2024年1月新“九省聯(lián)考”考后提升數(shù)學(xué)試卷1（解析版）

PAGEPAGE12024年1月“九省聯(lián)考”考后提升卷1數(shù)學(xué)一、單項選擇題1．某籃球興趣小組7名學(xué)生參加投籃比賽，每人投10個，投中的個數(shù)分別為8，5，7，5，8，6，8，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（

）A．5，7 B．6，7 C．8，5 D．8，7〖答案〗D〖解析〗數(shù)據(jù)由小到大排列為5，5，6，7，8，8，8，因此，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為8，中位數(shù)為7．故選：D．2．設(shè)橢圓的兩個焦點分別為、，過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗依題意，設(shè)橢圓的長軸為，半焦距為，則，則，，于是，.故選：C.3．若數(shù)列滿足，其前項和為，若，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗因為數(shù)列滿足，則數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，則，可得，所以，，所以，，故選B.4．已知、是兩個不同的平面，、是兩條不同的直線，則下列命題中不正確的是（

）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，則 D．若，，，則〖答案〗D〖解析〗對于A選項，因為，過直線作平面，使得，因為，，，則，因為，，則，故，A對；對于B選項，若，，則，又因為，故，B對；對于C選項，若，，則，C對；對于D選項，若，，，則、平行或相交，D錯.故選D.5．在黨的二十大報告中，提出要發(fā)展“高質(zhì)量教育”，促進城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展.某地區(qū)教育行政部門積極響應(yīng)黨中央號召，近期將安排甲?乙?丙?丁4名教育專家前往某省教育相對落后的三個地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作，則每個地區(qū)至少安排1名專家的概率為（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗甲?乙?丙?丁4名教育專家到三個地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作的安排方法共有：種；每個地區(qū)至少安排1名專家的安排方法有：種；由古典概型的計算公式，每個地區(qū)至少安排1名專家的概率為：.故選：B.6．設(shè)為拋物線的焦點，為該拋物線上三點，若，則（

）A．9 B．6 C．4 D．3〖答案〗D〖解析〗設(shè)，，，，，，拋物線焦點坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程：，，點是重心，則，.而，，，故選：D．7．已知，則（

）A． B． C．1 D．〖答案〗A〖解析〗由題，得，則或，因為，所以，.故選：A8．已知分別為雙曲線的左、右焦點，過且與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗如圖，不妨設(shè)點P為與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線的交點.由已知結(jié)合雙曲線的定義可得，所以，，，，且為銳角.又，，所以，.又，在中，由余弦定理可得，整理可得，，所以，.故選：B.二、多項選擇題9．若函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則（

）A．的最小正周期為B．是奇函數(shù)C．的圖象關(guān)于直線對稱D．在上單調(diào)遞增〖答案〗ACD〖解析〗由題意，可得，則的最小正周期為，且不是奇函數(shù)，所以A正確，B不正確；當(dāng)時，可得，所以的圖象關(guān)于直線對稱，所以C正確；由，得，所以在上單調(diào)遞增，所以D正確．故選：ACD.10．已知復(fù)數(shù)，（，）（為虛數(shù)單位），為的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的虛部為B．C．D．若，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點形成的圖形的面積為〖答案〗CD〖解析〗由題意可得，所以的虛部為，A錯誤，，故，B錯誤，，C正確，表示點到的距離不大于1的點構(gòu)成的圖形，故為以為圓心，以1為半徑的圓以及內(nèi)部，故面積為，D正確，故選：CD11．已知函數(shù)，的定義域均為R，且，，，則下列說法正確的有（

