數(shù)學(xué)-第四章 因式分解B卷壓軸題考點(diǎn)訓(xùn)練（解析版）

第四章因式分解B卷壓軸題考點(diǎn)訓(xùn)練1．若，則________．【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式將已知等式變形，即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，即，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式變形計(jì)算，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．2．分解因式：___________．【答案】【分析】本題有a的四次項(xiàng)、a的三次項(xiàng)，a的二次項(xiàng)，有常數(shù)項(xiàng)，所以首要考慮的就是三一分組，前三項(xiàng)提取公因式后可以利用完全平方公式分解因式，然后還可以與第四項(xiàng)繼續(xù)利用平方差公式分解因式．【詳解】解：====故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分組分解法，十字相乘法分解因式，難點(diǎn)是采用兩兩分組還是三一分組，要考慮分組后還能進(jìn)行下一步分解，利用平方差公式分解后還要繼續(xù)利用十字相乘法分解因式，注意分解因式要徹底．3．已知（），則代數(shù)式_____．

【答案】6【分析】先將變形為，再根據(jù)得出即，最后對進(jìn)行因式分解即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式及因式分解，掌握完全平方公式及因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．4．分解因式：______．【答案】【分析】利用整體思想及十字相乘法與立方差公式求解．【詳解】解：原式，，．故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，解題關(guān)鍵是熟練掌握十字相乘與立方差公式．5．如果，那么______.【答案】18【分析】運(yùn)用因式分解將x4+7x3+8x2-13x+15轉(zhuǎn)化為x2（x2+2x）+5X3+8x2-13x+15，將x2+2x做為整體代入上式，這樣就降低了x的次數(shù)，并進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為5x（x2+2x）+x2-13x+15，再將x2+2x做為整體代入5x（x2+2x）+x2-13x+15式，此時(shí)原式轉(zhuǎn)化為x2+2x+15，又出現(xiàn)x2+2x，再代入求解即可．【詳解】解：∵x2+2x=3∴x4+7x3+8x2-13x+15=x2（x2+2x）+5x3+8x2-13x+15=x2×3+5x3+8x2-13x+15=5x3+11x2-13x+15=5x（x2+2x）+x2-13x+15=15x+x2-13x+15=x2+2x+15=3+15=18故答案為18.【點(diǎn)睛】本題考查因式分解．本題解決的關(guān)鍵是將x2+2x整體逐級代入x4+7x3+8x2-13x+15變化后的式子，降低了x的次數(shù)，使問題最終得以解決．6．已知a＝﹣，則代數(shù)式a3+5a2﹣4a﹣6的值為_____．【答案】-4【分析】先將a進(jìn)行化簡，然后再進(jìn)一步分組分解代數(shù)式，最后代入求得答案即可.【詳解】解：當(dāng)a＝－＝－＝－3時(shí)，原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3＝a(a+3)2－(a+3)2－7a+3＝7a－7－7a+3＝－4．故答案為－4．

【點(diǎn)睛】本題綜合運(yùn)用了二次根式的化簡，提公因式及完全平方公式法分解因式，熟練掌握分母有理化的方法及因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.7．如果為完全平方數(shù)，則正整數(shù)n為______．【答案】2或14或11【分析】分情況討論，分別設(shè)為首項(xiàng)的平方，末項(xiàng)的平方，中間項(xiàng)，則可得出n的值即可．【詳解】設(shè)為首項(xiàng)的平方，則末項(xiàng)為，中間項(xiàng)為乘積兩倍為=2×，∴首項(xiàng)為2，首項(xiàng)平方為，∴n=2；設(shè)為末項(xiàng)的平方，則首項(xiàng)為，乘積兩倍為=2××，∴末項(xiàng)為，末項(xiàng)平方為，∴n=14；設(shè)為中間項(xiàng)，則=2××=，∴n=11，綜上所述，正整數(shù)n的值為2或14或11，故答案為：2或14或11．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式的形式，掌握完全平方式的形式是解題的關(guān)鍵．8．若，，那么式子的值為_________．【答案】【分析】把兩個等式相減化簡后可得，再把中的拆成，再分別與前后兩項(xiàng)重新組合，提公因式后把兩個已知等式代入，即可解決．【詳解】∵，∴即∵∴故答案為：?2020

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，用到了一種變形：拆項(xiàng)，這也是本題的難點(diǎn)所在．9．多項(xiàng)式的最小值為________．【答案】18．【分析】利用公式法進(jìn)行因式分解，根據(jù)非負(fù)性確定最小值．【詳解】解：==，∵，∴的最小值為18；故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用乘法公式進(jìn)行因式分解，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定最值．10．已知-6ab=0（a＞b），則=_____________【答案】或-【詳解】∵a2+b2-6ab=0，∴（a+b）2=8ab，（b-a）2=4ab，∴=2，∴.11．因式分解：．【答案】【分析】先設(shè)，根據(jù)整式的乘法化簡后利用十字相乘法因式分解，再將y換回，再次因式分解即可．【詳解】解：設(shè)，則原式．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，熟練掌握換元法和十字相乘法是解題的關(guān)鍵．12．我們知道，對于一個圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式．例如圖①可以得到．請回答下列問題：

