備戰(zhàn)2024年高考模擬數(shù)學(xué)試卷03(新高考Ⅱ數(shù)學(xué)試卷專用)(解析版)

PAGEPAGE1備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷03（新高考Ⅱ卷專用）第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題1．已知z1+i=1-1i，則A．2 B．22 C．2 D．〖答案〗C〖解析〗由z1+i=1-則z=-2i，所以故選：C.2．集合A=-2,-1,0,1,2,3，集合B=xA．2 B．3 C．4 D．5〖答案〗B〖解析〗集合A=-2,-1,0,1,2,3，B所以集合A∩B中元素的個(gè)數(shù)為故選：B3．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意的n∈N*A．3,+∞ B．C．-∞,-3∪〖答案〗B〖解析〗由題意知S5是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和中的最小值，必有a1若a5=0，此時(shí)S4=S5，S4此時(shí)a5=a1+4若a5<0，a6>0，此時(shí)S5此時(shí)a5=a1+4d則a8綜上可得：a8a6故選:B．4．為進(jìn)一步在全市掀起全民健身熱潮，興義市于9月10日在萬峰林舉辦半程馬拉松比賽.已知本次比賽設(shè)有4個(gè)服務(wù)點(diǎn)，現(xiàn)將6名志愿者分配到4個(gè)服務(wù)點(diǎn)，要求每位志愿者都要到一個(gè)服務(wù)點(diǎn)服務(wù)，每個(gè)服務(wù)點(diǎn)都要安排志愿者，且最后一個(gè)服務(wù)點(diǎn)至少安排2名志愿者，有（

）種分配方式A．540 B．660 C．980 D．1200〖答案〗B〖解析〗由題知可按照最后一個(gè)服務(wù)區(qū)有2名志愿者和3名志愿者進(jìn)行分配，①6=1+1+2+2，有C6②6=1+1+1+3，有C6共有540+120=660（種）.故選：B.5．設(shè)函數(shù)fx=3cosωx+sinωx，且函數(shù)gxA．1315,1615 B．56,〖答案〗B〖解析〗fx令gx=f因?yàn)楹瘮?shù)gx=fx2所以函數(shù)f(x)=2sinωx+π3在0,5π當(dāng)0≤x≤5π時(shí)，π3令ωx+π3=t則y=sint在π3,5ωπ+π所以9π2≤5ωπ+π故選：B．6．如圖所示，F(xiàn)1,F2是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,A．3 B．2 C．23 D．〖答案〗D〖解析〗△ABF2中|BF2|所以|AB|=|BF2又∠BAF2+∠F1所以|AB|=|AF1|，令|AB|=|AF1|=x而|F1F2|=2c，由B可得4x2+4(x-a)2=4故選：D7．已知函數(shù)fx=log2x，設(shè)a=f(logA．b<a<c B．c<a〖答案〗A〖解析〗依題意，得f(x)的定義域?yàn)閤x≠0，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且f(x)在(0,+∞)上為增而a=f(log因?yàn)?<3<4，所以log22<log因?yàn)閥=7x在R上為增函數(shù)，且-0.1<0c=flog因?yàn)?5>16，所以log425>log所以f(log425)>f(log8．設(shè)函數(shù)f(x)=x-e-x，直線A．2-1e BC．2-1e2〖答案〗C〖解析〗令fx的切點(diǎn)為x0,所以過切點(diǎn)的切線方程為y-x即y=1+e-所以2a+b=-e令gx=-e所以當(dāng)x∈-∞,2時(shí)g'當(dāng)x∈2,+∞時(shí)g'x所以gxmin=g2二、多項(xiàng)選擇題9．在1-2x3x-aA．a(chǎn)=3 B．展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C．展開式中x4的系數(shù)為160 D．展開式中無理項(xiàng)的系數(shù)之和為〖答案〗BC〖解析〗根據(jù)題意令x=1，得1-2x3x-a5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為則1-2x又x-25的展開式的通項(xiàng)為T所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為1×-25含x4的項(xiàng)為-2x3?展開式中無理項(xiàng)的系數(shù)之和為1-2-20C5010．如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為1，高為3，F(xiàn)為棱AA1的中點(diǎn)，D,E分別在棱B

A．V1+V2+C．2V1=3V〖答案〗ABD〖解析〗正三棱柱ABC-A1B1C1的體積為VABC-沿著側(cè)棱AA1將棱柱展開得到一個(gè)矩形A1

因?yàn)锳1D+DE+EA取得最小值，即線段由于四邊形A1P1PA為邊長為3的正方形，所以DBV1=1V3=VE-AFD=VE-故選:ABD．11．已知拋物線C:y2=2pxp>0的準(zhǔn)線為l:x=-1，焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A．若x1+B．以PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切C．設(shè)M0,1，則D．過點(diǎn)M0,1與拋物線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線至多有2〖答案〗ABC〖解析〗由題意，拋物線C:y2=2pxp>0的準(zhǔn)線為l:x=-1，所以p=2，拋物線C的方程為過Q作QQ1⊥l

