福建省龍巖市長汀縣2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1福建省龍巖市長汀縣2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，，所以.故選：B.2.的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗易知，所以.故選：A.3.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)對數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增可知，即；由三角函數(shù)單調(diào)性可知；利用指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增可得；所以.故選：C.4.已知函數(shù)，則（）A.1 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以，所以.故選：B.5.函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，關(guān)于原點對稱，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故D錯誤；因為，所以，所以，故A錯誤；因為，所以，所以，故B錯誤.故選：C.6.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期是B.的值域是C.直線是函數(shù)圖像的一條對稱軸D.的遞減區(qū)間是，〖答案〗D〖解析〗函數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期，所以選項A錯誤；由〖解析〗式可知，所以的值域為，所以選項B錯誤；當(dāng)時，，，不是函數(shù)圖像的對稱軸，所以選項C錯誤；令，，可得，，的遞減區(qū)間是，，所以選項D正確.故選：D.7.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.8.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時，，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗D〖解析〗由已知可得，，所以周期為2，又函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，根據(jù)已知，作出函數(shù)的圖象，以及的圖象：因為，，由圖象可知，與交點的個數(shù)共有9個，所以，函數(shù)的零點個數(shù)為9.故選：D.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.以下四個命題，其中是真命題的有（）A.命題“”的否定是“”B.若，則C.函數(shù)且的圖象過定點D.冪函數(shù)在上為減函數(shù)，則的值為1〖答案〗ACD〖解析〗對于選項A，因為全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，所以命題“”的否定是“，故選項A正確；對于選項B，因為，則，又，得到，故選項B錯誤；對于選項C，因為，所以過定點，故選項C正確；對于選項D，因為為冪函數(shù)，所以，得到或，又在上為減函數(shù)，所以，即，所以，故選項D正確.故選：ACD.10.已知正數(shù)滿足，則下列選項正確的是（）A.的最小值是2 B.的最大值是1C.的最小值是4 D.的最大值是〖答案〗ABD〖解析〗因為，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即的最小值是2，故A正確；因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即的最大值是1，故B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即的最小值是，故C錯誤；因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，即的最大值是，故D正確.故選：ABD.11.中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊，一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，如圖，設(shè)扇形的面積為，其圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，當(dāng)與的比值為時，扇面為“美觀扇面”，下列結(jié)論正確的是（參考數(shù)據(jù)：）（）A.B.若，扇形的半徑，則C.若扇面為“美觀扇面”，則D.若扇面為“美觀扇面”，扇形的半徑，則此時的扇形面積為〖答案〗AC〖解析〗對于A，與所在扇形的圓心角分別為，，，A正確；對于B，，，，B錯誤；對于C，，，，C正確；對于D，，D錯誤.故選：AC.12.一般地，若函數(shù)的定義域為，值域為，則稱為的“倍跟隨區(qū)間”；特別地，若函數(shù)的定義域為，值域也為，則稱為的“跟隨區(qū)間”.下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)不存在跟隨區(qū)間B.若為的跟隨區(qū)間，則C.二次函數(shù)存在“3倍跟隨區(qū)間”D.若函數(shù)存在跟隨區(qū)間，則〖答案〗BC〖解析〗對于A選項，因為函數(shù)在區(qū)間與上均為增函數(shù)，若存在跟隨區(qū)間則有，即為的兩根，即的根，故，故A錯誤；對于B選項，若為的跟隨區(qū)間，因為在區(qū)間為增函數(shù)，故其值域為，根據(jù)題意有，解得或，因為故，故B正確；對于C選項，若存在“3倍跟隨區(qū)間”，則可設(shè)定義域為，值域為，當(dāng)時，易得在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時易得為方程的兩根，求解得或.故定義域，則值域為．故C正確；對于D選項，若函數(shù)存在跟隨區(qū)間，因為為減函數(shù)，故由跟隨區(qū)間的定義可知，即，因為，所以，易得，所以，令代入化簡可得，同理也滿足，即在區(qū)間上有兩不相等的實數(shù)根，故，解得，故D錯誤．故選：BC.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.________．〖答案〗6〖解析〗.故〖答案〗為：6.14.若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則常數(shù)a的取值范圍為________．〖答案〗〖解析〗因為在上均為增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且函數(shù)圖象連續(xù)不間斷，故若在區(qū)間上存在零點，則，可得．故〖答案〗為：.15.已知，則______．〖答案〗〖解析〗由題意知，，又因為，將上式分子分母同時除以得，代入即可得，.故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)，．對任意，存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗，所以，的開口向下，對稱軸為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以，由于任意，存在，使得，所以，解得，所以的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17已知集合，.（1）分別求，；（2）已知集合，若，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為解得，即，而解得，即，，所以，.（2）當(dāng)，即時，此時，符合條件；當(dāng)，即時，，要使，只需，即，故要使，實數(shù)的取值范圍是或.18.（1）化簡：；（2）已知，且在同一象限，求的值.解：（1）.（2）∵，且在同一象限，則為第二象限角，∴，故.19.已知函數(shù)（且）.（1）求的定義域；（2）判斷的奇偶性，并說明理由；（3）求不等式的解集.解：（1）要使函數(shù)有意義，則，解得，即函數(shù)的定義域為.（2）是奇函數(shù)，理由如下：由(1)知函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，，即函數(shù)是奇函數(shù).（3）若，則，即，若，則，解得；若，則，解得，即當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為.20.一研究小組在對某學(xué)校的學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中發(fā)現(xiàn)，其注意力指數(shù)與聽課時間之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線.當(dāng)時，曲線是二次函數(shù)圖像的一部分，當(dāng)時，曲線是函數(shù)，且圖像的一部分.根據(jù)研究，當(dāng)注意力指數(shù)不小于80時聽課效果最佳.（1）求的函數(shù)關(guān)系式；（2）有一道數(shù)學(xué)難題，講解需要22分鐘，問老師能否經(jīng)過合理安排在學(xué)生聽課效果最佳時段講完？請說明理由.解：（1）當(dāng)時，設(shè)，將點(14，81)代入得，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，將點代入，得，所以.（2）當(dāng)時，，解得：，所以；當(dāng)時，，解得，所以，綜上時學(xué)生聽課效果最佳，此時，所以，教師能夠合理安排時間講完題目，故老師能經(jīng)過合理安排在學(xué)生聽課效果最佳時段講完.21.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)在上單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求不等式的解集；（3）若方程在上有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）由，則，令或，解得或，所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為和.（2）由，即，所以，所以，，解得，，所以不等式的解集為.（3）由，則，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，因為方程在上有兩個不同的實數(shù)解，所以與在上有兩個不同的交點，所以，即實數(shù)取值范圍為.22.已知函數(shù)在上為奇函數(shù)，，.（1）求實數(shù)的值；（2）指出函數(shù)的單調(diào)性（說明理由，不需要證明）；（3）設(shè)對任意，都有成立；請問是否存在的值，使最小值為