廣東省揭陽市揭東區(qū)2023-2024學年高二上學期1月期末數學試題（解析版）

PAGEPAGE1廣東省揭陽市揭東區(qū)2023-2024學年高二上學期1月期末數學試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，所以，故選：C.2.已知復數z滿足，則（）A.1 B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗由，即，所以．故選：B．3.等差數列的前項和為，且，則（）A.63 B.45 C.49 D.56〖答案〗A〖解析〗設公差為，由可得，解得，故．故選：A.4.圓：和圓：的位置關系是（）A.外離 B.相交 C.外切 D.內含〖答案〗C〖解析〗變形為，故圓心為，半徑為，變形為，故圓心為，半徑為，故，由于，故兩圓外切.故選：C5.“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連，秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月兩節(jié)不變史，最多相差一兩天．”中國農歷的“二十四節(jié)氣”，凝結著中華民族的智慧，是中國傳統(tǒng)文化的結晶，如五月有立夏、小滿，六月有芒種、夏至，七月有小暑、大暑，現從五月、六月、七月這六個節(jié)氣中任選兩個節(jié)氣，則這兩個節(jié)氣恰在同一個月的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，基本事件由（立夏，小滿），（立夏，芒種），（立夏，夏至），（立夏，小暑），（立夏，大暑），（小滿，芒種），（小滿，夏至），（小滿，小暑），（小滿，大暑），（芒種，夏至），（芒種，小暑），（芒種，大暑），（夏至，小暑），（夏至，大暑），（小暑，大暑）共15個，其中任取兩個在同一個月的有3個，所以,故選：C6.如圖，三棱錐中，為的中點，點滿足，記，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗故選：D7.正多面體被古希臘圣哲認為是構成宇宙的基本元素.如圖，該幾何體是一個棱長為的正八面體，則此正八面體的體積與表面積的數值之比為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖所示，連接，，則四邊形為正方形，且平面，由正八面體可知，，則，，所以，表面積，所以，故選：B.8.已知函數，則使得不等式成立的實數的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗函數，令，因為，所以是偶函數，其圖象關于y軸對稱，且在上遞減，在上遞增，所以的圖象關于對稱，且在上遞減，在上遞增，若使得不等式成立，則，即，解得，所以實數的取值范圍是故選：B二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.下列說法中，正確的有（）A直線必過定點（2，3）B.直線在y軸上的截距為C.直線的傾斜角為60°D.點（1，3）到直線的距離為1〖答案〗BCD〖解析〗對A，直線過的定點坐標滿足：，，故定點為，故A錯誤；對B，在軸上的截距為，故B正確；對C，直線的斜率為，故傾斜角滿足，即，故C正確；對D，因為直線垂直于軸，故過作直線的垂線，垂足為，所以點到直線的距離為，故D正確.故選：BCD10.人均國內生產總值是人們了解和把握一個國家或地區(qū)的宏觀經濟運行狀況的有效工具，即“人均GDP”，常作為發(fā)展經濟學中衡量經濟發(fā)展狀況的指標，是最重要的宏觀經濟指標之一.在國家統(tǒng)計局的官網上可以查詢到我國2013年至2022年人均國內生產總值（單位：元）的數據，如圖所示，則（）A.2013年至2022年人均國內生產總值逐年遞增B.2013年至2022年人均國內生產總值的極差為42201C.這10年的人均國內生產總值的80%分位數是71828D.這10年的人均國內生產總值的增長量最小的是2020年〖答案〗ABD〖解析〗由圖可知，2013年至2022年人均國內生產總值逐年遞增，A正確；2013年至2022年人均國內生產總值的極差為85698-43497=42201，B正確；因為10×80%=8，所以這10年的人均國內生產總值的80%分位數是.C不正確；由圖中數據分析可知，2020年人均同內生產總值的增長為71828-70078=1750（元），是這10年中增長量最小的，D正確.故選：ABD.11.已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，點雙曲線C右支上，若，的面積為，則下列選項正確的是（）A.若，則S＝B.若，則C.若為銳角三角形，則D.若的重心為G，隨著點P的運動，點G的軌跡方程為〖答案〗ACD〖解析〗由，得，則焦點三角形的面積公式，將代入可知，故A正確．當S＝4時，，由，可得，故B錯誤．當時，S＝4，當時，，因為為銳角三角形，所以，故C正確．設，則，由題設知，則，所以，故D正確．故選：ACD12.如圖，在正方體中，點P在線段上運動，則（）A直線平面B.三棱錐的體積為定值C.異面直線AP與所成角的取值范圍是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為〖答案〗AB〖解析〗建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為，，設，設，即.A：，因為，所以，而平面，所以直線平面，因此本選項結論正確；B：側面的對角線交點為，所以，，而平面，平面，所以，而平面，所以平面，為定值，因此本選項結論正確；C：，設異面直線AP與所成角為，則有，當時，；當時，，因為，所以，因此，，即，所以，綜上所述：，所以本選項結論不正確；D：設平面的法向量為，，所以有，直線與平面所成角的正弦值為：因，所以當時，有最小值，最小值為，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為，因此本選項結論不正確，故選：AB三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.數列滿足，則其通項公式________〖答案〗〖解析〗由題知,數列是以1為首項,3為公比的等比數列,故〖答案〗為14.已知，，且，則x的值是________．〖答案〗2〖解析〗因為，，且，所以，解得，故〖答案〗為：215.求過兩條直線和的交點，且與平行的直線方程___________.〖答案〗〖解析〗聯立，解得，故交點坐標為，設直線方程為，將代入得，解得，故所求直線方程為.故〖答案〗為：16.已知函數（）在區(qū)間有且僅有2個零點，則的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗,令，則在上有兩個解，所以，解得故〖答案〗為：四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知數列是遞增的等差數列，，若，，成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和為.解：（1）數列是遞增的等差數列，設公差為，因為，若，，成等比數列，可得，即，且，解得，所以，所以數列的通項公式為.（2）由（1）知，則，所以，即數列的前項和為.18.在中，角，，所對的邊分別為，，，且．（1）求的值；（2）若，，求的面積．解：（1）因為，由正弦定理得，，又，所以，又，所以，故，所以.（2）由余弦定理得，所以，故．19.已知是橢圓的兩個焦點，，為上一點.（1）求橢圓的標準方程；（2）若為上一點，且，求的面積.解：（1）設橢圓的焦距為，因為，可得，所以，則，，由橢圓的定義可得，所以，故橢圓的標準方程為；（2）因為，所以，所以，所以.20.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側棱底面，且，點分別為的中點．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）因為底面，底面，所以，因為為正方形，所以，因為，平面，所以平面，又因為平面，所以，又因為，點為的中點，所以．因為，平面，所以平面，因為平面，所以．同理可得，因為，平面，所以平面．（2）如圖，以點為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標系，設，則各點坐標分別為．由（1）可知是平面的一個法向量，記為，又平面的一個法向量為．所以平面與平面夾角的余弦值等于．21.已知直線：，圓：.（1）若，求直線被圓截得的弦長；（2）當直線被圓截得的弦長最短時，求的值及的方程.解：（1）時，直線的方程為，圓心到直線的距離，圓C的半徑為，所以直線被圓截得的弦長為.（2）直線：可轉化為由得，所以直線過定點，當圓心到直線的距離最大時，弦長最短.此時，因，，所以即，可得故的方程為.22.已知拋物線經過點.（1）求拋物線的方程及其準線方程；（2）設為原