湖南省永州市高三上學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題

永州市2024年高考第二次模擬考試數(shù)學(xué)命題人：蔣志剛（永州四中）周海洋（雙牌二中）陶先國（藍山二中）陳詩躍（永州一中）審題人：胡元緊（永州市教科院）注意事項：1．全卷滿分150分，時量120分鐘。2．全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無效。3．考試結(jié)束后，只交答題卡。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)全集，集合，則（）A．B．C．D．2．己知，則z的虛部為（）A．B．C．D．3．已知向量，則在上的投影向量為（）A．B．C．D．4．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（）A．B．C．D．5．若正四棱錐的側(cè)面三角形底角的正切值為2，則側(cè)面與底面的夾角為（）A．B．C．D．6．已知拋物線的焦點為F，過點F且斜率為的直線l交C于A，B兩點，點M在C的準線上，、若的面積為32，則（）A．B．2C．D．47．在中，若，則的面積的最大值為（）A．B．C．D．8．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A．的圖象是中心對稱圖形B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．若方程有三個解，，則D．若方程有四個解，則二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。9．下列結(jié)論正確的是（）A．已知樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為4B．已知概率，則C．樣本數(shù)據(jù)6，8，8，8，7，9，10，8的第75百分位數(shù)為8.5D．己知（a，b為有理數(shù)），則10．若圓錐側(cè)面展開圖是一個半徑為2的半圓，則（）A．該圓錐的母線與底面所成的角為B．該圓錐的體積為C．該圓錐的內(nèi)切球的體積為D．該圓錐的外接球的表面積為11．已知定義域為的函數(shù)滿足為的導(dǎo)函數(shù)，且，則（）A．為奇函數(shù)B．在處的切線斜率為7C．D．對12．在平面直角坐標系中，已知曲線，與圓相切的直線l交于P，Q兩點，點M，N分別是曲線與上的動點，且，則（）A．B．的最小值為2C．的最小值為D．O點到直線MN的距離為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為第二象限角，，則__________．14．已知盒中有3個紅球，2個藍球，若無放回地從盒中隨機抽取兩次球，每次抽取一個，則第二次抽到藍球的概率為__________．15．已知函數(shù)有一個極值點為零點，則__________．16．己知數(shù)列滿足，則__________．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）已知數(shù)列的前n項和為．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項的和．18，（12分）記三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B為銳角，．（1）求；（2）求的最小值．19．（12分）如圖所示，在四棱錐中，，平面平面ABC，點F為BD的中點．（1）證明：；（2）若，AF與平面ABE所成角的正弦值為，求四棱錐的體積．20．（12分）在某網(wǎng)絡(luò)平臺組織的禁毒知識挑戰(zhàn)賽中，挑戰(zhàn)賽規(guī)則如下：每局回答3道題，若回答正確的次數(shù)不低于2次，該局得3分，否則得1分，每次回答的結(jié)果相互獨立．已知甲、乙兩人參加挑戰(zhàn)賽，兩人答對每道題的概率均為．（1）若甲參加了3局禁毒知識挑戰(zhàn)賽，設(shè)甲得分為隨機變量X，求X的分布列與期望；（2）若甲參加了局禁毒知識挑戰(zhàn)賽，乙參加了局禁毒知識挑戰(zhàn)賽，記甲在禁毒知識挑戰(zhàn)賽中獲得的總分大于的概率為，乙在禁毒知識挑戰(zhàn)賽中獲得的總分大于的概率為，證明：．21．（12分）已知橢圓的離心率為與，左、右焦點分別為，點D為線段的中點，過點且斜率為的直線l交C于M，N兩點．的面積最大值為．（1）求C的方程；（2）設(shè)直線MD，ND分別交C于點P，Q，直線PQ的斜率為，是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值：若不存在，請說明理由．22．（12分）已知函數(shù)．（1）若時，，求實數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)，證明：．永州市2024年高考第二次模擬考試數(shù)學(xué)參考答案及評分標準一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。題號12345678答案CABDCBDD二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。題號9101112答案BCDBDACDABD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫線上。13．14．15．16．1785部分小題提示解析：8．解：因為，所以，即關(guān)于直線對稱，所以為軸對稱函數(shù)．關(guān)于直線對稱，只需研究性質(zhì)，當時，，易知所以，故在單調(diào)遞減所以當時，單調(diào)遞減，故B錯．當時，，此時單調(diào)遞增，而所以有三解，則又因為，聯(lián)立解得，所以C錯誤．要有四個解，則，解得，故選D．16．解：由已知可得，，則，則由累加法可得．四、解答題：本大題共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．解析：（1）當時，，則1分當時，，則3分則數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，則．5分（2）因為6分所以，8分則．10分18．解析：（1）因為由正弦定理可得1分由余弦定理可得：2分解得或（一個答案一分）3分又因為B為銳角，所以4分所以．6分（2）由（1）得7分令，則因為，所以9分所以，當單調(diào)遞增10分所以時，，所以無最值11分所以無最值．12分19．解析：（1）因為，所以1分又因為平面平面ABC，平面平面2分所以平面ABC3分又因為平面ABC所以．4分（2）取AB、BE的中點分別為O、G，連接OC、OG所以E因為，所以而平面ABC，所以平面ABC因為所以5分以O(shè)為坐標原點，分別以直線OB，OC，OG為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系6分設(shè)，則所以，易知是平面ABE的一個法向量7分所以，解得8分設(shè)是平面ACDE的一個法向量，因為則，即9分令，則10分又因為則點B到平面ACDE的距離為11分所以．12分20．解析：（1）依題意可得，隨機變量1分設(shè)甲、乙在一局比賽中得3分的概率為P，則，2分則3分4分則分布列：X3579P數(shù)學(xué)期望．5分（2）設(shè)在甲參加的局禁毒知識挑戰(zhàn)賽中，獲勝局數(shù)為Y則所獲總分為，若，則6分則，因為7分則8分同理可得9分則10分11分故．12分21．解析：（1）易知當M與橢圓的短軸的端點重合時面積有最大值1分所以，即2分因為3分解得所以橢圓C得方程為．4分（2）設(shè)則直線MP的方程為5分由聯(lián)立得：6分則，即7分代入直線得：同理可得：8分所以9分又因為N、、M三點共線，所以即10分所以11分所以存在實數(shù)使得．12分22．解析：（1）要使有意義，則需滿足當時，由在恒成立當時，由，得，由解得1分2分令當時，在恒成立，則在恒成立所以在單調(diào)遞增，所以恒成立3分當時，，令則則在恒成立，所以在單調(diào)遞減又因為，所以，使得當，即，所以在單調(diào)遞增當，即，所以在單調(diào)遞減4分①若時，，所以時，，又所以，使得，當，即在單調(diào)遞增，當，即在單調(diào)遞減，又因為，所以要使在恒成立只需，解得，而