北京市通州區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末摸底考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1北京市通州區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末摸底考試數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題）一?選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題得，所以.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，所以，故選：B.3.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為為雙曲線上一點(diǎn)，且，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C D.〖答案〗A〖解析〗由題意可設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為2c，則由雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，可知，由，知，故，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：A.4.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對于A，的定義域?yàn)?，，故為奇函?shù)，故A錯誤；對于B，的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對稱，故是非奇非偶函數(shù)，故B錯誤；對于C，的定義域?yàn)椋蕿榕己瘮?shù)，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確；對于D，的圖象如下圖，故D錯.故選：C.5.如圖，已知某圓錐形容器的軸截面為等邊三角形，其邊長為4，在該容器內(nèi)放置一個圓柱，使得圓柱上底面的所在平面與圓錐底面的所在平面重合.若圓柱的高是圓錐的高的，則圓柱的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，軸截面如圖：在等邊三角形中，高，因?yàn)閳A柱的高是圓錐的高的，所以圓柱的高,又且，所以是的中點(diǎn)，即，于是該圓柱的底面半徑為1，高為，則體積為.故選：C.6.已知函數(shù)，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由題意，在中，對稱軸，∴當(dāng)時，，解得：，∴“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角和的頂點(diǎn)都與原點(diǎn)重合，始邊都與軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別與單位圓交于兩點(diǎn).若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，設(shè)，由已知A的坐標(biāo)并結(jié)合三角函數(shù)的定義得，則.故選：C8.現(xiàn)有12個圓，圓心在同一條直線上，從第2個圓開始，每個圓都與前一個圓外切，從左到右它們的半徑的長依次構(gòu)成首項(xiàng)為16，公比為的等比數(shù)列，前3個圓如圖所示.若點(diǎn)分別為第3個圓和第10個圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可知，這12個圓的半徑的長依次構(gòu)成首項(xiàng)為16，公比為的等比數(shù)列，所以，的最大值為這8個圓的直徑之和，由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可得，的最大值為.故選：B.9.在菱形中，是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)（不與，重合），與交于，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖所示：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，此時最長，易知，且相似比為，，在中，由余弦定理得：，所以，此時滿足，所以，所以，此時，由圖可知，，則.故選：B.10.已知函數(shù)，實(shí)數(shù)滿足.若對任意的，總有不等式成立，則的最大值為（）A. B. C.4 D.6〖答案〗D〖解析〗當(dāng)時，有，由隨增大而增大，且，故，當(dāng)時，有，即，即，整理得，即，故，又，故，綜上所述，，則，當(dāng)且僅當(dāng)、時等號成立，故的最大值為.故選：D.第二部分（非選擇題）二?填空題11.已知函數(shù)，則__________.〖答案〗〖解析〗由題意，在中，，故〖答案〗為：.12.在的展開式中，的系數(shù)為__________.〖答案〗〖解析〗的展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以x的系數(shù)為，故〖答案〗為：-56.13.在中，角所對的邊分別為，且，則__________；若的面積，則__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，所以由可得：，則，所以；，解得：，因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ砜傻茫?，則.故〖答案〗為：；.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上一點(diǎn)且在第一象限，以為圓心，為半徑的圓交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn).若，則圓的方程為__________；若，則__________.〖答案〗〖解析〗如圖，當(dāng)時，把代入中，解得：，因點(diǎn)在第一象限,故得，依題意，圓心為，圓的半徑為,故圓的方程為：.當(dāng)時，依題，，即為正三角形，因，則，由解得：或.因當(dāng)時，,此時，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與準(zhǔn)線不相交，不合題意舍去，而顯然滿足題意.故.故〖答案〗為：；.15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且滿足是和的等比中項(xiàng).給出下列四個結(jié)論：①數(shù)列的通項(xiàng)公式為；②數(shù)列前21項(xiàng)的和為；③數(shù)列中各項(xiàng)先后順序不變，在與之間插入個2，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個新數(shù)列，則新數(shù)列的前100項(xiàng)和為236；④設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為2178.其中所有正確結(jié)論的序號是__________.〖答案〗①④〖解析〗時，，得，時，，可得，所以是以首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，所以，故①正確；設(shè)數(shù)列的構(gòu)成為，，因?yàn)槭呛偷牡缺戎许?xiàng)，所以，可得，解得，所以，，所以數(shù)列前21項(xiàng)的和，故②錯誤；數(shù)列中各項(xiàng)先后順序不變，在與之間插入個2，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個新數(shù)列，則時，即在與之間插入個2，為，時，即在與之間插入個2，為，時，即在與之間插入個2，為，時，即在與之間插入個2，為，時，即在與之間插入個2，為，時，即在與之間插入個2，為，所以新數(shù)列的前100項(xiàng)和為，故③錯誤；因?yàn)?，即?shù)列的前100項(xiàng)為，所以的前100項(xiàng)和，故④正確.故選：①④.三?解答題16.已知函數(shù).（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，且，求的值.解：（1）因?yàn)?