則由拋物線的定義可得PQ=PF+PQ=x1+x線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為x1則線段PQ的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為x1所以以PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切，故B正確；拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F當(dāng)且僅當(dāng)M，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以PM+PP對(duì)于D，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x=0，與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx+1，聯(lián)立y=kx+1,y2=4x,消去x當(dāng)k=0時(shí)，方程的解為y=1，此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)k≠0時(shí)，則Δ=16-16k=0，解得k=1，綜上所述，過點(diǎn)M0,1與拋物線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條，故D故選：ABC．12．泰勒公式通俗的講就是用一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)去逼近一個(gè)給定的函數(shù)，也叫泰勒展開式，下面給出兩個(gè)泰勒展開式esin由此可以判斷下列各式正確的是（

）．A．eix=cosx+isinx（C．2x≥1+x〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A、B，由sinx=x-x兩邊求導(dǎo)得cosx=1-xisinx=xi-xcosx+isinx=1+xi-x又eix=1+xi-x=cosx+isinx，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，已知ex=1+x+x因?yàn)?x=exln2x≥0，則exln2故C正確；對(duì)于D，cosx=1-x2cosx=1-當(dāng)x∈0,1，-x66!+-x2n2n所以-x66!+x88!-第II卷（非選擇題）三、填空題13．設(shè)向量AB=x,2x在向量AC=3,-4〖答案〗1〖解析〗向量AB=x,2x在向量AB?ACAC?ACAC=3x-8x2514．四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鰲臑．在鰲臑P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=4，AB=

