廣東省肇慶市2024屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1廣東省肇慶市2024屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.已知，且，，則（）A.2 B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗由，則，故，則.故選：B.2.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗或，，則，故選：C.3.已知是單位向量，且它們的夾角是.若，且，則（）A.2 B. C.2或 D.3或〖答案〗D〖解析〗，即，解得或.故選：D.4.為了研究我國男女性身高情況，某地區(qū)采用分層隨機(jī)抽樣的方式抽取了100萬人的樣本，其中男性約占?女性約占，統(tǒng)計(jì)計(jì)算樣本中男性的平均身高為，女性的平均身高為，則樣本中全體人員的平均身高約為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗樣本中全體人員的平均身高約，故選：C.5.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，又，所以.故選：A.6.已知數(shù)列是等差數(shù)列，是它的前項(xiàng)和，，則（）A.100 B.101 C.110 D.120〖答案〗B〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即有，由，得，解得，因此，所以.故選：B7.已知雙曲線，則過點(diǎn)與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線共有（）A.4條 B.3條 C.2條 D.1條〖答案〗C〖解析〗分析條件可得：點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，且位于第一象限，和雙曲線的右頂點(diǎn)有相同橫坐標(biāo)，如圖：所以過且與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線只有兩條：一條是切線：，一條是過點(diǎn)且與另一條漸近線平行的直線.故選：C8.在中，若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.B.C.D.〖答案〗C〖解析〗對A，在中，因?yàn)?，所以，由正弦定理得，所以，故A正確；對B，由上得，由，可得，所以成立，即B正確；對C，當(dāng)時(shí)，得，，所以，故C錯(cuò)誤；對D，原式可化為，構(gòu)造，故，則在上單調(diào)遞增，結(jié)合，故，即D正確.故選：C.二?多選題9.已知曲線的方程為，則（）A.當(dāng)時(shí)，曲線表示雙曲線B.當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓C.當(dāng)時(shí)，曲線表示圓D.當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓〖答案〗AC〖解析〗對于A，當(dāng)時(shí)，表示焦點(diǎn)在軸雙曲線，故A正確，對于B，當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，B錯(cuò)誤，對于C,當(dāng)時(shí)，,表示圓，C正確，對于D,當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，D錯(cuò)誤，故選：AC10.若的三個(gè)內(nèi)角的正弦值為，則（）A.一定能構(gòu)成三角形的三條邊B.一定能構(gòu)成三角形的三條邊C.一定能構(gòu)成三角形的三條邊D.一定能構(gòu)成三角形的三條邊〖答案〗AD〖解析〗對于A，由正弦定理得，所以，，作為三條線段的長一定能構(gòu)成三角形，A正確，對于B，由正弦定理得，例如，則，由于，，故不能構(gòu)成三角形的三條邊長，故B錯(cuò)誤，對于C,由正弦定理得，例如：、、，則、、，則，，，作為三條線段的長不能構(gòu)成三角形，C不正確；對于D，由正弦定理可得，不妨設(shè)，則，故，且，所以，故D正確，故選：AD11.已知，函數(shù)，，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的可能取值為（）A. B. C.2 D.4〖答案〗BC〖解析〗因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，故A不可以；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，，則在上遞增，故B可以；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，函?shù)，單調(diào)遞增，所以在上遞增，故C可以；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，函?shù)，不單調(diào)，故D不可以.故選：BC12.定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足①；②當(dāng)時(shí)，，則（）A.B.為偶函數(shù)C.存在，使得D.對任意〖答案〗ACD〖解析〗對于A，，令，則，即，又，，即，可知，即，得即，故A正確；對于B，由選項(xiàng)A可得，又令得，解得，，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，又滿足上式，，，令，則，所以存在，使得，故C正確；對于D，令，則，即，即是以1為周期的周期函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)，，則，結(jié)合周期性可知對任意，均有，所以，由C選項(xiàng)可得，令，即，即，當(dāng)時(shí)上式不成立，當(dāng)時(shí)，上式化簡整理得無解，當(dāng)時(shí)，上式化簡整理得無解，所以對任意，.所以對任意，.故D正確.故選：ACD.三?填空題13.在的展開式中，的系數(shù)為__________.〖答案〗〖解析〗的展開式通項(xiàng)為，令得，所以的系數(shù)為.故〖答案〗為：.14.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為__________.