，所?所以的最小正周期.令，得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因?yàn)椋?因?yàn)?，所?所以.所以.所以的值為.17.如圖，在多面體中，為等邊三角形，，.點(diǎn)為的中點(diǎn)，再從下面給出的條件①?條件②這兩個條件中選擇一個作為已知.（1）求證：平面；（2）設(shè)點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，求直線與平面所成角的正弦值.條件①：平面平面；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.（1）證明：選條件①：平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)闉榈冗吶切危c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?選條件②：因，為等邊三角形，所以，因?yàn)?，則，所以為直角三角形，所以，因?yàn)槠矫妫云矫?，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)闉榈冗吶切?，點(diǎn)為中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?（2）解：因?yàn)?，由?）知平面，所以平面.如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，過點(diǎn)A在平面ABC內(nèi)作AC的垂線作為x軸，分別以所在直線為軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，所以.因?yàn)辄c(diǎn)為上一點(diǎn)，設(shè)，所以.因?yàn)?，則，所以，所以，所以，所以.設(shè)平面的法向量為，所以，所以，令，得，所以.設(shè)直線與平面所成角為，，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.民航招飛是指普通高校飛行技術(shù)專業(yè)（本科）通過高考招收飛行學(xué)生，報名的學(xué)生參加預(yù)選初檢?體檢鑒定?飛行職業(yè)心理學(xué)檢測?背景調(diào)查?高考選拔等5項(xiàng)流程，其中前4項(xiàng)流程選拔均通過，則被確認(rèn)為有效招飛申請，然后參加高考，由招飛院校擇優(yōu)錄取.據(jù)統(tǒng)計，每位報名學(xué)生通過前4項(xiàng)流程的概率依次約為.假設(shè)學(xué)生能否通過這5項(xiàng)流程相互獨(dú)立，現(xiàn)有某校高三學(xué)生甲?乙?丙三人報名民航招飛.（1）估計每位報名學(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請的概率；（2）求甲?乙?丙三人中恰好有一人被確認(rèn)為有效招飛申請的概率；（3）根據(jù)甲?乙?丙三人的平時學(xué)習(xí)成績，預(yù)估高考成績能被招飛院校錄取的概率分別為，設(shè)甲?乙?丙三人能被招飛院校錄取的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解：（1）因?yàn)槊课粓竺麑W(xué)生通過前4項(xiàng)流程的概率依次約為，且能否通過相互獨(dú)立，所以估計每位報名學(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請的概率.（2）因?yàn)槊课粓竺麑W(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請概率為，所以甲?乙?丙三人中恰好有一人被確認(rèn)為有效招飛申請的概率.（3）因?yàn)槊课粓竺麑W(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請的概率為，且預(yù)估甲?乙?丙三人的高考成績能被招飛院校錄取的概率分別為，所以甲能被招飛院校錄取的概率，乙能被招飛院校錄取的概率，丙能被招飛院校錄取概率.依題意的可能取值為，所以，，，.所以的分布列為：0123所以.19.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)函數(shù).①若在處取得極大值，求的單調(diào)區(qū)間；②若恰有三個零點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，所以，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）①因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以，令，得，或，（i）當(dāng)時，即時，令，得；令，得，或，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，此時不符合題意，（ii）當(dāng)時，即時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在處不取極值，此時不符合題意，（iii）當(dāng)時，即時，令，得；令，得，或，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增，所以在處取得極大值，此時符合題意，綜上所述，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；②因?yàn)?，所以，所以是的一個零點(diǎn)，因?yàn)榍∮腥齻€零點(diǎn)，所以方程有兩個不為2實(shí)數(shù)根，即方程有兩個不為2實(shí)數(shù)根，令，所以，令，得，令，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時，的值域?yàn)?；?dāng)時，的值域?yàn)?，所以，且，所以，且，所以的取值范圍?20.已知橢圓的短軸長為2，且離心率為.（1）求橢圓方程；（2）設(shè)橢圓的上?下頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，且，直線與直線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在一條定直線上.（1）解：因?yàn)闄E圓的短軸長為2，所以.所以.因?yàn)殡x心率為，所以.所以，解得.所以橢圓的方程為.（2）證明：①若直線的斜率不存在，不符合題意.②若直線的斜率存在，設(shè)為，所以直線的方程為.聯(lián)立方程組消去，化簡得.所以，得，或.因?yàn)椋?，所?直線的方程為，即.直線的方程為，即.因?yàn)橹本€與直線交于點(diǎn)，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo).所以.所以點(diǎn)在直線上.21.已知數(shù)列為有窮正整數(shù)數(shù)列.若數(shù)列A滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)列A為m的k減數(shù)列：①；②對于，使得的正整數(shù)對有k個.（1）寫出所有4的1減數(shù)列；（2）若存在m的6減數(shù)列，證明：；（3）若存在2024的k減數(shù)列，求k的最大值.（1）解：由題意得，則或，故所有4的1減數(shù)列有數(shù)列和數(shù)列3，1.（2）證明：因?yàn)閷τ?，使得的正整?shù)對有個，且存在的6減數(shù)列，所以，得.①當(dāng)時，因?yàn)榇嬖诘?減數(shù)列，所以數(shù)列中各項(xiàng)均不相同，所以.②當(dāng)時，因?yàn)榇嬖诘?減數(shù)列，所以數(shù)列各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng)，所以.若，滿足要求的數(shù)列中有四項(xiàng)為1，一項(xiàng)為2，所以，不符合題意，所以.③當(dāng)時，因?yàn)榇嬖诘?減數(shù)列，所以數(shù)列各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng)，所以.綜上所述，若存在的6減數(shù)列，則.（3）解：若數(shù)列中的每一項(xiàng)都相等，則，若，所以數(shù)列存在大于1的項(xiàng)，若末項(xiàng)，將拆分成個1后變大，所以此時不是最