與小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間（單位：）之間的關(guān)系式是．（1）當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是多少時(shí)，小球回落到地面處？（2）求小球在運(yùn)動(dòng)過程中的最大高度．3.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市白云區(qū)）如圖，四邊形的對(duì)角線AC，BD互相垂直，AC+BD＝10．當(dāng)AC，BD的長是多少時(shí)，四邊形ABCD面積最大？4.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市天河區(qū)）黨的“二十大”期間，某網(wǎng)店直接從工廠以35元/件的進(jìn)價(jià)購進(jìn)一批紀(jì)念“二十大”的鑰匙扣，售價(jià)為60元/件時(shí)，第一天銷售了25件．該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)走高．在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，第三天的銷售量達(dá)到了36件．（1）求每天銷售量的平均增長率．（2）“二十大”臨近結(jié)束時(shí)，鑰匙扣還有大量剩余，為了盡快減少庫存，網(wǎng)店打算將鑰匙扣降價(jià)銷售．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價(jià)1元，在第三天的銷售量基礎(chǔ)上每天可多售2件，將鑰匙扣的銷售價(jià)定為每件多少元時(shí)，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少元？5.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市海珠區(qū)）某店銷售一種環(huán)保建筑涂料，當(dāng)每桶售價(jià)為300元時(shí)，月銷售量為60桶，該店為提高經(jīng)營利潤，準(zhǔn)備采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)該涂料每桶售價(jià)每下降5元時(shí)，月銷售量就會(huì)增加10桶，每售出1桶涂料共需支付廠家及其他費(fèi)用200元．（1）當(dāng)每桶售價(jià)是280元時(shí)，求此時(shí)該店的月銷售量為多少桶？（2）求每桶降價(jià)多少元時(shí)，該店能獲得最大月利潤？最大月利潤為多少元？6.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)）2022年教育部正式印發(fā)《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，《勞動(dòng)》成為一門獨(dú)立的課程.某學(xué)校率先行動(dòng)，在校園開辟了一塊勞動(dòng)教育基地，用一段長為30米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形養(yǎng)殖園（靠墻的一邊不需用籬笆），墻長為16米.（1）當(dāng)圍成的矩形養(yǎng)殖園面積為108平方米時(shí)，求養(yǎng)殖園的邊的長；（2）求矩形養(yǎng)殖園面積的最大值.7.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市荔灣區(qū)）某網(wǎng)店專門銷售杭州第十九屆亞運(yùn)會(huì)吉祥物機(jī)器人“江南憶”套裝，成本為每件30元，每天銷售（件）與銷售單價(jià)（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示，網(wǎng)店每天的銷售利潤為元，網(wǎng)店希望每天吉祥物機(jī)器人“江南憶”套裝的銷售量不低于220件（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫自變量的取值范圍）；（2）當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲取的利潤最大，最大利潤是多少？（3）如果每天的利潤不低于3000元，求銷售單價(jià)（元）的取值范圍五、求函數(shù)解析式1.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市天河區(qū)）如圖是拋物線的圖象．（1）當(dāng)取何值時(shí)，的值隨著的增大而增大？（2）求拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．2.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市番禺區(qū)）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點(diǎn)．（1）求b和c的值；（2）自變量x在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，y隨x的增大而減??？3.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市海珠區(qū)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，其中圖象與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）直接寫出不等式的解集．4.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市花都區(qū)）如圖，二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)、、．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）觀察函數(shù)圖象，試直接寫出時(shí)，的取值范圍．5.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市南沙區(qū)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)，圖象經(jīng)過、兩點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式及它的對(duì)稱軸；（2）設(shè)點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，橫坐標(biāo)為，①當(dāng)，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是___________；②過點(diǎn)做軸，交直線于，當(dāng)線段時(shí)，請(qǐng)求出m的值．6.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)）如圖，直線分別交軸，軸于兩點(diǎn)，經(jīng)過兩點(diǎn)的拋物線與軸的正半軸相交于點(diǎn).（1）求拋物線的解析式；（2）結(jié)合圖象，直接寫出不等式的解集.7.