〖答案〗〖解析〗拋物線.其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由.故〖答案〗為：15.小明去書店買了5本參考書，其中有2本數(shù)學(xué)，2本物理，1本化學(xué).小明從中隨機(jī)抽取2本，若2本中有1本是數(shù)學(xué)，則另1本是物理或化學(xué)的概率是__________.〖答案〗〖解析〗記事件A為“取出的2本中有1本是數(shù)學(xué)”，事件為“另1本是物理或化學(xué)”，則，所以.故〖答案〗為：.16.在四面體中，，若，則四面體體積的最大值是__________，它的外接球表面積的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗由余弦定理可得,故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故，故面積的最大值為，，由于，所以點(diǎn)在以為直徑的球上（不包括平面），故當(dāng)平面平面時(shí)，此時(shí)最大為半徑，故，由正弦定理可得：，為外接圓的半徑，設(shè)四面體外接球半徑為,則,其中分別為球心和外接圓的圓心，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)最小，故外接球的表面積為,故〖答案〗為：,四?解答題17.已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，記為數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）是否存在，使為等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的；若不存在，請說明理由；（2）求.解：（1）方法一：假設(shè)存在，使為等比數(shù)列，則至少滿足的前3項(xiàng)成等比數(shù)列.的前3項(xiàng)為則，解得.以下證明：當(dāng)時(shí)，為等比數(shù)列.由，得.因?yàn)槭欠橇愠?shù)，且，所以為首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列.方法二：由，得，故，，因?yàn)槭欠橇愠?shù)，且，所以為首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列.（2）由（1）得，所以，所以.18.在中，是的平分線，，求：（1）的長；（2）的面積.解：（1）方法一：設(shè)，則.由，得，所以，得，故，所以.方法二：證明：由角平分線定理知，不妨設(shè)，則.由可知，即，解得（負(fù)值舍去），即.（2）方法一：因?yàn)?，所以，所以，，所以，方法二：由?）知在中，，，所以.19.如圖，在三棱柱中，平面平面.（1）若分別為的中點(diǎn)，證明：平面；（2）當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面.（2）解：因?yàn)?，平面平面，平面平面平面，所以平面，所以直線與平面所成角為，則，在中，不妨設(shè)，則，連接，因?yàn)?，所?又平面平面，所以平面平面，且平面平面平面，故平面.設(shè)的中點(diǎn)為，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，則，，設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨取，則有，易知平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.20.已知函數(shù).（1）求的極值；（2）對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.解：（1）的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時(shí)，令，得.故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)在處取到極小值，無極大值.（2）方法一：對任意時(shí)，恒成立，即恒成立.令，則.令，則，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)單調(diào)遞減，所以.所以，即的取值范圍為.方法二：由（1）知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以不符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增.對任意時(shí)，恒成立，即，即.令在區(qū)間上單調(diào)遞增.又所以；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以，符合題意；綜上，的取值范圍為.21.已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上.（1）證明：（其中為的離心率）；（2）當(dāng)時(shí)，是否存在過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，其中，使得成立？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.（1）證明：設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，故，故，又，所以，故，所以；（2）解：假設(shè)存在這樣的直線，由題易知，，，由（1）知，由橢圓定義知，因?yàn)椋?，整理得①，因?yàn)椋@然直線的斜率存在，設(shè)，由，故橢圓方程為：，聯(lián)立，得，所以，且，，代入①式，有，化簡整理得，解得，故直線存在，且它的方程為或.22.某市12月的天氣情況有晴天，下雨，陰天3種，第2天的天氣情況只取決于第1天的天氣情況，而與之前的無關(guān).若第1天為晴天，則第2天下雨的概率為，陰天的概率為；若第1天為下雨，則第2天晴天的概率為，陰天的概率為；若第1天為陰天，則第2天晴天的概率為，下雨的概率為.已知該市12月第1天的天氣情況為下雨.（1）求該市12月第3天的天氣情況為晴天的概率；（2）記分別為該市12月第天的天氣情況為晴天?下雨和陰天的概率，證明：為等比數(shù)列，并求出.解：（1）設(shè)“該市12月第天的天氣情況為晴天