）A． B．為奇函數(shù) C．的周期為6 D．〖答案〗ACD〖解析〗對于A，，故A正確；，，，令，則①，②，①+②可得，，，，因此，故C正確；令，，令，，，則，故，，故為偶函數(shù)，所以B不正確；因為，故關(guān)于對稱，且，，令，，則，令，，，則，，，一個周期的和為0，則，故D正確.故選：ACD三、填空題12．已知集合且，則實數(shù)a的取值范圍是．〖答案〗〖解析〗集合且，則.13．傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn).在一個“圓柱容球”模型中，若球的體積為，則該模型中圓柱的表面積為.〖答案〗〖解析〗設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，母線長為，則球的體積為，所以，所以圓柱表面積為.14．對于任意兩個正實數(shù)a，b，定義，其中常數(shù)．若，且與都是集合的元素，則．〖答案〗〖解析〗由與都是集合的元素，不妨設(shè)，因為，所以，由已知，所以，則，又，所以，即，所以，所以，，則，即，因為，所以，則，即.四、解答題15．已知函數(shù)在點處的切線與直線垂直．（1）求；（2）求函數(shù)的單調(diào)性和極值.解：（1），則，由題意可得，解得；（2）由，故，則，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為、，的單調(diào)遞減區(qū)間為，故有極大值，有極小值.16．某班為了慶祝我國傳統(tǒng)節(jié)日中秋節(jié)，設(shè)計了一個小游戲：在一個不透明箱中裝有4個黑球，3個紅球，1個黃球，這些球除顏色外完全相同.每位學(xué)生從中一次隨機摸出3個球，觀察顏色后放回.若摸出的球中有個紅球，則分得個月餅；若摸出的球中有黃球，則需要表演一個節(jié)目.（1）求一學(xué)生既分得月餅又要表演節(jié)目的概率；（2）求每位學(xué)生分得月餅數(shù)的概率分布和數(shù)學(xué)期望.解：（1）記“一學(xué)生既分得月餅又要表演節(jié)目”為事件A，可知有兩種可能：“2個紅球1個黃球”和“1個黑球，1個紅球，1個黃球”，所以.（2）由題意可知的可能取值為：0，1，2，3，則有：，，可得的分布列為0123所以.17．如圖，在四棱柱中，底面和側(cè)面都是矩形，，.（1）求證：；（2）若點的在線段上，且二面角的大小為，求的值.（1）證明：在四棱柱中，底面和側(cè)面都是矩形，則側(cè)面都是矩形，有，，，平面，所以平面，又因為平面，所以.（2）解：，.取分別為的中點，連接，，因為，平面，所以平面，因為，所以,所以以為原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，，則.則，設(shè)，即，可得，，，設(shè)平面的一個法向量，則有，令，則，得，又平面的一個法向量，因為二面角的大小為，則有，整理得，，解得，或（舍），所以，則，有的值為2.18．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點為的準(zhǔn)線交軸于點，過的直線與拋物線相切于點，且交軸正半軸于點.已知上的動點到點的距離與到直線的距離之和的最小值為3.（1）求拋物線的方程；（2）過點的直線交于兩點，過且平行于軸的直線與線段交于點，點滿足.證明：直線過定點.（1）解：設(shè)，由題意知準(zhǔn)線，由拋物線的定義可知點到點的距離等于點到準(zhǔn)線的距離，所以點到點的距離與到直線的距離之和為，由題意知當(dāng)時，距離之和最小，所以，解得，所以拋物線的方程為.（2）證明：由（1）知，設(shè)，聯(lián)立方程，得，由得，解得，又與軸交于正半軸，所以由解得，所以點，所以直線，所以直線，所以，因為斜率存在且不為零，所以設(shè)，聯(lián)立，消去，得，則，所以且.，又直線，令，得，所以，因為，所以，所以，所以直線的方程為，所以，因為，所以直線為，所以恒過定點.

19．今有一個“數(shù)列過濾器”，它會將進入的無窮非減正整數(shù)數(shù)列刪去某些項，并將剩下的項按原來的位置排好形成一個新的無窮非減正整數(shù)數(shù)列，每次“過濾”會刪去數(shù)列中除以余數(shù)為的項，將這樣的操作記為操作.設(shè)數(shù)列是無窮非減正整數(shù)數(shù)列.（1）若，進行操作后得到，設(shè)前項和為①求．②是否存在，使得成等差？若存在，求出所有的；若不存在，說明理由．（2）若，對進行與操作得到，再將中下標(biāo)除以4余