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市荔灣區(qū)）已知拋物線和直線，拋物線的對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)與的頂點(diǎn)的距離是4．（1）求的解析式；（2）若隨著的增大而減小，且與都經(jīng)過軸上的同一點(diǎn)，求的解析式．六、其他1.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市黃埔區(qū)）對(duì)于拋物線y＝x2﹣4x+3．（1）它與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）在坐標(biāo)系中利用描點(diǎn)法畫出此拋物線；x……y……（3）結(jié)合圖象直接回答：當(dāng)0＜x＜3時(shí)，則y的取值范圍是．2.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市南沙區(qū)）校藝術(shù)節(jié)上，甲同學(xué)用腰長為的等腰直角三角形卡紙裁剪出如圖所示的矩形紙片，且矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在的邊上．（1）若甲裁剪出來的矩形紙片周長是紙片周長的一半，那么這個(gè)矩形紙片的寬是___________cm；（2）設(shè)的長度為，矩形的面積為，①求關(guān)于的函數(shù)解析式；②求矩形的面積的最大值．3.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市番禺區(qū)）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)，如果P，Q兩點(diǎn)分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，那么的面積S隨出發(fā)時(shí)間t而變化．（1）求出S關(guān)于t的函數(shù)解析式，寫出t的取值范圍；（2）當(dāng)t取何值時(shí)，S最大？最大值是多少？2023~2024學(xué)年廣東省廣州市各區(qū)九年級(jí)上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題匯編：二次函數(shù)答案解析一、二次函數(shù)的性質(zhì)1.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市海珠區(qū)）關(guān)于二次函數(shù)下列說法正確的是（）A.開口向上 B.對(duì)稱軸是軸C.有最小值 D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)隨的增大而減小【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：拋物線中，，拋物線開口向下，對(duì)稱軸是軸，故A錯(cuò)誤，B正確；函數(shù)有最大值，當(dāng)當(dāng)時(shí)，函數(shù)隨的增大而增大，故C、D錯(cuò)誤，故選：B．2.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，掌握的頂點(diǎn)坐標(biāo)是是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，故選B．3.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市南沙區(qū)）二次函數(shù)的對(duì)稱軸是（）A.直線 B.直線 C.直線 D.直線【答案】A【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線．根據(jù)頂點(diǎn)式的對(duì)稱軸為直線求解即可．【詳解】解：拋物線的對(duì)稱軸為直線．故選A．4.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市天河區(qū)）如圖是二次函數(shù)的圖象，則不等式的解集是（）A. B.或C. D.或【答案】D【解析】【分析】本題考查利用二次函數(shù)圖象求不等式的解集，求出點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象即可得出的解集．【詳解】解：由圖可知二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，由二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知，點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上，由圖可知，當(dāng)或時(shí)，對(duì)應(yīng)的y值小于3，因此的解集為：或．故選：D．5.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市花都區(qū)）如圖，拋物線與直線交于A、B兩點(diǎn)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，先到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上的某點(diǎn)E，再到達(dá)x軸上的某點(diǎn)F，最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)若使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑的長為A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)題意求得點(diǎn)A與B的坐標(biāo)，求得拋物線的對(duì)稱軸，然后作點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=的對(duì)稱點(diǎn)A′，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接A′B′，則直線A′B′與直線x=的交點(diǎn)是E，與x軸的交點(diǎn)是F，而且易得A′B′即是所求的長度．【詳解】解：如圖∵拋物線y=x2-x-與直線y=x-2交于A、B兩點(diǎn)，∴x2-x-=x-2，解得：x=1或x=，當(dāng)x=1時(shí)，y=x-2=-1，當(dāng)x=時(shí)，y=x-2=-，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，-），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，-1），∵拋物線對(duì)稱軸方程為：x=-=作點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=的對(duì)稱點(diǎn)A′，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接A′B′，則直線A′B′與對(duì)稱軸（直線x=）的交點(diǎn)是E，與x軸的交點(diǎn)是F，∴BF=B′F，AE=A′E，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短總路徑是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，延長BB′，AA′相交于C，∴A′C=++（1-）=1，B′C=1+=，∴A′B′=．∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑的長為．故選A．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用．注意找到點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短路徑是解此題的關(guān)鍵，還要注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．6.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市荔灣區(qū)）二次函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)，，則此拋物線的對(duì)稱軸是直線______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)的對(duì)稱性，掌握拋物線上函數(shù)值相等的點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱是解題的關(guān)鍵．根據(jù)拋物線上函數(shù)值相等的點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱可求得答案．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，∴該拋物線的對(duì)稱軸是直線故答案為：7.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市花都區(qū)）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是________．【答案】(2,1)【解析】【分析】利用配方法得出二次函數(shù)頂點(diǎn)式形式，即可得出二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】=，拋物線開口向上，當(dāng)x=2時(shí)，y最小=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)是：(2,1)，故答案為：(2,1)．【點(diǎn)睛】此題主要考查了配方法求二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意正確的將二次函數(shù)進(jìn)行配方是解決問題的關(guān)鍵．8.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市天河區(qū)）已知點(diǎn)在二次函數(shù)（a為常數(shù)）的圖像上．若，則m______n．（填“”、“”或“”）．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判定．【詳解】解：二次函數(shù)的解析式為，該拋物線對(duì)稱軸為，．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能求出對(duì)稱軸和根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出正確答案是解此題的關(guān)鍵．二、二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系1.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市增城區(qū)）如圖，拋物線經(jīng)過等腰直角三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B，點(diǎn)A在y軸上，則的值為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，過點(diǎn)作于點(diǎn)，得到點(diǎn)坐標(biāo)為，將點(diǎn)代入解析式進(jìn)行求解即可．解題的關(guān)鍵是求得點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：∵，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵等腰直角三角形，∴，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，∵點(diǎn)在拋物線上，∴，∴，∴；故選C．2.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市天河區(qū)）已知點(diǎn)，都在一次函數(shù)（，是常數(shù)，）的圖象上，（）A.若有最大值4，則的值為 B.若有最小值4，則的值為C.若有最大值，則的值為4 D.若有最小值，則的值為4【答案】D【解析】【分析】則點(diǎn)，都在一次函數(shù)的圖象上，求得，，得到，推出當(dāng)時(shí)，有最小值，當(dāng)時(shí)，有最大值，根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)，都在一次函數(shù)的圖象上，∴，，即，∴，當(dāng)時(shí)，有最小值，當(dāng)時(shí)，有最大值，A、若有最大值，解得，故本選項(xiàng)不符合題意；B、若有最小值，解得，故本選項(xiàng)不符合題意；C、若有最大值，則的值為4，故本選項(xiàng)不符合題意；D、若有最小值，則，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)）如圖，拋物線交軸于兩點(diǎn)，交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為.下列結(jié)論：①；②；③若為該拋物線上兩點(diǎn)且，則；④若是等腰直角三角形，則；⑤若是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，則.其中正確的是（）.A.①②③ B.③④⑤ C.①④⑤ D.①③④【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線的開口向上，對(duì)稱軸在軸右側(cè)，交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，得出，，，即可判斷①；由頂點(diǎn)為得出，從而得到，再將代入拋物線解析式得出，得出，即可判斷②；判斷出離對(duì)稱軸大于離對(duì)稱軸的距離，即可判斷③；由等腰直角三角形的性質(zhì)得出，再由待定系數(shù)法求出的值，即可判斷④；由題意可得：，從而得出，即可判斷⑤．