福建省泉州市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1福建省泉州市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，共40分．在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng).）1.若集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，所以．故選：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗當(dāng)時(shí)，，所以，則，即必要性成立；當(dāng)時(shí)，取，則，即充分性不成立；所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B.3.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，，所以，，，所?故選：A.4.下列區(qū)間中，函數(shù)一定存在零點(diǎn)的區(qū)間是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)單調(diào)遞減，又，所以函數(shù)在上一定無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)單調(diào)遞減，又，，根據(jù)零點(diǎn)存性定理可得函數(shù)在內(nèi)一定存在零點(diǎn).故選：B.5.若函數(shù)（且）在R上為增函數(shù)，則函數(shù)的圖象可以是（）A.B.C.D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)（且）在R上為增函數(shù)，所以，函數(shù)定義域?yàn)?，所以排除AB，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以排除D.故選：C.6.已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，所以為偶函數(shù)，又在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，則，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，對(duì)稱軸為軸，則，即，即，解得：.故選：B.7.已知函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，令，求得，，故它的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，∴，，故函數(shù)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，∴，∴.故選：B．8.國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）是指按國(guó)家市場(chǎng)價(jià)格計(jì)算的一個(gè)國(guó)家（或地區(qū)）所有常駐單位在一定時(shí)期內(nèi)生產(chǎn)活動(dòng)的最終成果，常被公認(rèn)為是衡量國(guó)家經(jīng)濟(jì)狀況的最佳指標(biāo)．某城市2020年的GDP為8000億元，若保持6%的年平均增長(zhǎng)率，則該城市的GDP達(dá)到1萬(wàn)億元預(yù)計(jì)在（參考數(shù)據(jù)：）（）A.2023年 B.2024年 C.2025年 D.2026年〖答案〗B〖解析〗設(shè)經(jīng)過(guò)年該城市的GDP達(dá)到1萬(wàn)億元，則，則，所以，所以至少要經(jīng)過(guò)4年，即預(yù)計(jì)在2024年該城市的GDP達(dá)到1萬(wàn)億元.故選：B.二、多選題（本大題共4小題，共20分．在每小題有多項(xiàng)符合題目要求.）9.如圖所示是某受污染的湖泊在自然凈化過(guò)程中某種有害物質(zhì)的剩留量y與凈化時(shí)間t（月）的近似函數(shù)關(guān)系：的圖象．有以下說(shuō)法：其中正確的說(shuō)法是（）A.第4個(gè)月時(shí)，剩留量就會(huì)低于B.每月減少的有害物質(zhì)質(zhì)量都相等C.污染物每月的衰減率為D.當(dāng)剩留，，時(shí)，所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別是，，，則〖答案〗ACD〖解析〗將代入函數(shù)，則，解得，則，對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，故A正確；對(duì)B，第一月的減少量為，第二月的減少量為，不相等，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，污染物每月的衰減率為，故C正確；對(duì)D，可得則，則，故D正確.故選：ACD.10.已知a，b為正實(shí)數(shù)，滿足，則下列判斷中正確的是（）A.有最小值B.有最小值C.函數(shù)的最小值為1D.有最大值〖答案〗AD〖解析〗由a，b為正實(shí)數(shù)，滿足，對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以有最小值，故A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以有最大值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)，等號(hào)成立，但，所以取不到最小值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，則，即，所以有最大值，故D正確．故選：AD．11.若，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗由條件：，即，A正確；，即，B錯(cuò)誤，D正確；由，則，C錯(cuò)誤.故選：BC.12.某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)函數(shù)進(jìn)行研究，得出如下結(jié)論，其中正確的有（）A.B.，都有C.的值域?yàn)镈.，都有〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則，都有，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由選項(xiàng)B知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，，因此函數(shù)的值域?yàn)?，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此成立，D正確.故選：ACD.三、填空題（本大題共4小題，共20分.）13.已知，若冪函數(shù)奇函數(shù)，且在上為嚴(yán)格減函數(shù)，則__________.〖答案〗-1〖解析〗因?yàn)閮绾瘮?shù)在上為嚴(yán)格減函數(shù)，所以，所以，又因?yàn)閮绾瘮?shù)奇函數(shù)，且，所以.