〖答案〗24π〖解析〗把鰲臑P-ABC補(bǔ)成一個(gè)長方體，如圖所示：

則長方體的外接球即是鰲臑P-ABC的外接球，又∵PA=4，AB=BC=2，∴長方體的外接球半徑R=1∴鰲臑P-ABC的外接球半徑為R=6則該球的表面積是4πR故〖答案〗為：24π．15．已知圓O:x2+y2=4，過點(diǎn)M-3,-3的直線l交圓〖答案〗x=-3（〖答案〗不唯一，y=〖解析〗由題意得O0,0，半徑r=2，MO故M-3,-3在圓外，設(shè)O由MA=AB得2r解得d=3當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，即x=-3，此時(shí)d=當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)為y=kx+3-則d=3k-3k2+1，即3故〖答案〗為：x=-3（〖答案〗不唯一，y=16．已知函數(shù)fx及其導(dǎo)函數(shù)f'x的定義域均為R，記gx=f'x，若f〖答案〗6〖解析〗因?yàn)閒1-2x+4x為偶函數(shù)，所以兩邊同時(shí)求導(dǎo)得-2f'所以f'1+x+f令x=0，得g1令x=-32，得g-12由gx+2=gx-4所以gx的周期為6，則g而g4+g-所以g5故〖答案〗為：6.四、解答題17．在①3csinA+C2=bsinC；②(1)求角B；(2)若b2+c2=a解：(1)選①，則3csin所以3sinCcosB2=sinBsinC，而所以sinB2=選②，則3BA所以-3cosB=sinB?tanB=-3，而B∈(0,π)選③，則tanC=ccosA33所以cosAcosC=3所以cos(A+C)=cos(π-B)=-cosB=33sinB，則tanB=-3，而(2)由b2+c2=a2+3結(jié)合(1)易知：△ABC為頂角為2π3的等腰三角形，如下圖，D是BC△ABC的外接圓周長為23π，若外接圓半徑為r，則所以b=2rsinB=3,c=2rsinC=3，而AB所以|AD則|AD|2=3+9+94=18．若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足(1)證明：數(shù)列an(2)設(shè)bn=log21-an+1，記數(shù)列1b(1)證明：由Sn=2an+n當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=2a∴n≥2時(shí)，an∴數(shù)列an-1是以a∴an-1=-(2)證明：由（1）知，an+1=1-2n+1∴1b∴Tn因?yàn)閚∈N*，所以1n+2>0，所以所以對(duì)任意的正整數(shù)n，都有Tn<19．2023年9月8日，第19屆亞運(yùn)會(huì)火炬?zhèn)鬟f啟動(dòng)儀式在杭州西湖景區(qū)涌金公園廣場成功舉行．火炬?zhèn)鬟f首日傳遞從杭州西湖涌金公園廣場出發(fā)，沿南山路—湖濱路—環(huán)城西路—北山街—西泠橋—孤山路傳遞，在“西湖十景”之一的平湖秋月收火．杭州亞運(yùn)會(huì)火炬首日傳遞共有106棒火炬手參與．(1)組委會(huì)從全省火炬手中隨機(jī)抽取了100名火炬手進(jìn)行信息分析，得到如下表格：性別年齡總計(jì)滿50周歲未滿50周歲男154560女53540總計(jì)2080100α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828根據(jù)小概率值α=0.1的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，試判斷全省火炬手的性別與年齡滿或未滿(2)在全省的火炬手中，男性占比72%，女性占比28%，且50%的男性火炬手和25%的女性火炬手喜歡觀看足球比賽．某電視臺(tái)隨機(jī)選取一位喜歡足球比賽的火炬手做訪談，請(qǐng)問這位火炬手是男性的概率為多少？(1)解：零假設(shè)為：H0：全省火炬手性別與年齡滿或未滿50根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得χ2=所以根據(jù)小概率值α=0.1的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H因此可以認(rèn)定為H0全省火炬手性別與年齡滿或未滿50周歲相互獨(dú)立（沒有關(guān)聯(lián)）．(2)解：設(shè)A表示火炬手為男性，B表示火炬手喜歡足球，則P(A|B)=P(AB)所以這位火炬手是男性的概率約為364320．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB(1)證明：AB(2)若點(diǎn)C到平面ABD的距離為3，求平面ABC與平面BCD的夾角的正弦值．(1)證明：連接A1因?yàn)樗倪呅蜛A1B在直三棱柱ABC-A1B1C由AB⊥AC得A1C1⊥A所以A1C1⊥平面AA1B又A1B∩A1C1=A1所以AB1⊥平面A1BD所以AB(2)解：以A為原點(diǎn)，AB，AC，AA1所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC=2a，則A0,0,0，B3,0,0AB=3,0,0，AC設(shè)n=x,y,z為平面則n?AD=0n?AB=0，即ay+故n=由題意，AC?nn所以BC=-3設(shè)i=p,q,r為平面則i?BC=0令q=3，則p=2，r=1，即i平面ABC的一個(gè)法向量為j=設(shè)平面ABC和平面BCD的夾角為θ，則cosθ=i所以sinθ=1-所以平面ABC和平面BCD的夾角的正弦值為14421．已知雙曲線C:x22-y22=1，直線l過雙曲線C的右焦點(diǎn)F且交右支于A,B(1)求雙曲線C的漸近線方程；(2)若TS?TB=解：(1)由題知，a=b=2，所以雙曲線C的漸近線方程為y=±(2)雙曲線C:x22由題知，直線AB的斜率不為0，設(shè)直線AB方程為x=ty+2，代入雙曲線C:x化簡可得：t2設(shè)Ax1,y則x∴線段AB中點(diǎn)S的坐標(biāo)為-2直線ST方程為y+2tt（i）當(dāng)t=0時(shí)，S點(diǎn)恰好為焦點(diǎn)F，此時(shí)存在點(diǎn)T2+453,0此時(shí)直線AB方程為x=2．（ii）當(dāng)t≠0時(shí)，令y=0可得x=-4t2-1由于ST⊥AB所以TS?由TS?TB=809化簡可得20t4-49由于直線AB要交雙曲線右支于兩點(diǎn)，所以-4t2-1可得直線AB的方程為x=±12綜上：直線AB方程為y=2x-4或y=-2x+4或x=2．

22．已知函數(shù)fx(1)若函數(shù)fx在點(diǎn)Aπ2,0處的切線與函數(shù)(2)若函數(shù)fx和函數(shù)gx的圖象沒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a解：(1)因?yàn)閒(x)=cosxx，所以則f(x)在點(diǎn)Aπ2,0所以切線方程為y=-2π(x-由y=-2πx+1y=1因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)閧x|x≠0}，所以方程(a-2當(dāng)a=2π時(shí)，x=1，符合題意，當(dāng)a≠2π時(shí)，則Δ=1+4(a-2所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥2(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)和函數(shù)g(x)的圖象沒有公共點(diǎn)，所以f(x)=g(x)，即cosxx所以當(dāng)x≠0時(shí)，h(x)=cosx+ax因?yàn)閔(-x)=h(x)，即h(x)是偶函數(shù)，所以h(x)=cosx+ax2-1=0h'記m(x)=h'(x)=2ax-sinx則m①當(dāng)a<0時(shí)，ax2<0，又-1≤cosx≤1，則cosx-1≤0，所