【詳解】解：拋物線開口向上，對(duì)稱軸在軸右側(cè)，交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，，，，，，故①正確，符合題意；頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸為直線，，，，拋物線交軸于，，，，故②錯(cuò)誤，不符合題意；，，，離對(duì)稱軸大于離對(duì)稱軸的距離，，故③正確，符合題意；拋物線交軸于兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為，，，是等腰直角三角形，，，，解得：（不符合題意，舍去）或，，設(shè)拋物線的解析式為，把代入解析式得：，解得：，故④正確，符合題意；由題意可得：，，，，故⑤錯(cuò)誤，不符合題意；綜上所述，正確的有①③④，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求拋物線解析式，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．4.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市南沙區(qū)）二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的坐標(biāo)滿足下表∶x…01234…y…830m3…下列說法中：①該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線；②；③不等式的解集為；④方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，正確的個(gè)數(shù)有（）個(gè)．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系．利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系逐個(gè)進(jìn)行判斷．【詳解】由表可知，二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，，，∴，解得，∴二次函數(shù)為，∵，∴該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，故①正確；∵，∴，故②錯(cuò)誤；把代入二次函數(shù)中，得，∴∵二次函數(shù)的圖象開口向上，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴不等式的解集為，故③正確；∵方程即為，整理為，解得，，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故④正確．綜上所述，說法正確的共有3個(gè)．故選：C5.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市黃埔區(qū)）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），與y軸的交點(diǎn)B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間（不包括這兩點(diǎn)），對(duì)稱軸為直線x=1．下列結(jié)論：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正確結(jié)論的選項(xiàng)是（）A.①③ B.①③④ C.②④⑤ D.①③④⑤【答案】D【解析】【詳解】解：①∵函數(shù)開口方向向上，∴a＞0；∵對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴a、b異號(hào)，∵拋物線與y軸交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸，∴c＜0，∴abc＞0，故①正確；②∵圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x=1，∴圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（3，0），∴當(dāng)x=2時(shí)，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②錯(cuò)誤；③∵圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），∴當(dāng)x=﹣1時(shí)，y==0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵對(duì)稱軸為直線x=1，∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣=4?a?（﹣3a）﹣=＜0，∵8a＞0，∴4ac﹣＜8a，故③正確；④∵圖象與y軸的交點(diǎn)B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間，∴﹣2＜c＜﹣1，∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞，故④正確；⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c，故⑤正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握?qǐng)D像與系數(shù)的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合來進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵．6.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市番禺區(qū)）拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，，三點(diǎn)，且．在下列四個(gè)結(jié)論中：①；②；③當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)在該拋物線上，則；④若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則；其正確結(jié)論的序號(hào)是（）．A.②③④ B.①②④ C.①②③ D.①③④【答案】B【解析】【分析】把代入得，即可判斷①正確；根據(jù)圖象經(jīng)過，，且拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)一定在或的右側(cè)，判斷出拋物線的開口一定向下，即，繼而得出拋物線的對(duì)稱軸在直線的右側(cè)，得出拋物線的頂點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，得出1，根據(jù)，利用不等式的性質(zhì)即可得出即可判斷②正確；根據(jù)拋物線對(duì)稱軸在直線的右側(cè)，得出到對(duì)稱軸的距離大于到對(duì)稱軸的距離，根據(jù)，拋物線開口向下，距離拋物線的對(duì)稱軸越近的函數(shù)值越大，即可得出③錯(cuò)誤；根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，得出，由，即，求出，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出，即，根據(jù)，得出，求出的取值范圍，即可判斷④正確．