類比與猜想四面體一系列性質(zhì)發(fā)現(xiàn)的重要方法-廣東中學(xué)

四面體相關(guān)性質(zhì)的教學(xué)課例丁瑜（1985）女，2008級研究生，課程與教學(xué)論專業(yè),E-mail:yingyingziding@163.com.丁瑜（1985）女，2008級研究生，課程與教學(xué)論專業(yè),E-mail:yingyingziding@163.com.周逸（1983）男，2008級研究生，課程與教學(xué)論專業(yè),E-mail:zhouyi20080831@163.com.廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)科周逸皮亞杰的建構(gòu)主義理論認(rèn)為：知識(shí)既不是客觀的,也不是主觀的,而是個(gè)體在與環(huán)境相互作用的過程中逐漸建構(gòu)的結(jié)果.學(xué)習(xí)不應(yīng)被看成是對知識(shí)的被動(dòng)接受,而是要有一個(gè)在不同個(gè)體之間進(jìn)行表述、交流、批評與反思以及不斷改進(jìn)的過程.在充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性的同時(shí),又應(yīng)發(fā)揮教師的指導(dǎo)和促進(jìn)作用.基于上述理論,筆者認(rèn)為：數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要努力營造讓學(xué)生自己建構(gòu)知識(shí)的氛圍,讓學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立思考、合作交流過程,充分體會(huì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的思維過程,感受其中的樂趣.教師應(yīng)尊重學(xué)生的建構(gòu),努力發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的積極成分,保護(hù)學(xué)生勇于創(chuàng)造的強(qiáng)烈動(dòng)機(jī),即使學(xué)生會(huì)犯某些錯(cuò)誤,教師應(yīng)采取理解的態(tài)度,精心呵護(hù)學(xué)生的“拙劣”建構(gòu)[1].筆者曾在教育實(shí)習(xí)過程，嘗試運(yùn)用建構(gòu)主義理論指導(dǎo)教學(xué)工作,感觸頗多.特已記錄其中一個(gè)教學(xué)課例——四面體相關(guān)性質(zhì).本節(jié)課主要是以學(xué)生為主體地位,教師不斷地鼓勵(lì)學(xué)生通過觀察、類比、猜測、驗(yàn)證、證明來發(fā)現(xiàn)探討四面體的一系列性質(zhì)．在這過程中還結(jié)合計(jì)算機(jī)技術(shù)——超級畫板的使用.１課例：四面體的相關(guān)性質(zhì)1.1教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)：理解掌握四面體的一系列性質(zhì).能力目標(biāo)：培養(yǎng)觀察、類比、猜想、驗(yàn)證、證明的能力.情感目標(biāo)：三角形與四面體的性質(zhì)對比,使學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是個(gè)統(tǒng)一的整體.體會(huì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂趣,從而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.1.2教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：四面體性質(zhì)的理解與掌握.難點(diǎn)：合理猜想的形成.1.3教學(xué)方法師生互動(dòng)交流,借助于超級畫板1.4教學(xué)過程情景1：教師開門見山,指出本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)——四面體的性質(zhì)問題.由于四面體的各個(gè)面都為三角形,教師引導(dǎo)學(xué)生從三角形的性質(zhì)出發(fā)思考,大膽猜想四面體的性質(zhì)．教學(xué)評價(jià)：類比在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中具有重要的作用.如德國天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開普勒所說的,“我珍視類比勝于任何別的東西,它是我最可依賴的老師,它能揭示自然界的秘密,在幾何學(xué)中他應(yīng)該是不容忽視的.”情景1中教師鼓勵(lì)學(xué)生回憶舊知、展開類比、進(jìn)而大膽猜想、希望借此開拓學(xué)生的思維,得到重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn).情景2：學(xué)生羅列三角形的相關(guān)性質(zhì)：內(nèi)角和為1800；兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；中位線平行且等于底邊的一半；勾股定理；三角形角平分線性質(zhì)；正余弦定理；重心公式；三角形的射影定理等等．學(xué)生們相繼提出自己的猜想并講出理由.具體如下.學(xué)生1：我想四面體各面上所有角的和是7200，有四個(gè)面，每個(gè)面都為三角形，每個(gè)面1800，四個(gè)面上的角的度數(shù)總共有7200．教師：其他同學(xué)都同意嗎？（學(xué)生們都點(diǎn)頭表示同意）教師也對學(xué)生1的結(jié)論表示肯定．并寫出性質(zhì)1：四面體各面上所有角的度數(shù)和是7200.學(xué)生2：類似于三角形兩邊和大于第三邊,兩邊差小于第三邊．我想四面體的任兩面面積之和大于第三面的面積,任兩面的面積只差小于第三面的面積.此時(shí)課室開始了一片討論,看來很多同學(xué)有非議(一石激起千層浪).學(xué)生3：不對,我能舉出反例.并在超級畫板上畫出四面體(如下圖).利用超級畫板可直接計(jì)算面積的功能,在顯示屏顯示四面體的四個(gè)面的面積(如下).