廣東省2024屆高三上學(xué)期元月期末統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

PAGEPAGE1廣東省2024屆高三上學(xué)期元月期末統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由可知：，即，故，所以故選：D.2.已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗結(jié)合題意：，所以.故選：B.3.已知向量，，且，則（）A.2 B.3 C.4 D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由求出，從而可求解.【詳析】由，，所以，因為，所以，得，所以，故A正確.故選：A.4.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，可得：，.故選：A.5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知，為偶函數(shù)，排除D；當(dāng)時，，，令，，時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，即，所以，當(dāng)時，，即，可排除A、B.故選:C6.已知數(shù)列為公差不為0的等差數(shù)列，若，，成等比數(shù)列，則（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)的公差為，因為，，成等比數(shù)列，所以，即，，化簡得，因為，可得所以，，.故選：D.7.《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白點為陽數(shù)，黑點為陰數(shù).若從這10個數(shù)中任取3個數(shù)，已知3個數(shù)中至多有1個陰數(shù)，則取出的3個數(shù)之和是5的倍數(shù)的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，白點為陽數(shù)，黑點為陰數(shù)，陽數(shù)為，陰數(shù)為若從這10個數(shù)中任取3個數(shù)且3個數(shù)中至多有1個陰數(shù)，基本事件總數(shù)為，取出的3個數(shù)之和是5的倍數(shù)，基本事件包括，共有12個，取出的3個數(shù)之和是5的倍數(shù)的概率是.故選：A.8.已知橢圓：的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為，，點在上，且，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，，由，解得，又因為在橢圓上，所以，解得，因為，可得，即，記直線的傾斜角為,直線的傾斜角為,因為,所以,即，即，整理得：，解得,故選:A.二、選擇題9.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗對A：由，故，則，即，故A正確；對B：由，且為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，故，故B正確；對C：當(dāng)，時，有，，此時，故C錯誤；對D：當(dāng)，時，有，，此時，故D錯誤.故選：AB.10.過拋物線：的焦點作直線交于兩點，則（）A.的準(zhǔn)線方程為B.以為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切C.若，則線段中點的橫坐標(biāo)為D.若，則直線有且只有一條〖答案〗BCD〖解析〗對于選項A:由拋物線：，可得解得，故準(zhǔn)線方程為，故選項A錯誤；對于選項B:設(shè)的中點為,且在準(zhǔn)線上的投影為，由拋物線的定義可知：,易知四邊形為直角梯形，所以,故以為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切，故選項B正確；對于選項C:設(shè)，因為，所以，所以線段中點的橫坐標(biāo)為，故選項C正確；對于選項D:結(jié)合拋物線的焦點弦中通徑最短，可得，要使，則線段為拋物線的通徑，則這樣的直線有且只有一條,故選項D正確.故選：BCD.11.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增，則（）A.的圖象關(guān)于中心對稱 B.是周期函數(shù)C.在上單調(diào)遞減 D.〖答案〗BC〖解析〗對A：由，故的圖象關(guān)于直線對稱，故A錯誤；對B：由為奇函數(shù)，故，又，故，即有，則，即，故是周期函數(shù)且周期為，故B正確；對C：由在上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，又關(guān)于直線對稱，故在上單調(diào)遞減，故C正確；對D：由為定義在上的奇函數(shù)，故，有，由關(guān)于直線對稱，故關(guān)于中心對稱，故，由，故，即有，，故，，故D錯誤.故選：BC.12.如圖，為圓錐底面的直徑，，點是圓上異于的動點，球內(nèi)切于圓錐（與圓錐底面和側(cè)面相切），點是球與圓錐側(cè)面的交線上的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.若⊥，三棱錐體積最大值為8B.若⊥，平面與底面所成角的取值范圍為C.若，內(nèi)切球的表面積為D.