【詳解】解：圖象經(jīng)過，則把代入，得：，故①正確；圖象經(jīng)過，，即拋物線與軸的負(fù)半軸有交點(diǎn)，如果拋物線的開口向上，則拋物線與軸的交點(diǎn)都在的左側(cè)，∵中，∴拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)一定在或的右側(cè)，∴拋物線的開口一定向下，即，∵，即∵，，∴，，∴方程的兩個(gè)根的積大于0，即，∵，∴，∴，即拋物線的對(duì)稱軸在直線的右側(cè)，∴拋物線的頂點(diǎn)在點(diǎn)的右上方，∴，∵，∴，故②正確；∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴拋物線對(duì)稱軸在直線的右側(cè)，∴到對(duì)稱軸的距離大于到對(duì)稱軸的距離，∵，拋物線開口向下，∴距離拋物線越近的函數(shù)值越大，∴，故③錯(cuò)誤；方程可變?yōu)?，∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，∴．∵，即∴，即，∴，∴，即，∵，在拋物線上，∴，為方程的兩個(gè)根，∴，∴，∵，∴，∴．故④正確．綜上，正確結(jié)論有：①②④．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，待定系數(shù)法，數(shù)形結(jié)合法，拋物線與軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，一元二次方程的根的判別式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．7.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市荔灣區(qū)）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)在和之間（不包括這兩點(diǎn)），對(duì)稱軸為直線，則下列結(jié)論：①時(shí)，；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】D【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，對(duì)稱性和特殊點(diǎn)判斷①，對(duì)稱軸判斷②，對(duì)稱軸和特殊點(diǎn)求出的關(guān)系，判斷③，對(duì)稱軸與特殊點(diǎn)判斷④；掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，∴，拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，當(dāng)，故①正確；∵拋物線的開口向下，∴，∴；故②正確；∵拋物線與軸交于點(diǎn)，∴，∴，∴，∵拋物線與軸的交點(diǎn)在和之間（不包括這兩點(diǎn)），∴，∴；故③正確；由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，∴，∴；故④正確；綜上：正確的有4個(gè)；故選：D．8.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)）已知二次函數(shù)的函數(shù)值和自變量的部分對(duì)應(yīng)取值如下表所示：…0123……11…若在這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，則的取值范圍是__________.【答案】##【解析】【分析】本題考察了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)：先由表格數(shù)據(jù)得到，結(jié)合這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，得，把代入，化簡(jiǎn)計(jì)算，即可作答．【詳解】解：∵表格數(shù)據(jù)中，時(shí)所對(duì)應(yīng)的∴對(duì)稱軸∴∵這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，∴，為非正數(shù)則開口向上把，代入，則∴則解得根據(jù)開口向上∴故答案為：9.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市白云區(qū)）如圖，拋物線的開口向上，經(jīng)過點(diǎn)和且與y軸交于負(fù)半軸．則下列結(jié)論：①，②；③；④；其中正確的結(jié)論是________．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，綜合應(yīng)用相關(guān)知識(shí)分析問題、解決問題的能力是關(guān)鍵．由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．【詳解】拋物線過，a＋b＋c＝0，故①正確；觀察圖象得：拋物線開口向上，對(duì)稱軸，且與y軸交于負(fù)半軸，，，，故②錯(cuò)誤，觀察圖象得：，，，，故③正確，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和，，，故④正確．故答案為：．三、二次函數(shù)的圖像的平移1.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市番禺區(qū)）將拋物線y=3x2向上平移2個(gè)單位，得到拋物線的解析式是（）A.y=3x2﹣2 B.y=3x2 C.y=3（x+2）2 D.y=3x2+2【答案】D【解析】【詳解】試題解析：由“上加下減”的原則可知，將拋物線y=3x2向上平移2單位，得到的拋物線的解析式是y=3x2+2．故選D．考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換．2.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市黃埔區(qū)）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=3x2先向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到的拋物線的解析式是（）A.y=3（x+1）2+2 B.y=3（x+1）2﹣2C.y=3（x﹣1）2+2 D.y=3（x﹣1）2﹣2【答案】C【解析】【詳解】∵拋物線y=3x2的對(duì)稱軸為直線x=0，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），∴拋物線y=3x2向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到的拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），∴平移后拋物線的解析式為y=3（x﹣1）2+2．故選C．【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換．3.