第一章高等數(shù)學(xué)（二十九）

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁第六節(jié)數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念1.樣本及抽樣分布（1）基本概念1）總體和個(gè)體：將實(shí)驗(yàn)的所有可能的看見值稱為總體，組成總體的每個(gè)看見值稱為個(gè)體。總體中所包含個(gè)體的數(shù)量稱為總體的容量，容量為有限的總體稱為有限總體，容量為無限的總體稱為無限總體。2）樣本和樣本值：個(gè)互相自立且與總體具有相同概率分布的隨機(jī)變量的整體稱為來自總體的一個(gè)容易隨機(jī)樣本，簡(jiǎn)稱樣本。其中是樣本容量，它們的看見值稱為樣本值，也稱為個(gè)自立的看見值。(2)抽樣分布定義：設(shè)是來自總體X的樣本，是的延續(xù)函數(shù)，若其中不含任何未知參數(shù)，則稱是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。若是相應(yīng)樣本的樣本值，則稱是的看見值。設(shè)是來自總體的一個(gè)樣本，是這一樣本的看見值，常用統(tǒng)計(jì)量有：1）樣本均值2）樣本方差3）樣本標(biāo)準(zhǔn)差4）樣本k階（原點(diǎn)）矩5）樣本k階中央距（3）幾種常用的統(tǒng)計(jì)分布統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，它作為一個(gè)隨機(jī)變量，也有自己的分布，常用統(tǒng)計(jì)分布有：1）分布：設(shè)是來自總體的樣本，則稱統(tǒng)計(jì)量順從自由度為的分布，記為～。分布的數(shù)學(xué)期待與方差分離為分布具有可加性：若～且互相自立，則～2）分布：設(shè)～～，且和互相自立，則稱隨機(jī)變量順從自由度為的分布，記為～。3）分布：設(shè)～～，且和互相自立，則稱隨機(jī)變量順從第一自由度、第二自由度的分布，記為F～。若～，則～，由此可得【例題11-26】設(shè)隨機(jī)變量和都順從分布,則下列講述中準(zhǔn)確的是：(A)順從正態(tài)分布(B)分布(C)和都分布(D)分布解：當(dāng)時(shí)，有，故（C）選項(xiàng)準(zhǔn)確；因?yàn)轭}中沒有給出和互相自立，（B）選項(xiàng)不一定成立，應(yīng)選（C）。（4）正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布1）單正態(tài)總體抽樣分布：設(shè)是取自正態(tài)總體的樣本，與分離為樣本均值與樣本方差，則有～，或～且與互相自立～2）雙正態(tài)總體抽樣分布：設(shè)，分離是來自正態(tài)總體和的樣本，且這兩個(gè)樣本互相自立，分離為樣本均值，分離為樣本方差，則有當(dāng)時(shí)其中【例題11-27】設(shè)（）是抽自正態(tài)總體的一個(gè)容量為10的樣本，其中，記，則所順從的分布是：(A)(B)(C)(D)解：，，故應(yīng)選(A)。第七節(jié)參數(shù)預(yù)計(jì)1．參數(shù)的點(diǎn)預(yù)計(jì)設(shè)總體的分布函數(shù)（或密度函數(shù)或分布律）中含有未知參數(shù)，抽取總體的一個(gè)樣本，并舉行次看見得到看見值，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，用作為參數(shù)的預(yù)計(jì)量，稱為預(yù)計(jì)值。這種主意叫做點(diǎn)預(yù)計(jì)法，點(diǎn)預(yù)計(jì)又分為矩預(yù)計(jì)和極大似然預(yù)計(jì)兩種。（1)矩預(yù)計(jì)法用樣本的矩代替相應(yīng)總體的矩，用樣本矩的函數(shù)代替相應(yīng)總體矩的同一函數(shù)而求得未知參數(shù)的一種預(yù)計(jì)主意。下面以總體包含1個(gè)未知參數(shù)的情形為例說明矩預(yù)計(jì)法的計(jì)算步驟：第一步：求出總體的矩第二步：列矩預(yù)計(jì)方程第三步：解上述方程，得，則的矩預(yù)計(jì)量為第四步：倘若有樣本看見值，則則的矩預(yù)計(jì)值為【例題11-28】設(shè)總體的概率密度為，其中是未知參數(shù)，是來自總體的樣本，則的矩預(yù)計(jì)量是：(A)(B)(C)(D)解：這是一個(gè)參數(shù)的情況。先求總體的矩，再列矩預(yù)計(jì)方程，解該方程，，得即為的矩預(yù)計(jì)量，故應(yīng)選(B).（2）極大似然預(yù)計(jì)法已知總體概率分布，但其中參數(shù)是未知的，是取自總體的樣本，為一組樣本觀測(cè)值，則事件發(fā)生的概率為它是的函數(shù)，稱為樣本的似然函數(shù)，若能求得，使則稱為的極大似然預(yù)計(jì)值，稱為的極大似然預(yù)計(jì)量。極大似然預(yù)計(jì)的解題步驟為：第一步：寫出似然函數(shù)，并對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)，得第二步：要求，解得似然函數(shù)的極大點(diǎn)，則是極大似然預(yù)計(jì)值，是極大似然預(yù)計(jì)量?！纠}11-29】設(shè)總體順從幾何分布，分布律為：，其中為未知參數(shù)，且.設(shè)為的一個(gè)樣本，則的極大似然預(yù)計(jì)量為：(A)(B)(C)(D)解:似然函數(shù)，取對(duì)數(shù)：，似然方程，解得的極大似然預(yù)計(jì)量為，故應(yīng)選B。2.預(yù)計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)（1）無偏性：若預(yù)計(jì)量的數(shù)學(xué)期待存在，且對(duì)于隨意有則稱是的無偏預(yù)計(jì)量。注：無論總體順從什么分布，樣本均值是總體均值的無偏預(yù)計(jì)；樣本方差是總體方差的無偏預(yù)計(jì)。而預(yù)計(jì)量卻不是的無偏預(yù)計(jì)?！纠}11-30】設(shè)是參數(shù)的一個(gè)無偏預(yù)計(jì)量，又方程，下面結(jié)論準(zhǔn)確的是是的無偏預(yù)計(jì)