備戰(zhàn)2024年高考模擬數(shù)學(xué)試卷04(新高考Ⅱ數(shù)學(xué)試卷專用)(解析版)

PAGEPAGE1備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷04（新高考Ⅱ卷專用）第I卷（選擇題）一、單項選擇題1．設(shè)集合,,若集合，則集合P的真子集的個數(shù)為（

）．A．63個 B．64個 C．31個 D．32個〖答案〗C〖解析〗，，所以,因為集合中有5個元素，所以真子集的個數(shù)為個.故選：C.2．已知a，b，，則“”的必要不充分條件可以是下列的選項（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗A選項：取，滿足，但，所以不是的必要條件，A錯誤；B選項：若，，則，所以不是的必要條件，B錯誤；C選項：若，，則，若，則，則有，所以，是的必要條件；取，顯然滿足，但，所以不是的充分條件.綜上，是的必要不充分條件，C正確；D選項：取，顯然滿足，但，所以不是的充分條件，D錯誤.故選：C3．已知邊長為2的菱形中，，點E是BC上一點，滿足，則（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，垂直于軸的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，因為，所以，解得，故，則.故選：B4．五岳是中國漢文化中五大名山的總稱，分別為東岳泰山、西岳華山、中岳嵩山、北岳恒山、南岳衡山.某旅游博主為領(lǐng)略五岳之美，決定用兩個月的時間游覽完五岳，且每個月只游覽五岳中的兩大名山或三大名山（五岳只游覽一次），則恰好在同一個月游覽華山和恒山的概率為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗由題意，確定一個月的游覽方案，則另一個月游覽其余名山即可.該旅游博主游覽五岳可分兩類方法：第一類，第一個月游覽兩大名山，從五大名山中任選兩大名山，有種方法；第二類，第一個月游覽三大名山，從五大名山中任選三大名山，有種方法；由分類計數(shù)原理可得，共有種方法.設(shè)“該旅游博主恰好在同一個月游覽華山和恒山”，可分兩步完成這件事：第一步，從兩個月中選一個月游覽華山和恒山，有種方法；第二步，確定游覽華山和恒山的這個月的游覽方案，分為兩類：若該月只游覽兩大名山，則只有種方法；若該月瀏覽三大名山，則再從其余三大山中任取一大山游覽，有種方法，則第二步共有種方法；由分步計數(shù)原理，則完成事件共有種方法.由古典概型概率公式得.故選：C.5．已知，且，則（

）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗因為，可得，解得或，又因為，則，可得.對于選項A：，故A錯誤；對于選項B：，故B錯誤；對于選項C：，故C錯誤；對于選項D：，故D正確；故選：D.6．函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，若關(guān)于實數(shù)的不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，即，當(dāng)時，又有意義，所以是定義域上的偶函數(shù)，又因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以，則或，解得或，所以的取值范圍是．故選：D．7．已知拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l，A，B為C上兩點，且均在第一象限，過A，B作l的垂線，垂足分別為D，E.若，，則的外接圓面積為（

）.A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗如圖所示，

由拋物線的定義可知，，所以，，所以，故，易知為銳角，且由可知，所以.設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理可知，又，所以，所以的外接圓面積為.故選：A.8．已知函數(shù)，若，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．〖答案〗C〖解析〗由，得，即.因為，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，則.令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故選：C.二、多項選擇題9．設(shè)函數(shù)，若在有且僅有5個極值點，則（

）A．在有且僅有3個極大值點 B．在有且僅有4個零點C．的取值范圍是 D．在上單調(diào)遞增〖答案〗AD〖解析〗作出的草圖如下：的極值點滿足，即，因為在有且僅有5個極值點，所以，則需，且，解得，故C錯誤；因為，則由圖可知時，是在上的第一個極大值點，根據(jù)正弦型三角函數(shù)的圖像規(guī)律可知，極大值點與極小值點總是交替出現(xiàn)的，時是的兩個極大值點，另外兩個為極小值點，故A正確；如圖可知，在點之前已有4個零點，也可能落在點的右側(cè)，從而使在上有5個零點，故B錯誤；當(dāng)時，的周期最小，此時第一個極大值點為，而在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：AD10．已知一元二次不等式的解集為，則下列說法正確的是（

）A．不等式解集的充要條件為B．若，則關(guān)于的不等式的解集也為C．若，則關(guān)于的不等式的解集是，或D．若，且，則的最小值為8〖答案〗AD〖解析〗選項A：不等式解集，等價于一元二次函數(shù)的圖象沒有在軸上方的部分，故等價于，所以選項A正確；選項B：取值，，此時能滿足，而的解集為，或，的解集為，故B選項錯誤；選項C：因為一元二次不等式的解集為，所以得到與是的根且，故有，解得，所以不等式即為，等價于不等式的解集，所以選項C錯誤；選項D：因為，所以，即，令，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即取“=”，選項D正確.故選：AD.11．如圖,在正方體中,,為線段上的動點,則下列說法正確的是（

）A．B．平面C．三棱錐的體積為定值D．的最小值為〖答案〗ABD〖解析〗對于A,連接,如圖:

平面,平面,,又平面,平面,平面,平面,,連接,同理可得,平面,平面,平面,平面,,故A正確;對于B,連接,如圖:

,四邊形為平行四邊形,,平面,平面,平面,同理四邊形為平行四邊形,,平面,平面,平面,,平面,平面,平面平面,平面,平面,故B正確;對于C,如圖:

由B知,平面,平面,平面,點到平面的距離等于點到平面的距離,,故C錯誤;對于D,將平面和平面沿直線展開為一個平面,如圖:

,,,,,即的最小值為,故D正確.故選:ABD.12．已知定義在上的函數(shù)滿足且，則（

）A． B．C．為偶函數(shù) D．為周期函數(shù)〖答案〗ACD〖解析〗依題意，，，取，得，又，則，A正確；取，得，則，B錯誤；取，得，而，即，于是，有，則為偶函數(shù)，C正確；即，得，即，有，于是，即有，因此，所以為周期函數(shù)，D正確.故選：ACD第II卷（非選擇題）三、填空題13．已知是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則，則〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，，則.故〖答案〗為：.14．已知圓的圓心位于第三象限且在直線上，若圓與兩個坐標(biāo)軸都相切，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．〖答案〗〖解析〗由題意，在圓中，圓心位于第三象限且在直線上，設(shè)圓心為，半徑為，∵圓與兩個坐標(biāo)軸都相切，∴圓心到兩坐標(biāo)軸的距離相等，，解得：，∴，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故〖答案〗為：.15．設(shè)函數(shù)，若為奇函數(shù)，則曲線過點的切線方程為．〖答案〗和〖解析〗因為為奇函數(shù)，，得，，，設(shè)切點，則切線方程為，又切線過點，代入得解得或．當(dāng)時，切點為，切線方程為；當(dāng)時，切點為，切線方程為．故〖答案〗為：和16．已知雙曲線的離心率為2，左、右焦點分別為、，且到漸近線的距離為3，過的直線與雙曲線C的右支交于、兩點，和的內(nèi)心分別為、，則的最小值為.〖答案〗〖解析〗由題意，，已知焦點到漸近線的距離為3，由對稱性，不妨設(shè)焦點為，漸近線，即，則焦點到漸近線的距離為，又離心率為2，∴，解得，∴，∴雙曲線的方程為.記的內(nèi)切圓在邊，，上的切點分別為，則，橫坐標(biāo)相等，且，，，由，即，得，即，由雙曲線定義知點雙曲線右支上，且在軸上，則，即內(nèi)心的橫坐標(biāo)為.同理內(nèi)心的橫坐標(biāo)也為，故軸.設(shè)直線的傾斜角為，則，（為坐標(biāo)原點），在中，，由于直線與雙曲線的右支交于兩點，且的一條漸近線的斜率為，傾斜角為，∴，即，∴的范圍是，當(dāng)時，即直線垂直于軸時，取到最小值.故〖答案〗為：.

四、解答題17．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，．(1)求的通項公式；(2)數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，求證：．(1)解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得：，.(2)證明：由(1)得：，，，.18．已知正四棱柱中，，，為線段的中點，為線段的中點．

(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)證明：直線平面并且求出直線到平面的距離．(1)解：以為坐標(biāo)原點，正方向為軸正方向，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，，，即直線與平面所成角的正弦值為.(2)證明：由(1)知：，，，，，，又平面，平面，直線到平面的距離即為點到平面的距離，設(shè)該距離為，則，即直線到平面的距離為.19．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若．(1)求角A的大?。?2)若D為BC上一點，，，求的最小值．解：(1)因為，由正弦定理得，即，，所以，又，所以；(2)由，得，因為，所以，即，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為．20．某商場擬在周末進(jìn)行促銷活動，為吸引消費者，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動，游戲規(guī)則如下：該游戲進(jìn)行10輪，若在10輪游戲中，參與者獲勝5次就送2000元禮券，并且游戲結(jié)束：否則繼續(xù)游戲，直至10輪結(jié)束．已知該游戲第一次獲勝的概率是，若上一次獲勝則下一次獲勝的概率也是，若上一次失敗則下一次成功的概率是．記消費者甲第次獲勝的概率為，數(shù)列的前項和，且的實際意義為前次游戲中平均獲勝的次數(shù)．(1)求消費者甲第2次獲勝的概率；(2)證明：為等比數(shù)列；并估計要獲得禮券，平均至少要玩幾輪游戲才可能獲獎．(1)解：(2)證明：,,,為等比數(shù)列,且公比為；.,因為單調(diào)遞增，當(dāng)n為奇數(shù)時，，所以得獲獎至少要玩9輪.當(dāng)n為偶數(shù)時，，得獎至少要玩10輪，所以平均至少要玩9輪才可能獲獎.21．已知橢圓的對稱中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點在軸上，離心率，且過點．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓交于兩點，且直線的傾斜角互補，判斷直線的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．解：(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意知，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程又為，即，又橢圓過點，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)由題意可知直線的斜率存在且不過點，設(shè)直線的方程為，，由，消去整理得，需滿足，則，，直線的傾斜角互補，，，，將，代入得，整理得，而，，所以直線的斜率為定值，其定值為2.22．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)當(dāng)，若不等式恒成立，求的取值范圍．解：(1)當(dāng)時，，則，，又，在處的切線方程為：，即.(2)方法一：令，則恒成立，的定義域為，且；令，則，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，又，，，使得，且當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，由得：，，，，，即，令，則在上單調(diào)遞減，又，，，設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，，，又，的取值范圍為.方法二：由得：，，當(dāng)時，在，時恒成立，；當(dāng)時，設(shè)，則，，在上單調(diào)遞增，，即，，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單