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市荔灣區(qū)）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，得到的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查的是二次函數(shù)的圖像的平移，掌握函數(shù)圖像平移的法則“上加下減，左加右減”是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵，∴拋物線向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位后所得拋物線的解析式為，∴得到的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是．故選A．4.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市南沙區(qū)）把拋物線向上平移4個(gè)單位，所得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為__________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)“左加右減，上加下減”即可求解．【詳解】解：拋物線向上平移4個(gè)單位，所得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，故答案為：．5.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市天河區(qū)）把二次函數(shù)的圖象向上平移4個(gè)單位，則得到的拋物線解析式為_______．【答案】##【解析】【分析】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“上加下減”的原則進(jìn)行解答即可．【詳解】解：把二次函數(shù)的圖象向上平移4個(gè)單位，則得到的拋物線解析式為：，即．故答案為：．四、二次函數(shù)的應(yīng)用1.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市番禺區(qū)）如圖是拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂離水面時(shí)，水面寬，若水面下降，則水面寬度增加________．（結(jié)果可保留根號(hào)）【答案】【解析】【分析】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知建立坐標(biāo)系從而得出二次函數(shù)解析式，再通過把代入拋物線解析式得出水面寬度，是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橫軸通過水面，縱軸通過中點(diǎn)且通過點(diǎn)，則通過畫圖可得知為原點(diǎn)，則拋物線以軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過，兩點(diǎn)，可知，則拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)頂點(diǎn)式，代入點(diǎn)坐標(biāo)，得：，所以拋物線解析式為，把代入拋物線解析式得出：，解得：，所以水面寬度增加到，比原先的寬度當(dāng)然是增加了，故答案為：．2.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市增城區(qū)）如圖，從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度（單位：）與小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間（單位：）之間的關(guān)系式是．（1）當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是多少時(shí)，小球回落到地面處？（2）求小球在運(yùn)動(dòng)過程中的最大高度．【答案】（1）當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是時(shí)，小球回落到地面處（2）小球再運(yùn)動(dòng)過程中點(diǎn)額最大高度為【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)就能求出結(jié)果．（1）求出時(shí)的值即可；（2）求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得出答案．【小問1詳解】解：在中，令，則，解得：，，，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是時(shí)，小球回落到地面處；【小問2詳解】解：，當(dāng)時(shí)，最大，為，小球再運(yùn)動(dòng)過程中點(diǎn)額最大高度為．3.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市白云區(qū)）如圖，四邊形的對(duì)角線AC，BD互相垂直，AC+BD＝10．當(dāng)AC，BD的長是多少時(shí)，四邊形ABCD面積最大？【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知設(shè)四邊形ABCD面積為S，AC為x,則BD=10-x,進(jìn)而求出，再求出最值即可．【詳解】解：設(shè)AC=x,四邊形ABCD面積為S，則BD=10-x,，∴拋物線開口向下，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)AC=5，BD=5時(shí)，四邊形ABCD面積最大，最大值為．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知正確得出二次函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵4.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市天河區(qū)）黨的“二十大”期間，某網(wǎng)店直接從工廠以35元/件的進(jìn)價(jià)購進(jìn)一批紀(jì)念“二十大”的鑰匙扣，售價(jià)為60元/件時(shí)，第一天銷售了25件．該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)走高．在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，第三天的銷售量達(dá)到了36件．（1）求每天銷售量的平均增長率．（2）“二十大”臨近結(jié)束時(shí)，鑰匙扣還有大量剩余，為了盡快減少庫存，網(wǎng)店打算將鑰匙扣降價(jià)銷售．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價(jià)1元，在第三天的銷售量基礎(chǔ)上每天可多售2件，將鑰匙扣的銷售價(jià)定為每件多少元時(shí)，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少元？【答案】（1）（2）將鑰匙扣的銷售價(jià)定為每件56.5元時(shí)，每天可獲得最大利潤，最在利潤是9元【解析】【分析】（1）設(shè)平均增長率為，根據(jù)增長率問題列方程解應(yīng)用題；（2）鑰匙扣每件降價(jià)y元銷售，利潤為W元，列出二次函數(shù)求最值解題．