容易發(fā)現(xiàn).顯然學(xué)生2的猜想是錯(cuò)誤的.教師：特殊情形不成立,那么一般情形怎么能成立呢？剛才學(xué)生3的想法體現(xiàn)了一般與特殊的關(guān)系,反映在數(shù)學(xué)思想方法中,叫特殊化思想.同學(xué)們再想想.學(xué)生4：三個(gè)面的面積之和大于第四面.也利用超級畫板進(jìn)行解釋.不僅四面體滿足三個(gè)面的面積之和大于第四面,而且當(dāng)拖動(dòng)時(shí),總發(fā)現(xiàn)三個(gè)面的面積之和大于第四面.教師：大家同意嗎？（同意?。┚o跟著證明這個(gè)性質(zhì).先讓學(xué)生做,教師適當(dāng)引導(dǎo),最后是教師帶著學(xué)生一起在黑板上證明.學(xué)生5：任兩面面積之差小于另兩面面積之和.因?yàn)?所以.教師：總結(jié)出性質(zhì)2：四面體的三個(gè)面的面積之和大于第四面,兩面面積只差小于另兩面面積之和.教師：波利亞曾說過,就一個(gè)問題,如果你有一個(gè)念頭,你就夠幸運(yùn)了.關(guān)于性質(zhì)2,同學(xué)們有這么多的念頭,咱們實(shí)在是太幸運(yùn)了.四面體還有很多重要性質(zhì),希望大家繼續(xù)努力！學(xué)生6：類似于三角形的中位線定理,對于四面體,若、、分別是、、的中點(diǎn),則平面平行于平面,學(xué)生還口述了證明過程.教師：大家同意嗎？（同意?。├^續(xù)引導(dǎo)，還有沒有別的性質(zhì)呢？學(xué)生7：的周長等于周長的一半,也闡述了證明過程.學(xué)生8：的面積等于面積的四分之一,也口述了證明過程.教師：證明過程留給同學(xué)課后整理,教師在超級畫板上演示,當(dāng)拖動(dòng)四面體的頂點(diǎn)時(shí),用軟件直接計(jì)算,總能發(fā)現(xiàn)的周長等于周長的一半,的面積等于面積的四分之一.這個(gè)過程進(jìn)一步加深了學(xué)生對四面體的這個(gè)性質(zhì)的印象.總結(jié)出性質(zhì)3：四面體的中位面平行于對應(yīng)的底面,且周長為底面的,面積為底面的.教學(xué)評價(jià)：在情景2中,學(xué)生在老師的鼓勵(lì)與引導(dǎo)下，積極思考、認(rèn)真類比、敢于猜想、還樂于借助計(jì)算機(jī)軟件——超級畫板來驗(yàn)證、說明問題.學(xué)生遍嘗了做數(shù)學(xué)的喜怒哀樂,感受了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程.情景3：教師小結(jié)：本節(jié)課我們共同探索發(fā)現(xiàn)了四面體的幾條重要的性質(zhì).正如三角形具備了許多性質(zhì)一樣,四面體也同樣擁有很多重要的性質(zhì)等著同學(xué)們?nèi)グl(fā)現(xiàn).請課后大家開動(dòng)腦筋,進(jìn)行大膽合理的猜想,可大膽借助超級畫板進(jìn)行驗(yàn)證,再考慮如何證明.相信大家能獲得更多更美妙的性質(zhì).注：學(xué)生課后呈交了四面體其他一系列類似于三角形的性質(zhì).由三角形的勾股定理、射影定理、正弦余弦定理聯(lián)想到的四面體的相關(guān)性質(zhì),而且有些還通過超級畫板得以驗(yàn)證,甚至還寫了證明過程.結(jié)果是十分豐富而且有創(chuàng)造性的.2課例簡析2.1教學(xué)目的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）中指出，幾何的教育價(jià)值,其中有一個(gè)重要方面在于發(fā)展學(xué)生的直覺能力,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神.使學(xué)生在運(yùn)用觀察、操作、猜想、作圖、設(shè)計(jì)等手段探索研究幾何圖形性質(zhì)的過程中,獲得視覺上的愉悅,能增強(qiáng)探究的好奇心,激發(fā)出潛在的創(chuàng)造力,形成創(chuàng)新意識(shí).本節(jié)課基本上符合幾何教育的目的與價(jià)值所在.從三角形性質(zhì)到四面體的種種性質(zhì),學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)探究的過程,感受到計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)的整合,體會(huì)了創(chuàng)新的激情與樂趣.2.2教學(xué)內(nèi)容新教材(人民教育出版社《數(shù)學(xué)》)關(guān)于棱錐,主要側(cè)重于棱錐的結(jié)構(gòu)特征、表面積與體積計(jì)算方法.但這部分內(nèi)容所蘊(yùn)含的思維價(jià)值遠(yuǎn)不只如此.四面體的性質(zhì)不僅與三角形性質(zhì)具有相關(guān)性,使得形成一個(gè)統(tǒng)一知識(shí)結(jié)構(gòu),而且背后所蘊(yùn)含的思維價(jià)值絕不能低估.所以,我們可以把它作為課外活動(dòng)、興趣小組以及研究性學(xué)習(xí)課題,讓學(xué)生在探索的過程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)、欣賞數(shù)學(xué).我們相信,這種類比、猜想、驗(yàn)證新結(jié)論的能力也將會(huì)在考試中得以體現(xiàn),在此可以大膽預(yù)見：若干年以后高考中或許會(huì)出現(xiàn)這樣一道題目：先給出三角形重心公式,讓學(xué)生模仿給出四面體的重心公式.另外,四面體的性質(zhì)問題還存在很大的繼續(xù)深入探索的空間.由于時(shí)間關(guān)系,課堂上只介紹了幾條最基本的性質(zhì).事實(shí)上,四面體還有很多類似于三角形的性質(zhì),學(xué)生可繼續(xù)放飛思維的翅膀,在這片知識(shí)的海洋盡情翱翔.2.3教學(xué)方式課堂處理開放化.以往的教學(xué)常常局限于教師介紹性講授,使得學(xué)生思考問題思路狹隘,限制了多角度思考問題的能力.而本次課的處理走向開放化,讓學(xué)生通過觀察、類比、猜想、驗(yàn)證、證明,調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)