(1)寫出圖②中所表示的數(shù)學(xué)等式______；(2)猜測______．(3)利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知，，求的值；(4)在（3）的條件下，若a、b、c分別是一個三角形的三邊長，請判斷該三角形的形狀，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)48(4)該三角形為等邊三角形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)大長方形面積等于其內(nèi)部三個小正方形面積加上6個小長方形的面積進(jìn)行求解即可；（2）仿照題意畫出圖形求解即可；（3）先求出，，再把這2個等式代入（1）所求等式中求解即可；（4）由（3）可得，進(jìn)而推出，理由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可推出，則該三角形是等邊三角形．【詳解】（1）解：由題意得，，故答案為：（2）解：由下圖可得：，故答案為：；（3）解：∵，，

∴，，∵，∴；（4）解：該三角形為等邊三角形，理由如下：∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴該三角形是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形面積，因式分解的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等等，正確理解題意，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．13．分解因式，觀察發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)符合平方差公式，后兩項(xiàng)可以提公因式，變可以將式子因式分解，過程如下：，這樣的因式分解方法叫做分組分解法，利用這種方法解決下列問題：(1)因式分解：；(2)已知的三邊a，b，c滿足，判斷的形狀．【答案】(1)(2)是等腰三角形或等邊三角形，理由見解析【分析】（1）第一項(xiàng)和第三項(xiàng)可以用平方差公式分解因式，第四項(xiàng)和第二項(xiàng)可以提公因數(shù)分解因式，據(jù)此求解即可；

（2）先把所給條件式分解因式得到，即可得到或，由此即可得到答案．【詳解】（1）解：；（2）解：是等腰三角形或等邊三角形，理由如下：∵，∴，∴，∴，∴或，∴或，∴當(dāng)，時(shí)，是等腰三角形；當(dāng)，時(shí)，是等腰三角形；當(dāng)，時(shí)，是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分解因式，因式分解的應(yīng)用，等腰三角形的判定，等邊三角形的判定，熟知分解因式的方法是解題的關(guān)鍵．14．如果一個正整數(shù)的各位數(shù)字是左右對稱的，那么稱這個正整數(shù)是“對稱數(shù)”，如33，787，1221，20211202都是“對稱數(shù)”，最小的“對稱數(shù)”是11，但沒有最大的“對稱數(shù)”．下面給出一個正整數(shù)的記法：若一個四位正整數(shù)的千位、百位、十位、個位上的數(shù)字分別為a、b、c、d，則可以把這個四位正整數(shù)記為，同理，若三位正整數(shù)的百位、十位、個位上的數(shù)字分別為x、y、z，則可以把這個三位正整數(shù)記為．(1)若四位正整數(shù)是“對稱數(shù)”，證明式子的值能被11整除；(2)若三位正整數(shù)是“對稱數(shù)”，式子x+y+z的值是4的倍數(shù)，式子的值能被13整除，求這個三位正整數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)929、161．【分析】（1）根據(jù)題意用字母表示出，再化簡為含11因子的式子即可；

（2）根據(jù)條件求出x、y、z滿足的條件，再分類討論求出結(jié)果．【詳解】（1）證明：依題意，a=d，b=c，∴=（b×110+d）-d=b×110，∴是11的倍數(shù)，得證．（2）依題意，x=z①，x+y+z=4a②，（100x+10y+z）+x+y+z=13b③，其中a、b為正整數(shù)，1≤x≤9，0≤y≤9．∴2x+y=4a④，x+2y=13（8x+y-b）⑤，由④可知y=0，2，4，6，8，當(dāng)y=0時(shí)，由⑤可知x=0，13，...，不合題意；當(dāng)y=2時(shí)，由⑤可知x=9，22，...，此時(shí)x=9，y=2符合題意；當(dāng)y=4時(shí)，由⑤可知x=5，18，...，此時(shí)x=5，y=4符合題意；當(dāng)y=6時(shí)，由⑤可知x=1，14，...，此時(shí)x=1，y=6符合題意；當(dāng)y=8時(shí)，由⑤可知x=10，23...，不合題意．綜上，這個三位數(shù)可以是929、545，或161．經(jīng)驗(yàn)證545不符合x+y+z=4a的條件．所以這個三位正整數(shù)為929、161．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件列出等式，再利用自然數(shù)各個數(shù)位的取值范圍，分情況逐一討論．15．我們知道，任意一個正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：（p，q是正整數(shù)，且），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱是n的最佳分解，并規(guī)定；，例如12可以分解成，或，因?yàn)椋允?2的最佳分解，所以．(1)求；

(2)如果一個正整數(shù)只有1與m本身兩個正因數(shù)，則m稱為質(zhì)數(shù)．若質(zhì)數(shù)m滿足，求m的值；(3)是否存在正整數(shù)n滿足，若存在，求n的值：若不存在，說明理由．【答案】(1)；(2)5；(3)不存在，理由見解析．【分析】（1）讀懂F(n)的定義，寫出24的最佳分解，即可直接作答；（2）根據(jù)F(m+4)=1可以知道m(xù)+4是一個平方數(shù)，再利用因式分解求出m的值；（3）假設(shè)存在，如果推出矛盾，即可得證不存在；如果可以求出具體的n的值，即可得出結(jié)果．．【詳解】（1）解：∵24