【小問1詳解】每天銷售量的平均增長率為，根據(jù)題意得：解得：，(不合題意，舍去)∴每天銷售量的平均增長率為【小問2詳解】設(shè)將鑰匙扣每件降價(jià)y元銷售，利潤為W元，∴∵∴當(dāng)時(shí)，∴將鑰匙扣的銷售價(jià)定為每件元時(shí)，每天可獲得最大利潤，最在利潤是元．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的實(shí)際問題，分析題意列出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市海珠區(qū)）某店銷售一種環(huán)保建筑涂料，當(dāng)每桶售價(jià)為300元時(shí)，月銷售量為60桶，該店為提高經(jīng)營利潤，準(zhǔn)備采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)該涂料每桶售價(jià)每下降5元時(shí)，月銷售量就會(huì)增加10桶，每售出1桶涂料共需支付廠家及其他費(fèi)用200元．（1）當(dāng)每桶售價(jià)是280元時(shí)，求此時(shí)該店的月銷售量為多少桶？（2）求每桶降價(jià)多少元時(shí)，該店能獲得最大月利潤？最大月利潤為多少元？【答案】（1）100桶（2）每桶降價(jià)35元時(shí)，該店能獲得最大月利潤，且最大月利潤為8450元【解析】【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘除的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，求得每月利潤y與每桶降價(jià)x的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)題意列出算式，然后運(yùn)用有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）設(shè)每桶降價(jià)x元，月銷售利潤為y，然后求得每月利潤y與每桶降價(jià)x的函數(shù)解析式，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．【小問1詳解】解：設(shè)當(dāng)每桶售價(jià)是280元時(shí)，該店的月銷售量桶．【小問2詳解】解：設(shè)每桶降價(jià)x元，月銷售利潤為y，則售價(jià)利潤為元，銷售量為桶，由題意可得：，整理得，∵，∴每桶降價(jià)35元時(shí)，該店能獲得最大月利潤，且最大月利潤為8450元．6.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)）2022年教育部正式印發(fā)《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，《勞動(dòng)》成為一門獨(dú)立的課程.某學(xué)校率先行動(dòng)，在校園開辟了一塊勞動(dòng)教育基地，用一段長為30米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形養(yǎng)殖園（靠墻的一邊不需用籬笆），墻長為16米.（1）當(dāng)圍成的矩形養(yǎng)殖園面積為108平方米時(shí)，求養(yǎng)殖園的邊的長；（2）求矩形養(yǎng)殖園面積的最大值.【答案】（1）12米（2）平方米【解析】【分析】本題考查了一元二次方程、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：（1）設(shè)養(yǎng)殖園的邊的長為，則，根據(jù)圍成的矩形養(yǎng)殖園面積為108平方米，即可列式計(jì)算作答．（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖園面積為，建立關(guān)于x的式子表達(dá)，化為頂點(diǎn)式，再結(jié)合開口方向，即可作答．【小問1詳解】解：∵用一段長為30米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形養(yǎng)殖園（靠墻的一邊不需用籬笆），墻長為16米.∴設(shè)養(yǎng)殖園的邊的長為，則，那么解得∵墻長為16米.∴∴養(yǎng)殖園的邊的長為米；【小問2詳解】解：設(shè)矩形養(yǎng)殖園面積為，∴∵∴開口向下，在時(shí)，有最大值，且平方米．7.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市荔灣區(qū)）某網(wǎng)店專門銷售杭州第十九屆亞運(yùn)會(huì)吉祥物機(jī)器人“江南憶”套裝，成本為每件30元，每天銷售（件）與銷售單價(jià)（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示，網(wǎng)店每天的銷售利潤為元，網(wǎng)店希望每天吉祥物機(jī)器人“江南憶”套裝的銷售量不低于220件（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫自變量的取值范圍）；（2）當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲取的利潤最大，最大利潤是多少？（3）如果每天的利潤不低于3000元，求銷售單價(jià)（元）的取值范圍【答案】（1）（2）當(dāng)銷售單價(jià)為50元時(shí)，每天獲取的利潤最大，最大利潤是4000元（3）【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）利用總利潤等于單件利潤乘以銷量，列出二次函數(shù)表達(dá)式，求最值即可；（3）先求出利潤等于3000元時(shí)的銷售單價(jià)，結(jié)合網(wǎng)店希望每天吉祥物機(jī)器人“江南憶”套裝的銷售量不低于220件，求出銷售單價(jià)（元）的取值范圍即可．讀懂題意，正確的列出函數(shù)表達(dá)式，是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】解：設(shè)，由圖象可知，直線過點(diǎn)，則：，解得：，∴；【小問2詳解】由題意，得：，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值為，∴當(dāng)銷售單價(jià)為50元時(shí)，每天獲取的利潤最大，最大利潤是4000元；【小問3詳解】∵，∴當(dāng)時(shí)，，解得：，∵每天的利潤不低于3000元，拋物線的開口向下，∴，∵網(wǎng)店希望每天吉祥物機(jī)器人“江南憶”套裝的銷售量不低于220件，∴，∴，∴．五、求函數(shù)解析式1.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市天河區(qū)）如圖是拋物線的圖象．（1）當(dāng)取何值時(shí)，的值隨著的增大而增大？