若，的最大值為4〖答案〗BCD〖解析〗A選項，因為⊥，，所以，故，由勾股定理得，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故三棱錐體積的最大值為，A錯誤；B選項，取的中點，連接，因為為的中點，故，所以⊥，因為，所以⊥，點是圓上異于的動點，故平面與底面所成角的平面角為，，，故，故，若⊥，平面與底面所成角的取值范圍為，B正確；C選項，若，則為等邊三角形，故，，與球相切，設(shè)切點為，球的半徑為，連接，則⊥，，故，則，解得，故內(nèi)切球的表面積為，C正確；D選項，點的軌跡為如圖所示的小圓，由C選項得，，由⊥，，可知，故，，，，設(shè)點作⊥于點，連接，因為⊥小圓，小圓，所以⊥，因為，平面，所以⊥平面，因為平面，所以，設(shè)，則，由∽可知，由勾股定理得，，故，，故，，故當(dāng)時，取得最大值，最大值為16，故的最大值為4，D正確.故選：BCD.三、填空題13.第二屆廣東自由貿(mào)易試驗區(qū)一聯(lián)動發(fā)展區(qū)合作交流活動于2023年12月13日—14日在湛江舉行，某區(qū)共有4名代表參加，每名代表是否被抽到發(fā)言相互獨立，且概率均為，記為該區(qū)代表中被抽到發(fā)言的人數(shù)，則______.〖答案〗〖解析〗由題意知隨機(jī)變量為，所以，故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)（）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗當(dāng)時，，則，解得，又，故.故〖答案〗為：.15.動點與兩個定點，滿足，則點到直線：的距離的最大值為______.〖答案〗〖解析〗令，則，整理得，所以的軌跡是圓心為，半徑為2的圓上，又直線：可化為，易知過定點，由，故點在圓外，則圓心與定點所在直線與直線垂直，圓心與直線距離最大，所以點到直線距離的最大值為.故〖答案〗為：16.已知函數(shù)（，）且），若恒成立，則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，可得在上單調(diào)遞增，，不合題意；當(dāng)時，，令，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，有極小值，也是最小值，又因為且，所以，則，得，所以，設(shè)，，令，得，當(dāng)，，當(dāng)，，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，即的最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題17.學(xué)校為了讓學(xué)生的學(xué)習(xí)與活動兩不誤，在延時課開設(shè)籃球、書法兩項活動，為了了解學(xué)生的選擇意向，隨機(jī)調(diào)查了部分同學(xué)，得到如下列聯(lián)表.性別選擇籃球選擇書法男生4010女生2525（1）根據(jù)上表，分別估計該校男、女生選擇籃球的概率；（2）試根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析性別與選擇意向是否有關(guān)聯(lián).附：，其中.0.050.0250.010.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828解：（1）以頻率估計概率,所以該校男生選擇籃球的概率為,所以該校女生選擇籃球的概率為.（2）結(jié)合題意：,整理計算得：，故能在犯錯誤的概率不超過0.01的條件下認(rèn)為性別與選擇意向有關(guān).18.已知中，角所對的邊分別為，，，，且.（1）求角的大小；（2）若，點在邊上，且平分，求的長度.解：（1）因為，由正弦定理可得：，因為，所以，即，由余弦定理可得，在中，,所以.（2）由（1）問可知,，所以，解得，設(shè)，由平分，所以,即,解得：，故的長度為.19.設(shè)為數(shù)列的前項和，已知是首項為、公差為的等差數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）令，為數(shù)列的前項積，證明：.（1）解：由是首項為、公差為的等差數(shù)列，故，即，當(dāng)時，，故，當(dāng)時，，符合上式，故；（2）證明：由，，故，則，由，故，則.20.如圖，在直三棱柱中，，，，，分別為，的中點，點在線段上，.（1）證明：，，，四點共面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：由題意證明如下，在直三棱柱中，，，，，分別為，的中點，點在線段上，，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，∴,,∴∴，∵∴∴三向量共面，∴，，，四點共面.（2）解：由題意及（1）得，在直三棱柱中，在平面中，其一個法向量為在平面中，設(shè)其一個法向量為，即，解得：，當(dāng)時，設(shè)平面與平面夾角為，，∴平面與平面夾角的余弦值為.21.已知雙曲線：（，）的左焦點到其漸近線的距離為，點在上.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與交于，（不與點重合）兩點，記直線，，的斜率分別為，，，且，是否存在值，使得.若存在，求出的值和直線的方程；若不存在，請說明理由.解：（1）由雙曲線：可得，漸近線方程為：，則有，化簡得，又在上，即，即，故：；（2）由題意可知直線的斜率存在且斜率為，設(shè)直線為，、，聯(lián)立直線與雙曲線，消去可得，則有且，即且，有，，由，故、，則，即有，即，故或，當(dāng)時，直線為，過點，故舍去，當(dāng)時，直線為，由、，則線段中點為，，，即，由，，，故有，即，解得，故，則直線為，即存在，使得，此時直線的方程為..22.若函數(shù)在上有定義，且對于任意不同的，都有，則稱為上的“類函數(shù)”.（1）若，判斷是否為上的“3類函數(shù)”；（2）若為上的“2類函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；（3）若為上的“2類函數(shù)”，且，證明：，，.（1