【Syx】利用函數(shù)的最大（?。┲到鉀Q與不等式恒成立有關的問題 高二下學期數(shù)學

利用函數(shù)的最大（小）值解決與不等式恒成立有關的問題利用函數(shù)的最大（?。┲到鉀Q與不等式恒成立有關的問題講解利用函數(shù)的導數(shù)求函數(shù)的最大（?。┲?，可以處理有關函數(shù)圖象、不等式等綜合問題，特別是有關不等式恒成立問題，是近幾年來高考的重點、熱點和難點，經(jīng)常以高考壓軸題的形式出現(xiàn)．利用函數(shù)的最大（?。┲到鉀Q與不等式恒成立有關的問題處理不等式恒成立問題的方法取主元（給定范圍內(nèi)任意取值的變量），結合參數(shù)分類，利用最大（?。┲祷驍?shù)形結合解決有關不等式恒成立問題．在定義域內(nèi)，對于任意的x，都有f（x）≥a成立，轉化為f（x）min≥a；對于任意的x，都有f（x）≤a成立，轉化為f（x）max≤a．將主元與參數(shù)分離變量，將不等式恒成立轉化為最大（?。┲祮栴}來解決．利用函數(shù)的最大（小）值解決與不等式恒成立有關的問題講解證明不等式問題，可以將不等式問題轉化為最大（?。┲祮栴}，利用函數(shù)的最大（?。┲导右宰C明．利用函數(shù)的最大（小）值解決與不等式恒成立有關的問題例1已知函數(shù)f（x）＝（1＋x）e－2x，x∈[0，1]，求證：1－x≤f（x）≤

．思路點撥：不等式變形—→作差構造函數(shù)—→對函數(shù)求導判斷單調性—→求函數(shù)最值—→得證．證明：要證當x∈[0，1]時，f（x）＝（1＋x）e－2x≥1－x，只需證明（1＋x）e－x≥（1－x）ex．記h（x）＝（1＋x）e－x－（1－x）ex，則h′（x）＝x（ex－e－x），當x∈（0，1）時，h′（x）＞0，因此h（x）在[0，1]上是增函數(shù)，故h（x）≥h（0）＝0，利用函數(shù)的最大（小）值解決與不等式恒成立有關的問題例1已知函數(shù)f（x）＝（1＋x）e－2x，x∈[0，1]，求證：1－x≤f（x）≤

．所以f（x）≥1－x，x∈[0，1]．當x∈（0，1）時，g′（x）＞0，因此g（x）在[0，1]上是增函數(shù)，故g（x）≥g（0）＝0，要證當x∈[0，1]時，f（x）＝（1＋x）e－2x≤

，只需證明ex≥x＋1．所以f（x）≤

，x∈[0，1]．綜上，1－x≤f（x）≤

，x∈[0，1]．利用函數(shù)的最大（?。┲到鉀Q與不等式恒成立有關的問題例2設函數(shù)f（x）＝tx2＋2t2x＋t－1（x∈R，t＞0）．（1）求f（x）的最小值h（t）；（2）若h（t）＜－2t＋m對任意t∈（0，2）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（3）若對任意的t1，t2∈（0，2），都有h（t1）＜－2t2＋m，求實數(shù)m的取值范圍．思路點撥：（1）將f（x）配方—→利用二次函數(shù)的性質求最小值h（t）．利用函數(shù)的最大（?。┲到鉀Q與不等式恒成立有關的問題例2設函數(shù)f（x）＝tx2＋2t2x＋t－1（x∈R，t＞0）．（1）求f（x）的最小值h（t）；（2）若h（t）＜－2t＋m對任意t∈（0，2）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（3）若對任意的t1，t2∈（0，2），都有h（t1）＜－2t2＋m，求實數(shù)m的取值范圍．解析：（1）∵f（x）＝t（x＋t）2－t3＋t－1（x∈R，t＞0），∴當x＝－t時，f（x）取最小值f（－t）＝－t3＋t－1，即h（t）＝－t3＋t－1．利用函數(shù)的最大（?。┲到鉀Q與不等式恒成立有關的問題例2設函數(shù)f（x）＝tx2＋2t2x＋t－1（x∈R，t＞0）．（1）求f（x）的最小值h（t）；（2）若h（t）＜－2t＋m對任意t∈（0，2）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（3）若對任意的t1，t2∈（0，2），都有h（t1）＜－2t2＋m，求實數(shù)m的取值范圍．思路點撥：（2）不等式變形為h（t）－（2t＋m）＜0—→構造函數(shù)g（t）＝h（t）－（－2t＋m），t∈（0，2）—→求g（t）的最大值—→根據(jù)恒成立列不等式—→解得實數(shù)m的取值范圍．利用函數(shù)的最大（小）值解決與不等式恒成立有關的問題例2設函數(shù)f（x）＝tx2＋2t2x＋t－1（x∈R，t＞0）．（2）若h（t）＜－2t＋m對任意t∈（0，2）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；解析：（2）記g（t）＝h（t）－（－2t＋m）＝－t3＋3t－1－m，t∈（0，2），當t變化時，g′（t），g（t）的變化情況如表所示．則g′（t）＝－3t2＋3，令g′（t）＝0，得t＝1或t＝－1（舍去）．t（0，1）1（1，2）g′（t）＋0－g（t）↗極大值↘利用函數(shù)的最大（?。┲到鉀Q與不等式恒成立有關的問題例2設函數(shù)f（x）＝tx2＋2t2x＋t－1（x∈R，t＞0）．（2）若h（t）＜－2t＋m對任意t∈（0，2）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；∴g（t）在（0，2）內(nèi)有最大值g（1）＝1－m．∴g（t）＜0對任意t∈（0，2）恒成立，∵h（t）＜－2t＋m對任意t∈（0，2）恒成立，∴1－m＜0，∴m＞1．∴m的取值范圍為（1，＋∞）．利用函數(shù)的最大（?。┲到鉀Q與不等式恒成立有關的問題例2設函數(shù)f（x）＝tx2＋2t2x＋t－1（x∈R，t＞0）．（1）求f（x）的最小值h（t）；（2）若h（t）＜－2t＋m對任意t∈（0，2）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（3）若對任意的t1，t2∈（0，2），都有h（t1）＜－2t2＋m，求實數(shù)m的取值范圍．思路點撥：（3）求h′（t）—→求h（t）在區(qū)間（0，2）上的最大值—→令φ（t）＝－2t＋m，求t∈（0，2）時φ（t）的范圍—→根據(jù)恒成立列不等式—→解得實數(shù)m的取值范圍．利用函數(shù)的最大（?。┲到鉀Q與不等式恒成立有關的問題例2設函數(shù)f（x）＝tx2＋2t2x＋t－1（x∈R，t＞0）．（3）若對任意的t1，t2∈（0，2），都有h（t1）＜－2t2＋m，求實數(shù)m的取值范圍．解析：（3）∵h（t）＝－t3＋t－1，t∈（0，2），∴h′（t）＝－3t2＋1，令h′（t）＝0，得t＝

或t＝

（舍去）．又當0＜t＜

時，h′（t）＞0，當

＜t＜2時，h′（t）＜0，∴當t＝

時，h（t）max＝

利用函數(shù)的最大（?。┲到鉀Q與不等式恒成立有關的問題例2設函數(shù)f（x）＝tx2＋2t2x＋t－1（x∈R，t