（2）求拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖像即可判斷；（2）將點(diǎn)代入函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法求出解析式，將代入解析式，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【小問1詳解】解：由圖象可知，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∵該拋物線開口向下，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；【小問2詳解】解：由圖象可知，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和將點(diǎn)和代入拋物線中，解得：，，所以該拋物線解析式為：；把代入得故拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．2.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市番禺區(qū)）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點(diǎn)．（1）求b和c的值；（2）自變量x在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，y隨x的增大而減??？【答案】（1），（2）當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小【解析】【分析】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．（1）把已知兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式求出與的值即可；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定出滿足題意的范圍即可．【小問1詳解】解：將，代入，得：，解得：，∴，；【小問2詳解】由（1）可知：，則拋物線的對(duì)稱軸為直線，，開口向上，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。?.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市海珠區(qū)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，其中圖象與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）直接寫出不等式的解集．【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)與不等式、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．（1）將已知點(diǎn)坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象可得答案．【小問1詳解】解：由已知，函數(shù)圖象經(jīng)過，將點(diǎn)A，B坐標(biāo)代入，得，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為；【小問2詳解】由已知，二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，不等式的解集為或．4.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市花都區(qū)）如圖，二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)、、．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）觀察函數(shù)圖象，試直接寫出時(shí)，的取值范圍．【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，的取值范圍為：或【解析】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)圖象即可得出答案．小問1詳解】解：二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)、、，，解得：，二次函數(shù)的解析式為：；【小問2詳解】解：由圖象可得：當(dāng)時(shí)，的取值范圍為：或．5.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市南沙區(qū)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)，圖象經(jīng)過、兩點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式及它的對(duì)稱軸；（2）設(shè)點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，橫坐標(biāo)為，①當(dāng)，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是___________；②過點(diǎn)做軸，交直線于，當(dāng)線段時(shí)，請(qǐng)求出m的值．【答案】（1），稱軸為直線（2），【解析】【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解一元二次方程．（1）由待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式，即可求解；（2）①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)包含頂點(diǎn)，即可求解；②求出，再分類求解即可．【小問1詳解】解：由題意得:，解得：，則拋物線的表達(dá)式為：；其對(duì)稱軸為直線；【小問2詳解】①∵，∴當(dāng)時(shí)有最大值，即；又∵離對(duì)稱軸最遠(yuǎn)，∴當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是，故答案為：；②設(shè)直線解析式為，把、代入得：，解得，∴，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，當(dāng)時(shí)方程無解；當(dāng)時(shí)，解得，．6.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)）如圖，直線分別交軸，軸于兩點(diǎn)，經(jīng)過兩點(diǎn)的拋物線與軸的正半軸相交于點(diǎn).（1）求拋物線的解析式；（2）結(jié)合圖象，直接寫出不等式的解集.【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)問題：（1）先根據(jù)，求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，再把B點(diǎn)的坐標(biāo)，代入，即可作答．（2）求出點(diǎn)C坐標(biāo)，根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象，即可作答．【小問1詳解】解：∵直線分別交軸，軸于兩點(diǎn)∴，則∴∵經(jīng)過兩點(diǎn)的拋物線與軸的正半軸相交于點(diǎn).∴把和代入得解得∴；【小問2詳解】解：∵∴∴∵∴結(jié)合圖象，的解集為7.（2023~2024學(xué)年廣東省廣州市荔灣區(qū)）已知拋物線和直