故〖答案〗為：-1.14.計(jì)算______．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.15.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為__________．〖答案〗〖解析〗函數(shù)的定義域是，在定義域內(nèi)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，而函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，就是在定義域內(nèi)函數(shù)的增區(qū)間，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗作出函數(shù)圖象如下：令，則，所以，，，所以，，，所以，，，即，，，因?yàn)殛P(guān)于x的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以函數(shù)與直線，，共有5個(gè)交點(diǎn)，所以，解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共6小題，共70.0分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知集合，.（1）命題，命題，且是的必要非充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）解不等式，即，解得，所以，，由于是的必要非充分條件，則，所以，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）由，都有，得，，令，，當(dāng)時(shí)，取最大值為，所以，，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)和.（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2）當(dāng)?shù)亩x域?yàn)闀r(shí)，求的最小值與最大值.解：（1）由題意得：，解得：，所以.（2）由題意得：，解得：，故的定義域?yàn)椋?，令，故，所以?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，.19.已知函數(shù)（，）．（1）若關(guān)于的不等式的解集為，求不等式的解集；（2）若，，求關(guān)于的不等式的解集．解：（1）的不等式的解集為，，且，3是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，解得，，不等式等價(jià)于，即，故，解得或，所以該不等式的解集為.（2）當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，即，又，所以不等式等價(jià)于，當(dāng)，即時(shí)，不等式為，解得；當(dāng)，即時(shí)，解不等式得或；當(dāng)，即時(shí)，解不等式得或，綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．20.已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）求的值；（2）探究單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（3）若存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求的范圍.解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，∴，即，化簡(jiǎn)得，∴.（2）為增函數(shù)，證明：定義域?yàn)椋稳≡O(shè)，，，即，所以為增函數(shù).（3）由已知存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，由（1）可知只需存在實(shí)數(shù),使得，即成立即可，令，易知在時(shí)單調(diào)遞增，所以，所以.21.北京時(shí)間2021年10月16日0時(shí)23分，搭載神舟十三號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)遙十三運(yùn)載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心精準(zhǔn)發(fā)射，約582秒后，飛船與火箭成功分離，進(jìn)入預(yù)定軌道，發(fā)射取得圓滿成功，這是我國(guó)載人航天工程立項(xiàng)實(shí)施以來(lái)的第21次飛行任務(wù)，也是空間站階段的第2次載人飛行任務(wù)。航天工程對(duì)人們的生活產(chǎn)生方方面面的影響，有關(guān)部門對(duì)某航模專賣店的商品銷售情況進(jìn)行調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品在過(guò)去的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)）的日銷售價(jià)格（元）與時(shí)間（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足（常數(shù)）.該商品的日銷售量（百個(gè)）與時(shí)間（天）部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：（天）5101726（百個(gè)）4567已知第10天該商品日銷售收入為3500元.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）給出以下三種函數(shù)模型：①，②；③，請(qǐng)你依據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從以上三種函數(shù)模型中，選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型，來(lái)描述該商品的日銷售量與時(shí)間的關(guān)系，說(shuō)明你選擇的理由.并借助你選擇的模型，預(yù)估該商品的日銷售收入（，）（元）在哪一天達(dá)到最低？解：（1）由題意，，∴.（2）∵表格中對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)勻速遞增時(shí)，對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)并未勻速變化，∴排除模型①，又∵表示在兩側(cè)“等距”的函數(shù)值相等，而表格中的數(shù)據(jù)并未體現(xiàn)此規(guī)律（），∴排除模型②，對(duì)于模型③，將，代入模型③，有：，解得：，此時(shí)，，經(jīng)驗(yàn)證，，均滿足，∴選模型③，，取等條件：，即，∴第16天達(dá)到最低.22.設(shè)，函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在的單調(diào)區(qū)間；（2）記為在上的最大值，求的最小值．解：（1）當(dāng)